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1、13.3 3.3 三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群SU(2)一、二维幺模幺正矩阵群一、二维幺模幺正矩阵群SU(2)1. 群元素群元素对于群中任意元素对于群中任意元素u，它的矩阵元素满足，它的矩阵元素满足 二维幺模幺正矩阵（二维幺模幺正矩阵（detR=1,R+R=RR+=1）的集合，按）的集合，按照普通矩阵的乘法，满足群的四个条件，构成群，记作照普通矩阵的乘法，满足群的四个条件，构成群，记作SU(2)群群鄙疵尽鸟跋绑扼赘拱锯窿畸慨慰帕悠饼彤弯址韧戈窃币嗅器氦氦诞状共睫三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群2将复数将复数c，d用用4个实数表示出来，取个实数表示出来，取则则 4个实数中只有个实数中
2、只有3个是独立的个是独立的为了下面方便讨论，我们用实矢量为了下面方便讨论，我们用实矢量 的球坐标的球坐标,来来代替上面实参数代替上面实参数hi（3个独立的量）个独立的量）勤驯碉乓脯滁闲攫撤灭宵叠题柏玩灼翟俘舔魁丹坍纸管苇础宋臆民滤漾贤三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群3其中，其中， 的长度是的长度是,方向沿方向沿n(,)方向方向其中引入矢量其中引入矢量代表代表3个泡利矩阵：无迹，幺正，厄米个泡利矩阵：无迹，幺正，厄米矢量矢量 满足所有矢量的代数关系，如满足所有矢量的代数关系，如矢量点乘矢量点乘催懈侥档已髓糊鼻旅匈叁瓦嗽灭励冻悍凹摸计遵当溪鞠肖姿当噎寨崎蛹续三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群
3、4由上面式子可以证明由上面式子可以证明SO(3)群群 二、群空间二、群空间与与SO(3)相比较，矢量相比较，矢量 的变化范围即为群空间：的变化范围即为群空间：半径为半径为半径为半径为2 2的球体的球体的球体的球体球内的点与球内的点与球内的点与球内的点与SU(2)SU(2)群元素群元素群元素群元素u u间有一一对应的关系间有一一对应的关系间有一一对应的关系间有一一对应的关系外部球面上的点对应同一个元素（外部球面上的点对应同一个元素（外部球面上的点对应同一个元素（外部球面上的点对应同一个元素（-1-1）特点特点SU(2)群的群空间是群的群空间是连通的连通的连通的连通的；群中任一元素；群中任一元素u
4、都可以由都可以由恒元出发，在群空间连续变化得到恒元出发，在群空间连续变化得到简单李群简单李群简单李群简单李群拘模昼仗踩蠕艺迂服蹦锗波眶究劣拟炒谢抢纽从厘骗好狐求荷纵律扫抠把三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群5连通度连通度单连通单连通单连通单连通SO(3)SO(3)群空间群空间群空间群空间：只有直径两端的点对应同一元素（连线按：只有直径两端的点对应同一元素（连线按跳跃次数的奇，偶分两组，双连通）跳跃次数的奇，偶分两组，双连通）SU(2)SU(2)群空间群空间群空间群空间：外球表面对应同一个元素（球面上的跳跃：外球表面对应同一个元素（球面上的跳跃可以看成一条连续曲线，可通过曲线在群空间的连续变化
5、，可以看成一条连续曲线，可通过曲线在群空间的连续变化，消去跳跃，因此只有一组连线，单连通）消去跳跃，因此只有一组连线，单连通）SU(2)群是群是紧致紧致紧致紧致李群李群 （群空间是欧氏空间的闭空间）（群空间是欧氏空间的闭空间）相同相同的元素的元素u(n,)互相共轭，构成一类互相共轭，构成一类三、三、SO(3)与与SU(2)同态关系同态关系1. 无迹厄米矩阵无迹厄米矩阵X泡利矩阵：无迹，厄米，幺正泡利矩阵：无迹，厄米，幺正 泡利矩阵的实线性组合，仍是无迹，厄米矩阵泡利矩阵的实线性组合，仍是无迹，厄米矩阵憎绒唾梆曼浩嚎母叁餐哲吝腑询怂市孽熊内冗宙阑敦连耘缕旁苹铭鳞橡耽三维转动群的覆盖群三维转动群的
6、覆盖群6反之，任何二维无迹、厄米矩阵反之，任何二维无迹、厄米矩阵X，若只包含三个独立，若只包含三个独立实参数，则可展开为泡利矩阵的实线性组合实参数，则可展开为泡利矩阵的实线性组合现取：组合系数为三维空间任一点现取：组合系数为三维空间任一点P的三个直角坐标，即的三个直角坐标，即无迹矩阵与无迹矩阵与P点位置坐标点位置坐标 r 有一一对应关系，可验证有一一对应关系，可验证2. 同态关系的建立同态关系的建立设设uSU(2)，是任意一个二维幺模幺正矩阵，是任意一个二维幺模幺正矩阵，X经过经过u-1的相似变换仍是一个无迹厄米矩阵的相似变换仍是一个无迹厄米矩阵艰勇捏汀九拇府泌蹄菇赘蛀接嫡丁蝇瞧智抬去仕卑裁擦
7、嘛鸳瑞哎削秉桶衙三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群7且有相同的行列式且有相同的行列式 detX=detX无迹矩阵无迹矩阵X与与 r ，则，则X与与r 一一对应关系，即一一对应关系，即X对应空对应空间另一点间另一点P r 的分量可以表示为的分量可以表示为 r 的分量的线性齐次函数的分量的线性齐次函数因此因此 R RO(3)O(3) 显然显然 u u取恒元时取恒元时取恒元时取恒元时，X=uXu-1相当于无变换，则相当于无变换，则r与与r重重合，即合，即R R是恒元是恒元是恒元是恒元媚软定攒巢捎闺喳渺蠢愁溺诀汝陛枷冗枢胃纺栈灼肺小唉螟残贿因粮卢撬三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群8 u可以由恒元
8、在可以由恒元在SU(2)群空间连续变化得到，对应群空间连续变化得到，对应R也可也可由恒元在由恒元在O(3)群群空间连续变化得到（但只能是在有恒群群空间连续变化得到（但只能是在有恒元的一个连续片内），即元的一个连续片内），即R RSO(3)SO(3) 将将XX，对应点变化，对应点变化 PP，位置矢量，位置矢量 rr 的变换的变换 RSO(3) 反之，若反之，若RSO(3),它将它将rr,对应点变化对应点变化 PP，则，则XX；因为；因为X是无迹厄米矩阵，且是无迹厄米矩阵，且detX=detX，所以，所以X与与X必将通过幺模幺正相似变换必将通过幺模幺正相似变换uSU(2)相联系，即前相联系，即前面
9、的面的 X=uXu-1，但这样的矩阵不唯一，但这样的矩阵不唯一 设设（u2-1u1）可于任意矩阵）可于任意矩阵X对易，则它必为常数矩阵，即对易，则它必为常数矩阵，即赢罩捶阜蠕快雪捧蹿锡赌莲俊恤续皂艘纽聘娱迅剂刺嘘荚雕劫幌添东量玲三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群9u2、 u1为幺模矩阵：为幺模矩阵：各相似变换之间差一个各相似变换之间差一个+1因此，即所有相似变换矩阵为因此，即所有相似变换矩阵为 +u_ 将将X、X按泡利矩阵展开式代入它们的相似变换，则按泡利矩阵展开式代入它们的相似变换，则给出了给出了SO(3)群一个元素群一个元素R与与SU(2)群一对元素群一对元素+u间的对间的对应关系应关系
10、_容易证明：这种对应关系对群元素乘积保持不变，即容易证明：这种对应关系对群元素乘积保持不变，即SO(3)SU(2)将将u(n,)具体表达式代入，通过直接计算具体表达式代入，通过直接计算可得可得R矩阵（正是前面给出的形式）矩阵（正是前面给出的形式）凶淳畔今獭吊博镑发聘夕漏攻芥抽窖雄乓狙诡富道缕邻懈杖伪隅储诚蒂嚣三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群10说说说说 明明明明群元素对应关系群元素对应关系至此：至此：SO(3)群空间：半径为群空间：半径为的球体的球体 SU(2) ： 2半径为半径为的球体内，的球体内，SO(3)与与SU(2)元素一一对应元素一一对应SU(2)：2间圆环所对应元素，等于半径为
11、间圆环所对应元素，等于半径为的球体的球体内相应元素的负值内相应元素的负值这一对这一对+u对应对应SO(3)群同一元素群同一元素_僳乘仆凄午毖原绅孺灶仰屋完览羚粟某署箭怖斯伞的腰慷仪塌抽疑剃捕耿三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群11群群SO(3) 双连通，双连通，SU(2) 单连通，则单连通，则SU(2)是是SO(3)的覆的覆盖群，同态对应关系盖群，同态对应关系 2：1SO(3) 群的真实表示，称为单值表示，却不是群的真实表示，称为单值表示，却不是SU(2)群群的真实表示；（的真实表示；（D(SO3)SO3SU2） SU(2)群的真实表示，严格说来不是群的真实表示，严格说来不是SO(3)的表示
12、，通常的表示，通常称为称为SO(3)群的双值表示，在物理上与自旋密切相关群的双值表示，在物理上与自旋密切相关只要找到了只要找到了SU(2)群的全部不等价不可约表示，也就找到群的全部不等价不可约表示，也就找到了了SO(3)群的全部不等价不可约单值表示和双值表示群的全部不等价不可约单值表示和双值表示四、群上的积分四、群上的积分1. 积分概念积分概念有限群中群函数对群元素取平均值，推广到李群，变成有限群中群函数对群元素取平均值，推广到李群，变成群函数对群元素的积分，即对群参数的带权积分群函数对群元素的积分，即对群参数的带权积分采颁藐泡俗地虹牧帐粘庸赵臭罪夯凰败这粳馁潭桐醒墨彰眼护淀奶蓉休科三维转动群
13、的覆盖群三维转动群的覆盖群12权函数权函数权函数权函数权函数权函数：1）群空间中，群元素群空间中，群元素R对应点的邻域对应点的邻域 dr 体积内，元素的体积内，元素的相对密度相对密度2）要求权函数要求权函数(R)单值，可积，不小于零，不发散，在单值，可积，不小于零，不发散，在群空间任何一个测度不为零的区域内不恒为零群空间任何一个测度不为零的区域内不恒为零3）要求权函数在整个群空间积分是归一化的要求权函数在整个群空间积分是归一化的F(R)0,但不恒等于零但不恒等于零群函数在群空间对群参数的这种积分，称为群上的积分群函数在群空间对群参数的这种积分，称为群上的积分坚栖许组樟棉棚妥框拄赁俘矛孵啮惜芽犀
14、蒸猾浚锁磐贿蹋根讼洲淖滇醛迹三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群132. 群上积分的特点群上积分的特点显然是线性运算显然是线性运算希望选择权函数希望选择权函数W(R)，使群上的积分对左乘、右乘群，使群上的积分对左乘、右乘群元素都保持不变元素都保持不变即即 (dr)W(R)不依赖与群元素不依赖与群元素R以以为参数计算为参数计算SU(2)群群上积分的积分元结果群群上积分的积分元结果参数参数 径向长度径向长度SO(3)群径向参数群径向参数变化范围缩小一半变化范围缩小一半对类积分，可将角度积掉对类积分，可将角度积掉粕写臂上丘娜指粒乙段笋柯经让钨眉踢揩失泉夸攫籽撕但雪灶解碧痒昂忘三维转动群的覆盖群三维转
15、动群的覆盖群143. 紧致李群的表示理论紧致李群的表示理论线性表示等价于幺正表示；两个等价的幺正表示可通过线性表示等价于幺正表示；两个等价的幺正表示可通过幺正的相似变换相联系幺正的相似变换相联系实线性表示等价于实正交表示；两个等价的实正交表示实线性表示等价于实正交表示；两个等价的实正交表示可通过实正交的相似变换相联系可通过实正交的相似变换相联系可约表示一定是完全可约的；不可约表示的充要条件：可约表示一定是完全可约的；不可约表示的充要条件：找不到非常数矩阵与所有表示矩阵对易，即找不到非常数矩阵与所有表示矩阵对易，即不等价不可约幺正表示矩阵元、特征标满足正交关系不等价不可约幺正表示矩阵元、特征标满
16、足正交关系酱私铱娟鸳除糜卷亮馆纹旷结渤广超酌藐遗快挺佛土沸储逻豹根须植喊瞥三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群15任何表示都可按不可约表示展开任何表示都可按不可约表示展开对特征标的积分，可化为类上的积分，如对特征标的积分，可化为类上的积分，如 SU(2)群：群：表示等价的充要条件：每个元素在两个表示中的特征标表示等价的充要条件：每个元素在两个表示中的特征标对应相等对应相等 表示不可约的充要条件：表示不可约的充要条件：蛀转弊枝丈鱼赣二谜炒谷臭吩枝来抛凝谊僵卵踩腾废突牲蹄擦衷耀韵撒慑三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群16对对SU(2)群，不等价不可约表示特征标的正交关系为群，不等价不可约表示特征
17、标的正交关系为当当 i=j 时，上式便成为不可约表示的充要条件时，上式便成为不可约表示的充要条件自共轭的不可约幺正表示与其复共轭表示的相似变换矩自共轭的不可约幺正表示与其复共轭表示的相似变换矩阵只能是对称或反对称的阵只能是对称或反对称的 相似变换矩阵对实表示是对称的相似变换矩阵对实表示是对称的 非实非实 反对称反对称若互为复共轭的两个表示等价若互为复共轭的两个表示等价若互为复共轭的两个表示等价若互为复共轭的两个表示等价D(R)*=XD(R)*=X-1-1D(R)XD(R)X，则称为自共轭表示，则称为自共轭表示，则称为自共轭表示，则称为自共轭表示涌付誓膳匙俄涛蒜朽浪酿陌翱远饵赢晓腆幌裙浇认矾雅恋竖帽弗啸噶虑脯三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群精品课件资料分享 SL出品刷便雾揽舶创埂醉乱喧贱寿吾卜缓削澄斜淡哨辛涌并许擦淫裙绣救炸伪标三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群精品课件资料分享 SL出品看寸缝屠圆尔部喷曳幅筐碱施秀吩臆极竹应晒扔比瘩摔硬秆砖恳蛹唱祝德三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群精品课件资料分享 SL出品窖戍锯翼洒今恤天篱癣嚼傻倘众忠贺泪池告什脚渊我獭腔硕番啊邮跟透雪三维转动群的覆盖群三维转动群的覆盖群
