模糊数学教学课件

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1、2024年年8月月25日日1模糊数学绪论模糊数学绪论用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画；性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如模糊现象：如 “今天天气很热今天天气很热”，“小伙子很帅小伙子很帅”，等等等。等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。此话准确吗？有多大的水分

2、？靠模糊数学去刻画。 2024年年8月月25日日2年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。共同特点：共同特点：模糊概念的外延不清楚。模糊概念的外延不清楚。模糊概念导致模糊现象模糊概念导致模糊现象模糊数学模糊数学研究和揭示模糊现象的研究和揭示模糊现象的定量处理方法。定量处理方法。 模糊数学绪论模糊数学绪论2024年年8月月25日日3产生产生1965年，年，L.A. Zadeh（扎德）（扎德） 发表了文章发表了文章模

3、糊集模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )基本思想基本思想用属于程度代替属于或不属于。用属于程度代替属于或不属于。某个人属于秃子的程度为某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于另一个人属于秃子的程度为秃子的程度为0.3等等.模糊数学绪论模糊数学绪论2024年年8月月25日日4模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 涉及学科涉及学科分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；分类、识别、评判、预测、控制

4、、排序、选择； 模糊产品模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐农业、气象、信息、经济、文学、音乐模糊数学绪论模糊数学绪论2024年年8月月25日日5模糊数学绪论模糊数学绪论 课堂主要内容课堂主要内容一、基本概念一、基本概念二、主要应用二、主要应用1. 模糊聚类分析模糊聚类分析对所研究的事物按一定标准进行分类对所研究的事物按一定标准进行分类模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵例如，给出不

5、同地方的土壤，根据土壤中氮磷以例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。状，对土壤进行分类。2024年年8月月25日日62.模糊模式识别模糊模式识别已知某类事物的若干标准模型，已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类模型。一类模型。模糊数学绪论模糊数学绪论例如：苹果分级问题例如：苹果分级问题苹果，有苹果，有I级，级，II级，级，III级，级，IV级级四个等级。四个等级。现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。现有一个具体的苹果，如何判断

6、它的级别。2024年年8月月25日日73.模糊综合评判模糊综合评判从某一事物的多个方面进行综合评价从某一事物的多个方面进行综合评价模糊数学绪论模糊数学绪论例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价从从清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰四方面四方面给出给出很好，较好，一般，不好很好，较好，一般，不好四层次的评价四层次的评价最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。4.模糊线性规划模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，

7、从而导出一个新的线性规划问题，其最优化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解解称为原问题的模糊最优解2024年年8月月25日日8模糊数学模糊数学一一模糊集合及其运算模糊集合及其运算二二二二模糊聚类分析模糊聚类分析三三模糊模式识别模糊模式识别四四模糊综合评判模糊综合评判五五模糊线性规划模糊线性规划2024年年8月月25日日9一、经典集合与特征函数一、经典集合与特征函数 集合：集合：具有某种特定属性的对象集体。具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母通常用大写字母A、B、C等表示。等表示。论域：论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。对局限于一定范围内

8、进行讨论的对象的全体。通常用大写字母通常用大写字母U、V、X、Y等表示。等表示。论域论域U中的每个对象中的每个对象u称为称为U的的元素元素。模糊集合及其运算模糊集合及其运算2024年年8月月25日日10. uAA. u模糊集合及其运算模糊集合及其运算2024年年8月月25日日11在论域在论域U中任意给定一个元素中任意给定一个元素u及任意给定一个及任意给定一个经典集合经典集合A，则必有，则必有 或者或者 ，用函数表示为：，用函数表示为：其中其中函数函数 称为集合称为集合A的特征函数。的特征函数。模糊集合及其运算模糊集合及其运算非此及彼非此及彼2024年年8月月25日日12模糊集合及其运算模糊集合

9、及其运算亦此亦彼亦此亦彼UA模糊集合模糊集合 , 元素元素 x若若 x 位于位于 A 的内部，的内部， 则用则用1来记录，来记录，若若 x 位于位于 A 的外部，的外部， 则用则用0来记录，来记录，若若 x 一部分位于一部分位于 A 的内部，一部分位于的内部，一部分位于 A 的外部，的外部，则用则用 x 位于位于 A 内部的长度来表示内部的长度来表示 x 对于对于 A 的隶属程度。的隶属程度。2024年年8月月25日日13 0, 1 0, 1 特征函数特征函数隶属函数隶属函数二、模糊子集二、模糊子集定义：定义：设设U是论域，称映射是论域，称映射确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集 。

10、映射。映射 称为称为 隶属函隶属函数数， 称为称为 对对 的隶属程度，简称的隶属程度，简称隶属度隶属度。2024年年8月月25日日14模糊子集模糊子集 由隶属函数由隶属函数 唯一确定，故认为二者唯一确定，故认为二者是等同的。为简单见，通常用是等同的。为简单见，通常用A来表示来表示 和和 。模糊集合及其运算模糊集合及其运算越接近于越接近于0, 表示表示 x 隶属于隶属于A 的程度越小；的程度越小；越接近于越接近于1, 表示表示 x 隶属于隶属于A 的程度越大；的程度越大；0.5, 最具有模糊性，过渡点最具有模糊性，过渡点2024年年8月月25日日15模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：模糊子集

11、通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法这里这里 表示表示 对模糊集对模糊集A的隶属度是的隶属度是 。如如“将一将一1,2,3,4组成一个小数的集合组成一个小数的集合”可表示为可表示为可省略可省略模糊集合及其运算模糊集合及其运算2024年年8月月25日日16（3）向量表示法）向量表示法（2）序偶表示法）序偶表示法若论域若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：为无限集，其上的模糊集表示为：模糊集合及其运算模糊集合及其运算2024年年8月月25日日17例例1. 有有100名消费者，对名消费者，对5种商品种商品 评价，评价，结果为：结果为：81人认为人认为x1 质量好，质量好，53人

12、认为人认为x2 质量好，质量好，所有人认为所有人认为x3 质量好，没有人认为质量好，没有人认为x4 质量好，质量好，24人人认为认为x5 质量好质量好则模糊集则模糊集A（质量好）（质量好）2024年年8月月25日日18 例例2：考虑年龄集：考虑年龄集U=0,100，O=“年老年老”，O也是一个年龄集，也是一个年龄集，u = 20 A，40 呢？呢？札德给出了札德给出了 “年老年老” 集函数刻画集函数刻画: :10U501002024年年8月月25日日19再如，再如，Y= = “年轻年轻”也是也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它

13、的隶属函数：于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数： 102550U2024年年8月月25日日20则模糊集则模糊集O（年老）（年老）则模糊集则模糊集Y（年轻）（年轻）2024年年8月月25日日212、模糊集的运算、模糊集的运算定义：定义：设设A，B是论域是论域U的两个模糊子集，定义的两个模糊子集，定义相等：相等：包含：包含：并：并：交：交：余：余： 表示取大；表示取大；表示取小。表示取小。模糊集合及其运算模糊集合及其运算2024年年8月月25日日23模糊集合及其运算模糊集合及其运算并交余计算的性质并交余计算的性质1. 幂等律幂等律2. 交换律交换律3. 结合律结合律4. 吸收律吸收律20

14、24年年8月月25日日24模糊集合及其运算模糊集合及其运算6. 0-1律律7. 还原律还原律8. 对偶律对偶律5. 分配律分配律2024年年8月月25日日25三、隶属函数的确定三、隶属函数的确定1、模糊统计法、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：模糊统计试验的四个要素：（1）论域）论域U；（2）U中的一个固定元素中的一个固定元素（3）U中的一个随机运动集合中的一个随机运动集合（4）U中的一个以中的一个以 作为弹性边界的模糊子集作为弹性边界的模糊子集A，制约着制约着 的运动。的运动。 可以覆盖可以覆盖 也可以不覆盖也可以不覆盖致使致使 对对A的隶属关系是不确定的。的隶属关系是不确定的。模糊集合及其

15、运算模糊集合及其运算2024年年8月月25日日26特点：在各次试验中，特点：在各次试验中， 是固定的，而是固定的，而 在随机变动。在随机变动。模糊统计试验过程：模糊统计试验过程：（1）做）做n次试验，计算出次试验，计算出（2）随着）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为对对A的隶属度：的隶属度：模糊集合及其运算模糊集合及其运算2024年年8月月25日日27模糊集合及其运算模糊集合及其运算对对129人进行调查人进行调查, 让他们给出让他们给出“青年人青年人”的年龄区间，的年龄区间，18-25 17-30 17-28 18-25 16-3514-25 18-30

16、 18-35 18-35 16-2515-30 18-35 17-30 18-25 18-3515-30 18-30 17-25 18-29 18-28问年龄问年龄 27属于模糊集属于模糊集A（青年人）的隶属度。（青年人）的隶属度。2024年年8月月25日日28对年龄对年龄27作出如下的统计处理：作出如下的统计处理：A(27) = 0.78n10203040506070隶属次数6142331394753隶属频率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隶属次数6268768595101 隶属频率0.780.760.760.750.790.78 2

17、024年年8月月25日日292、指派方法、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。模糊集合及其运算模糊集合及其运算 一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。中间型。例如：例如：在论域在论域 中，确定中，确定A=“靠近靠近5的的数数”的隶属函数的隶属函数中间型中间型2024年年8月月25日日30模糊集合及其运

18、算模糊集合及其运算可以选取柯西分布中间类型的隶属函数可以选取柯西分布中间类型的隶属函数先确定一个简单的，比如先确定一个简单的，比如此时有此时有不太合理，故改变不太合理，故改变2024年年8月月25日日31模糊集合及其运算模糊集合及其运算取取此时有此时有有所改善。有所改善。2024年年8月月25日日323、其它方法、其它方法德尔菲法：专家评分法；德尔菲法：专家评分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。相对比较法、择

19、优比较法和对比平均法等。模糊集合及其运算模糊集合及其运算2024年年8月月25日日33模糊集合及其运算模糊集合及其运算四、模糊矩阵四、模糊矩阵定义：定义：设设 称称R为为模糊矩阵模糊矩阵。当当 只取只取0或或1时，称时，称R为为布尔（布尔（Boole）矩阵）矩阵。当模糊方阵当模糊方阵 的对角线上的元素的对角线上的元素 都为都为1时，时，称称R为为模糊单位矩阵模糊单位矩阵。例如：例如：2024年年8月月25日日34（1）模糊矩阵间的关系及运算）模糊矩阵间的关系及运算定义定义：设：设 都是模糊矩阵，定义都是模糊矩阵，定义相等：相等：包含：包含：模糊集合及其运算模糊集合及其运算并：并：交：交：余：余

20、：2024年年8月月25日日36（2）模糊矩阵的合成）模糊矩阵的合成定义：定义：设设 称模糊矩阵称模糊矩阵为为A与与B的的合成合成，其中，其中 。模糊集合及其运算模糊集合及其运算即：即：定义：定义： 设设A为为 阶，则模糊方阵的幂定义为阶，则模糊方阵的幂定义为2024年年8月月25日日37例例5：模糊集合及其运算模糊集合及其运算2024年年8月月25日日38（3）模糊矩阵的转置）模糊矩阵的转置定义：定义：设设 称称 为为A的的转置矩阵，其中转置矩阵，其中 。模糊集合及其运算模糊集合及其运算性质：性质：2024年年8月月25日日39（4）模糊矩阵的）模糊矩阵的 截矩阵截矩阵定义：定义：设设 对任

21、意的对任意的 称称为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 截矩阵，其中截矩阵，其中显然，截矩阵为显然，截矩阵为Boole矩阵。矩阵。模糊集合及其运算模糊集合及其运算2024年年8月月25日日40例例6：模糊集合及其运算模糊集合及其运算2024年年8月月25日日41 1，而 Y(30) = 0.5 2, 而 Y(30) = 0.5 = 2 ，2024年年8月月25日日104模糊模式识别模糊模式识别集对集集对集例如：例如：论域为论域为“茶叶茶叶”，标准有，标准有5种种 待识别茶叶为待识别茶叶为B，反映茶叶质量的，反映茶叶质量的6个指标为：条索，个指标为：条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味，确定色泽，净度，汤色

22、，香气，滋味，确定 B 属于哪种茶属于哪种茶A1A2A3A4A5B条索条索0.50.30.2000.4色泽色泽0.40.20.20.10.10.2净度净度0.30.20.20.20.10.1汤色汤色0.60.10.10.10.10.4香气香气0.50.20.10.10.10.5滋味滋味0.40.20.20.10.10.32024年年8月月25日日105在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离在实际问题中，我们常常要比较两个模糊集的模糊距离或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者或模糊贴近度，前者反映两个模糊集的差异程度，后者则表示两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两则表示

23、两个模糊集相互接近的程度，这是一个事情的两个方面。如果个方面。如果待识别的对象待识别的对象不是论域不是论域 X 中的元素中的元素 x，而，而是模糊集是模糊集 A，已知的模糊集是已知的模糊集是 A1, A2, , An，那么问，那么问 A 属于哪个属于哪个 Ai (i = 1, 2, n)？就是另一类模糊模式识别问？就是另一类模糊模式识别问题题 集对集集对集。解决这个问题，就必须先了解模糊集之。解决这个问题，就必须先了解模糊集之间的间的距离或贴近度。距离或贴近度。2024年年8月月25日日1061. 距离距离判别分析判别分析定义定义 设设 A、B F ( X )。称如下定义的。称如下定义的dP(

24、A, B) 为为 A 与与 B 的的 Minkowski (闵可夫斯基闵可夫斯基) 距离距离 (P1)： ) 当当 X = x1, x2, , xn 时，时， ) 当当 X = a, b 时，时，模糊模式识别模糊模式识别2024年年8月月25日日107特别地，特别地，p=1 时，称时，称 d 1(A, B) 为为 A 与与 B 的的 Hamming (海明海明) 距离距离。p=2 时，称时，称 d2(A, B) 为为 A 与与 B 的的 Euclid (欧几里德欧几里德) 距离距离。 有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在有时为了方便起见，须限制模糊集的距离在 0, 1中，因中，因此定义模糊集

25、的相对距离此定义模糊集的相对距离 dp(A, B) ，相应有，相应有 (1) 相对相对 Minkowski 距离距离模糊模式识别模糊模式识别2024年年8月月25日日108 (2) 相对相对 Hamming 距离距离模糊模式识别模糊模式识别2024年年8月月25日日109 (3) 相对相对 Euclid 距离距离模糊模式识别模糊模式识别2024年年8月月25日日110 有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重有时对于论域中的元素的隶属度的差别还要考虑到权重 W(x)0，此时就有加权的模糊集距离。，此时就有加权的模糊集距离。一般权重函数满足下一般权重函数满足下述条件：述条件： 当当 X

26、= x1，x2，xn 时，有时，有 当当 X = a, b 时，有时，有加权加权 Minkowski 距离距离定义为定义为模糊模式识别模糊模式识别2024年年8月月25日日111加权加权 Hamming 距离距离定义为定义为加权加权 Euclid 距离距离定义为定义为模糊模式识别模糊模式识别2024年年8月月25日日112例例 欲将在欲将在 A 地生长良好的某农作物移植到地生长良好的某农作物移植到 B地或地或 C 地，问地，问 B、C 两地哪里最适宜？两地哪里最适宜？ 气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而气温、湿度、土壤是农作物生长的必要条件，因而 A、B、C 三地的情况可以表示为论域

27、三地的情况可以表示为论域 X = x1 (气温气温)，x2 (湿度湿度)，x3 (土壤土壤) 上的模糊集，经测定，得三个模糊集为上的模糊集，经测定，得三个模糊集为模糊模式识别模糊模式识别2024年年8月月25日日113由于由于 dw1( A, B ) 0，aji=1/aij，aii=1若判断矩阵若判断矩阵A的所有元素满足的所有元素满足 则称则称A为一致性矩阵。为一致性矩阵。不是所有的判断矩阵都满足一致性条件，也没有不是所有的判断矩阵都满足一致性条件，也没有必要这样要求，只是在特殊情况下才有可能满足必要这样要求，只是在特殊情况下才有可能满足一致性条件。一致性条件。2024年年8月月25日日189

28、单一准则下元素相对权重的计算单一准则下元素相对权重的计算v已知已知n个元素个元素u1,u2,un对于准则对于准则C的判断矩阵为的判断矩阵为A，求，求u1,u2,un对于准则对于准则C的相对权重写成向量形式即为的相对权重写成向量形式即为 （1）权重计算方法。）权重计算方法。 和法。将判断矩阵和法。将判断矩阵A的的n个行向量归一化后的算术个行向量归一化后的算术 平均值，近似作为权重向量，即平均值，近似作为权重向量，即 2024年年8月月25日日190v类似的还有列和归一化方法计算，即类似的还有列和归一化方法计算，即 2024年年8月月25日日191v根法（即几何平均法）。将根法（即几何平均法）。将

29、A的各个行向量进行几何平的各个行向量进行几何平均，然后归一化，得到的行向量就是权重向量。其公式为均，然后归一化，得到的行向量就是权重向量。其公式为 2024年年8月月25日日192v特征根法（简记特征根法（简记EM）。解判断矩阵）。解判断矩阵A的特征根问题的特征根问题式中，式中， 是是A的最大特征根，的最大特征根，W是相应的特征向量，是相应的特征向量，所得到的所得到的W经归一化后就可作为权重向量经归一化后就可作为权重向量。2024年年8月月25日日193判断矩阵的一致性检验判断矩阵的一致性检验v在计算单准则下权重向量时，还必须进行一致性在计算单准则下权重向量时，还必须进行一致性检验。在判断矩阵

30、的构造中，并不要求判断具有检验。在判断矩阵的构造中，并不要求判断具有传递性和一致性，这是由客观事物的复杂性与人传递性和一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。但要求判断矩阵满足的认识的多样性所决定的。但要求判断矩阵满足大体上的一致性是应该的。如果出现大体上的一致性是应该的。如果出现“甲比乙极甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要”的判断，则显然是违反常识的，一个混乱的经的判断，则显然是违反常识的，一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策上的失误。不起推敲的判断矩阵有可能导致决策上的失误。而且上述各种计算排序权重向量（即

31、相对权重向而且上述各种计算排序权重向量（即相对权重向量）的方法，在判断矩阵过于偏离一致性时，其量）的方法，在判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度也就值得怀疑了，因此要对判断矩阵的可靠程度也就值得怀疑了，因此要对判断矩阵的一致性进行检验，具体步骤如下：一致性进行检验，具体步骤如下：2024年年8月月25日日194计算一致性指标计算一致性指标C.L. (consistency index)查找相应的平均随机一致性指标查找相应的平均随机一致性指标R.I. 下表给出了下表给出了115阶正互反矩阵计算阶正互反矩阵计算1000次得到的平次得到的平均随机一致性指标均随机一致性指标 2024年年8月月25日日

32、195平均随机一致性指标平均随机一致性指标R.I.矩阵阶数矩阵阶数 1 2 3 4 5 6 R.L 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26矩阵阶数矩阵阶数 7 8 9 10 11R.L 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52矩阵阶数矩阵阶数 12 13 14 15R.L 1.54 1.56 1.58 1.592024年年8月月25日日196v计算性一致性比例计算性一致性比例C.R.(consistency ratio)当当C.R.0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；当的；当C.R.0.1时，应该对判断矩阵做适当修正。时，应该对判断矩阵

33、做适当修正。2024年年8月月25日日197Matlab程序程序vfunction quanzhong(A,ri)vn=length(A);vx,y=eig(A);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);ci=(lamda-n)/(n-1);vcr=ci/rivw=x(:,1)/sum(x(:,1)v调用调用vA=1 2 5;1/2 1 7;1/5 1/7 1;vquanzhong(A)2024年年8月月25日日198vA=1 2 5;1/2 1 6;1/5 1/6 1;vquanzhong(A)vA=1 2 5;1/2 1 3;1/5 1/3 1;vqu

34、anzhong(A)2024年年8月月25日日199模糊关系方程法模糊关系方程法在模糊综合评判决策问题中在模糊综合评判决策问题中,若已知综合决策若已知综合决策B = (b1, b2, , bm ),单因素评判矩阵单因素评判矩阵 R =(rij)nm ,试问各因素的权重分配试问各因素的权重分配A是什么？是什么？这就是要求解模糊关系方程这就是要求解模糊关系方程X R = B. 定理定理 模糊关系方程模糊关系方程X R = B有解的充要条件是有解的充要条件是 R = B其中其中约定约定 =1.且且 为为X R=B的最大解的最大解2024年年8月月25日日200模糊线性规划模糊线性规划一、模糊约束条件

35、下的极值问题一、模糊约束条件下的极值问题例：例：某人想买一件大衣，提出如下标准：式样一般，质量好，某人想买一件大衣，提出如下标准：式样一般，质量好，尺寸较全身，价格尽量便宜，设有尺寸较全身，价格尽量便宜，设有5件大衣件大衣Xx1,x2,x3,x4,x5供供选择，经调查结果如表选择，经调查结果如表大衣大衣x1x2x3x4X5式样式样过时过时较陈旧较陈旧时髦时髦较新较新一般一般质量质量好好较好较好好好较差较差一般一般尺寸尺寸合身合身较合身较合身合身合身合身合身较合身较合身价格价格40801008575问他应该购买哪一件大衣？问他应该购买哪一件大衣？2024年年8月月25日日201模糊线性规划模糊线

36、性规划该类问题的解题过程：该类问题的解题过程：2. 目标函数目标函数f(x)模糊化模糊化1.将将语言真言真值(评价价结果果)转化化为各模糊各模糊约束集的隶属度束集的隶属度3.定义模糊判决：定义模糊判决：加权型：加权型：对称型：对称型：4. 由最大隶属原则求出由最大隶属原则求出x*, 则则x*为模糊条件极大值点。为模糊条件极大值点。2024年年8月月25日日202解：解：将式样，质量，尺寸化为三个模糊约束将式样，质量，尺寸化为三个模糊约束A1,A2,A3,价价格化为模糊目标格化为模糊目标G：大衣大衣x1x2x3x4X5A100.70.50.81A210.810.40.6A310.8110.8G1

37、0.3300.250.5将表中的评价结果转化为各模糊约束集的隶属度将表中的评价结果转化为各模糊约束集的隶属度其中模糊目标其中模糊目标2024年年8月月25日日203总约束集总约束集模糊目标集模糊目标集约束与目标对等时，用对称型模糊判决约束与目标对等时，用对称型模糊判决由最大隶属原则，应该买由最大隶属原则，应该买x5.2024年年8月月25日日204如果要求价格更便宜，则放松约束，令如果要求价格更便宜，则放松约束，令a=0.4, b=0.6加权型判决为加权型判决为由最大隶属原则，应该买由最大隶属原则，应该买x1.2024年年8月月25日日205模糊线性规划模糊线性规划实例：实例： 采区巷道布置是

38、矿井开拓中的重要内容，其目的就是建立完善采区巷道布置是矿井开拓中的重要内容，其目的就是建立完善的矿井生产系统，实现采区合理集中生产，改善技术经济指标的矿井生产系统，实现采区合理集中生产，改善技术经济指标.因因此，合理地选择最优巷道布置方案，对于矿井生产具有十分重要此，合理地选择最优巷道布置方案，对于矿井生产具有十分重要的意义的意义.根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用，在选择最根据煤矿开采的特点和采区在矿井生产的作用，在选择最优巷道布置方案时，要求达到下列标准：优巷道布置方案时，要求达到下列标准：(1)生产集中程度高；生产集中程度高； (2)采煤机械化程度高；采煤机械化程度高；(3)采区生

39、产系统十分完善；采区生产系统十分完善； (4)安全生产可靠性好；安全生产可靠性好；(5)煤炭损失率低；煤炭损失率低； (6)巷道掘进费用尽可能低巷道掘进费用尽可能低.上述问题上述问题,实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题，我们可实际上就是一个模糊约束下的条件极值问题，我们可以把以把(1)(5)作为模糊约束，而把作为模糊约束，而把(6)作为目标函数作为目标函数.设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择，即设某矿井的采区巷道布置有六种方案可供选择，即=(方案), (方案), (方案), (方案), (方案), (方案).2024年年8月月25日日206模糊线性规划模糊线性规划经过对六种方案进行审

40、议，评价后，将其结果列于表经过对六种方案进行审议，评价后，将其结果列于表163.6044.2034.5078.8069.1059.40G： 巷道掘进费用巷道掘进费用(万元万元)很低很低一般一般一般一般一般一般较高较高高高 :煤炭损失率低煤炭损失率低高高一般一般高高较低较低一般一般较低较低 :安全生产可靠度高安全生产可靠度高较高较高高高很高很高较低较低较低较低一级一级 :采区生产系统完善采区生产系统完善高高很高很高高高较高较高较高较高高高 :采煤机械化程度高采煤机械化程度高较高较高较高较高很高很高较高较高高高较低较低 :生产集中程度高生产集中程度高 方案方案评价项目评价项目略略2024年年8月月

41、25日日207普通线性规划的一般形式为普通线性规划的一般形式为 目标函数目标函数约束条件约束条件 矩阵表达形式矩阵表达形式模糊线性规划模糊线性规划二、模糊线性规划问题二、模糊线性规划问题(1)2024年年8月月25日日208模糊线性规划模糊线性规划是将约束条件和目标函数模糊化，引是将约束条件和目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，它入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，它的最优解称为原问题的的最优解称为原问题的模糊最优解模糊最优解. . 普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，普通线性规划其约束条件和目标函数都是确定的，但在一些实际问题中，但在一些实际问题中，约束

42、条件可能带有弹性，约束条件可能带有弹性，目标函数可能不是单一的目标函数可能不是单一的，可以借助模糊集的方，可以借助模糊集的方法来处理法来处理.2024年年8月月25日日209模糊线性规划，其模型为模糊线性规划，其模型为为了体现这个近似小于等于，我们引入伸缩指标为了体现这个近似小于等于，我们引入伸缩指标di ,2024年年8月月25日日210模型又可写成模型又可写成当当时，时， 当当取取内某一内某一值。 （2）2024年年8月月25日日211模糊线性规划模糊线性规划2024年年8月月25日日212模糊线性规划模糊线性规划2024年年8月月25日日213模糊线性规划模糊线性规划2024年年8月月2

43、5日日214模糊线性规划模糊线性规划2024年年8月月25日日215模糊线性规划模糊线性规划2024年年8月月25日日216模糊线性规划模糊线性规划2024年年8月月25日日217模糊线性规划模糊线性规划2024年年8月月25日日218实例实例1：饮料配方问题：饮料配方问题某种饮料含有三种主要成份某种饮料含有三种主要成份A1,A2,A3, 每瓶含量分别为每瓶含量分别为755 mg, 1205 mg, 1385 mg,这三种成份主要来自于五种原料这三种成份主要来自于五种原料 B1, B2, B3, B4, B5. 各种原料每千克所含成分与单价如下表所示，若生各种原料每千克所含成分与单价如下表所示

44、，若生产此种饮料一万瓶，如何选择原料成本最小？产此种饮料一万瓶，如何选择原料成本最小？原料原料B1B2B3B4B5A1/mg856012080120A2/mg801509016060A3/mg100120150120200单价单价/元元1.31.51.61.71.82024年年8月月25日日219多目标线性规划多目标线性规划 在相同的条件下在相同的条件下, ,要求多个目标函数都得到要求多个目标函数都得到最好的满足最好的满足, ,这便是这便是多目标规划多目标规划. . 若目标函数和若目标函数和约束条件都是线性的约束条件都是线性的, ,则为则为多目标线性规划多目标线性规划. . 一般来说一般来说,

45、 ,多个目标函数不可能同时达多个目标函数不可能同时达到其最优值到其最优值, ,因此只能求使各个目标都比较因此只能求使各个目标都比较“满意满意”的模糊最优解的模糊最优解. . 模糊线性规划模糊线性规划2024年年8月月25日日220例例2 解多目标线性规划问题解多目标线性规划问题模糊线性规划模糊线性规划2024年年8月月25日日221解普通线性规划问题：解普通线性规划问题： 得最优解为得最优解为x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值最优值为为2，此时，此时 f 2 = 8. 模糊线性规划模糊线性规划2024年年8月月25日日222解普通线性规划问题：解普通线性规划问题： 得最优解

46、为得最优解为x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最优最优值为值为20，此时，此时f 1 = 10. 模糊线性规划模糊线性规划2024年年8月月25日日223的最优解的最优解为为x1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值为最优值为2, ,此时此时 f 2 = 8. .的最优解的最优解为为x1 = 10, x2 = 0, x3 = 0, 最优值为最优值为20，此时此时f 1 = 10. . 同时考虑两个目标，合理的方案是使同时考虑两个目标，合理的方案是使f 1 2, 10 , f 2 8, 20 , 可取伸缩指标分别为可取伸缩指标分别为d1 = 10 - - 2 = 8,

47、 d2 = 20 - - 8 = 12. . 如果认为目标如果认为目标 f 1更重要更重要, ,可单独缩小可单独缩小d1; 如果认为目如果认为目标标 f 2更重要，可单独缩小更重要，可单独缩小d2. . 2024年年8月月25日日224 再分别将两个目标函数模糊化再分别将两个目标函数模糊化, ,变为解普通变为解普通线性规划问题：线性规划问题： 得最优解为得最优解为x1 = 6.29, x2 = 0.29, x3 = 1.43, = 0.57.此时此时f 1 = 5.43, f 2 = 14.86.2024年年8月月25日日225实例实例2：风险投资问题：风险投资问题某人计划将自己的资金的某人计划将自己的资金的20%3%作为机动资金作为机动资金，其余用于投其余用于投资资5种证券：种证券：A1, A2, A3, A4, A5, 已知它们的投资收益率和风险损已知它们的投资收益率和风险损失率如下表，问如何投资才能使收益最大，风险最小。失率如下表，问如何投资才能使收益最大，风险最小。证券证券A1/% A2 /%A3/% A4/% A5/%收益率收益率510203040风险率风险率3581618