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1、目录目录1。函数与方程思想2。数形结合思想3。分类讨论思想4。转化与化归思想专题 数学思想方法主干知识整合要点热点探究例例4 4：三棱锥三棱锥S SABC,SA=x,ABC,SA=x,其余的所有棱长均为其余的所有棱长均为1,1,它的体积为它的体积为V. (1)V. (1)求求V=V=f(xf(x) )的解析表达式的解析表达式, ,并求此并求此函数的定义域；函数的定义域；(2)(2)当当x x为何值时为何值时,V,V有最大值有最大值? ?并求并求此最大值此最大值. .思维启迪思维启迪：作出底面：作出底面ABCABC的垂面的垂面, ,把原三棱锥看作把原三棱锥看作 以这个垂面为底面的两个三棱锥以这个
2、垂面为底面的两个三棱锥. .解：解：(1) (1) 如图，取如图，取BCBC中点中点D,D,连接连接SDSD、ADAD，则，则SDBCSDBC，ADBCADBC，BCBC平面平面SAD. SAD. 作作DESADESA于于E E， 由于由于SDSD= =ADAD ，则，则E E是是SASA的中点，的中点，定义域是（定义域是（0 0， ).).（2 2） 探究提高探究提高 解析几何、立体几何及其实际应用等解析几何、立体几何及其实际应用等 问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解 决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再决，思路是先选择恰当的变量建立目标函
3、数，再 用函数的知识来解决用函数的知识来解决. .等号当且仅当等号当且仅当x x2 2=3-x=3-x2 2, ,即即 时成立时成立, ,当当 时时, ,体积体积V V最大为最大为变式训练变式训练1 变式训练变式训练2 2 平面内边长为a的正三角 形ABC，直线DEBC，交AB、AC于 D、E，现将ABC沿ED折成60的二 面角,求DE在何位置时,折起后A到BC 的距离最短,最短距离是多少? 解 ：如图所示,点A沿DE折起到A, 过A作AGBC于G,交DE于F,连接AF,AG, ABC为正三角形,又DEBC, AGDE, 同时G,F分别为BC,DE的中点, DE面AFG,BC面AFG, AFG
4、AFG是二面角是二面角AAEDEDB B的平面角的平面角, , 由题知由题知AFG=60AFG=60,AG,AG为所求为所求. . 在在AFGAFG中中, ,设设FG=x,FG=x,则则AF=AF= 由余弦定理得由余弦定理得 AG AG2 2=AF=AF2 2+FG+FG2 2-2AF-2AFFGFGcos 60cos 60 当当 时，时，(AG)(AG)minmin 即即DEDE恰为恰为ABCABC中位线时折起后中位线时折起后A A到到BCBC的距离最的距离最 短短, ,最短距离为最短距离为例例5 5变式训练变式训练1变式训练变式训练2例例6探究点五 变量与常量的转化变量与常量的转化 变式训
5、练变式训练探究点六 特殊和一般转化特殊和一般转化 （例（例8 8）探究点七 化新为旧，化陌生为熟悉化新为旧，化陌生为熟悉 例10如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面 （）求证： ；（）若直线AC与平面A1BC所成的角为 ,二面角 的大小为 ，试判断 的大小关系，并予以证明.ABCA1B1C1ABCDA1B1C1D1E命题者独具匠心，发现只命题者独具匠心，发现只要底面保持要底面保持ABBC，两，两角的这种大小关系是不变角的这种大小关系是不变的，从而简化图形之后就的，从而简化图形之后就产生了本题。产生了本题。本题由教材中长方体对角面的性质改造而成，其原型为：在长方体ABCDA1B1C1D1
6、中，实际上，若将图形进一步简化为三棱锥实际上，若将图形进一步简化为三棱锥A1-ABC中，当中，当B在以在以AC为直径的圆周上为直径的圆周上运动时，两角的这种大小关系是不变的。运动时，两角的这种大小关系是不变的。基于这样一种在动态变化过程中来寻找基于这样一种在动态变化过程中来寻找确确定性问题的探究，考查学生的理性思维，定性问题的探究，考查学生的理性思维，就是本题的立意之本。就是本题的立意之本。 ABCA1OABCDEFGBADECFGOMN例例11。如图为一张半径为。如图为一张半径为r的圆形纸片，的圆形纸片，O为圆心，为圆心，AB、CD是两条互相垂是两条互相垂直的直径，直的直径，EF是一条与是一
7、条与AB、CD均不重合的动直径，记均不重合的动直径，记BOF=，弦，弦CF交交AB于于G，现将纸片沿，现将纸片沿AB折叠成一个直二面角如图，分别连折叠成一个直二面角如图，分别连EC 、EF、CF，EC、EF的中点分别为的中点分别为M、N。1）求证：平面）求证：平面OMN 平面平面CFG；2）当）当变化时，求证：变化时，求证：M、N的距离为定值，并求出该定值。的距离为定值，并求出该定值。 例12.如图，已知P是正三棱锥SABC的侧面SBC内一点，P到底面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ） 圆 抛物线 椭圆 双曲线 、 已知平面 两两垂直，点F ，点F到平面 、 的距
8、离都是3，P是 上的动点，点P到平面 的距离是到点F的距离的2倍，则点P到平面 的距离的最小值是 。 变式训练：例13： （2007安徽）如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（ ） ( 2006年湖南卷）已知则的最小值是 . 答案：5变式训练1：已知实数满足则的最大值是（ D ） A18 B. 19 C. 20 D. 21 分析：的取值范围是（ A ） 变式训练2：( 2007年辽宁卷）已知变量条件，则A B. C. D. 又如：求的取值范围。分析：满足约束例14。已知正方体的外接球的半径为正方体各条棱相切的球半径为的内切球半径为，则 . ，和，正方体答案： （06年全国联赛陕西预赛题）用6根等长的细棒焊接成一个正四面体框架，铁棒的粗细和焊接误差不计。设此框架能容纳得下的最大球的半径为能包容纳此框架的最小球的半径为，则等于 。变式训练1 已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥ABCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（ ） 变式训练2A.B. C. D. C.
