电力系统稳定性电磁暂态

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1、电力系统分析电力系统分析稳定性分析稳定性分析研究生学位课： 第二章 电力系统电磁暂态过程分析 第一节 概 述 在电力系统发生故障或操作后，将产生复杂的电磁暂态过程和机电暂态过程，电磁暂态过程主要指各元件中电场和磁场以及相应的电压和电流的变化过程，机电暂态过程则指由于发电机和电动机电磁转矩的变化所引起电机转子机械运动的变化过程。虽然电磁暂态过程和机电暂态过程同时发生并且相互影响，但是要对它们统一分析却十分复杂。由于这两个暂态过程的变化速度实际上相差很大，在工程上通常近似地对它们分别进行分析。例如：在电磁暂态过程分析中，常不计发电机和电动机的转速变化。而在静态稳定性和暂态稳定性等机电暂态过程分析中

2、，则往往近似考虑或甚至忽略电磁暂态过程。只有在分析由发电机组轴系引起的次同步谐振现象，计算大扰动后轴系的暂态扭矩等问题中，才不得不同时考虑电磁暂态过程和机电暂态过程。电磁暂态过程分析的主要目的：在于分析和计算故障或操作后可能出现的暂态过电压和过电流，以便对电力设备进行合理设计，确定已有设备能否安全运行，并研究相应的限制和保护措施。对于研究新型快速继电保护装置的动作原理，故障点探测原理以及电磁干扰等问题，也常需要进行电磁暂态过程分析。由于电磁暂态过程变化很快，一般需要分析和计算持续时间在毫秒级以内的电压、电流瞬时值变化情况，因此，在分析中需要考虑：元件的电磁耦合计及输电线路分布参数所引起的波过程

3、有时甚至要考虑线路三相结构的不对称线路参数的频率特性以及电晕等因素的影响电磁暂态过程的分析方法可以分为两类：一类是应用暂态网络分析仪TNA ( Transient Network Analyzer) 的物理模拟方法。另一类是数值计算(或称数字仿真)方法v即列出描述各元件和全系统暂态过程的微分方程，应用数值方法进行求解。v随着数字计算机和计算方法的发展，现在已研究和开发出一些比较成熟的数值计算方法和程序。其中由H.W.Dommel创建的电磁暂态程序EMTP (Electromegnatic Transient Program)，经过许多人的共同工作进行不断改进和完善后，已具有很强的计算功能和良好

4、的计算精度，并包括了发电机、轴系和控制系统动态过程的模拟，使之能用于次同步谐振问题的分析。v这一程序已得到国际上的普遍承认和广泛应用，并仍在继续发展。本章将主要介绍EMTP的基本数学模型和计算方法，重点在于阐述其基本原理，以作为同学们使用和进一步深入了解这一程序和其它有关程序，乃至研究和开发新程序的基础。 第二节 电磁暂态过程数值计算的基本方法 对于电力系统中的并联电抗器、并联和串联电容器等集中参数元件，或可以近似处理成集中参数的元件(如变压器和短线路)，总可以列出描述其暂态过程中电压和电流间关系的常微分方程(纯电阻参数元件则为代数方程)，然后应用数值方法进行求解。 由于隐式梯形积分法比较简单

5、而且具有相当的精度和良好的数值稳定性，并能较好地适应刚性微分方程组，因此在EMTP和其它一些电磁暂态程序中大多采用这种积分方法。 上述常微分方程在采用隐式梯形积分法时，在一个积分步长t内(例如由t-t到t)将被转换成相应的差分方程。它描述了t 时刻的电压、电流与 t-t 时刻的电压、电流之间的相互关系，而t-t 时刻的电压和电流是前一个步长的计算结果，对于本步长来说是已知量。进而，这些差分方程可以用一种由纯电阻和电流源构成的电路来代替，以反映 t 时刻未知电压和电流之间的关系，其中的电阻决定于元件的参数和积分步长，而电流源则决定于t-t 时刻的电压和电流值。这种电路称为暂态等值计算电路。 在暂

6、态过程中，对于长线等分布参数元件，其电压和电流之间的关系应由偏微分方程来描述。在单根导线并且不计损耗的情况下，t 时刻线路两端电压、电流之间的关系，可以由偏微分方程的解析解转换成用纯电阻和电流源构成的暂态等值计算电路，其中的电阻决定于线路参数，电流源的取值则决定于t- 时刻(t t 为线路上电磁波的传播时间)的电压、电流。对于有损线路，在作适当近似处理后仍可沿用类似的暂态等值计算电路。 这样，根据各元件之间的实际接线方式，将它们的暂态等值计算电路进行相应的连接，便可组成一个带有已知电流源的纯电阻网络。对这一网络进行求解，即可以得出 t 时刻各个元件的电压和电流。依次对各个步长进行递推计算，便可

7、求得整个暂态过程的数值解。上述方法仅限于元件参数为常数的情况，对于饱和电抗器、避雷器等非线性元件，还需作特殊处理。以上便是本节所要介绍的电磁暂态过程数值计算的基本原理。 在介绍具体方法以前，先引出隐式梯形积分公式，以便应用。对于常微分方程，即 在t-t到t积分步长内的隐式梯形积分公式(以下简称梯形积分公式)为 一、集中参数元件的暂态等值计算电路 1电感元件 对于图2-1(a)所示的电感电路，可以列出其微分方程，即 应用梯形积分公式，可将它化为下列差分方程 很明显，式(2-2)中t 时刻的电压、电流关系可以用图2-1(b)所示的等值电路代替，并称之为暂态等值计算电路。其中，RL是积分计算中反映电

8、感L的等值电阻、当步长t固定时它为定值； IL(t-t)是t时刻的等值电流源，由t-t时刻的电流和电压按式(2-4)计算而得。 对于积分的第一个时段，t=t，t-t0，式(2-4)右端的电流和电压将是它们的初始值ijk(0)，uj(0)和uk(0)，而对于其它时段则是前一个时段的计算结果。在实际计算中，为了省去对电感支路电流 ijk(t-t)的计算，可应用对应于t-t时刻的电流、电压关系式(2-2)，将式(2-4)改写成下列递推形式 (2-5) 并用式(2-5)进行电流源的递推计算，当然，在起步时仍需应用式(2-4)来计算相应的电流源。 2电容元件 仿照电感元件的方法，可以导出图2-2(a)

9、所示电容电路的暂态等值计算电路见图 2-2(b)。相应的计算公式为电流源的递推计算式为 3电阻元件 图2-3所示的电阻元件电路，其电压、电流的关系为代数方程，即 (2-10) 它直接描述了t 时刻的电压和电流之间的关系，因此，图2-3中的电路本身就是它的暂态等值计算电路。 以上给出了单个L、C、R元件的暂态等值计算电路。当一集中参数元件同时含有几个参数 (例如R、L串联)时，可以分别作出它们的暂态等值计算电路，然后进行相应的连接。另外，对于并联电抗器和并联电容器等接地元件，可以在暂态等值计算电路中令其接地端电压为零。 暂态等值计算电路又称等值计算电路。后面在不引起混淆的情况下，将它简称为等值电

10、路。 二、单根分布参数线路的贝瑞隆(Bergeron)等值计算电路 在电磁暂态过程分析中，输电线路分布参数的影响可以用两种方法处理：一种是将线路适当地分成若干段，每段用型或T型集中参数电路代替，再将其中的各个参数用前面介绍的等值计算电路表示；另一种方法是直接导出并采用线路的暂态等值计算电路。 (一)单根无损线路的暂态等值计算电路 对于图25(a)所示的单根无损线路， 设单位长度的电感L0和电容C0均为常数，则可以列出下列偏微分方程 （2-11） 可将式(211)改写为二阶波动方程，即 （2-12）式中： 为沿线电磁波的传播速度。 式(212)的通解为： （2-13） 在式中，与f1(x-vt)

11、有关的项反映速度为v的前行波，与 f2(x+vt)有关的项反映速度为v的反行波， 为线路的波阻抗。 将式(2-13)的第二式两端乘以ZC ，再与其第一式分别相加和相减后，得 （2-14） （2-15） 贝瑞隆应用此两式所表示的任一点电压、电流线性关系，在已知边界条件和起始条件下计算了线路上的电压、电流。 这里并不直接应用贝瑞隆法，而是用式(2-14)和式(2-15)推导线路两端的等值计算电路。 在式(2-14)中，分别令x0和x=l , 则由图2-5(a)知u(0,t)uj(t)， i(0,t)ijk(t)， u(l,t)uk(t) ， i(l,t)-ikj(t) 。于是得 (2-16) (2

12、-17) 在式(2-16)中，将t换成t-( =l/v，为电磁波由线路一端到达另一端所需的时间），于是式（2-16）变为： （2-18） 将式(2-18)与式(2-17)进行比较，可以导出 （2-19） 式(2-17)、(2-18)和式(2-19)的物理意义为： t-时刻在j端的前行波，在t时刻到达k端。 式(2-19)可改写为 (2-20) (2-21) 采用相同的方法，由式(2-15)可以导出 (2-22) (2-23) 式(2-22)、(2-23)的物理意义为：t-时刻在k端的反行波，在t时刻到达j端。 式(2-20)(2-23)给出了t时刻线路一端电流、电压与t-时刻另一端电流、电压之

13、件的关系。不难看出，这组关系可以用图2-5（b)所示的暂态等值计算电路（又称贝瑞隆等值计算电路)来反映。 它将分布参数线路的波过程转化为仅含电阻和电流源的集中参数电路，线路两端间的电磁联系由反映t-时刻两端电压、电流的等值电流源来实现，而无直接拓扑联系。 这样，在已知t-时刻线路两端电压和电流值的情况下，可以分别应用式 (2-21)和式(2-23)求出两端的等值电流源，然后，应用式(2-20)和式(2-22)或图2-5(b)中的等值计算电路，便可分别得出t时刻两端电流和电压的关系式，从而将它们用于全网在t时刻的数值计算。必须指出，由于式(2-20)(2-23)是由式(2-12)波动方程的解析解

14、经严格推导而得出的，因此它与所采用的积分步长t无关。 等值电流源经过适当推导可以改写为下列递推形式 (二)线路损耗的近似处理 在一般情况下，线路绝缘的漏电损耗很小，常忽略不计。至于电晕所引起的损耗则屑于专门研究课题，已超出本书范围。因此，这里限于考虑线路电阻的影响。 当计及线路分布电阻时，就不能象无损线路那样导出其简单的等值计算电路，而在工程计算中往往采用近似的处理方法。例如，在EMTP中，将整个线路适当地分成几段，每段视为无损线路，而将各段的总电阻进行等分后分别集中在该段无损线路的两端。显然，分段数愈多，则愈接近于分布电阻情况。但根据计算经验，在一般线路长度下，分为两段便可以满足工程计算的精

15、度要求。 图2-6(a)所示为线路被等分为两段 为了避免新增节点，将图2-6(b)等值简化为图2-6(c) 另版34张第二节 电磁暂态过程数值计算的基本方法 对于电力系统中的并联电抗器、并联和串联电容器等集中参数元件，或可以近似处理成集中参数的元件(如变压器和短线路)，总可以列出描述其暂态过程中电压和电流间关系的常微分方程(纯电阻参数元件则为代数方程)，然后应用数值方法进行求解。 由于隐式梯形积分法比较简单而且具有相当的精度和良好的数值稳定性，并能较好地适应刚性微分方程组，因此在EMTP和其它一些电磁暂态程序中大多采用这种积分方法。 上述常微分方程在采用隐式梯形积分法时，在一个积分步长t内(例

16、如由t-t到t)将被转换成相应的差分方程。它描述了t 时刻的电压、电流与 t-t 时刻的电压、电流之间的相互关系，而t-t 时刻的电压和电流是前一个步长的计算结果，对于本步长来说是已知量。进而，这些差分方程可以用一种由纯电阻和电流源构成的电路来代替，以反映 t 时刻未知电压和电流之间的关系，其中的电阻决定于元件的参数和积分步长，而电流源则决定于t-t 时刻的电压和电流值。这种电路称为暂态等值计算电路。 在暂态过程中，对于长线等分布参数元件，其电压和电流之间的关系应由偏微分方程来描述。在单根导线并且不计损耗的情况下，t 时刻线路两端电压、电流之间的关系，可以由偏微分方程的解析解转换成用纯电阻和电

17、流源构成的暂态等值计算电路，其中的电阻决定于线路参数，电流源的取值则决定于t- 时刻(t t 为线路上电磁波的传播时间)的电压、电流。对于有损线路，在作适当近似处理后仍可沿用类似的暂态等值计算电路。 这样，根据各元件之间的实际接线方式，将它们的暂态等值计算电路进行相应的连接，便可组成一个带有已知电流源的纯电阻网络。对这一网络进行求解，即可以得出 t 时刻各个元件的电压和电流。依次对各个步长进行递推计算，便可求得整个暂态过程的数值解。上述方法仅限于元件参数为常数的情况，对于饱和电抗器、避雷器等非线性元件，还需作特殊处理。以上便是本节所要介绍的电磁暂态过程数值计算的基本原理。 在介绍具体方法以前，

18、先引出隐式梯形积分公式，以便应用。对于常微分方程，即 在t-t到t积分步长内的隐式梯形积分公式(以下简称梯形积分公式)为 一、集中参数元件的暂态等值计算电路 1电感元件 对于图2-1(a)所示的电感电路，可以列出其微分方程，即 应用梯形积分公式，可将它化为下列差分方程 很明显，式(2-2)中t 时刻的电压、电流关系可以用图2-1(b)所示的等值电路代替，并称之为暂态等值计算电路。其中，RL是积分计算中反映电感L的等值电阻、当步长t固定时它为定值； IL(t-t)是t 时刻的等值电流源，由t-t时刻的电流和电压按式(2-4)计算而得。 对于积分的第一个时段，t=t，t-t0，式(2-4)右端的电

19、流和电压将是它们的初始值ijk(0)，uj(0)和uk(0)，而对于其它时段则是前一个时段的计算结果。在实际计算中，为了省去对电感支路电流 ijk(t-t)的计算，可应用对应于t-t时刻的电流、电压关系式(2-2)，将式(2-4)改写成下列递推形式 (2-5) 并用式(2-5)进行电流源的递推计算，当然，在起步时仍需应用式(2-4)来计算相应的电流源。 2电容元件 仿照电感元件的方法，可以导出图2-2(a) 所示电容电路的暂态等值计算电路见图 2-2(b)。相应的计算公式为电流源的递推计算式为 3电阻元件 图2-3所示的电阻元件电路，其电压、电流的关系为代数方程，即 (2-10) 它直接描述了

20、t 时刻的电压和电流之间的关系，因此，图2-3中的电路本身就是它的暂态等值计算电路。以上给出了单个L、C、R元件的暂态等值计算电路。当一集中参数元件同时含有几个参数 (例如R、L串联)时，可以分别作出它们的暂态等值计算电路，然后进行相应的连接。对于并联电抗器和并联电容器等接地元件，可以在暂态等值计算电路中令其接地端电压为零。暂态等值计算电路又称等值计算电路。后面在不引起混淆的情况下，将它简称为等值电路。 二、单根分布参数线路的贝瑞隆(Bergeron)等值计算电路 在电磁暂态过程分析中，输电线路分布参数的影响可以用两种方法处理：一种是将线路适当地分成若干段，每段用型或T型集中参数电路代替，再将

21、其中的各个参数用前面介绍的等值计算电路表示；另一种方法是直接导出并采用线路的暂态等值计算电路。 (一)单根无损线路的暂态等值计算电路 对于图2-5(a)所示的单根无损线路， 设单位长度的电感L0和电容C0均为常数，则可以列出下列偏微分方程 （2-11） 可将式(211)改写为二阶波动方程，即 （2-12） 式中： 为沿线电磁波的传播速度。 式 (2-12)的通解为： （ 2-13） 在式中，与f1(x-vt)有关的项反映速度为v的前行波，与 f2(x+vt)有关的项反映速度为v的反行波， 为线路的波阻抗。 将式(2-13)的第二式两端乘以ZC ，再与其第一式分别相加和相减后，得 （2-14）

22、（2-15） 贝瑞隆应用此两式所表示的任一点电压、电流线性关系，在已知边界条件和起始条件下计算了线路上的电压、电流。 我们并不直接应用贝瑞隆法，而是用式(2-14)和式(2-15)推导线路两端的等值计算电路。 在式(2-14)中，分别令 x0 和 x=l , 则由图2-5(a)知u(0,t)uj(t)， i(0,t)ijk(t)， u(l,t)uk(t) ， i(l,t)-ikj(t) 。于是得 (2-16) (2-17) 在式(2-16)中，将 t 换成t- ( =l/v，为电磁波由线路一端到达另一端所需的时间），于是式（2-16）变为： （2-18） 将式(2-18)与式(2-17)进行比

23、较，可以导出 （2-19） 式(2-17)、(2-18)和式(2-19)的物理意义为： t- 时刻在j端的前行波，在t 时刻到达 k 端。 式(2-19)可改写为 (2-20) (2-21) 采用相同的方法，由式(2-15)可以导出 (2-22) (2-23) 式(2-22)、(2-23)的物理意义为：t- 时刻在 k 端的反行波，在 t 时刻到达 j 端。 式(2-20)(2-23)给出了t 时刻线路一端电流、电压与t-时刻另一端电流、电压之件的关系。不难看出，这组关系可以用图2-5(b)所示的暂态等值计算电路（又称贝瑞隆等值计算电路)来反映。它将分布参数线路的波过程转化为仅含电阻和电流源的

24、集中参数电路，线路两端间的电磁联系由反映t- 时刻两端电压、电流的等值电流源来实现，而无直接拓扑联系。 这样，在已知 t- 时刻线路两端电压和电流值的情况下，可以分别应用式 (2-21)和式(2-23)求出两端的等值电流源，然后，应用式(2-20)和式(2-22)或图2-5(b)中的等值计算电路，便可分别得出 t 时刻两端电流和电压的关系式，从而将它们用于全网在 t 时刻的数值计算。必须指出，由于式(2-20)(2-23)是由式(2-12)波动方程的解析解经严格推导而得出的，因此它与所采用的积分步长 t 无关。等值电流源经过适当推导可以改写为下列递推形式 (二)线路损耗的近似处理 在一般情况下

25、，线路绝缘的漏电损耗很小，常忽略不计。至于电晕所引起的损耗则屑于专门研究课题，已超出本书范围。因此，这里限于考虑线路电阻的影响。当计及线路分布电阻时，就不能象无损线路那样导出其简单的等值计算电路，而在工程计算中往往采用近似的处理方法。例如，在EMTP中，将整个线路适当地分成几段，每段视为无损线路，而将各段的总电阻进行等分后分别集中在该段无损线路的两端。显然，分段数愈多，则愈接近于分布电阻情况。但根据计算经验，在一般线路长度下，分为两段便可以满足工程计算的精度要求。 图2-6(a)所示为线路被等分为两段 为了避免新增节点，将图2-6(b)等值简化为图2-6(c) 三、暂态等值计算网络的形成及求解

26、 前面介绍的各种元件，在时刻t 的等值计算电路都由等值电阻和电流源组成。当电力网由这些元件构成时，将各元件的等值计算电路按照电网的实际接线情况进行相应的连接后，便形成一个由纯电阻和电流源组成的网络。显然，这一网络反映了t 时刻各元件本身及其相互之间的电压、电流关系，因此称它为t 时刻的暂态等值计算网络，或简称等值计算网络。在t 时刻外施电源和各等值电流源都已知的情况下，将可以对等值计算网络进行求解，从而得出该时刻各元件的电压和电流。然后，用所得结果即可求出t+ t 时刻各电流源的取值，再求解相应的等值计算网络，便可得出t+ t 时刻各元件的电压和电流。这样，从t=0 时刻开始，网络电磁暂态过程

27、的计算，实际上便转化为在各个离散时刻对等值计算网络的求解。在计算过程中将涉及到等值计算网络的求解方法、等值电流源的计算和外施电源的处理等问题，现依次介绍如下。 (一)等值计算网络的节点方程 在电磁暂态过程计算中，等值计算网络常用节点方程，即 Gui (2-28) 来表示。对于时刻t ,节点方程中的u为由该时刻各节点电压所组成的列向量；i 为由各节点注入电流组成的列向量(每一节点的注入电流为t 时刻等值计算网络中与该节点相连的各等值电流源以及外施电流源的代数和)；G为等值计算网络的节点电导矩阵(它由各元件的等值电阻构成，其形成方法与潮流计算中形成网络节点导纳矩阵Y相仿)。不难看出，当网络中分布参

28、数线路用等值计算电路表示时，由于线路两端无直接联系， 矩阵G 将比Y 更为稀疏。 因此， 式 (2-28)常用稀疏技巧求解。 (二)等值电流源的计算计算过程中需求出各个时段各元件等值计算电路中的电流源。 涉及的问题主要是初始时刻电流源取值的计算，电感、电容和分布参数线路有不同的处理办法，不一而论。之后采用前面推导的递推公式计算即可。 (三)外施电源的处理外施电源可能是已知的电流源或电压源。对于已知的电流源，只需简单地将它计入相应的节点注入电流。对于已知电压源，如果有一电阻元件直接与它串联，则可以将电压源和电阻转化为等值电流源。一般的方法是将式(2-28)按已知和未知电压节点进行分块，使之变为 （2-29） 式中：uA , iA 和uB , iB 分别为未知和已知电压节点的电压、电流向量。显然uB， iA为已知量，故由式(2-29)可以导出 GAAuA=iA-GABUB (2-30) 用上式来求解各未知电压节点的电压uA。 (四)暂态过程计算的主要流程 考虑具有外施电压源并应用节点方程式(2-30)进行计算的情况。显然，矩阵GAA是对称的稀疏矩阵，因此，式(2-30)可以用稀疏三角分解进行前代和回代运算而求解。这样，综合以上所介绍的情况，可以得出图2-8所示的电磁暂态过程计算流程。GAAuA=iA-GABUB