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1、 1 初中数学中的折叠问题 折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。 本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析， 从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。其实对于折叠问题，我们要明白： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换 2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位
2、置关系 4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形 5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为 x，然后根据轴对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解 一、矩形中的折叠 1 将一张长方形纸片按如图的方式折叠， 其中 BC ， BD为折痕， 折叠后 BG和 BH在同一条直线上， CBD= 度 折叠前后的对应角相等 2如图所示，一张矩形纸片沿 BC折叠，顶点 A落在点 A处，再过点 A折叠使折痕 DE BC ，若 AB=4 ，AC=3 ，则ADE的面积是 对称轴垂直平分对应点的连线 3如图，矩形纸片
3、 ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD边与对角线 BD重合，得折痕 DG，求 AG的长 根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可 GACABD 2 4把矩形纸片 ABCD沿 BE折叠，使得 BA边与 BC重合，然后再沿着 BF折叠，使得折痕 BE也与 BC边重合，展开后如图所示，则DFB等于（ ） 注意折叠前后角的对应关系 5如图，沿矩形 ABCD 的对角线 BD折叠，点 C落在点 E的位置，已知 BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积 重合部分是以折痕为底边的等腰三角形 6将一张矩形纸条 ABCD 按如图所示折叠，若折叠角
4、FEC=64 ，则1= 度；EFG的形状 三角形 对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰GEF 8如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8，将其沿 EF折叠，则图中四个三角形的周长之和为 折叠前后对应边相等 321FEDCBA54132GDFCDBCAE 3 9如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 沿着折痕 EF折叠，使点 B落在边 AD的中点 G处，求四边形 BCFE的面积 注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10如图，将一个边长为 1 的正方形纸片 ABCD折叠，
5、使点 B落在边 AD上 不与 A、D重合MN 为折痕，折叠后 BC与 DN交于 P (1)连接 BB，那么 BB与 MN 的长度相等吗？为什么？ (2)设 BM=y，AB=x，求 y 与 x 的函数关系式； (3)猜想当 B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形 MNCB面积最小？并验证你的猜想 PCNBCADMBQPHCNBCADMB 4 二、纸片中的折叠 11如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则的度数等于（ ） 题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为 180 度的性质，注意EAB是以折痕 AB为底的等腰三角形 12如图，将一宽为 2cm 的纸条，沿
6、BC，使CAB=45 ，则后重合部分的面积为 在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形 ABC 13将宽 2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕 PQ的长是 注意掌握折叠前后图形的对应关系 在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形 APQ a2130BEFACD 5 14如图 a 是长方形纸带，DEF=20 ，将纸带沿 EF折叠成图 b，再沿 BF折叠成图 c，则图 c 中的CFE的度数是（ ） 本题考查
7、图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变 由题意知DEF= EFB=20 图 bGFC=140 ，图 c 中的CFE= GFC- EFG 15将一张长为 70 cm 的长方形纸片 ABCD ，沿对称轴 EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与 CD间的距离为60cm，则原纸片的宽 AB是（ ） 16一根 30cm、宽 3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面） ，为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点 P的长度相等，则最初折叠时，求 MA 的长 图c图b图aCDGFEACGDFEAFDBCAEBB
8、GEFDAEFDBCABC60cm 6 三、三角形中的折叠 17如图，把 RtABC （C=90），使 A，B两点重合，得到折痕 ED ，再沿 BE折叠，C点恰好与 D点重合，则CE ：AE= 18在ABC中，已知 AB=2a ，A=30，CD是 AB边的中线，若将ABC沿 CD对折起来，折叠后两个小ACD与BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前ABC的面积的14 （1）当中线 CD等于 a 时，重叠部分的面积等于 ； （2）有如下结论（不在“CD等于 a”的限制条件下）：AC边的长可以等于 a；折叠前的ABC的面积可以等于 32a2 ；折叠后，以 A、B为端点的线段 AB与中线 CD平行且相等其
9、中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”） (1) CD = 12 AB ACB = 90 AB = 2a ，BC = a ，AC = 3a SABC = 12 AC BC = 32a2 重叠部分的面积为：1432a2 = 38a2 (2) 若 AC = a ，如右图 AD = a，2 = 180- 30 2 = 75 BDC = 180- 75 = 105 BDC = 105 3 = 105 - 75 = 30 1 = 3 AC BD 四边形 ABDC是平行四边形 重叠部分CDE的面积等于的面积的14 若折叠前ABC的面积等于32a2 过点 C作 CHAB于点 H
10、，则 BCDAB231EBCDBA 7 12 ABCH = 32a2 CH = 32a 又 tan1 = CHAH AH = 32a BH = 12a 则 tanB = CHBH ，得B = 60 CBD是等边三角形 2 = 4 3 = 4，ADCB2 又 CB2 = BC = BD = a ，CB2 = AD 四边形 ADCB2是平行四边形 则重叠部分CDE的面积是ABC面积的14 (3)如右图，由对称的性质得，3 = 4，DA = DB3 1 = 2 又3 + 4 = 1 +2 4 = 1 AB3CD 注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边
11、 3241EHB2DABC3412B3DABC 8 19在ABC中，已知A=80，C=30，现把CDE沿 DE进行不同的折叠得CDE，对折叠后产生的夹角进行探究： （1）如图（1）把CDE沿 DE折叠在四边形 ADEB内，则求1+2 的和； （2）如图（2）把CDE沿 DE折叠覆盖A，则求1+2 的和； （3）如图（3）把CDE沿 DE斜向上折叠，探求1、2、C的关系 （1）根据折叠前后的图象全等可知，1=180- 2CDE ，2=180- 2CED ，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接 DG，将ADG+ AGD作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将2 看作 180-
12、 2CED ，1 看作 2CDE - 180，再根据三角形内角和定理来求 解： （1）如图(1) 1+2=180- 2CDE +180- 2CED =360- 2（CDE+ CED ） =360- 2（180- C） =2C =60； （2）如图(2) 连接 DG， 1+2=180- C- （ADG + AGD） =180- 30- （180- 80）=50； （3）如图(3) 2- 1=180- 2CED - （2CDE - 180） =360- 2（CDE + CED ） =360- 2（180- C） =2C 所以：2 - 1=2C 由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出
13、现等腰三角形 21图(1)CACBDE12图(3)CABCDE21图(2)GCABCDE 9 20观察与发现： 将三角形纸片 ABC （ABAC）沿过点 A的直线折叠，使得 AC落在 AB边上，折痕为 AD，展开纸片（如图） ；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点 A和点 D重合，折痕为 EF ，展平纸片后得到AEF （如图） 小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由 实践与运用： (1)将矩形纸片 ABCD沿过点 B的直线折叠，使点 A落在 BC边上的点 F处，折痕为 BE（如图） ；再沿过点 E的直线折叠，使点 D落在 BE上的点 D 处，折痕为 EG（如图） ；再展平
14、纸片（如图） 求图中的大小 在第一次折叠中可得到EAD = FAD 在第二次折叠中可得到 EF是 AD的垂直平分线，则 AD EF AEF = AFE AEF是等腰三角形 (1) 由折叠可知 AEB = FEB ，DEG = BEG 而BEG = 45+ 因为AEB + BEG + DEG = 180 所以 45 + 2 （45+）= 180 = 22.5 由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。要抓住折叠前后图形之间的对应关系 (2)将矩形纸片 ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕 EF ，折痕与 AD边交于点 E，与 BC边交于点 F；将矩形AB
15、FE与矩形 EFCD分别沿折痕 MN 和 PQ 折叠，使点 A、点 D都与点 F重合，展开纸片，此时恰好有 MP=MN=PQ（如图） ，求MNF 的大小 由题意得出： NMF=AMN=MNF， MF=NF，由对称性可知， MF=PF， NF=PF ， 而由题意得出：MP=MN， 又 MF=MF， MNFMPF， PMF=NMF，而PMF+NMF+MNF=180， 即 3MNF=180， MNF=60， 在矩形中的折叠问题，通常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形 1 0 21直角三角形纸片 ABC中，ACB=90 ，ACBC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点 A落在
16、直角边 BC上，记落点为 D，设折痕与 AB、AC边分别交于点 E、点 F 探究：如果折叠后的CDF与BDE均为等腰三角形，那么纸片中B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形 CDF中，C=90，且CDF是等腰三角形， CF=CD ， CFD= CDF=45 ， 设DAE=x ，由对称性可知，AF=FD ，AE=DE ， FDA=12 CFD=22.5，DEB=2x ， 分类如下： 当 DE=DB 时，B=DEB=2x ， 由CDE= DEB+ B，得 45+22.5 +x=4x， 解得：x=22.5 此时B=2x=45； 见图形（1），说明：图中 AD应平分CAB 当 BD
17、=BE 时，则B=（180-4x）， 由CDE= DEB+ B得：45+22.5+x=2x+180-4x ， 解得 x=37.5 ，此时B=（180-4x）=30 图形（2）说明：CAB=60 ，CAD=22.5 DE=BE 时，则B=180- 2x2 由CDE= DEB+ B的，45+22.5+x=2x+180- 2x2 此方程无解 DE=BE 不成立 综上所述B=45或 30 先确定CDF是等腰三角形，得出CFD= CDF=45 ，因为不确定BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，DE=DB ，BD=BE ，DE=BE ，然后分别利用角的关系得出答案即可 1 1 22下列图案给出了折
18、叠一个直角边长为 2 的等腰直角三角形纸片（图 1）的全过程：首先对折，如图 2，折痕CD交 AB于点 D；打开后，过点 D任意折叠，使折痕 DE交 BC于点 E，如图 3；打开后，如图 4；再沿 AE折叠，如图 5；打开后，折痕如图 6则折痕 DE和 AE长度的和的最小值是（ ） 过 D点作 DF BC ，交 AC于 F，作 A点关于 BC的对称点 A，连接 DA ，则 DA 就是 DE和 AE的最小值 D点是 AB的中点， DF=1 ，FC=1 ， FA =3 DA = 12 + 32 = 10 折痕 DE和 AE长度的和的最小值是 10 本题经过了三次折叠，注意理清折叠过程中的对称关系
19、23小华将一条 1（如图 1），沿它对称轴折叠 1 次后得到（如图），再将图沿它对称轴折叠后得到（如图 3），则图 3 中一条腰长；同上操作，若小华连续将图 1 折叠 n 次后所得到（如图 n+1）一条腰长为多少？ 解：每次折叠后，腰长为原来的22 故第 2 次折叠后得到的等腰直角三角形的一条腰长为（22 ）2 - 12 则小华连续将图 1 的等腰直角三角形折叠 n 次后所得到的等腰直角三角形的一条腰长为（22 ）n 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的 1 2 24如图，矩形纸片 ABCD 中，AB= 6 ，BC=
20、 10 第一次将纸片折叠，使点 B与点 D重合，折痕与 BD交于点O1；O1D的中点为 D1，第二次将纸片折叠使点 B与点 D1重合，折痕与 BD交于点 O2；设 O2D1的中点为 D2，第三次将纸片折叠使点 B与点 D2重合，折痕与 BD交于点 O3，按上述方法，第 n 次折叠后的折痕与 BD交于点 On，则 BO1= ，BOn= 第一次折叠时，点 O1是 BD的中点，则 BO1 = DO1 第二次折叠时，点 O2是 BD1的中点，则 BO2 = D1O2 第三次折叠时，点 O3是 BD2的中点，则 BO3 = D2O3 因为 AB = 6 ，BC = 10 ，所以 BD = 4 第一次折叠
21、后，有 BO1 = DO1 BO1 = 2 第二次折叠后，有 BO2 = D1O2 BO2 = BD - DD12 = BD - BO122 = 32 第三次折叠后，有 BO3 = D2O3 BO3 = BD1 - D1D22 = BD1 - BO222 = 98 即当 n = 1 时，BO1 = 2 =302-1 = 31 - 1212 - 3 当 n = 2 时，BO2 = 32 = 3021 = 32 - 1222 - 3 当 n = 3 时，BO3 = 98 = 3223 = 33 - 1232 - 3 则第 n 次折叠后，BOn = 3n - 122n - 3 问题中涉及到的折叠从有
22、限到无限，要明白每一次折叠中的变与不变，充分展示运算的详细过程。在找规律时要把最终的结果写成一样的形式，观察其中的变与不变，特别是变化的数据与折叠次数之间的关系 1 3 27我们知道：任意的三角形纸片可通过如图所示的方法折叠得到一个矩形 （1）实践：将图中的正方形纸片通过适当的方法折叠成一个矩形（在图中画图说明） （2）探究：任意的四边形纸片是否都能通过适当的方法折叠成一个矩形？若能，直接在图中画图说明；若不能，则四边形至少应具备什么条件才行？并画图说明 （要求：画图应体现折叠过程，用虚线表示折痕，用箭头表示方向，后图形中既无缝隙又无重叠部分） 解： （1）折叠方法如图所示 （2）不能 四边形
23、至少应具备的条件是： “对角线互相垂直 ” 折叠方法如图所示 折叠即对称 28如图，双曲线 y = 6x （x0）经过四边形 OABC 的顶点 A、C，ABC=90 ，OC平分 OA与 x 轴正半轴的夹角，AB x 轴，将ABC沿 AC翻折后得到ABC，B点落在 OA上，则四边形 OABC 的面积是多少？ 设 C(m，6m ) 根据对称的性质有：CD = CB = CB 所以 B(m，12m )，A(m2 ，12m )，D(m，0) AB = m2 ，BD = 12m ，CD = 6m ，OD = m 则四边形 OABC的面积为： 12 (AB + OD) BD - 12 ODCD = 12
24、(m2 + m)12m - 12 m6m = 6 明白折叠中的对应边就行 xyBABDOC 1 4 29已知一个直角三角形纸片 OAB，其中AOB=90，OA=2，OB=4 如图， 将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 OB交于点 C，与边 AB交于点 D （1）若折叠后使点 B与点 A重合，求点 C的坐标； （2）若折叠后点 B落在边 OA上的点为 B，设 OB=x，OC=y，试写出 y 关于 x 的函数解析式，并确定 y 的取值范围； （3）若折叠后点 B落在边 OA上的点为 B，且使 BDOB，求此时点 C的坐标 (1)AB = 4 + 16 = 25 BCD BAD ，
25、BC BO = BDBA BC 4 = 5 2 5 ，BC = 52 OC = OB BC = 4 - 52 = 32 ，则 C(0，32 ) (2) 如右图，BC= BC BC = BC = OB OC = 4 y 在 RtOBC中 根据勾股定理有：y2 + x2 = (4 - y)2 所以 y = - 18 x2 + 2 当 0 x 2 时，抛物线的值随 x 的增大而减小 当 x = 0 时，y = 2 当 x = 2 时，y = 32 32 y 2 (3) 如右图 由 DB OB得，2 = 3 由对称性质得，1 = 2 2 = 3，则 C B BA O BC OAB OC = 2OB 设
26、 O B = m ，则 OC = 2m 所以 2m = - 18 m2 + 2 解得 m = -8 45 ，m 0 ， m = -8 + 45 则点 C的坐标为（0，8 5 - 16 ） 折痕是对应点连线的垂直平分线 xyCDABOxyCDABOBxy123DCABOB 1 5 四、圆中的折叠 30如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O的直径为 AD ，将正方形的 BC边沿 EC折叠，点 B落在圆上的 F点，求BE的长 连接 OC 、OF ，则OCF OCD(SSS)，OFC = ODC = 90， 所以OFE = 180，即点 O、F、E在一条直线上 设 BE = x ，则 EF = x
27、，AE = 2 x ，OE = 1 + x 在 RtAEO中，AE2 + AO2 = OE2 所以 (2 - x)2 + 1 = (1 + x)2 解得：x = 23 用对称关系构造勾股定理，再用勾股定理列方程求解是在折叠问题中求线段长度的常用方法 31 如图， 将半径为 8 的O 沿 AB折叠， 弧 AB恰好经过与 AB垂直的半径 OC的中点 D， 则折痕 AB长为 （ ） 解：延长 CO交 AB于 E点，连接 OB， CE AB， E为 AB的中点， 由题意可得 CD=4，OD=4，OB=8， DE = 12 (82 - 4) = 6 OE=6- 4=2， 在 RtOEB中，根据勾股定理可
28、得：AB = 4 15 注意折叠过程中形成的对应边，利用勾股定理求解 DCBOAEDCBOA 1 6 32如图，将弧 BC沿弦 BC折叠交直径 AB于点 D，若 AD=5 ，DB=7 ，则 BC的长是多少？ 连接 CA 、CD ； 根据对称的性质，得：弧 CB = 弧 BDC CAB= CBD+ BCD ； CDA= CBD+ BCD ， CAD= CDA ，即CAD是等腰三角形； 过 C作 CE AB于 E，则 AE=DE=2.5 ； BE=BD+DE=9.5 ； 在 RtACB中，CE AB ，ABC CBE ，得： BC2=BE AB=9.512=114； 故 BC= 114 此题考查的是对称的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出CAD是等腰三角形，是解答此题的关键 33已知如图：O 的半径为 8cm，把弧 AmB沿 AB折叠使弧 AmB经过圆心 O，再把弧 AOB沿 CD折叠，使弧COD经过 AB的中点 E，则折线 CD的长为（ 4 7 ） 作 CD关于 CD的对称线段 CD，连接 OE并延长交 CD于点 F，交 CD于点 F，交弧 AmB 于点 G，根据对称的性质得出 OF=6，再由勾股定理得出 CF = 2 7
