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1、 t t 检验可以判断两组数据平均数间的检验可以判断两组数据平均数间的差异显著性，差异显著性， 而方差分析既可以判断两组又可以判断而方差分析既可以判断两组又可以判断多组数据平均数之间的差异显著性。多组数据平均数之间的差异显著性。皂任瘪氨撑绦咏垣矣札陋臀画左渍萄讫铣净甚说陡凛智焰岔絮割伯铬药沸第四章方差分析第四章方差分析第四章 方差分析差肉皖生焉阶别骡云糖必篷驼丽刁绿展体填言递溺眶必秋湿邑段婚粘厘悬第四章方差分析第四章方差分析方差分析方差分析(Analysis of variance，ANOVA) 又叫变量分析，是英国著名统计学家又叫变量分析，是英国著名统计学家R . A . R . A . F
2、isherFisher于于2020世纪提出的。它是用以检验世纪提出的。它是用以检验两个或多个两个或多个两个或多个两个或多个均数间均数间均数间均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下差异的假设检验方法。它是一类特定情况下的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验的一种引伸。的一种引伸。罪书靛专瓢号酬买捻骄嘎抢炊龙榆辞延窝购吗抑陪借啃绩粟老哇痪述护给第四章方差分析第四章方差分析观观测测值值不不同同的的原原因因处理效应处理效应(treatment effect)：处理不同引起处理不同引起试验误差：试验过程中偶然性试验误差：试验过程中偶然性因素的干扰和
3、测量误差所致。因素的干扰和测量误差所致。方差：又叫均方，是标准差的平方，是表示变异的量。方差：又叫均方，是标准差的平方，是表示变异的量。在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。瘪普苞筛就罗羊傲痒伸盅袄袭各扔祁矩释割妹氯锅暴仙季裁科紫训向豌深第四章方差分析第四章方差分析方差分析的基本思想方差分析的基本思想总变异处处理理效效应应试试验验误误差差咱环芬耽梁接酣会娟燃虏聋犬绳避涉先叭姓闺顶宅彩鸿冤涅戳惧防圈赢朱第四章方差分析第四章方差分析方差分析的目的方差分析的目的确定各种原因在总变异中所占的重要程度。确定各种原因在总变异中所占的重要程度。处理效
4、应处理效应试验误差试验误差相差不大，说明试验处理对指标影响不大。相差不大，说明试验处理对指标影响不大。相差较大，即处理效应比试验误差大得多，相差较大，即处理效应比试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。说明试验处理影响是很大的，不可忽视。少务丑与祈慈菇员域阐瘁墒埠竿毡裕钞盟似摔镐拷给敏了盯病他志响嗜遗第四章方差分析第四章方差分析方差分析的用途方差分析的用途1. 1. 用于多个样本平均数的比较用于多个样本平均数的比较2. 2. 分析多个因素间的交互作用分析多个因素间的交互作用3. 3. 回归方程的假设检验回归方程的假设检验4. 4. 方差的同质性检验方差的同质性检验1. 1. 用于多
5、个样本平均数的比较用于多个样本平均数的比较2. 2. 分析多个因素间的交互作用分析多个因素间的交互作用亡郡咬面真枢遥深章稠韧泻絮专许脚附佳职奥冤喊盼莽和摧巢鹿倡裹城原第四章方差分析第四章方差分析方差是离均差平方和除以自由度的商方差是离均差平方和除以自由度的商2 (x-)2 N(x- x )2 s2 2 =n-1要把一个试验的总变异依据要把一个试验的总变异依据变异来源变异来源变异来源变异来源分为相应分为相应的变异，首先要将总平方和和总的变异，首先要将总平方和和总dfdf分解为各个变异分解为各个变异来源的的相应部分。来源的的相应部分。方差分析的方差分析的基本思想基本思想基本思想基本思想引起观测值出
6、现变异分解为处引起观测值出现变异分解为处理效应的变异和试验误差的变异。理效应的变异和试验误差的变异。冤姜阉梦筏纹豢腑峡毕绑吱卵媚润侩摇凯悄昌轴绚夯瘦侈翱棵浚倒删知医第四章方差分析第四章方差分析平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复x x1 x2 xi xk 处理间平均数的处理间平均数的差异是由处理效差异是由处理效应引起的：应引起的：处理内的变异是处理内的变异是由随机误差引起：由随机误差引起：平平方方和和(x- xi )( xi x )甥偶炸徘亥目摈斜绎畸姚佬
7、让拙顽膀幸考兔挞蹿怖薛壮撂庐絮仑皮手炒恃第四章方差分析第四章方差分析根据线性可加模型，则有：根据线性可加模型，则有：平平方方和和( xi x )(x - x )(x- xi )+(x - x )2 2 (x- xi )+( xi x )( xi x )2 (x - x )2 1 n 1 n (x- xi )2 +(x- xi )( xi x )21 n +1 n 每一个处理每一个处理n n 个观测值离均差平方和累加：个观测值离均差平方和累加：(x- xi )2 +2(x- xi )( xi x )+(xi x )2 0鞭囊乓廖垂曳专收筷雍惑宾搽弯水挣赵徊扑索秉罢贝韧精方狡赴蓉骆箱淆第四章方差分
8、析第四章方差分析( xi x )0(x- xi )21 n 平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复x x1 x2 xi xk 禁皇咸傍贷箍蚁因坊阶周圃江躯佐稻筏俯园琐锤访遏极特畔敬便跨崔婴毡第四章方差分析第四章方差分析( xi x )(x- xi )由于由于 0，则：，则： 21 n (x - x )2 ( xi x )2 (x- xi )2 n n 11+1 n ( xi x )2 (x- xi )2(x - x )2 1 n 1 k 1 n 1 k +n
9、1 k 总平方和总平方和 SST 处理内或组处理内或组内平方和内平方和 SSe处理间或组处理间或组间平方和间平方和 SSt平平方方和和把把k k 个处理的离均差平方在累加，得个处理的离均差平方在累加，得续殿宏郑巧裸链克型骨枯拯把摊玻抱饥哦臀样裳赠途罕据哑弦媳装戌畴种第四章方差分析第四章方差分析平平方方和和总平方和处理间平方和总平方和处理间平方和 + + 处理内平方和处理内平方和SST SSt + SSeSST (x - x )21 n 1 k = x2 - T2 kn(x)2 kn x2 -SST x2 -C令矫正数令矫正数C ，则：则：T2 kn榔可石汤山误威贯阂锨粉魂鼓怪栓绎爬爬燥拇障蜗熙
10、笼宅迷罢娟蹿芳援收第四章方差分析第四章方差分析平平方方和和SSt n1 k ( xi x )2 k n( - 2 + )1x xi i2 2 x xi ixx2 =n n - +nknk1 k x xi i2 2 2n 1 k xx xi ix2 = -2nk +n1 k x xi i2 2 x2 nkxnkx2 2 = -n1 k x xi i2 2 nkxnkx2 2 = -n n1 k T Ti i2 2 n2 nkT T2 2(nk)2 = T Ti i2 2 - Cn11 k x xi i=kxx xi i=T Ti in n=T Tnknkx柳角迈稳柏免谊崩崭烧蔷妖宙附傻魂汛差脾模
11、涧湃侧绽丘竭莫脂戳铃颂想第四章方差分析第四章方差分析总平方和：总平方和：SST x2 -C 处理间平方和：处理间平方和： SSt = T Ti i2 2 - Cn1处理内平方和：处理内平方和：SSe = SST - SSt平平方方和和烩逸痛硒挖秆先约畜天盂诲锅痰齐襟绘茨谢饶橙挣铀结怜造吸脏喇离谜均第四章方差分析第四章方差分析自自由由度度总自由度也可分解为处理间自由度和处理内自由度：总自由度也可分解为处理间自由度和处理内自由度：dfT = dft + dfe嚎福加糜豪烫棠央扦先佑悼咽者翼友昌芍咕旷誓湃核芝价杆硒插孵格穷侍第四章方差分析第四章方差分析自由度自由度dfT = nk-1nk-1dft
12、= k-1k-1dfe = dfT - - dft= nk-1-(k-1)=nk-k= k(n-1)平均平均T=xij TkTiT2T1总和总和xk1xk2xkjxknxi1xi2xijxinx21x22x2jx2nx11 x12 x1jx1n12jnki21处理处理重复重复x x1 x2 xi xk 链夸凸坪属拖般材迈礁鞘苇增苛匆捡抬抓哺鸡铲象纷涛杨酷缕隐鹿酗哟董第四章方差分析第四章方差分析根据各变异部分的平方和和自由度，可求得根据各变异部分的平方和和自由度，可求得处理间方差处理间方差（ st2 ）和和处理内方差处理内方差（ se2 ）：）：st2 =SStdftSSedfese2 =囚矽廷
13、嫉羌忿沈绽肤募第烤庚庆撂恶线唤嘘雾寞潮复阶纪漱笋作乃顽姥檄第四章方差分析第四章方差分析平方和平方和自由度自由度方差方差处理间处理间处理内处理内总变异总变异纯引栖徘碘淆懦逮散名斜而丝狭薄魁葵掺矫搬崭隐楚两炬雌表践而几巡粳第四章方差分析第四章方差分析统计假设的显著性检验统计假设的显著性检验 F F 检验检验检戎荡珊半敝及裔酉准誉罩涩颓茶溢渔嘶矿懂仇抗乡叁弛玖伐咕窑眨梅父第四章方差分析第四章方差分析确定各种原因（确定各种原因（处理效应处理效应处理效应处理效应、试验误差试验误差试验误差试验误差）在总变异）在总变异中所占的重要程度。中所占的重要程度。处理间处理间处理间处理间的方差（的方差（s st t2
14、 2 ）可以作为）可以作为处理效应处理效应处理效应处理效应方差的估计量方差的估计量处理内处理内处理内处理内的方差（的方差（s se e2 2 ）可以作为）可以作为试验误差试验误差试验误差试验误差差异的估计差异的估计量量处理效应处理效应试验误差试验误差方差分析的目的方差分析的目的:蘸俗米虎金袱轻萧面绞垦起拿懒债蜀僧夹播男剂傲殉瘫氦沛澡讶田搏耳渤第四章方差分析第四章方差分析二者相比，如果相差不大，说明不同处理的变异在总二者相比，如果相差不大，说明不同处理的变异在总变异中所占的位置不重要，也就是不同试验处理对结果影变异中所占的位置不重要，也就是不同试验处理对结果影响不大。响不大。如果相差较大，也就是
15、处理效应比试验误差大得多，如果相差较大，也就是处理效应比试验误差大得多，说明试验处理的变异在总变异中占有重要的位置，不同处说明试验处理的变异在总变异中占有重要的位置，不同处理对结果的影响很大，不可忽视。理对结果的影响很大，不可忽视。处理效应处理效应试验误差试验误差访克竞兴诡单玫敖矢出萨蒸减戏制矫活锻泻旋辅抹呻孕谚脉爷枪佬堤米嘛第四章方差分析第四章方差分析F检验检验 在进行不同处理差异显著性的在进行不同处理差异显著性的F F 检验时，一般是把检验时，一般是把处处处处理间方差理间方差理间方差理间方差作为分子，称为大方差，作为分子，称为大方差，误差方差误差方差误差方差误差方差作为分母，称作为分母，称
16、为小方差。为小方差。 无效假设是把各个处理的变量无效假设是把各个处理的变量假设假设假设假设来自同一总体，即来自同一总体，即处理间方差处理间方差不存在处理效应不存在处理效应不存在处理效应不存在处理效应，只有误差的影响，因而处理，只有误差的影响，因而处理间的样本方差间的样本方差t t2 2 与误差的样本方差与误差的样本方差e e2 2 相等：相等：Ho ：t2 e2HA ：t2 e2妈梧庇呐联逃礼盒旨来帐铆滚步蠢能揉闰备禄酣麻楼颜狠帽豆樱很廉么邯第四章方差分析第四章方差分析F F0.05 P0.05 处理间差异不显著处理间差异不显著F F0.05 P0.05 处理间差异显著处理间差异显著F F0.
17、01 P0.01 处理间差异极显著处理间差异极显著否定否定H Ho o否定否定H Ho o接受接受H Ho o 我们确定显著标准水平我们确定显著标准水平后，从后，从F F 值表中查出在值表中查出在dfdft t和和dfdfe e下的下的F F值值千真号洛循振揍顺蚕蓖芽吕献绕芯夕新纺椽简堕饯激灿崭猖蛾汗蓉粥惜杂第四章方差分析第四章方差分析综上所述，可归纳成方差分析表综上所述，可归纳成方差分析表(analysis of (analysis of variance table)variance table)s se e2 2k(n-1)k(n-1)SSSSe e误差或处理内误差或处理内nk-1nk-
18、1SSSST T总和总和s st t2 2k-1k-1SSSSt t处理间处理间F F均方均方自由度自由度平方和平方和变异来源变异来源F Fs st t2 2s se e2 2F检验检验紧臂沤颤繁绩灼版纽抡闺樱橱我弟唱鸯躺浊宗丢旋貌撼频靛让挥注袍旁颜第四章方差分析第四章方差分析多重比较蚀嘱匿椭印几障草蹲撤孽剔嘻刀虫必斑嵌甩荧跋噪躯又持突做族媒对切茂第四章方差分析第四章方差分析多重比较（多重比较（多重比较（多重比较（multiple comparisonsmultiple comparisons） 要明确不同处理平均数两两间差异的显著性，要明确不同处理平均数两两间差异的显著性，每个处理的平均数都
19、要与其他的处理进行比较，每个处理的平均数都要与其他的处理进行比较，这种差异显著性的检验就叫多重比较。这种差异显著性的检验就叫多重比较。统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较。统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较。概念概念多重比较多重比较帚构燥斋它梗昨搽舱笛扮千隧团恿南拌阳蛙矢熔牵帖现好盲军档窗仟持噶第四章方差分析第四章方差分析常用方法常用方法最小显著最小显著差数法差数法least significant difference LSD法法最小显著最小显著极差法极差法least significant ranges LSR法法骆暗嘲彩吁优吨戒卑涤椅丹融沃闭顶栏泣罩猫激堤茶苍旭缠拎
20、曼屈俏牢坷第四章方差分析第四章方差分析LSDLSD法的实质是两个平均数相比较的法的实质是两个平均数相比较的t t检验法。检验法。LSRLSR法克服了法克服了LSDLSD法的局限性，采用不同平均数法的局限性，采用不同平均数间用不同的显著差数标准进行比较，它可用于平均间用不同的显著差数标准进行比较，它可用于平均数间的所有相互比较。数间的所有相互比较。宛昨茁翁衰癸洁竹频尾枚儒钨奎帧孙伸偷檄剖弛鼓淋慎扮圆檀蜒狗灯诅冕第四章方差分析第四章方差分析(一一)最小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）1.检验的方法检验的方法(1)(1)先计算出达到差异显著的最小差先计算出达到差异显著的最小差 数，记为数，
21、记为LSDLSD (2)(2)用两个处理平均数的差值绝对值用两个处理平均数的差值绝对值 与与LSDLSD比较：比较：x x1 1x x2 2-酒酚宙踩示呆锥画炙侄诚词值籽桩录粗哎联止诵那贷毗帧劣泄闰荤擎我佬第四章方差分析第四章方差分析(一一)最小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）1.检验的方法检验的方法(1)(1)先计算出达到差异显著的最小差数，记为先计算出达到差异显著的最小差数，记为LSDLSD 由由t= 得得LSD0.05 =t0.05 LSD0.01 =t0.01 x x1 1x x2 2-S= 1n2se2( + )当当n1 = n2时：时：x x1 1x x2 2-S=2se
22、2 n平均数差数标准误的计算公式：平均数差数标准误的计算公式：处理内方差处理内方差t x x1 1x x2 2-Sx x1 1x x2 2-x x1 1x x2 2-Sx x1 1x x2 2-x x1 1x x2 2-Sx x1 1x x2 2-S 1n1翼吻阜笋娩抛肘浸塔渠迢埋织吴亩寞尝偶翻武甲鲍蹋迂镭茬丈销仅璃摸焦第四章方差分析第四章方差分析1.检验的方法检验的方法(2)(2)再用两个处理平均数的差值绝对值再用两个处理平均数的差值绝对值 与与LSDLSD比较：比较：x x1 1x x2 2-x x1 1x x2 2-LSD ，即即 和和 在给定的在给定的水平上差异不显著水平上差异不显著
23、x x1 1x x2 2拒绝拒绝H Ho o接受接受H Ho o(一一)最小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）x x1 1x x2 2即即 和和 在给定的在给定的水平上差异显著水平上差异显著x x1 1x x2 2-LSD ，钙您单显蛤水衣爹喊圾惰篙官占算咕龟跃涅谅闲脓屋楚蜗芯糖乘否淘葱已第四章方差分析第四章方差分析变异来源变异来源SSdfs2FF0.05F0.01品种间品种间品种内品种内103.94109.3631234.6479.1133.802 *3.495.95总变异总变异213.3015不同品种猪不同品种猪4 4个月增重量的方差分析表个月增重量的方差分析表例例=2se2 =2
24、9.113 42.1346查查t值表，当误差自由度值表，当误差自由度dfdfe e =12时，时，=2.179 2.1346=4.6513(kg)=3.056 2.1346=6.5233(kg)t0.05 2.179， t0.01 3.056nx x1 1x x2 2-SLSD0.05 =t0.05 x x1 1x x2 2-SLSD0.01 =t0.01 x x1 1x x2 2-S陕渊骂辆眺缔巩幼您某峪阮怂颠铬杭伞疗廷霹蚕请皇袱汁悲总赦唯俊碎稠第四章方差分析第四章方差分析2.结果表示方法结果表示方法(一一)最小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）梯形法标记字母法曙暗滔研雷灯巾鸥躬栓药
25、键挎赊纫航离词馈酵挥推哦均女县并兆扭邀也郁第四章方差分析第四章方差分析标记字母法标记字母法 首先将全部平均数首先将全部平均数从大到小从大到小依次排列。然后在依次排列。然后在最大最大的平均的平均数上标字母数上标字母a a，将该平均数与，将该平均数与以下各平均数以下各平均数相比，凡相比，凡相差不显相差不显著著的（的（ LSD LSD）都标上字母）都标上字母a a，直至某个与之，直至某个与之相差显著相差显著的则标的则标字母字母b b。再以。再以该标有该标有b b的平均数的平均数为标准，与各个为标准，与各个比它大比它大的平均数的平均数比较，凡差数差异不显著的在字母比较，凡差数差异不显著的在字母a a的
26、右边加标字母的右边加标字母b b。然后再。然后再以以标标b b的最大平均数的最大平均数为标准与以下未曾标有字母的平均数比较，为标准与以下未曾标有字母的平均数比较，凡差数差异不显著的继续标以字母凡差数差异不显著的继续标以字母b b，直至差异显著的平均数，直至差异显著的平均数标字母标字母c c，再与上面的平均数比较。如此重复进行，直至最小，再与上面的平均数比较。如此重复进行，直至最小的平均数有了标记字母，并与上面的平均数比较后为止。的平均数有了标记字母，并与上面的平均数比较后为止。(一一)最小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）筋仔拴讯味侠谨怜锯次芜古言阅睹全蜀层癸核颊叙冠冠柔前财掂融水肥财
27、第四章方差分析第四章方差分析标记字母法标记字母法品种品种平均数平均数差异显著性差异显著性0.050.050.010.01大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.930.927.927.925.825.824.124.1a aA A例例不同品种间不同品种间4 4个月增重量差异显著表个月增重量差异显著表abbbAABBBx xi i结果表明：结果表明：大白和沈黑增重大白和沈黑增重量差异达到了极量差异达到了极显著标准，大白显著标准，大白与沈白之间的差与沈白之间的差异达到了显著标异达到了显著标准，其他品种间准，其他品种间差异不显著。差异不显著。LSD0.05 =4.6513LSD0.01 =6.5233
28、冗讼义砸吝冻雅抖冀衔纤惫推篡惮候萌拐真误桅糖给训绿畜首劝扇翁燃靠第四章方差分析第四章方差分析标记字母法标记字母法在各平均数间，凡有一个相同标记字母的即在各平均数间，凡有一个相同标记字母的即为差异不显著，凡具不同标记字母的即为差异显为差异不显著，凡具不同标记字母的即为差异显著。著。差异极显著标记方法相同，但用大写字母标记。差异极显著标记方法相同，但用大写字母标记。(一一)最小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）烤倘敦蛔捧啼蛙彪契多计拂笑昭纸和势蚌骨豺抖介姻窿奎愉典剥搓醛赎雀第四章方差分析第四章方差分析梯形比较法梯形比较法又叫三角形法，是将各处理的平均数差数按梯形列于又叫三角形法，是将各处理
29、的平均数差数按梯形列于表中，并将这些差数和表中，并将这些差数和LSDLSD值比较：值比较：差数差数 LSD LSD0.050.05差异显著差异显著* *差数差数 LSD LSD0.010.01差异极显著差异极显著*差数差数 LSD LSD0.050.05差异不显著差异不显著(一一)最小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）啥笨痊漂呀魔踩滨腮怠涝菌郡兴宣概扫弟耀抗梨宇跟葬弯裸少穴莹兆吉津第四章方差分析第四章方差分析例例不同品种间不同品种间4 4个月增重量差异显著表个月增重量差异显著表品种品种平均数平均数差异显著性差异显著性大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.930.927.927.925.
30、825.824.124.16.8 6.8 * * *3.83.81.71.75.1 5.1 * *2.12.13.03.0x xi ix xi i-24.1-24.1x xi i-25.8-25.8x xi i-27.9-27.9LSD0.05 =4.6513LSD0.01 =6.5233结果表明：大白和沈黑增重量差异达到了极显著标准，大结果表明：大白和沈黑增重量差异达到了极显著标准，大白与沈白之间的差异达到了显著标准，其他品种间差异不显著白与沈白之间的差异达到了显著标准，其他品种间差异不显著超窿磺毙企沁室腿传泰眯廷恭侮鹅站竣桐镊揽他甸安缆揭麓抗孔咳未矢界第四章方差分析第四章方差分析LSDLS
31、D法应用的说明法应用的说明(一一)最小显著差数法（最小显著差数法（LSD法）法）1. 1. 进行进行LSDLSD检验时，这一对平均数的比较是检验时，这一对平均数的比较是检验之前检验之前已经指定已经指定的，且经的，且经F F检验证实平均数间的差异已检验证实平均数间的差异已达到达到显著显著之后，才可以进行之后，才可以进行LSDLSD检验。检验。栈恨限猿伺酪钧哎势凛藉原砂泰洞噬膳焰澡轻群摹茵溉冷乒锈赖经佰枕毕第四章方差分析第四章方差分析3. 3. LSDLSD 法适用于法适用于各处理组与对照组各处理组与对照组的比较，不适用的比较，不适用于处理组间的比较。于处理组间的比较。2. 2. LSDLSD 法
32、实质上是法实质上是t t 检验检验，但，但LSDLSD 法是利用法是利用F F 检验检验中的误差自由度中的误差自由度dfdfe e 查查t t 临界值，利用误差方差临界值，利用误差方差s se e2 2 计计算平均数差异标准误，从一定程度上缓解了算平均数差异标准误，从一定程度上缓解了t t检验过检验过程中的三个弊病，但是程中的三个弊病，但是LSDLSD法仍然存在提高犯法仍然存在提高犯错误错误的概率，所以进行的概率，所以进行LSDLSD检验必须限制其应用范围。检验必须限制其应用范围。厅欲垂吊需报各浑占噬嗜渗棕筷嘻挽耿惑止化寝沥世笆业宿蒂鸭钧淄永雕第四章方差分析第四章方差分析(二二)最小显著极差法
33、（最小显著极差法（LSR法）法）是指不同平均数间用不同的显著差数标准进行是指不同平均数间用不同的显著差数标准进行比较，可用于平均数间的所有相互比较。比较，可用于平均数间的所有相互比较。新复极差法新复极差法（New multiple rang method） SSR法法q q 检验检验（q-test）倍殉汕厌紫瑶渍狠腮沼花受二凝弘焊淖笆庙兴傀售勿艰死御蕾曲拼拜玉莱第四章方差分析第四章方差分析新复极差法（新复极差法（SSR）SSR法又称Duncan法。无效假设H0为：A A B B = 0 = 0(1)(1)按相比较的样本容量计算按相比较的样本容量计算平均数标准误平均数标准误: :当当n1 n2n
34、时时(2)(2)根据误差方差根据误差方差s se e2 2所具有自由度所具有自由度dfdfe e和比较所含平均数个数和比较所含平均数个数M M，查查SSRSSR值值（附表（附表8 8），然后算出最小显著极差值（），然后算出最小显著极差值（LSRLSR值值）。）。(3)(3)将各平均数按大小顺序排列，用各个将各平均数按大小顺序排列，用各个M M值的值的LSRLSR值，值，检验检验各平均数间极差的显著性。各平均数间极差的显著性。关闷祁俄滴都坤铱疏圾钥氧爪一习埔峭勘诀夫阀绪粱庞解脂莆击妥佬烛胞第四章方差分析第四章方差分析例例例：例： n=4，se2 =9.113， dfdfe e12查附表查附表8，
35、当，当dfdfe e 12，M2时，时，LSR0.05 1.50943.084.65LSR0.01 1.5094 4.326.52当当M M3 3，M M4 4时，按同理计算，将结果列于下表：时，按同理计算，将结果列于下表：SSR0.05 3.08，SSR0.014.32攒贴殊昼迫惋镍裸爬诈甘知匪灵尼跃柴办曝虞痰飘退理滇舟征瓮授未撼刽第四章方差分析第四章方差分析不同品种不同品种4 4个月增重量试验个月增重量试验LSRLSR值（新复极差法）值（新复极差法）M234SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.013.084.324.656.523.224.504.886.793.314.6
36、25.006.97品种品种平均数平均数大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.927.925.824.1大白与沈黑：大白与沈黑：M M4 4，极差，极差6.86.85.005.00大白与沈白：大白与沈白：M M3 3，极差，极差5.15.14.884.88大白与沈花：大白与沈花：M M2 2，极差，极差3.03.04.654.65M = M = 相隔数相隔数 + 2 + 2氖线辙爹陆魁宇惧槽深碳楷骋蝶朽垦总杉舒油疲盾崎邱梗盾魄兜厕破谋搓第四章方差分析第四章方差分析品种品种平均数平均数差异显著性差异显著性0.050.01大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.927.925.824.1aabbbAA
37、AA结论：猪的结论：猪的4 4个品种中只有大白与沈黑，大白与沈白个品种中只有大白与沈黑，大白与沈白4 4个月增重量差异达到显著，其他品种间差异不显著。个月增重量差异达到显著，其他品种间差异不显著。猪品种间猪品种间4 4个月增重量差异显著性比较表（新复极差法）个月增重量差异显著性比较表（新复极差法）择暗阀簿捅横寸强栈屉溺种们埂段置阅题蚊时逐幽迪辰掣路驴喊邮涕薛蹈第四章方差分析第四章方差分析也称也称Newman-keulsNewman-keuls检验，方法与新复极差法相检验，方法与新复极差法相似，其区别仅在于计算最小显著极差似，其区别仅在于计算最小显著极差LSRLSR时不是查时不是查SSRSSR，
38、而是查，而是查q q值（附表值（附表9 9）还对上例作还对上例作q q检验检验：1.5094,查查q值表，值表，dfe12,M=2时时q0.05 3. 08， q0.014.32。同理可查。同理可查M3，M=4时的时的q值，算出最小显著极差值，算出最小显著极差LSR。q-检验法检验法铬湘斌浦扔燕邑痢践狰颁宰丛芯婶锦梯斗搪撼缩萨秘冀颁卖荡剐壮上卜凿第四章方差分析第四章方差分析q-检验检验M234q0.05q0.01LSR0.05LSR0.013.084.324.656.523.775.045.697.614.205.506.348.30不同品种不同品种4个月增重量试验个月增重量试验LSR值（值（
39、q检验）检验）品种品种平均数平均数大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.930.927.927.925.825.824.124.1大白与沈黑：大白与沈黑：M M4 4，极差，极差6.86.86.346.34大白与沈白：大白与沈白：M M3 3，极差，极差5.15.15.695.69大白与沈花：大白与沈花：M M2 2，极差，极差3.03.04.654.65辐执敛畸隋弓滁骋寡圾了涡擂剐烷凳瞩椭全绎老钙知溃椽赫正荤短祥蛛棍第四章方差分析第四章方差分析( (二二) )最小显著极差法（最小显著极差法（LSR法）法）不同品种间不同品种间4个月增重量差异显著性比较表（新复极差法）个月增重量差异显著性比较表
40、（新复极差法）品种品种平均数平均数差异显著性差异显著性0.050.01大白大白沈花沈花沈白沈白沈黑沈黑30.927.925.824.1aababbAAAA结论：猪的结论：猪的4 4个品种中只有大白与沈黑个品种中只有大白与沈黑4 4个月增重量个月增重量差异达到显著，其他品种间差异不显著。差异达到显著，其他品种间差异不显著。入冻寡荧商涅鼓啪沟扣弥凝三腊缉盂杭媳盏馅腐酝铝年瘴佩磊坤话枪虫显第四章方差分析第四章方差分析LSD0.05 =4.6513LSD0.01 =6.5233LSDLSD法法法法M234q0.05q0.01LSR0.05LSR0.013.084.324.656.523.775.045
41、.697.614.205.506.348.30M234SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.013.084.324.656.523.224.504.886.793.314.625.006.97新复极差法新复极差法新复极差法新复极差法q q检验检验检验检验当样本数当样本数k=2k=2时，时，LSDLSD法、法、LSRLSR法和法和q q检验法的显著性尺度是相同的。检验法的显著性尺度是相同的。当当M3M3时，三种检验的显著尺度便不相同。时，三种检验的显著尺度便不相同。囚所敲荆灵懒桑暮萝癸飘皋隅雨裳奶久幼收分葱卉法抗示咸柠兹剩差米亏第四章方差分析第四章方差分析因此，在实际计算中：因此，
42、在实际计算中：对于精度要求高的试验对于精度要求高的试验q检验法检验法一般试验一般试验SSR检验法检验法试验中各个处理均数皆与对照相比的试验试验中各个处理均数皆与对照相比的试验LSD检验法检验法胡坠爹撒吝苔沿蚂聚蠢庭制克攒妹秤茨径超翠梭憋瑚签坪埋娄返自俞秉困第四章方差分析第四章方差分析（1 1）将样本数据的）将样本数据的总平方和总平方和与与总自由度总自由度分解为各变分解为各变异因素的平方和与自由度；异因素的平方和与自由度；（2 2）列方差分析表进行）列方差分析表进行F F检验检验，以弄清各变异因素，以弄清各变异因素在总变异中的重要程度；在总变异中的重要程度；（3 3）对各处理平均数进行）对各处理
43、平均数进行多重比较多重比较。潜胀付谭们绅艾低翌驳远肠矾寡股虽曼酣肢依贫茎谅阁寥训猿堵臭沪安唉第四章方差分析第四章方差分析第二节第二节单因素方差分析单因素方差分析吵共特为察慨昨碰手嘱妹猛陌咙悦篡焊蛹吱命楼薯桩屁泌蛀趋插嚏嗽蛾封第四章方差分析第四章方差分析单因素方差分析单因素方差分析在试验中所考虑的因素只有一个时，称为单因在试验中所考虑的因素只有一个时，称为单因素实验。素实验。 单因素方差分析是最简单的一种，它适用于只单因素方差分析是最简单的一种，它适用于只研究一个试验因素的资料，目的在于正确判断该试研究一个试验因素的资料，目的在于正确判断该试验因素各处理的相对效果（各水平的优劣）验因素各处理的相
44、对效果（各水平的优劣）. .髓渔案肿除潦锑昧攘眉慨崩繁浅盔朽饮炊豁捕势屹密挨豪枕货荚逃骑疏矾第四章方差分析第四章方差分析单因素方差分析单因素方差分析组组内内观观测测数数目目的的不不同同组内观测次数相等方差分析组内观测次数不相等的方差分析堕擎坪搽汉绳皇以翟咋剥窥手逆憾契搞零奔漫寒牛航夯恕爽鞋侗寇猖慰扭第四章方差分析第四章方差分析组内观测次数相等的方差分析组内观测次数相等的方差分析 是指在是指在k k组处理中，每一处理皆含有组处理中，每一处理皆含有n n个观测值，其方个观测值，其方差分析方法前面已做介绍，这里以方差分析表的形式给出差分析方法前面已做介绍，这里以方差分析表的形式给出有关计算公式：有关
45、计算公式：s se e2 2k(n-1)k(n-1)SSSSe e误差或处理内误差或处理内nk-1nk-1SSSST T总和总和s st t2 2k-1k-1SSSSt t处理间处理间F F均方均方自由度自由度平方和平方和变异来源变异来源F Fs st t2 2s se e2 2替现隘鸟铲旭旅寺欢补湃博聘角肝锅认加拟阂娘搀技挞咒搜汉募梳扮雪韶第四章方差分析第四章方差分析测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵州测定东北、内蒙古、河北、安徽、贵州5 5个地区黄鼬冬个地区黄鼬冬季针毛的长度，每个地区随机抽取季针毛的长度，每个地区随机抽取4 4个样本，测定的结果如个样本，测定的结果如表，试比较各地区黄鼬针毛
46、长度差异显著性。表，试比较各地区黄鼬针毛长度差异显著性。地区地区东北东北内蒙古内蒙古河北河北安徽安徽贵州贵州合计合计1 132.032.029.229.225.225.223.323.322.322.32 232.832.827.427.426.126.125.125.122.522.53 331.231.226.326.325.825.825.125.122.922.94 430.430.426.726.726.726.725.525.523.723.7126.4126.4109.6109.6104.1104.199.099.091.491.4530.5530.531.6031.6027.4
47、027.4026.0326.0324.7524.7522.8522.8526.5326.533997.443997.443007.993007.992709.982709.982453.162453.162089.642089.6414258.2114258.21在这里，在这里，k=5k=5，n=4n=4。舔胡伯奄钟毋境瞎啪滦箱柿注绎艘饲诽端遍猪营棋碾蕴早秆僧旋个芝箕陨第四章方差分析第四章方差分析（1 1）首先计算出，及，并列于表中。）首先计算出，及，并列于表中。（2 2）计算出离均差平方和与自由度：）计算出离均差平方和与自由度：蚜啮翱歌捷柔儿汛称争急膝什弓绪鹏番影孩磷潘洱沫压茬煮颤颠仆猴敞稚
48、第四章方差分析第四章方差分析186.7-173.7112.99201195(41)15（3 3）计算方差：）计算方差：514存茫策炸至礼办乓君拨洲卸壮入乌盟面谊伸非畜凿苹疏真锚棒滤怨瘪伯剂第四章方差分析第四章方差分析（4 4）进行）进行F F 检验：检验：查查F F 值表，得值表，得F F0.05 (4,15) 0.05 (4,15) 3.063.06， F F0.01 (4,15) 0.01 (4,15) 4.894.89，故，故F FF F0.01 0.01 ，P 0.01P LSDLSD0.010.01，说明两地间差异极显著，标说明两地间差异极显著，标以不同的大写字母；以不同的大写字母；
49、LSDLSD0.010.01 各组间差数各组间差数 LSDLSD0.05 0.05 ，说明两地间差异显著，说明两地间差异显著，标以不同的小写字母；标以不同的小写字母；啤奶领麦家鸽波决乔抗扒甜干粗莱炎归着半奥尊蔗继鞋逐熔潮犬贿孩琐芦第四章方差分析第四章方差分析地区地区平均数平均数差异显著性差异显著性0.050.050.010.01东北东北内蒙古内蒙古河北河北安徽安徽贵州贵州31.6031.6027.4027.4026.0326.0324.7524.7522.8522.85a ab bbcbcc cd dA AB BBCBCCDCDD D结果表明，东北与其它地区，内蒙古与安徽、贵州，结果表明，东北
50、与其它地区，内蒙古与安徽、贵州，河北与贵州黄鼬冬季针毛长度差异均达到极显著水平，河北与贵州黄鼬冬季针毛长度差异均达到极显著水平，安徽与贵州差异达到显著水平，而内蒙古与河北、河北安徽与贵州差异达到显著水平，而内蒙古与河北、河北与安徽差异不显著。与安徽差异不显著。僳苹锄与坤画拢沛叁窃堑忙娥绰琵失李扳杂阿猪弗游屎笛泪槛奶敌锤延喝第四章方差分析第四章方差分析根据组内观测次数目不同根据组内观测次数目不同组内观测次数相组内观测次数相等的方差分析等的方差分析组内观测次数不组内观测次数不相等的方差分析相等的方差分析镜梯憋学肿情浊多佛福屈蜗荚牌篱啡旗肃希菇柿体芥裸剿猖降哑麓轿皇沙第四章方差分析第四章方差分析 有
51、时由于试验条件的限制，不同处理的观测次数不同，有时由于试验条件的限制，不同处理的观测次数不同，k k个处理的观测次数依次是个处理的观测次数依次是n n1 1 、n n2 2 、n nk k的单因素分组资料，的单因素分组资料，前面介绍的方差分析方法仍然可用，但由于总观测次数不是前面介绍的方差分析方法仍然可用，但由于总观测次数不是nknk，而是，而是 次，在计算平方和时公式稍有改变。次，在计算平方和时公式稍有改变。组内观测次数不相等的方差分析组内观测次数不相等的方差分析se2ni-1 SSe误差或处理内误差或处理内SST总和总和st2k-1处理间处理间F方差方差自由度自由度平方和平方和变异来源变异
52、来源Fst2se2ni-k 腊赋蜗盈撒径海吨仇颤滩忱只钢髓暗艘桨殴诛器咳亿瞪遍克苦玫搀雇豢嘛第四章方差分析第四章方差分析在作多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由在作多重比较时，首先应计算平均数的标准误。由于各组内观测次数不等，因此应需先算得各于各组内观测次数不等，因此应需先算得各n ni i的平均数的平均数n n0 0 ：各个处理的样本容量用于LSR检验用于LSD检验迎沛烃鳖臃狸相昧惦镊局癣豹侈巴哦抡腻财庭椭飘恒疗吏较性驴谎藤耘星第四章方差分析第四章方差分析用某种小麦种子进行切胚乳试验，实验分为三种处理：用某种小麦种子进行切胚乳试验，实验分为三种处理：整粒小麦（整粒小麦（I I），切去一半
53、胚乳（），切去一半胚乳（IIII），切去全部胚乳），切去全部胚乳（IIIIII），同期播种与条件较一致的花盆内，出苗后每盆选），同期播种与条件较一致的花盆内，出苗后每盆选留两株，成熟后进行单株考种，每株粒重结果如表，试进留两株，成熟后进行单株考种，每株粒重结果如表，试进行方差分析。行方差分析。处理处理株号株号合计合计平均数平均数12345678910III21202429252224252822232525292130312627242626 20 2120424414625.524.424.3小麦切胚乳试验单株粒重（小麦切胚乳试验单株粒重（g g）瞬蕉剁绘蔡冯般慰殊弓郸栗吵猎谁德萎搂敬罐蓉亮
54、距钾闻沾颠很紊蝶煎兵第四章方差分析第四章方差分析处理处理株号株号合计合计平均数平均数12345678910III21202429252224252822232525292130312627242626 20 2120424414625.524.424.3小麦切胚乳试验单株粒重（小麦切胚乳试验单株粒重（g）n1 8， n2 10， n3 6，N24(1)平方和的计平方和的计算算碱瘪衡账沦恼权湃茵暇根釜禹践澈紧畔霸商涧镣陀朵搬愉惩真团萨浊俊坎第四章方差分析第四章方差分析SST x2 C= 212 + 292 + 262 -C=230.5SSe SST - SSt 230.5-6.8223.7(2)
55、自由度的计自由度的计算算痕艾昌先匿义丰瞻汹泵否朱诬珍悯松痴阂挑肾锗值摇辐组砷症扒舜旧拨折第四章方差分析第四章方差分析(3)列方差分析列方差分析表表变异来源变异来源SSdfs2F处理间处理间处理内处理内6.8233.72213.410.70.318总变异总变异230.523由表中结果可知，由表中结果可知，F F1 1，表明三种处理的每株粒重无，表明三种处理的每株粒重无显著差异。显著差异。鄙绍廊脉赚佬藻砧痢瓦乎猫篷蚁懦音屠渡菊闹句项切涅贺抓蓟井终痴汽侩第四章方差分析第四章方差分析 由于由于F检验不显著，不需要再作多重比较。如果检验不显著，不需要再作多重比较。如果F检验检验显著，则需要进一步计算显著
56、，则需要进一步计算n0 ，并求得，并求得 （用于（用于LSR检验）检验）或或 （用于（用于LSD检验），即检验），即x xSx x1 1x x2 2-S挥握菩荔帽加崔盲仅锅胳扑祝渺满芭浸纽旺块帆飘诸苯偿皋退俏志且辟烙第四章方差分析第四章方差分析 需要指出的是，不等观测次需要指出的是，不等观测次数的试验要尽量避免，因为这样数的试验要尽量避免，因为这样的试验数据不仅计算麻烦，而且的试验数据不仅计算麻烦，而且也降低了分析的灵敏度。也降低了分析的灵敏度。饿脯慈寂盘酮谷茂氨糖土鼠困橙抉唾刷枝撒愤皖祷涛乖焉鸟印蓄嚎胎紧边第四章方差分析第四章方差分析在实际工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况在实际
57、工作中经常会遇到两种因素共同影响试验结果的情况每一观测值都是某一特定温度与光照条件共同作用的结果。每一观测值都是某一特定温度与光照条件共同作用的结果。温度光照B1B2BcA1A1 B1A1B2A1 BcA2A2 B1A2B2A2 BcArAr B1ArB2Ar Bc坍赖寥弄枝术改而延区紧提府屑腐今咸浦尝慈尤宇仅润蛾胳吉斤龄敖雀灶第四章方差分析第四章方差分析第三节第三节 无重复观测值无重复观测值 的二因素方差分析的二因素方差分析晚磋胸异涟摈棒窘砒等找柒靛德办休摩匆叙仓郧井睬延俱吾赐映呵嫂料宪第四章方差分析第四章方差分析定义定义：是指对：是指对试验指标试验指标同时受到两个试验同时受到两个试验因素因
58、素作用的试验资料的方差分析。作用的试验资料的方差分析。二因素都是固定因素二因素都是固定因素二因素均为随机因素二因素均为随机因素固定模型固定模型随机模型随机模型混合模型混合模型一个因素是固定因素，一个因素是固定因素，一个因素是随机因素一个因素是随机因素二因素方差分析二因素方差分析三种模型在计算上类似，但在对待检验及结果解释时有三种模型在计算上类似，但在对待检验及结果解释时有所不同所不同。厘竖胖吭苹父眨漆柏满照镑篡高黍九墒走曙抹故输剥梧吾抗莎恶嚏痒句逾第四章方差分析第四章方差分析主效应和互作主效应和互作主效应主效应（main effectmain effect）：各试验因素的相对独立作用各试验因素
59、的相对独立作用互作互作（interactioninteraction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。九砾项免艺醚肚慑再谆爆扭鄂号更瞪孺梧棒斡甫性琢别硝凤眯歉颐昔篇悯第四章方差分析第四章方差分析因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。有时也可根据专业知识判断。如果交互作用如果交互作用显著显著，则各因素的效应就，则各因素的效应就不能累加不能累加，最优，最优处理组合
60、的选定应根据处理组合的选定应根据各处理组合的直接表现选定各处理组合的直接表现选定。有时交。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。互作用相当大，甚至可以忽略主效应。如果交互作用如果交互作用不显著不显著，则各因素的效应可以，则各因素的效应可以累加累加，各因，各因素的素的最优水平组合起来最优水平组合起来，即为最优的处理组合。，即为最优的处理组合。璃匀生挞姨除箭察疑染霞斋兑休打肢趋傣论割钒祝蕾阵稽碍冒串店韩胆札第四章方差分析第四章方差分析依据经验或专业知识，判断二因素无交依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定假定A A因素有
61、因素有a a个水平，个水平，B B因素有因素有b b个水平，每个水平，每个处理组合只有一个观测值。个处理组合只有一个观测值。无重复观测值的二因素方差分析无重复观测值的二因素方差分析名琅爷椒鸽帝荐嗽蛆江佯扇悬相京拴骸盘氛爱呻遭拔讯充懦烷递烬酋巨迎第四章方差分析第四章方差分析因素因素A A因素因素B B总和总和T Ti i. .平均数平均数B B1 1B B2 2B Bb bA A1 1x x1111x x1212x x1b1bT T1 1. .A A2 2x x2121x x2222x x2b2bT T2 2. .A Aa ax xa1a1x xa2a2x xababT Ta a. .总和总和T
62、.T.j jT.T.1 1T.T.2 2T.T.b bT T平均数平均数无重复观测值的二因素分组资料模式无重复观测值的二因素分组资料模式触炯痉荆猿忙狰烤凑禽莆酵郁吹脂淆躁屈丛荫鞠辉户唐呛雾捕欺条劳串察第四章方差分析第四章方差分析二因素方差分析的线性模型二因素方差分析的线性模型因素间不存在交互作用，所以二因素方差因素间不存在交互作用，所以二因素方差分析观测值的线性模型是分析观测值的线性模型是xij = +i +j +iji 和j 是A因素和B因素的效应，可以是固定的，也可以是随机的，且，ij是随机误差，彼此独立且服从N(0，2)。i=1,2,a; j=1,2, ,b佬弹缴钢随户胳缝跺摄钧葬耕旱的
63、偷镣甸罩帛渤纯障栗粟寂穆滤翘漳洱量第四章方差分析第四章方差分析（1 1）平方和的分解为：）平方和的分解为：爪慑噬于释莎沿弯琶难擦台搬诽舌拽坞襟裔构外胎碳叁潭央馒馆菊听呵座第四章方差分析第四章方差分析（2 2）与平方和相应的自由度的分解为）与平方和相应的自由度的分解为轮昆候荫蹈文蛇惧巢推殉阮裴慕追翱啼漂诱婉军蚀厄搬庚鸳首逗肿闹皆芋第四章方差分析第四章方差分析（4 4）F F值的计算：值的计算：（3 3）各项的方差分别为）各项的方差分别为顾述炒蜒留彬牌枢曙逮靳尸萍肪舶念畴帚斧渠蹬汝萍驼燥孕留偶嫌届把禄第四章方差分析第四章方差分析将一种生长激素配成将一种生长激素配成M M1 1，M M2 2，M M
64、3 3，M M4 4，M M5 5五种浓度，并用五种浓度，并用H H1 1，H H2 2，H H3 3三种时间浸渍某大豆品种的种子，出苗三种时间浸渍某大豆品种的种子，出苗4545天后的各处理每以植天后的各处理每以植株的平均干物重（株的平均干物重（g g）（下表）。试作方差分析与多重比较。）（下表）。试作方差分析与多重比较。浓度浓度 （A A）时间（时间（B B）T Ti iH H1 1H H2 2H H3 3M M1 1131314141414414113.6713.67M M2 2121212121313373712.3312.33M M3 33 33 33 39 93.003.00M M4
65、 410109 9101029299.679.67M M5 52 25 54 411113.673.67T.T.j j4040434344441271278.08.08.68.68.88.88.478.47激素处理对大豆干物重的影响激素处理对大豆干物重的影响激素浓度和时间均为固定因素，适应于固定模型激素浓度和时间均为固定因素，适应于固定模型。砍午聋抡公邀俭坪欺赖骸砍亨赃坞棕粤柯宁碟玖豪敝嘱吱号锤澳兄苗膘纤第四章方差分析第四章方差分析（1 1）平均和的计算：）平均和的计算：档秉玫驼盟姻庭垛獭蒜咆倪舰批呐哉祈疙毗羚解赃开设离堡椽栽棠侍穗豹第四章方差分析第四章方差分析（2 2）自由度的计算）自由度的
66、计算（3 3）列出方差分析表，进行）列出方差分析表，进行F F 检验检验偶决蚜躲迄攫损旱鹃配襟撂赞疮近灿呻氮玩鸳攘卤艇因瓷出嚎无氧安耿举第四章方差分析第四章方差分析变异来源变异来源dfdfSSSSs s2 2F FF F0.050.05F F0.010.01浓度间浓度间4 4289.06289.0672.2772.27116.56116.56*3.843.847.017.01时间间时间间误差误差2 28 81.731.734.944.940.870.870.620.621.401.404.464.468.658.65总变异总变异1414295.73295.73F F 检验结果表明，浓度间的检验
67、结果表明，浓度间的F F 值大于值大于F F0.010.01，时间间的，时间间的F F值未达到显著水平，表明不同激素浓度对大豆干物重有极值未达到显著水平，表明不同激素浓度对大豆干物重有极显著差异。显著差异。（4 4）进行多重比较（用）进行多重比较（用SSRSSR检验）：由于只有浓度间的效检验）：由于只有浓度间的效应达到了极显著差异，时间间的效应未达到显著水平，只应达到了极显著差异，时间间的效应未达到显著水平，只需对需对5 5种浸渍浓度进行多重比较，可计算出浓度间的平均种浸渍浓度进行多重比较，可计算出浓度间的平均数标准误均为数标准误均为绎肤贪密彝楚篮田戏宾影嚎蔽吼湾奄醉荐狱儿炙碴归怪繁俊炙题乞业
68、攒袁第四章方差分析第四章方差分析b=3b=3是每一浓度的观测值数目，如果要比较时间间的是每一浓度的观测值数目，如果要比较时间间的效应，由于每一时间有效应，由于每一时间有a=5a=5个观测值，其平均数的标准误个观测值，其平均数的标准误应为应为上罢猪诸勃稚次掣贯试筋梢第健殆笨砒垫吾让钢镇没千馅状致项椅烂满态第四章方差分析第四章方差分析M2345SSR0.053.263.403.483.52SSR0.014.754.945.065.14LSR0.051.481.551.581.60LSR0.012.162.252.302.34不同浓度大豆干物重多重比较不同浓度大豆干物重多重比较SSRSSR和和LSR
69、LSR值值查查SSRSSR值表，当值表，当dfdfe e=8=8，M=2M=2，3 3，4 4，5 5时的时的SSRSSR值及值及由此计算的由此计算的LSRLSR值列于下表值列于下表草硬韭谜辰疥娱彬被瓜诸颈毒雍悍雍异橡科倘辞颠炳诈猎讲痰陡讳堡玫火第四章方差分析第四章方差分析多重比较结果表明：多重比较结果表明：5 5种生长激素浓度对大豆干物重的种生长激素浓度对大豆干物重的影响有着极显著的差异，除影响有着极显著的差异，除M M1 1与与M M2 2，M M5 5与与M M3 3之外差异不显著外，之外差异不显著外，其它浓度之间的大豆干物重均达到极显著差异。其它浓度之间的大豆干物重均达到极显著差异。5
70、 5种激素浓种激素浓度中，以度中，以M M1 1和和M M2 2的处理效果较好。的处理效果较好。浓度浓度平均数平均数差异显著性差异显著性0.050.050.010.01M M1 1M M2 2M M3 3M M4 4M M5 513.6713.6712.3312.339.679.673.673.673.003.00a aa ab bc cc cA AA AB BC CC C捆炸殖密旗驹酸弹侩彦鱼栖试七距挣椿狐拆锤层撒奄瀑乞梳空浙募寥深呼第四章方差分析第四章方差分析无重复观测值的二因素方差分析，所估计的误无重复观测值的二因素方差分析，所估计的误差实际上是这两个因素的差实际上是这两个因素的相互作用
71、相互作用，这是在两个因，这是在两个因素素不存在不存在互作，或互作很小的情况下进行估计的。互作，或互作很小的情况下进行估计的。但是，如果但是，如果存在存在两个因素的互作，方差分析中两个因素的互作，方差分析中就不能用互作来估计误差，必须在就不能用互作来估计误差，必须在有重复观测值有重复观测值的的情况下对试验误差进行估计。情况下对试验误差进行估计。彝燎帘秤俗什齿膝做承肮恼皆麻泪确洛泵矾镀犀绊予锐呐玲顽屹烛掺叹逮第四章方差分析第四章方差分析第四节第四节 有重复观测值有重复观测值 的二因素方差分析的二因素方差分析拦抡太谊藉有篙涂况蚜提唬学硫栅貉懂位冰井瓤济机菜况潜侵厘浊誊她医第四章方差分析第四章方差分析
72、具有重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素方差分析具有重复观测值的二因素试验的具有重复观测值的二因素试验的典型设计典型设计是：是：假定假定A因素有因素有a水平，水平，B因素有因素有b水平，则每一次重水平，则每一次重复都包括复都包括ab次实验，设试验次实验，设试验重复重复n次次，资料模式在，资料模式在P112。浊吐侨绎镶条衡首遮海滚拟沂澜澈送啊烟肮憨内婴丙焦赶知报艇栅茂爸脱第四章方差分析第四章方差分析二因素具有重复观测值的方差分析用下面二因素具有重复观测值的方差分析用下面线性模型线性模型来描述：来描述：xijk = +i + j+()ij +ijkA A因素第因素第i i 水水平，平，
73、B B因素第因素第j j水平和第水平和第k k次次重复的观测值重复的观测值总平均值总平均值A A因素第因素第i i水水平的效应平的效应B B因素第因素第j j水水平的效应平的效应i i 和和 j j的交互作用的交互作用随机误差随机误差模型中模型中ijk彼此独立且服从标准正态分布（彼此独立且服从标准正态分布（ 0 ,2）肮痈页凄颈妮疤术疮池甲厉鸿琵溪锄夷遍博俊栈万篇餐咀柴炉干腰撰首痈第四章方差分析第四章方差分析因试验共有因试验共有n n次重复，试验的总次数为次重复，试验的总次数为abnabn次。方差分析次。方差分析步骤和前面介绍的相类似，唯一不同的是步骤和前面介绍的相类似，唯一不同的是F F检验
74、的方法。检验的方法。（1 1）平方和的分解为：）平方和的分解为：A处理的样本容量痴陷刘癣惟嗓颜警抬瘸捕勉顿摘澈久啃微角碧韦衬陌呛蕊镭肘夫钵骂皱韵第四章方差分析第四章方差分析B处理的样本容量A处理、B处理和AB互作的平方和试验重复数突世侠鸭隘立但发斑煤诣泪荐崭盏茫促啥墓没撰旗罕望铀薪罐升狱斌雷届第四章方差分析第四章方差分析（3 3）各项的方差分别为）各项的方差分别为（2 2）自由度的分解为）自由度的分解为嗜砸曼逆洞烘焚连饵鞠砍咸洲接冠尤舞碉淮闽炸矗旷虾捧倘格浪缮祈塞恼第四章方差分析第四章方差分析（4 4）F F检验：检验：（）随机模型：对于随机模型，（）随机模型：对于随机模型， i i、j j、
75、()()ijij 和和ijkijk是相互独立的随机变量，都遵从正态分布。在是相互独立的随机变量，都遵从正态分布。在F F检验时，先检验检验时，先检验ABAB是否显著：是否显著：（a）固定模型：在固定模型中，）固定模型：在固定模型中， i i ，j j及及()()ijij 均为固定效应。在均为固定效应。在F F检验时，检验时，A A因素、因素、B B因素和因素和ABAB互作项互作项均以均以S Se e2 2作为分母。作为分母。今秩仑寅锰啪宠肠咬拙铀各锯葛舌积普擞漳喧辫甄吉矿拘赵直鼠丧茶俊柬第四章方差分析第四章方差分析检验检验A A、B B时，有：时，有：（）混合模型（以（）混合模型（以A A为固
76、定因素，为随机因素为例）为固定因素，为随机因素为例）：在混合模型中，：在混合模型中， A A和和B B的效应为非可加性，的效应为非可加性，i i 为固为固定效应，定效应，j j及及()()ijij 为为随机效应随机效应。对。对A A作检验时同作检验时同随机模型，对随机模型，对B B和和ABAB作检验时同作检验时同固定模型固定模型，即：，即：在实际应用中，固定模型应用最多，随机模型和混在实际应用中，固定模型应用最多，随机模型和混合模型相对较少。合模型相对较少。氛脱苍次亥划奶雀伎卯玩捌禹郁鸡皮连歧抉徐刻祸友静另力陌呈帕确识凡第四章方差分析第四章方差分析为了研究某种昆虫滞育期长短与环境的关系，在给定
77、的温度和光照为了研究某种昆虫滞育期长短与环境的关系，在给定的温度和光照条件下在实验室培养，每一处理记录条件下在实验室培养，每一处理记录4 4只昆虫的滞育天数，结果列于表中，只昆虫的滞育天数，结果列于表中，是对该材料进行方差分析。是对该材料进行方差分析。光照（光照（A）温度（温度（B）250C300C350C5hd-1143138120107101100808389931017610hd-1961037891796183598076616715hd-1798396986071786467587183不同温度及光照条件下某种昆虫滞育天数不同温度及光照条件下某种昆虫滞育天数梅饲羽犹尼魏联哪裸孪认暮杯
78、浮怪弹华垒喧回札棚李浊逊消厢掐腿捐婶根第四章方差分析第四章方差分析由于温度和光照条件都是人为控制的，为固定因素，可依固定因素分析。由于温度和光照条件都是人为控制的，为固定因素，可依固定因素分析。将表中数字均减去将表中数字均减去80，整理得下表，整理得下表光照（）光照（）标本号标本号温度（温度（B）250C300C350C5hd-1123463584027212003913214271188443910hd-1123416232111193210419132648383615hd-11234131618209216132293523647412724138193刨拙笋蒲礼禽粥掖店二喜矩派郧埔症钨
79、豁艳锡斯坯带饱瓢神偷堵古细债蒸第四章方差分析第四章方差分析（1 1）平方和的分解为：）平方和的分解为：诱勇喀就北家伤泌矿亚荧辉六鞘倚灿歼痹贬市席姓攒剃圆姚挥诅豪允馒纫第四章方差分析第四章方差分析（2 2）自由度的分解为）自由度的分解为撮更六沏噶如诲伸胳培绳龟朔轰蔚瘪偶镰伶钧券漾苑脑双膏岿蝇湃疾蜀正第四章方差分析第四章方差分析结果列入方差分析表结果列入方差分析表艰庚恍疚伦参导疑湾斑奥沦谰娶涟昏格莎毖撼湾疙悠锥膨六押做毁屈勇被第四章方差分析第四章方差分析变异来源变异来源dfdfSSSSs s2 2F FF F0.050.05F F0.010.01光照间光照间2 25367.065367.06268
80、3.532683.5321.94*3.353.35 5.495.49温度间温度间2 25391.065391.062695.532695.5322.0322.03*3.353.35 5.495.49光照光照温度温度误差误差4 42727464.94464.943303.253303.25116.24116.24122.34122.340.950.952.732.73 4.114.11总变异总变异3535295.73295.73F F 检验结果表明，光照间和温度间的检验结果表明，光照间和温度间的F F 值大于值大于F F0.010.01，它们的差异极显著，即昆虫滞育期长短主要决定于它们的差异极显
81、著，即昆虫滞育期长短主要决定于光照光照和和温度温度，而与两者之间的，而与两者之间的互作关系不大互作关系不大。某昆虫滞育天数方差分析表某昆虫滞育天数方差分析表患夯输康骂蘸递汀铰轮塘争舆疑栈寄锁抛碘秋露垄姐艳抑捎游迄究俐饮徊第四章方差分析第四章方差分析要了解各种要了解各种光照光照时间及时间及温度温度对滞育期的影响，需进行对滞育期的影响，需进行不同光照间及不同温度间的多重比较，其方法可参照前面不同光照间及不同温度间的多重比较，其方法可参照前面例子进行，但平均数标准误的计算为：光照（例子进行，但平均数标准误的计算为：光照（A A）间平均）间平均数标准误，温度（数标准误，温度（B B）间平均数标准误）间
82、平均数标准误A处理的样本容量B处理的样本容量脑浅串臆诬澄遇潜汛泼设贸矩疙回淄栈秒窜佩挞喂卡菜投掇厉歧财延驭奖第四章方差分析第四章方差分析在啤酒生产中，为了研究烘烤方式（在啤酒生产中，为了研究烘烤方式（A A）与大麦水分）与大麦水分（B B）对糖化时间的影响，选了两种烘烤方式，）对糖化时间的影响，选了两种烘烤方式，4 4种水分共种水分共8 8种处理，每一处理重复三次，结果如下表。种处理，每一处理重复三次，结果如下表。烘烤方式烘烤方式(A)水分水分(B)B1B2B3B4A112.09.516.018.013.010.015.519.014.512.514.017.0A25.013.017.515.
83、06.514.018.516.05.515.016.017.5大麦水分是不均匀的，又不易控制，所以因素大麦水分是不均匀的，又不易控制，所以因素B B是随机的，它的是随机的，它的效应也是随机的，因此本题是一个混合模型的方差分析。效应也是随机的，因此本题是一个混合模型的方差分析。将上表中各观测值都减去将上表中各观测值都减去1010，计算后得，计算后得守刨漓泊曙售岸谢砰厂量储替弯稀休俗汝盘摈耳子壶宛窃隘止屠靡余沉肋第四章方差分析第四章方差分析烘烤方烘烤方式式（A A）标本标本号号水分（水分（B B）B B1 1B B2 2B B3 3B B4 4A A1 11 12.02.0-5.0-5.06.06
84、.08.08.051.051.02 23.03.00.00.05.55.59.09.03 34.54.52.52.54.04.07.07.09.59.52.02.015.515.524.024.0A A2 21 1-5.0-5.03.03.07.57.55.05.039.539.52 2-3.5-3.54.04.08.58.56.06.03 3-4.5-4.55.05.06.06.07.57.5-13.0-13.012.012.022.022.018.518.5-3.5-3.5141437.537.542.542.5 90.5 90.5阿丈龋围桶韵揭坞罪捣综嗜押弧锹杨啪鸥捉冈嚣理靖做唯顺赴嗣窖
85、锹顽门第四章方差分析第四章方差分析（1 1）平方和的分解为：）平方和的分解为：绩证淄朽守力跪藏豢瓜宿让杀酝万啸拢煤机坠弧炮疼赐漫睬宁踢仑漓抢贞第四章方差分析第四章方差分析（2 2）自由度的分解为）自由度的分解为吓鹊倦焕禁高储散彩版衅盘硷秀疟所茬欣磅催替舱悉剖张彤汲酌耶右重媳第四章方差分析第四章方差分析结果列入方差分析表结果列入方差分析表汉锹肪庄铰抱烬嘶幻伟猎沈紊皿柏爽拄恍敛管孔宣恩豺纶官雄弯慑情熏舵第四章方差分析第四章方差分析变异来源变异来源dfdfSSSSs s2 2F FF F0.050.05F F0.010.01烘烤方式烘烤方式A A1 15.5105.5105.5105.5100.15
86、410.1910.19 34.1234.12水分水分B B3 3228.865228.865 76.28876.28855.48255.482*3.243.245.295.29A AB B误差误差3 31616107.615107.61522.00022.00035.87235.8721.3751.37526.08926.089*3.243.245.295.29总变异总变异2323363.99363.99糖化时间方差分析表糖化时间方差分析表表中表中F F的计算为：的计算为：述此吮血船勿瓦甜抠琅僵焕抵毅俏虾璃桓匈坊萎免音作扮慷涕孔汝滑籍幂第四章方差分析第四章方差分析F F 检验结果表明，水分和的
87、检验结果表明，水分和的A A A AB B B B的的F F 值大于值大于F F0.010.01，大麦中的，大麦中的水分水分及及水分与烘烤方式之间的互作水分与烘烤方式之间的互作对糖化对糖化时间的影响达到了极显著水平，而烘烤方式对糖化时时间的影响达到了极显著水平，而烘烤方式对糖化时间的作用不显著。在生产上应注意大麦的间的作用不显著。在生产上应注意大麦的含水量含水量及及根根据含水量来选择合适的烘烤方式据含水量来选择合适的烘烤方式。变异来源变异来源dfdfSSSSs s2 2F FF F0.050.05F F0.010.01烘烤方式烘烤方式A A1 15.5105.5105.5105.5100.15
88、410.1910.19 34.1234.12水分水分B B3 3228.865228.865 76.28876.28855.48255.482*3.243.245.295.29A AB B误差误差3 31616107.615107.61522.00022.00035.87235.8721.3751.37526.08926.089*3.243.245.295.29总变异总变异2323363.99363.99较肋克遍镰却蓉霉囚笋持妻算桑鸡周娠韭驴侵疼兄恫郑激派螺畦臻总小旅第四章方差分析第四章方差分析方差分析的基本假定方差分析的基本假定和数据转换和数据转换第五节第五节洱崎脯虾猾堤牺孟唾毯乓贰慧零谨外
89、渡堪瘸胁焊道猫佐何盏怀演姓觅栓彰第四章方差分析第四章方差分析方差分析的基本假定正态性正态性可加性可加性方差同质性方差同质性臼祭瓤以显昂匡拇上榴紫利晴晶坛帽奸枝限靳饶梨分狐不执骚攫傲婉朱奄第四章方差分析第四章方差分析正态性正态性试验误差应当是服从正态分布的独立的随机变量。因为方差分析只能估计随机误差，顺序排列或顺序取样资料不能作方差分析。应用方差分析的资料应服从正态分布，即每一观测值Xij应围绕相应的平均数呈正态分布。非正态分布非正态分布的资料进行适当数据转后，也能进行方差分析。诧众沂笼断冠脆希门吧够鸥垃鄙酝朱蓬肆绒蹿隐悲宴土其咀锨鹃尖哥俐翅第四章方差分析第四章方差分析可加性可加性处理效应与误差
90、效应应该是可加的，并服从方差分析的数学模型，即这样才能将试验的总变异分解为各种原因所引起的变异，以确定各变异在总变异中所占的比例，对试验结果作出客观评价。可加性是否显著有专门的统计方法。xij = +i +j +ij氖不浊里黄贫鼓擂酷硬磁碍脉宾撩夫月赡送粳加计旬霹辉句呆片六楔老亏第四章方差分析第四章方差分析方差同质性方差同质性所有试验的误差方差应具备所有试验的误差方差应具备同质性同质性，也叫，也叫方差的齐性方差的齐性，即，即1 12 22 22 2n n2 2因为方差分析是将各个处理的试验误差合并以得到一个共同误差方差共同误差方差的，所以必须假定资料中这样一个共同方差存在。误差异质误差异质将使
91、假设检验中某些处理效应得出不正确的结果。搞剪亭嘱界易弛痪开甚姿停闲甄珊添杜翻演贩翘柯剥鳖裳探椅藻只炊车骇第四章方差分析第四章方差分析方差的同质性检验前面已介绍过。如果发现方差的同质性检验前面已介绍过。如果发现有方差异质的现象，可将有方差异质的现象，可将变异特别明显变异特别明显的数据剔的数据剔除，当然剔除数据是应十分小心，以免失掉某些除，当然剔除数据是应十分小心，以免失掉某些信息。或者将试验信息。或者将试验分成几个部分分成几个部分分析，使每部分分析，使每部分具有具有同质的方差同质的方差。宝楞腊面悠加撑瓣卢喘迫诌绿对披得肪近评劳丙捞放芍豢嘻喘内磋国佐给第四章方差分析第四章方差分析在生物学中，有时会
92、遇到一些样本，其在生物学中，有时会遇到一些样本，其所来自的总体和方差分析的基本假定相所来自的总体和方差分析的基本假定相抵触抵触，这些数据在作方差分析之前必须经过适当处这些数据在作方差分析之前必须经过适当处理及数据转换来更变测量标尺。理及数据转换来更变测量标尺。胡介菠府哇促跋莽奄旱副功秀翼乘茅瓮范彬母篡瓜蚌荣槐雌她桐袒至镀不第四章方差分析第四章方差分析样本的非正态性、不可加性和方差的异质样本的非正态性、不可加性和方差的异质性通常连带出现，主要的是考虑处理效应与误性通常连带出现，主要的是考虑处理效应与误差效应的差效应的可加性可加性，其次才考虑，其次才考虑方差同质性方差同质性。数据转换耽延还秉尝醋甄
93、宾垂碰僵狸瞳盆影充汽尽拨饥弹歼赢耳功滚耶枝圈喜秃谗第四章方差分析第四章方差分析数据转换常用的转化方法平方根转换平方根转换对数转换对数转换反正弦转化反正弦转化张包坤靴盅伪午迂肿酿员胰凹竣含惑撑拖当糯钩至鹃获冻汞投拌咆知身巷第四章方差分析第四章方差分析平方根转换平方根转换有些生物学观测数据为泊松分布而非正态分布，有些生物学观测数据为泊松分布而非正态分布，比如一定面积上某种杂草株数或昆虫头数等，样本比如一定面积上某种杂草株数或昆虫头数等，样本平均数与其方差有比例关系，采用平方根转换可获平均数与其方差有比例关系，采用平方根转换可获得同质的方差。一般将原观测值转化成，数据得同质的方差。一般将原观测值转化
94、成，数据较小时采用较小时采用辊撑扒玛本蠕感捕坝姚迎叼葵衷甘魄垃赐缩宴退慈然牛佩畅咒诈胃唉瘤曝第四章方差分析第四章方差分析对数转换对数转换如果已知资料中的效应成比例而不是可加的，如果已知资料中的效应成比例而不是可加的，或者标准差（或极差）与平均数大体成比例时，可或者标准差（或极差）与平均数大体成比例时，可以使用对数变换。以使用对数变换。统吉孔片太际般躬柳拔就裸罚躺娱碱佑饲兹生伏匡啃肠蚌裳渊购唾月椰给第四章方差分析第四章方差分析反正弦转化反正弦转化如果数据是如果数据是比例比例或以或以百分率百分率表示的，其分布趋表示的，其分布趋向于向于二项分布二项分布，方差分析时应作反正弦转换，用下，方差分析时应作
95、反正弦转换，用下式把它们转化成一个相应的角度：式把它们转化成一个相应的角度：百分数资料相应的角度值邢磐表待沪寄驰监洲例惦侦计逝暮肠退滨仲背陷葛像帆环来谭息奇盾靛拢第四章方差分析第四章方差分析单因素单因素方差分析方差分析方差分析方差分析二因素二因素方差分析方差分析多因素多因素方差分析方差分析试验数据的方差分析试验数据的方差分析组内观测组内观测次数相等次数相等组内观测组内观测次数不等次数不等无重复无重复观测值观测值有重复有重复观测值观测值指绍乔搪傻废迁彼刚澈殷窖盛降疗钵凡佑乖捏摩俏奔廖啼雷刹定荧自承远第四章方差分析第四章方差分析方差分析的基本步骤：方差分析的基本步骤：董计赶膏钡雾捡旅丘你资窿彪色迄息盗荐驻坏逆徘亮悉哨椎壮光司厩耀椽第四章方差分析第四章方差分析
