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1、还原问题还原问题舒颜舒颜同学们，我们先来玩一个同学们，我们先来玩一个游戏游戏. 你心里想一个自然数（不要告诉任何你心里想一个自然数（不要告诉任何人），你把这个数加上人），你把这个数加上3，再乘以，再乘以5，然后，然后减去你想的这个数，然后再加上减去你想的这个数，然后再加上5，再除以，再除以2，最后减去，最后减去10.好了，告诉我最后得的结果，好了，告诉我最后得的结果，我马上可以猜出你想的数是多少我马上可以猜出你想的数是多少.你信不信你信不信？不过刚才那个小朋友说的方法也是解下面不过刚才那个小朋友说的方法也是解下面一类问题常用的方法一类问题常用的方法.某数经过一系列的四则运算后，结果某数经过一系
2、列的四则运算后，结果知道，要求这个数知道，要求这个数.我们就采用反推的方法，从结果开始，我们就采用反推的方法，从结果开始，原来是加，现在就减；原来是乘，现在就原来是加，现在就减；原来是乘，现在就除，最后一定可以求出这个数除，最后一定可以求出这个数.这样一类问题，我们称之为还原问题这样一类问题，我们称之为还原问题.典型例题：典型例题：1 某数加某数加7，乘以，乘以5，再减去，再减去9，得，得51，求这个，求这个数数.（51+9）5-7=605-7=12-7=5.请同学们验证一下，按题目的运算顺序，请同学们验证一下，按题目的运算顺序，看能否得到看能否得到51.2 有一位老人说：有一位老人说：“把我
3、的年龄加上把我的年龄加上17，再，再用用4除，再减去除，再减去15后乘以后乘以10，恰好是，恰好是100岁岁.”这位老人有多少岁？这位老人有多少岁？3 ，在做一道加法题时，小胖把个位上的，在做一道加法题时，小胖把个位上的5看成看成9，把十位上的，把十位上的8看成了看成了3，结果得到，结果得到123，问正确答案应该是多少？，问正确答案应该是多少？分析分析 由于小胖粗心看错了题，得到错误的由于小胖粗心看错了题，得到错误的结果，可以利用还原的方法去求出正确的结果，可以利用还原的方法去求出正确的答案答案.解解 小胖把个位上的小胖把个位上的5看成看成9，多加了，多加了4，因，因此要减去此要减去4；他把十
4、位上的；他把十位上的8看成了看成了3，少加，少加了了50，所以应当再加上，所以应当再加上50.这样正确的答案这样正确的答案应该是：应该是：123-4+50=169.4 某人去银行取款，第一次取了存款的一某人去银行取款，第一次取了存款的一半还多半还多5元，第二次取了余下的一半还多元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩元，这时存折上还剩125元元.他原有存款多他原有存款多少元？少元？分析分析 看起来这个问题很复杂，实际上这还是看起来这个问题很复杂，实际上这还是一个还原应用题，我们照样可以反过来求一个还原应用题，我们照样可以反过来求出原先的存款数出原先的存款数.解解 这个人第二次取了余下
5、的一半还多这个人第二次取了余下的一半还多10元，元，这时还剩这时还剩125元，说明余下的一半是元，说明余下的一半是125+10=135（元）（元）.因此余下钱数应为因此余下钱数应为 1352=270（元）（元）.而这而这270元是这个人第一次取了存款的一半还元是这个人第一次取了存款的一半还多多5元而剩下的，因此存款的一半应为元而剩下的，因此存款的一半应为270+5=275（元）（元）.所以这个人实际存款为：所以这个人实际存款为：2752=550（元）（元）.5.兄弟三人分兄弟三人分24个苹果，每人所得个数分别个苹果，每人所得个数分别等于其三年前各自的岁数等于其三年前各自的岁数.如果老三把所得如
6、果老三把所得的苹果的一半平分给老大和老二，然后老的苹果的一半平分给老大和老二，然后老二再把现有的苹果的一半平分给老大和老二再把现有的苹果的一半平分给老大和老三，最后老大再把现有的苹果的一半平分三，最后老大再把现有的苹果的一半平分给老二和老三，这时每人所得的苹果数恰给老二和老三，这时每人所得的苹果数恰好相同好相同.求兄弟三人年龄各有多少岁求兄弟三人年龄各有多少岁.分析分析 要求三人的年龄，必须先求各人所得要求三人的年龄，必须先求各人所得的苹果数的苹果数.为此我们反过来推导为此我们反过来推导.为了便于为了便于理解和说明，可以列出一个表，从最后每理解和说明，可以列出一个表，从最后每人所得苹果数相等，
7、倒推出开始每人所得人所得苹果数相等，倒推出开始每人所得的苹果数的苹果数.6.甲、乙、丙、丁四人各有故事书若干本，甲、乙、丙、丁四人各有故事书若干本，甲将自己的故事书拿一部分给乙、丙、丁，甲将自己的故事书拿一部分给乙、丙、丁，使他们的书增加使他们的书增加1倍，然后乙又拿出一部分倍，然后乙又拿出一部分故事书使得甲、丙、丁的书增加故事书使得甲、丙、丁的书增加1倍，然后倍，然后丙又拿出部分故事书使得甲、乙、丁的书丙又拿出部分故事书使得甲、乙、丁的书增加增加1倍，最后丁也拿出部分故事书使得甲、倍，最后丁也拿出部分故事书使得甲、乙、丙的书增加乙、丙的书增加1倍倍.此时甲、乙、丙、丁此时甲、乙、丙、丁手中都
8、是手中都是32本书本书.问甲、乙、丙、丁四人原问甲、乙、丙、丁四人原来各有多少本书？来各有多少本书？7.有一个数，把它乘以有一个数，把它乘以4以后减去以后减去46，再把所，再把所得的差除以得的差除以3，然后减去，然后减去10，最后得，最后得4。问：。问：这个数是几？这个数是几？分析分析：这个问题是由（：这个问题是由（446）3104，求出，求出。我们倒着看，如果除以。我们倒着看，如果除以3以后不减以后不减去去10，那么商应该是，那么商应该是41014；如果在减；如果在减去去46以后不除以以后不除以3，那么差该是，那么差该是14342；可知这个数乘以可知这个数乘以4后的积为后的积为424688，
9、因，因此这个数是此这个数是884=22。解：（解：（410）346422。8.小马虎在做一道加法题目时，把个位上的小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了看成了9，把十位上的，把十位上的8看成了看成了3，结果得到，结果得到的的“和和”是是123。问：正确的结果应是多少。问：正确的结果应是多少？分析分析：利用还原法。因为把个位上的：利用还原法。因为把个位上的5看成看成9，所以多加了，所以多加了4；又因为把十位上的；又因为把十位上的8看成看成3，所以少加了，所以少加了50。在用还原法做题时，多。在用还原法做题时，多加了的加了的4应减去，多减了的应减去，多减了的50应加上。应加上。解解：123-
10、450169。9.学校运来学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的的2倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？倍。问：最初乐乐拿了多少棵树苗？分析分析：先求乐乐与欢欢现在各拿了多少：先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。学校共有树苗棵树苗。学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了倍，所以欢欢现在拿了36
11、（21）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了（棵）树苗，而乐乐现在拿了12224（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了走了6棵后是棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有棵，如果不抢，那么乐乐有树苗树苗24-618（棵），欢欢看乐乐拿得太多，（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有 181028（棵）。（棵）。解解：365（12）2-610=28（棵）（棵）10.甲、乙、丙三组共有图书甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲本，乙组向甲组借组借3本后，又送给丙组本后，又送给丙组5本，结果三个组拥本，结果三个组拥有相等数目
12、的图书。问：甲、乙、丙三个组有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？原来各有多少本图书？分析与解分析与解：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数借来借去，但图书的总数90本没有变，由最本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书都有图书90330（本）。根据题目条件，（本）。根据题目条件，原来各组的图书为原来各组的图书为甲组有甲组有30333（本），（本），乙组有乙组有303532（本），（本），丙组有丙组有30525（本）。（本）。11.一捆电线，第一次用去全长的一半多一捆电
13、线，第一次用去全长的一半多3米，米，第二次用去余下的一半少第二次用去余下的一半少10米，第三次用米，第三次用去去15米，最后还剩米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米，这捆电线原有多少米？米？分析分析：由逆推法知，第二次用完还剩下：由逆推法知，第二次用完还剩下157=22（米），第一次用完还剩下（米），第一次用完还剩下（2210）224（米），原来电线长（米），原来电线长（243）254（米）。（米）。解解：（：（15710）23254（米）。（米）。12.有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，走三份又一枚；剩下的再四等分又
14、剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？一枚。问：原来至少有多少枚棋子？分析与解分析与解：棋子最少的情况是最后一次：棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为四等分时每份为1枚。由此逆推，得到枚。由此逆推，得到第三次分之前有第三次分之前有1415（枚），（枚），第二次分之前有第二次分之前有51121（枚），（枚），第一次分之前有第一次分之前有214185（枚）。（枚）。所以原来至少有所以原来至少有85枚棋子。枚棋子。13.甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱
15、数他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多;接接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多数都比原来增加了两倍，结果丙的钱最多;最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的最后丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。如果他们三人共有一样多了。如果他们三人共有81元，那么元，那么三人原来的钱分别是多少元三人原来的钱分别是多少元?分析分析：三人最后一样多，所以都是：三人最后一样多，所以都是813=27元，
16、然元，然后我们开始还原：后我们开始还原：(1)甲和乙把钱还给丙：每人增甲和乙把钱还给丙：每人增加加2倍，就应该是原来的倍，就应该是原来的3倍，所以甲和乙都是倍，所以甲和乙都是273=9，丙是，丙是81-9-9=63;(2) 甲和丙把钱还给乙：甲和丙把钱还给乙：甲甲93=3，丙，丙633=21，乙，乙81-3-21=57;(3) 最后最后是乙和丙把钱还给甲：乙是乙和丙把钱还给甲：乙573=19，丙，丙213=7，甲甲81-19-7=55元元.14.三（三（1）班小图书箱第一天借出了存书的）班小图书箱第一天借出了存书的一半，第一半，第2天又借出天又借出43本，还剩本，还剩32本。小图本。小图书箱原
17、有图书多少本？书箱原有图书多少本？分析分析经过两天借出图书，小图书最后还经过两天借出图书，小图书最后还剩剩32本书。由此可以往前推算：第本书。由此可以往前推算：第2天没借天没借出出43本前（也就是第本前（也就是第1天借出图书后），应天借出图书后），应有（有（3243）本书，再根据）本书，再根据“第第1天借出了天借出了存书的一半存书的一半”，可推算出这，可推算出这75本书也就是本书也就是第第1天借出后的另一半，即相当于第天借出后的另一半，即相当于第1天借天借出的本数。这样，小图书箱原有的图书本出的本数。这样，小图书箱原有的图书本数可求得。数可求得。解解:第第1天借书后还剩的本数：天借书后还剩的本
18、数：324375（本）（本）原有图书的本数：原有图书的本数：752150（本）（本）综合算式：（综合算式：（3243）2150（本）（本）15.小明在做一道加法算式题，由于粗心，将个位上小明在做一道加法算式题，由于粗心，将个位上的的5看作看作9，把十位上的，把十位上的8看作看作3，结果所得的和是，结果所得的和是123。正确的结果应是多少？。正确的结果应是多少？分析分析要求正确的和，就要知道两个正确的加数。要求正确的和，就要知道两个正确的加数。看错的加数是看错的加数是39，因此得到错误的和是，因此得到错误的和是123。根。根据逆运算可得到一个没看错的加数是据逆运算可得到一个没看错的加数是1238
19、984，题中已知一个正确的加数是，题中已知一个正确的加数是85，所以正确的，所以正确的和是和是8584169把个位上的把个位上的5看作看作9，相当于把正确的和多算了，相当于把正确的和多算了4，求正确的和应把，求正确的和应把4减去；把视为上的减去；把视为上的8看作看作3，相当于把正确的和少算了相当于把正确的和少算了50，求正确的和应把，求正确的和应把50加上去。这样，正确的答案加上去。这样，正确的答案123504169。15.仓库里有一批大米。第一天售出的重量比仓库里有一批大米。第一天售出的重量比总数的一半少总数的一半少12吨。第二天售出的重量比吨。第二天售出的重量比剩下的一半少剩下的一半少12吨，结果还剩下吨，结果还剩下19吨。这吨。这个仓库原有大米多少吨？个仓库原有大米多少吨？分析分析如果第二天刚好售出剩下的一半，如果第二天刚好售出剩下的一半，就应是（就应是（1912）吨。第一天售出以后剩）吨。第一天售出以后剩下的吨数是（下的吨数是（1912）2吨。以下类推。吨。以下类推。解解（1912）262（吨）（吨）（6212）2100（吨）（吨）
