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1、学习必备 欢迎下载 一、如何证明三角形相似 例 1、如图：点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上,AG 交 BC、BD 于点 E、F，则AGD 。 例 2、已知ABC 中，AB=AC ，A=36，BD 是角平分线，求证：ABCBCD 例 3：已知，如图，D为ABC内一点连结 ED 、AD ，以 BC为边在ABC外作CBE= ABD ，BCE= BAD 求证：DBE ABC 例 4、矩形 ABCD 中，BC=3AB ，E、F，是 BC 边的三等分点，连结 AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例 5、ABC
2、 中，在 AC 上截取 AD，在 CB 延长线上截取 BE，使 AD=BE，求证：DFAC=BCFE 例 6：已知：如图，在ABC中，BAC=900，M是 BC的中点，DM BC于点 E，交 BA的延长线于点 D。 求证：（1）MA2=MDME ；（2）MDMEADAE22 例 7：如图ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交 AD于 E，交 AB于 F，求证：AE ：ED=2AF ：FB。 三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。 例 8：已知：如图 E、F分别是正方形 ABCD 的边 AB和 AD上的点，且31ADAFABEB。求证：AEF= FBD 例 9、在平行四边形
3、 ABCD 内，AR、BR、CP、DP 各为四角的平分线， 求证：SQAB，RPBC 例 10、已知 A、C、E 和 B、F、D 分别是O 的两边上的点，且 ABED，BCFE，求证：AFCD 例 11、直角三角形 ABC 中，ACB=90 ，BCDE 是正方形，AE 交 BC 于 F，FGAC 交 AB 于 G，求证：FC=FG 例 12、RtABC 锐角 C 的平分线交 AB 于 E，交斜边上的高 AD 于 O，过 O 引 BC 的平行线交 AB 于 F，求证：AE=BF （答案） ABCDEFGABCDEM12ABCDEFG1234ABCDABCDEFKABCDEFABCDSPRQOAB
4、CDEFABCDEFO123ABCDFGE学习必备 欢迎下载 例 1 分析：关键在找“角相等” ，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角G 外,由 BCAD 可得1=2，所以AGDEGC。再1=2（对顶角） ，由 ABDG 可得4=G，所以EGCEAB。 例 2 分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。 证明：A=36，ABC 是等腰三角形，ABC=C=72又 BD 平分ABC，则DBC=36 在ABC 和BCD 中，C 为公共角，A=DB
5、C=36ABCBCD 例 3 分析： 由已知条件ABD= CBE ，DBC公用。所以DBE= ABC ，要证的DBE和ABC ，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到CBE ABD ，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。 证明：在CBE和ABD中，CBE= ABD, BCE= BAD CBE ABD BCAB=BEBD即：BCBE=ABBD DBE和ABC中， CBE= ABD, DBC公用CBE+ DBC= ABD+ DBC DBE= ABC且BCBE=ABBDDBE ABC 例 4 分析：本题要找出相似三
6、角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形： （1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形 ABCDEAABBCCDDEE (2)如图：其中1=2，则ADEABC 称为“相交线型”的相似三角形。 ABCDE12AABBCCDDEE12412 (3)如图：1=2，B=D，则ADEABC，称为“旋转型”的相似三角形。 观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF 与ECA 解：设 AB=a，则 BE=EF=FC=3a， 由勾股定理可求得 AE=a2， 在EAF 与ECA 中， AEF 为公共角， 且2AEECEFAE所以EAFECA 例
7、5 分析：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及 DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行线性质进行证明： 证明：过 D 点作 DKAB，交 BC 于 K， DKAB，DF：FE=BK：BE 又AD=BE，DF：FE=BK：AD，而 BK：AD=BC ：AC 即 DF：FE= BC：AC，DFAC=BCFE 例 6 证明：（1）BAC=900，M是 BC的中点，MA=MC，1=C， DM BC ，C=D=900-B，1=D， 2=2，MAE MDA ，MAMEMDMA，MA2=MDME ， （2）MAE MDA ，MDMAADAE，MAMEADAEMDMEMAMEMDMAADAE22 评
8、注：命题 1 如图，如果1=2，那么ABD ACB ，AB2=ADAC 。 命题 2 如图，如果 AB2=ADAC ，那么ABD ACB ，1=2。 BEACD12证例已知如图为内一点连结以为边在外作求证例矩形中是边的三等分点连结问图中是否存在非全等的相似三角形请证明你的结论二如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例中在上截取在延长线上截取使求证例已知如图在中是的中和线段相等例已知如图分别是正方形的边和上的点且求证例在平行四边形内各为四角的平分线求证例已知和分别是的两边上的点且求证例直角三角形中是正方形交于交于求证例锐角的平分线交于交斜边上的高于过引的平行线交于求对顶角及由平行线产生的一系列相等
9、的角本例除公共角外由可得所以再对顶角由可得所以例分析证明相似三角形应先找相等的角显然是公共角而另一组相等的角则可以通过计算来求得借助于计算也是一种常用的方法证明是等腰三角学习必备 欢迎下载 例 7 分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE ：ED ”的特征，作 DG BA交 CF于 G，得AEF DEG ，DGAFDEAE。与结论BFAFFBAFEDAE212相比较，显然问题转化为证FBDG21。 证明：过 D点作 DG AB交 FC于 G则AEF DEG 。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延
10、长线所得三角形与原三角形相似）DGAFDEAE （1） D为 BC的中点， 且 DG BFG为 FC的中点则 DG为CBF的中位线，BFDG21 （2） 将 （2） 代入 （1） 得：FBAFBFAFDEAE221 例 8 分析：要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形， 证明：作 FG BD ，垂足为 G。设 AB=AD=3k 则 BE=AF=k ，AE=DF=2k ，BD=k23
11、ADB=450，FGD=900DFG=450DG=FG=kDF22BG=kkk2222321BGFGAEAF 又A= FGB=900AEF GBF AEF= FBD 例 9 分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标， 选择适当的比例线段。 要证明 SQAB， 只需证明 AR： AS=BR：DS。 证明：在ADS 和ARB 中。 DAR=RAB=21DAB，DCP=PCB=21ABCADSABR DSBRASAR 但ADSCBQ，DS=BQ ，则BQBRASAR，SQAB，同理可证，RPBC
12、例 10 分析：要证明 AFCD，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明 AFCD，只要证明ODOFOCOA即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。 证明：ABED，BCFEODOBOEOA，OBOFOCOE两式相乘可得：ODOFOCOA 例 11 分析：要证明 FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明 FC=FG，首先要找出与 FC、FG 相关的比例线段，图中与 FC、FG 相关的比例式较多，则应选择与 FC、FG 都有联系的比作为过渡，最终必须得到?F
13、GFC（ “？”代表相同的线段或相等的线段） ，便可完成。 证明： FGACBE，ABEAGF 则有AEAFBEGF而 FCDE AEDAFC 则有AEAFDECF GFCFAFBEDEAE又BE=DE（正方形的边长相等）DFGFBEBE，即 GF=CF。 例 12 证明：CO 平分C，2=3，故 RtCAERtCDO，CDACODAE 又 OFBC，ADABODBF又RtABDRtCAD，ADABCDAC，即ODBFODAEAE=BF。 一、选择题 1 （20XX 年滨州）如图所示，给出下列条件： BACD ；ADCACB ；ACABCDBC；2ACAD AB 其中单独能够判定ABCACD的
14、个数为（ ） 证例已知如图为内一点连结以为边在外作求证例矩形中是边的三等分点连结问图中是否存在非全等的相似三角形请证明你的结论二如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例中在上截取在延长线上截取使求证例已知如图在中是的中和线段相等例已知如图分别是正方形的边和上的点且求证例在平行四边形内各为四角的平分线求证例已知和分别是的两边上的点且求证例直角三角形中是正方形交于交于求证例锐角的平分线交于交斜边上的高于过引的平行线交于求对顶角及由平行线产生的一系列相等的角本例除公共角外由可得所以再对顶角由可得所以例分析证明相似三角形应先找相等的角显然是公共角而另一组相等的角则可以通过计算来求得借助于计算也是一种常用
15、的方法证明是等腰三角学习必备 欢迎下载 A1 B2 C3 D4 【关键词】三角形相似的判定. 【答案】C 2. （20XX年上海市) 如图，已知ABCDEF，那么下列结论正确的是（ ） AADBCDFCE BBCDFCEAD CCDBCEFBE DCDADEFAF 【关键词】平行线分线段成比例 【答案】A 3.(2009 成都) 已知ABCDEF，且 AB ：DE=1 ：2，则ABC的面积与DEF的面积之比为 (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1 【关键词】 【答案】B 4. (20XX 年安顺) 如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线，则下面四个结论
16、： （1）DE=1， （2）CDECAB， （3）CDE 的面积与CAB 的面积之比为 1：4.其中正确的有： A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【关键词】等边三角形，三角形中位线，相似三角形 【答案】D 5.（2009 重庆綦江）若ABCDEF, ABC 与DEF 的相似比为2，则ABC 与DEF 的周长比为（ ） A14 B12 C21 D2 【关键词】 【答案】B 6. （20XX 年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及 x，那么 x 的值（ ） A只有 1 个 B可以有 2 个 C有 2 个以上但有限 D有无
17、数个 【关键词】相似三角形有关的计算和证明 【答案】B 7.20XX 年宁波市）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，M、N 分别是边 AB、AD 的中点，连接 OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（ ） AAOM 和AON 都是等边三角形 B四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形 证例已知如图为内一点连结以为边在外作求证例矩形中是边的三等分点连结问图中是否存在非全等的相似三角形请证明你的结论二如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例中在上截取在延长线上截取使求证例已知如图在中是的中和线段相等例已知如图分别是正方形的边和上的点且求证例在平行四边形内各为四角的平分线求
18、证例已知和分别是的两边上的点且求证例直角三角形中是正方形交于交于求证例锐角的平分线交于交斜边上的高于过引的平行线交于求对顶角及由平行线产生的一系列相等的角本例除公共角外由可得所以再对顶角由可得所以例分析证明相似三角形应先找相等的角显然是公共角而另一组相等的角则可以通过计算来求得借助于计算也是一种常用的方法证明是等腰三角学习必备 欢迎下载 C四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形 D四边形 MBCO 和四边形 NDCO 都是等腰梯形 【关键词】位似 【答案】C 8. （20XX年江苏省）如图，在5 5方格纸中，将图中的三角形甲平移到图 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的
19、平 移方法中，正确的是（ ） A先向下平移 3 格，再向右平移 1 格 B先向下平移 2 格，再向右平移 1 格 C先向下平移 2 格，再向右平移 2 格 D先向下平移 3 格，再向右平移 2 格 【关键词】平移 【答案】D 9.(20XX 年义乌) 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为 20cm，则它的宽约为 A12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 【关键词】黄金比 【答案】A 10. （20XX 年娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点 B 时，要使眼睛 O、准星 A、目标B 在同一
20、条直线上，如图 4 所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到 A，若 OA=0.2 米，OB=40 米，AA=0.0015 米，则小明射击到的点 B偏离目标点 B 的长度 BB为 （ ） A3 米B0.3 米C0.03 米D0.2 米 【关键词】相似三角形 【答案】B 11. （2009 恩施市） 如图， 在ABC中，C9060BD ， ，是AC上一点，DEAB于E， 且21CDDE，则BC的长为（ ） A2 B433 C2 3 D4 3 【关键词】解直角三角形、相似 【答案】B D B C A N M O 证例已知如图为内一点连结以为边在外作求证例矩形中是边的三等分点连结问图中
21、是否存在非全等的相似三角形请证明你的结论二如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例中在上截取在延长线上截取使求证例已知如图在中是的中和线段相等例已知如图分别是正方形的边和上的点且求证例在平行四边形内各为四角的平分线求证例已知和分别是的两边上的点且求证例直角三角形中是正方形交于交于求证例锐角的平分线交于交斜边上的高于过引的平行线交于求对顶角及由平行线产生的一系列相等的角本例除公共角外由可得所以再对顶角由可得所以例分析证明相似三角形应先找相等的角显然是公共角而另一组相等的角则可以通过计算来求得借助于计算也是一种常用的方法证明是等腰三角学习必备 欢迎下载 12.（20XX 年甘肃白银）如图 3，小东用
22、长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距 8m、与旗杆相距 22m，则旗杆的高为（ ） A12m B10m C8m D7m 【关键词】相似三角形判定和性质 【答案】A 13.（20XX 年孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板 AOB 绕 O 点顺时针旋转 90得AOB已知AOB=30，B=90，AB=1，则 B 点的坐标为 A3 3()22 B33()22 C13()22 D3 1(,)22 【关键词】旋转 【答案】A 14. （20XX 年孝感） 美是一种感觉， 当人体下半身长与身高的比值越接近 0
23、.618 时， 越给人一种美感 如图， 某女士身高 165cm，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 A4cm B6cm C8cm D10cm 【关键词】黄金比 【答案】C 15. （20XX 年新疆）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（ ） A. 证例已知如图为内一点连结以为边在外作求证例矩形中是边的三等分点连结问图中是否存在非全等的相似三角形请证明你的结论二如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例中在上截取在延长线上截取使求证例已知如图在中是的中和线段相等例已知如图分别是正方形的边和上的点且求证例在平行四边形内各为四角的平分线求证例已知和分别是的两边上的点且求证例直角三角形中是正方形交于交于求证例锐角的平分线交于交斜边上的高于过引的平行线交于求对顶角及由平行线产生的一系列相等的角本例除公共角外由可得所以再对顶角由可得所以例分析证明相似三角形应先找相等的角显然是公共角而另一组相等的角则可以通过计算来求得借助于计算也是一种常用的方法证明是等腰三角
