第一章晶体结构课件

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1、第一章晶体结构为什么要研究结构结构决定了相互作用，相互作用又决定了运动，不同的运动形式具有不同的性质，也就是结构决定了性质碳的几种不同结构碳的几种不同结构零维：足球烯超导、强磁性、耐高压、抗化学腐蚀、在光、电、磁等领域有潜在的应用前景。一维：碳纳米管强度是钢的100倍，而质量仅为钢的1/7，如果能做成碳纤维，将是理想的轻质高强度材料。碳纳米管还具有极强的储气能力，可以在燃料电池储氢装置上二维：石墨烯世界上已知的导电性最好，最薄最坚硬的材料三维：无定形碳、石墨、金刚石我们要如何描述这些我们要如何描述这些形态各异的晶体？形态各异的晶体？晶体具有规则的几何形状晶体具有规则的几何形状人们对晶体的初步认

2、识晶体具有确定的晶体具有确定的熔点熔点物理性质各向异性物理性质各向异性有分子原子等更小结构的概念有分子原子等更小结构的概念对晶体结构认识的历史1669年，意大利科学家斯丹诺（NicolausSteno）发现了晶面角守恒定律1784年，法国科学家阿羽依（ReneJustHauy）推断晶体具有规则的几何外形是由于组成晶体的“小基石”规则排列的结果。1850年，法国科学家布拉维（A.Bravais）把以上学说发展成空间点阵学说，并证明只有14种点阵类型。1890-1895年，俄国科学家费奥多罗夫（Fedorov）、熊夫利（Schoenflies）等各自建立了晶体对称性的空间群理论。1 1、基元（、基

3、元（basisbasis）和点阵（）和点阵（latticelattice） 晶体结构的最显著特点是周期性。理想情况下，晶体可以晶体结构的最显著特点是周期性。理想情况下，晶体可以看成是看成是由一由一“基本结构单元基本结构单元”基元，在空间基元，在空间无限无限重复排列构重复排列构成的，成的，这种性质称为这种性质称为晶体结构的周期性晶体结构的周期性。没有边界，所以所没有边界，所以所有的基元都是等同的，如果有边界就不同了。理想晶体与实际有的基元都是等同的，如果有边界就不同了。理想晶体与实际晶体的区别晶体的区别1.1原子的周期性阵列原子的周期性阵列 化学组成、空间结构、排列取向、周围环化学组成、空间结构

4、、排列取向、周围环境相同的原子、分子、离子或离子团的集合，境相同的原子、分子、离子或离子团的集合，是组成晶体的是组成晶体的最小最小结构单元。结构单元。注意注意：一般不等于化学组成的基本单元。比如：一般不等于化学组成的基本单元。比如碳的各种不同晶体其基元不同，但其化学组成碳的各种不同晶体其基元不同，但其化学组成的基本单元都是碳原子。的基本单元都是碳原子。基元的定基元的定义：石墨烯基元的选择石墨烯基元的选择为了描述晶体中原子的排列规则，将每一个原子（原子团等）为了描述晶体中原子的排列规则，将每一个原子（原子团等）抽象视为一个几何点（称为阵点），从而得到一个按一定规则抽象视为一个几何点（称为阵点），

5、从而得到一个按一定规则排列分布的无数多个阵点组成的空间阵列，称为空间点阵或晶排列分布的无数多个阵点组成的空间阵列，称为空间点阵或晶体点阵，简称点阵。也就是说，在空间任何方向上均为周期性体点阵，简称点阵。也就是说，在空间任何方向上均为周期性排列的无限个排列的无限个全同全同点的集合。点的集合。注意注意：点阵所描写的或所代表的仅仅是晶体结构的周期性，不等同于点阵所描写的或所代表的仅仅是晶体结构的周期性，不等同于周期结构周期结构 ，只有把物理实体即基元以相同的方式放置于点阵的阵点上（方，只有把物理实体即基元以相同的方式放置于点阵的阵点上（方位要相同）才能形成周期结构；全同包括每个点均有相同的环境位要相

6、同）才能形成周期结构；全同包括每个点均有相同的环境点点阵的定的定义：点阵的描述（非数学上的）点阵的描述（非数学上的）如何选取buildingblock？BravaisRule：应充分反应点阵的对称性；格子直角应尽可能的多（便于计算）；所包含的阵点数应尽可能的少划分结果：14种BravaislatticesBravaislattice的定义：晶格只有一种原子构成，基元也只有一个原子，且原子中心与阵点中心重合。也就是说，每个格点周围环境完全相同。单式格子：每个格点只有一个原子复式格子：如果有多个原子的话，可以看成由多个相同的Bravaislattice相互位移套构而成的。晶格：晶格：通过空间点阵中

7、的阵点可以作许多平行的直通过空间点阵中的阵点可以作许多平行的直线族或平行的平面族，这样三维的空间点阵形成线族或平行的平面族，这样三维的空间点阵形成网格状分布，它代表晶体中基元的具体排列方式，网格状分布，它代表晶体中基元的具体排列方式，称为晶格。称为晶格。相应代表基元的阵点称为格点。相应代表基元的阵点称为格点。由于历史上空间点阵学说是布拉菲最早提出的，由于历史上空间点阵学说是布拉菲最早提出的，所以上述的点阵有称为布拉菲点阵，相应的晶格称所以上述的点阵有称为布拉菲点阵，相应的晶格称为布拉菲格子。为布拉菲格子。等同点系：晶格中所有与起始点在等同点系：晶格中所有与起始点在化学、物理和化学、物理和几何环

8、境完全相同几何环境完全相同的点的集合的点的集合点阵：由等同点系所点阵：由等同点系所抽象抽象出来的一系列在空间出来的一系列在空间中周期排列的中周期排列的几何点几何点的集合体的集合体格格点：空间点阵中周期排列的几何点点：空间点阵中周期排列的几何点基基元：一个格点所代表的物理实体元：一个格点所代表的物理实体晶体结构点阵基元晶体结构点阵基元晶体是由结构基元（可以是原子、分子或离子）在空间呈不随时间变化的规则的三维周期排列而成，这是晶体的本质特征。为了研究结构基元排列的规律，先撇开结构基元，从每个结构基元的等同点抽象出空间点阵，研究空间点阵的阵点排列规律性。不同种类的结构基元有可能具有相同的排列方式。因

9、此晶体结构可视为Na+Cl-氯化钠晶体结构氯化钠晶体结构 NaNa+ +周期性排列和周期性排列和ClCl- -周期性排列周期性排列相间交替形成氯化钠晶体结构相间交替形成氯化钠晶体结构 基元：基元：由相距半个晶格常数的由相距半个晶格常数的正离子和负离子构成正离子和负离子构成 等同点等同点：正离子或负离子：正离子或负离子2.晶格平移矢量晶格平移矢量基矢：为了描述点阵而引入基矢：为了描述点阵而引入在布拉菲点阵中，人为选取的与晶格维数同在布拉菲点阵中，人为选取的与晶格维数同样多的一组矢量，使得晶格中任意两个格点样多的一组矢量，使得晶格中任意两个格点间的位移矢量（即格矢量）可以表达为该矢间的位移矢量（即

10、格矢量）可以表达为该矢量的整数线性组合。量的整数线性组合。注意注意：基矢不唯一：基矢不唯一 基矢的选择是多样的基矢的选择是多样的123 原点的选取也可以是任意的原点的选取也可以是任意的 晶格矢量群平移后没有任何变化，晶格矢量群平移后没有任何变化， 叫做晶格（或点阵）的平移对称性叫做晶格（或点阵）的平移对称性在三维布拉菲晶格中在三维布拉菲晶格中,格矢量格矢量其中其中、为一组基矢。即平移矢量为一组基矢。即平移矢量、为一组整数。为一组整数。 布拉菲点阵的数学定义布拉菲点阵的数学定义称为晶格平移矢量称为晶格平移矢量确定原点和基矢后，晶格中任一格点都可以用矢量：确定原点和基矢后，晶格中任一格点都可以用矢

11、量：表示。由于格点周期性排列，从任一格点表示。由于格点周期性排列，从任一格点出发平移出发平移后必然得到另一个格点，所以后必然得到另一个格点，所以由上式确定的点的集合等价为布拉菲格子由上式确定的点的集合等价为布拉菲格子基元中原子位置的相对表示基元中原子位置的相对表示3.基元与原胞（初基晶胞）基元与原胞（初基晶胞）在三维布拉菲晶格中在三维布拉菲晶格中,某个原子在基元内的相某个原子在基元内的相对坐标：对坐标：l初基晶胞（原胞）初基晶胞（原胞）由基矢 为3个棱边组成的平行六面体。只反应了晶体的微观周期性，很多时候没有反应出晶体的宏观对称性只反应了晶体的微观周期性，很多时候没有反应出晶体的宏观对称性基矢

12、选择不唯一使得初基晶胞形状不唯一基矢选择不唯一使得初基晶胞形状不唯一性质：性质：1 1、原胞有八个顶点，每个原胞包含一个格点，是晶体中最小的体积周期重复、原胞有八个顶点，每个原胞包含一个格点，是晶体中最小的体积周期重复单元。可以平行、无交叠堆积，不留空隙的填满整个空间形成晶体。单元。可以平行、无交叠堆积，不留空隙的填满整个空间形成晶体。2 2、原胞体积：、原胞体积：3 3、不同原胞中对应点物理性质、不同原胞中对应点物理性质 相同，称为相同，称为平移对称性平移对称性，用晶格平移矢量表示为：，用晶格平移矢量表示为：4 4、原胞的选择是多样的，但体积相同。、原胞的选择是多样的，但体积相同。123（矢

13、量的混合积）（矢量的混合积）基元与原胞的区别概念不同基元是具体的原子或原子团，是具体的结构单元。原胞是体积单元。一个原胞只有一个基元Wigner-Seitz原胞（原胞（WS原胞）（对称原胞）：与基矢的选原胞）（对称原胞）：与基矢的选择没有关系，且能反应晶体的宏观对称性。择没有关系，且能反应晶体的宏观对称性。 定义：选定一格点为中定义：选定一格点为中心，作该点与最邻近格点的中心，作该点与最邻近格点的中垂面，中垂面所围成的多面体。垂面，中垂面所围成的多面体。WS原胞性质：原胞性质：只包含一个格点，其体积与固体物理学原胞体积只包含一个格点，其体积与固体物理学原胞体积相等，也是最小的周期性单元。相等，

14、也是最小的周期性单元。WS原胞避免了对基矢的选择问题，与布拉菲点原胞避免了对基矢的选择问题，与布拉菲点阵具有完全相同的对称性。阵具有完全相同的对称性。平移对称性反而不直观平移对称性反而不直观原胞的优点：每个原胞只含有一个格点，能反应出晶体的原胞的优点：每个原胞只含有一个格点，能反应出晶体的微观周期性。微观周期性。原胞的缺点：没有反应出晶体的宏观对称性，且三个基矢原胞的缺点：没有反应出晶体的宏观对称性，且三个基矢之间的夹角很多时候不是直角，不利于计算。之间的夹角很多时候不是直角，不利于计算。所以在结晶学中，通常选取最小单元的几倍作为原胞，称所以在结晶学中，通常选取最小单元的几倍作为原胞，称为结晶

15、学原胞或晶胞。为结晶学原胞或晶胞。晶胞晶胞 除了周期性外，每种晶体还有除了周期性外，每种晶体还有自己特殊的对称性。为了同时反映自己特殊的对称性。为了同时反映晶格的对称性，往往会取最小重复晶格的对称性，往往会取最小重复单元的一倍或几倍的晶格单位作为单元的一倍或几倍的晶格单位作为原胞。结晶学中常用这种方法选取原胞。结晶学中常用这种方法选取原胞，故称为结晶学原胞，简称晶原胞，故称为结晶学原胞，简称晶胞（也称为单胞）胞（也称为单胞）。结晶学原胞（晶胞、惯用晶胞）结晶学原胞（晶胞、惯用晶胞） 结晶学原胞（晶胞）的选取方法结晶学原胞（晶胞）的选取方法 选取晶体选取晶体三个不共面的对称轴（晶轴）矢量三个不共

16、面的对称轴（晶轴）矢量 作为坐标轴（基矢），其作为坐标轴（基矢），其矢量长度等于各轴上的周期，所围成的平行六面体。矢量长度等于各轴上的周期，所围成的平行六面体。简单立方简单立方体心立方体心立方面心立方面心立方选取晶胞的原则选取晶胞的原则a)选取的平行六面体能代表整个空间点阵的对称性；b)平行六面体内相等的棱和角的数目最多；c)平行六面体棱间的直角最多；d)在满足上述条件下，晶胞应具有最小的体积。总之，晶胞的选择既要考虑周期性，又要考虑宏观对称性 1 1、晶胞边长称为晶格常数（点阵常数）、晶胞边长称为晶格常数（点阵常数）2 2、惯用晶胞可以是初基的，也可以是非初基惯用晶胞可以是初基的，也可以是非

17、初基的，若一个的，若一个初基晶胞能反映出点阵的对称性，那么它也初基晶胞能反映出点阵的对称性，那么它也就是惯用晶就是惯用晶胞。比如立方点阵，初基晶胞也就是惯用晶胞。胞。比如立方点阵，初基晶胞也就是惯用晶胞。惯用晶胞惯用晶胞体积是原胞体积的整数倍；体积是原胞体积的整数倍；3 3、除顶点外，格点可能出现在平行六面体的体心或面心、除顶点外，格点可能出现在平行六面体的体心或面心上；上；4 4、惯用晶胞不仅能反映格子的周期性，也能反映格子的、惯用晶胞不仅能反映格子的周期性，也能反映格子的对称性对称性 晶胞性质晶胞性质比较固体物理学原胞往往不能直观的反映点阵的宏观对称性，但能完全反映点阵的平移对称性；WS原

18、胞既能完全反映点阵的平移对称性，又能充分反映点阵的宏观对称性，但是其图形复杂，不好直观想象；晶胞能直观的反映点阵的宏观对称性，但有时不能完全反映点阵的平移对称性。取晶轴作为坐标轴，坐标轴单位矢量用 表示。简单立方（简单立方（sc）晶胞基矢：原胞基矢：晶胞与原胞体积相等，包含一个格点。常用的几种晶胞简介常用的几种晶胞简介体心立方（bcc）原子个数原子个数2晶胞：晶胞：基矢基矢体积体积BCCLattice原胞：原胞：基矢基矢体积体积原子个原子个数数1由一个顶点向三个体心引由一个顶点向三个体心引基矢。基矢。原子个原子个数数4晶胞：晶胞：基矢基矢体积体积面心立方（fcc）原胞：原胞：基矢基矢体积体积原

19、子个原子个数数1由一个顶点向三个面心引由一个顶点向三个面心引基矢。基矢。FCClattice晶胞的几何特性以sc为例1、晶胞的体积 2、晶胞内的原子数（棱边、面心、体心上分别有原子时怎么算）3、原胞的体积晶胞的体积除以晶胞内的原子数4、单位体积内的原子数：晶胞内的原子数除以晶胞体积，可以看出，单位体积内的原子数非常多。5、最近邻原子数（配位数）：sc：6，bcc：8，fcc：126、最近邻原子间距：越大，原子排列越稀疏。sc，bcc，fcc分别是多少？7、次近邻原子数8、次近邻原子间距9、堆垛因子（致密度）：晶胞内原子体积除以晶胞体积。计算sc，bcc，fcc的堆垛因子分别是多少？1、晶向与晶

20、列、晶向与晶列1.2晶面指数系统晶面指数系统 通过布拉菲格子的任意两个格点作一条直线，这一直线称为通过布拉菲格子的任意两个格点作一条直线，这一直线称为晶列晶列。 晶列的取向叫做晶向，即点阵中阵点的排列方向。晶列的取向叫做晶向，即点阵中阵点的排列方向。在一晶列外的节点可作一些与原晶列平行的晶列。这些晶列的总在一晶列外的节点可作一些与原晶列平行的晶列。这些晶列的总和称为一族晶列。和称为一族晶列。同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所以一族晶列的特同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所以一族晶列的特点是晶列的取向。点是晶列的取向。晶列1晶列2晶体性质的各向晶体性质的各向异性，表明晶体异性，表

21、明晶体结构具有方向性。结构具有方向性。晶列的特点晶列的特点（1）一族平行晶列把所有格点包括无遗。）一族平行晶列把所有格点包括无遗。（2）在一平面中，同族的相邻晶列之间的）在一平面中，同族的相邻晶列之间的距离相等。距离相等。（3）通过一格点可以有无限）通过一格点可以有无限多个晶列，多个晶列，其中每一晶列都有一族平行的晶列与之对其中每一晶列都有一族平行的晶列与之对应。应。（4）有无限多族平行晶列。）有无限多族平行晶列。晶向的表示法晶向的表示法(、为互质整数）晶向记为晶向记为，。，称为晶列指数。称为晶列指数。原子沿晶向到原子沿晶向到最近邻最近邻的晶格平移矢量的晶格平移矢量为为 由于晶格的对称性，晶体

22、在某些晶向上的性质可能是完全相同的，这些晶向称为等效晶向，统称一组等效晶向时用表示。 将布拉菲格子的全部格点用一平行平面族包括无遗，则该平行平面族将布拉菲格子的全部格点用一平行平面族包括无遗，则该平行平面族称为称为晶面系（族）晶面系（族），族中每个平面称为，族中每个平面称为晶面晶面。同一布拉菲晶格可以形成无穷种晶面族。同一布拉菲晶格可以形成无穷种晶面族。2 2、晶面、晶面一个晶面系有三个特点：一个晶面系有三个特点：（1）晶面方向相同；）晶面方向相同；（2）晶面间距相等；）晶面间距相等；（3）晶面格点分布相同；）晶面格点分布相同；确定晶面指数（密勒指数）的方法：确定晶面指数（密勒指数）的方法：（

23、)先找出晶面在三个晶轴上的截距值先找出晶面在三个晶轴上的截距值,晶轴晶轴可以是初基的可以是初基的,也可以是非初基的也可以是非初基的（以晶格常数（以晶格常数为单位）；为单位）；（)将这些数取倒数将这些数取倒数(若截距无穷大即平行于若截距无穷大即平行于晶轴，则其倒数为晶轴，则其倒数为0);（)将这三个数化简成最简互质整数比，放在将这三个数化简成最简互质整数比，放在圆括号中（圆括号中（hkl），这就是该面的晶面指数。若），这就是该面的晶面指数。若选定的晶轴是初基的（即是基矢），则选定的晶轴是初基的（即是基矢），则hkl是不是不含公约数的。含公约数的。如果晶轴选的是初基晶胞的基本矢量，则定义出来的三个

24、互质整数就叫做晶面指数晶面指数如果晶轴选的是惯用晶胞的三个基本矢量，则定义出来的三个互质整数就叫做密勒指密勒指数数晶面（密勒）指数的另外一种定义选好原点，则必有某一晶面经过原点必有平行于此晶面的另一个晶面经过晶轴上的点，这两个晶面之间的其他平行晶面将等分成h1份同样道理，其他两个晶轴也被等分成h2，h3份将h1，h2，h3化成互质整数得到晶面（密勒）指数1112223例：写出下图中晶面的晶面指数例：写出下图中晶面的晶面指数化成互质整数（具有相同比率的三个最小整数）比：化成互质整数（具有相同比率的三个最小整数）比：晶面在晶面在三个轴上的截距：三个轴上的截距：截距的倒数：截距的倒数：得到晶面指数：

25、得到晶面指数：为什么要用倒易截数？1、如某晶面与某一晶轴平行，截数无穷大，而 倒易截数如图 截距 截数 倒易截数倒易截数比2、倒易截数为有理数，倒易截数比必为整数比，且与衍 射指标相联系3、晶面指标应写成互质的如不能写成 12：6：4等晶面指标较小的平面点阵，其面间距较大，每面的密度较大晶面指标较小的平面点阵，其面间距较大，每面的密度较大立方晶格的几种主要晶面标记立方晶格的几种主要晶面标记 3、常见的晶面指数、常见的晶面指数立方晶系的晶面和晶向立方晶系的晶面和晶向证明立方晶系中方向hkl垂直于平面（hkl）。 证明方法一证明方法一 对立方晶系，三个立方轴为zxyACBKn根据晶面指数的定义，平

26、面组（hkl）中距原点最近的平面ABC在三个晶轴上的截距是 。该平面法线方向的单位矢量 的方向余弦是其中，d是原点到平面ABC的垂直距离，法线方向的单位矢量是 由方向指数的定义，hkl方向的方向矢量是 显然，所以，方向所以，方向hkl垂直于具有相同指数的平面（垂直于具有相同指数的平面（hkl）。）。 证明方法二证明方法二 要证明方向hkl垂直于平面（hkl），只需证明方向矢量垂直于平面（hkl）上的两个矢量，例如AB和BC：显然有同理所以，方向所以，方向hkl垂直于平面（垂直于平面（hkl）。zxyACBKnO1.sc、bcc、fcc结构结构在在sc、bcc、fcc点阵的每一个阵点点阵的每一个

27、阵点上放上一个同种原子就变成了上放上一个同种原子就变成了sc、bcc、fcc晶体结构。晶体结构。例如金属钠是在例如金属钠是在bcc点阵点阵的每个阵点上放上一个原子得到的晶体。的每个阵点上放上一个原子得到的晶体。1.3简单晶体结构简单晶体结构很多金属具有很多金属具有bcc和和fcc结构，但是几乎没有金属具结构，但是几乎没有金属具有有sc结构。如金属结构。如金属Li，Na，K等具有等具有bcc结构，而结构，而金属金属Au，Ag，Cu等具有等具有fcc结构。结构。2氯化钠氯化钠(NaCl)结构结构Na+，Cl-交替排列，每一个离子周围都有交替排列，每一个离子周围都有6个异类离子为个异类离子为最近邻。

28、如果仅看一类离子，它们构成一个最近邻。如果仅看一类离子，它们构成一个fcc结构，所以，结构，所以，这种结构可以看作是两个分别由这种结构可以看作是两个分别由Na+和和Cl-离子构成的离子构成的fcc结结构沿着对角线方向移动构沿着对角线方向移动1/2对角线长而得到。对角线长而得到。 该结构的布拉维点阵是该结构的布拉维点阵是fcc，初基基元为一个，初基基元为一个Na+离子和离子和一个一个Cl-离子。离子。 2氯化钠氯化钠(NaCl)结构结构一个惯用晶胞中有一个惯用晶胞中有4对离子，即对离子，即4个初基基元，共个初基基元，共8个个离子离子: Cl-:(000),(1/2,1/2,0),(0,1/2,1

29、/2),(1/2,0,1/2)Na+:(1/2,1/2,1/2),(1/2,0,0),(0,1/2,0),(0,0,1/2)3氯化氯化铯铯(CsCl)结构结构惯用晶胞中也只有惯用晶胞中也只有1对离子，即对离子，即1个初基基元，共个初基基元，共2个个离子离子: Cs+:(000),Cl-:(1/2,1/2,1/2)Cl-Cs+Cs+，Cl-交替排列，每一个离交替排列，每一个离子周围都有子周围都有8个异类离子为最近个异类离子为最近邻。如果仅看一类离子，它们邻。如果仅看一类离子，它们构成一个构成一个sc结构。结构。 该结构的布拉维点阵是该结构的布拉维点阵是sc，初基基元为一个初基基元为一个Cs离子和

30、一离子和一个个Cl-离子。离子。 通常，把晶体结构中每一个原子的最近邻的原子数通常，把晶体结构中每一个原子的最近邻的原子数称为称为配位数配位数。晶体结构晶体结构配位数配位数sc6bcc8fcc12NaCl6（即为（即为6个异类离子为最近邻）个异类离子为最近邻）CsCl8（即为（即为8个异类离子为最近邻）个异类离子为最近邻）配位数的高低反映晶体结构原子排列的稀松和紧密配位数的高低反映晶体结构原子排列的稀松和紧密情况。情况。4.4.六角密堆积结构六角密堆积结构hexagonalclose-packed,hcp） 将原子看成刚性硬球，在一个平面上按最紧密排列，这样一将原子看成刚性硬球，在一个平面上按

31、最紧密排列，这样一个原子排列最紧密的平面我们通常称为密排面个原子排列最紧密的平面我们通常称为密排面. .把一个个密排面把一个个密排面按最紧密方式堆积起来就是密堆积结构按最紧密方式堆积起来就是密堆积结构. .二维密排二维密排堆积堆积二维正方二维正方堆积堆积原子在晶体中的平衡位置，排列采取尽可能的紧密方式原子在晶体中的平衡位置，排列采取尽可能的紧密方式结合能最低的位置结合能最低的位置密堆积所对应的配位数密堆积所对应的配位数晶体结构中最大的配位数晶体结构中最大的配位数12在一个层中，最紧密的堆积方式，是在一个层中，最紧密的堆积方式，是一个球与周围一个球与周围6个球相切，在中心的周围个球相切，在中心的

32、周围形成形成6个凹位，将其算为第一层。个凹位，将其算为第一层。第二层第二层对第一层来讲最紧密的堆积方式是将球对准对第一层来讲最紧密的堆积方式是将球对准1，3，5位。位。(或对准或对准2，4，6位，其情形是一样的位，其情形是一样的)123456123456关键是第三层，对第一、二层来说，第三层可以有两种最紧关键是第三层，对第一、二层来说，第三层可以有两种最紧密的堆积方式。密的堆积方式。在一个层中，最紧密的堆积方式，是一个球与周围在一个层中，最紧密的堆积方式，是一个球与周围6个球相切，在中心的周围形成个球相切，在中心的周围形成6个凹位，将其算为第一个凹位，将其算为第一层。层。下图是此种六方下图是此

33、种六方紧密堆积的前视图紧密堆积的前视图ABABA第一种是将球对准第一层的球。第一种是将球对准第一层的球。123456于是每两层形成一个周期，于是每两层形成一个周期，即即ABAB堆积方式，形成六堆积方式，形成六方紧密堆积方紧密堆积。配位数配位数12。(同层同层6，上下层各上下层各3)第三层的第三层的另一种另一种排列排列方式，方式，是将球对准第一层是将球对准第一层的的2，4，6位位，不同于不同于AB两层的位置两层的位置，这是这是C层。层。123456123456123456123456此种立方紧密堆积的前视图此种立方紧密堆积的前视图ABCAABC第四层再排第四层再排A，于是形于是形成成ABCABC

34、三层一个周三层一个周期。期。得到面心立方堆积得到面心立方堆积。配位数配位数12。（求轴比）（求轴比）(同层同层6，上下层各上下层各3)BCAABCABC形式的堆积，形式的堆积，为什么是面心立方堆积？为什么是面心立方堆积？我们来加以说明。我们来加以说明。这两种堆积都是最紧密堆积这两种堆积都是最紧密堆积，空间利用率为空间利用率为74.05%。证明证明金属钾金属钾K的的立方体心堆积立方体心堆积还有一种空间利用率稍低的堆积方式，立方体心堆积：立方还有一种空间利用率稍低的堆积方式，立方体心堆积：立方体体8个顶点上的球互不相切，但均与体心位置上的球相切。个顶点上的球互不相切，但均与体心位置上的球相切。配位

35、数配位数8，空间利用率为，空间利用率为68.02%（证明证明）。）。六方紧密堆积六方紧密堆积IIIB，IVB面心立方紧密堆积面心立方紧密堆积IB，Ni，Pd，Pt立方体心堆积立方体心堆积IA，VB，VIB金属的金属的堆积方式堆积方式5金刚石结构金刚石结构半导体硅半导体硅Si和锗和锗Ge等都具有金刚石结构，并且一些重等都具有金刚石结构，并且一些重要的二元化合物半导体也与这种类型的结构有关。要的二元化合物半导体也与这种类型的结构有关。 该结构可以看作是两个该结构可以看作是两个fcc晶格格点上放上同种原子沿立晶格格点上放上同种原子沿立方体的体对角线错开方体的体对角线错开1/4对角线对角线长而得到。长

36、而得到。碳碳原原子子构构成成的的一一个个面面心心立立方方原原胞胞内内还还有有四四个个原原子子，分分别别位于四个空间对角线的位于四个空间对角线的14处处找四个最近邻并求最近邻间距求其堆垛比图中分数值表示以立方体边长为单位，其原子处在基准面图中分数值表示以立方体边长为单位，其原子处在基准面上方的高度。上方的高度。0座标为基准面上的原子，座标为基准面上的原子，1/2坐标为四个侧坐标为四个侧面上面心上的原子的投影坐标。面上面心上的原子的投影坐标。立方惯用晶中共有立方惯用晶中共有8个全同碳原子个全同碳原子:(000),(1/2,0,1/2),(1/2,1/2,0),(0,1/2,1/2)(1/4,1/4

37、,1/4),(3/4,1/4,3/4),(3/4,3/4,1/4),(1/4,3/4,3/4)在在1/4和和3/4处的点是处在另一处的点是处在另一个个fcc格子上。格子上。金金刚刚石石型型结结构构的的晶晶格格类类型型属属于于fcc晶晶格格点点阵阵。初初基基基基元元有有两两个个全全同同原原子子，座座标标为为(000)和和(1/4,1/4,1/4).它们均处于一个它们均处于一个fcc格子上。格子上。每个原子有四个最近邻，即配位数为每个原子有四个最近邻，即配位数为4。金刚石结构是元素。金刚石结构是元素周期表中第周期表中第IV族元素具有方向性共价键键合的典型例证。族元素具有方向性共价键键合的典型例证。

38、每一个原子有四个共价键。将每一个原子的每一个原子有四个共价键。将每一个原子的4个最近邻原子个最近邻原子连起来就构成一个正四面体。连起来就构成一个正四面体。金刚石金刚石6立方硫化锌（立方硫化锌（ZnS）结构（闪锌矿结构）结构（闪锌矿结构） 该结构可以看作是，在两个该结构可以看作是，在两个fcc点阵阵点上分别放上不同锌点阵阵点上分别放上不同锌原子和硫原子后，沿着立方体的体对角线错开原子和硫原子后，沿着立方体的体对角线错开1/4对角线对角线长而得到。长而得到。立立方方硫硫化化锌锌结结构构的的晶晶格格类类型型属属于于fcc晶晶格格点点阵阵。初初基基基基元元有有两两个个不不同同原原子子，座座标标为为S(

39、000)和和Zn(1/4,1/4,1/4).SZn立方惯用晶中共有立方惯用晶中共有8个原子个原子:S:(000),(1/2,0,1/2),(1/2,1/2,0),(0,1/2,1/2)Zn:(1/4,1/4,1/4),(3/4,1/4,3/4),(3/4,3/4,1/4),(1/4,3/4,3/4)布拉菲点阵有一些基本性质，对称性是其布拉菲点阵有一些基本性质，对称性是其基本性质之一。基本性质之一。什么是对称性？什么是对称性？为什么要研究点阵的对称性？为什么要研究点阵的对称性？1.4点阵的基本类型点阵的基本类型什么是对称性爱因斯坦给出的对称性定义为：对称性是在描述物体的变量的空间中物体经过某种变

40、换后的不变性。费多洛夫的定义：几何图形是自己的各个部分重合的性质，或者更确切的说是几何图形在不同位置上与最初位置重合的性质。一般来说，晶体的宏观性质是各向异性的，但在某些特定的方向上，晶体的性质可以是各向异性的，这种晶体宏观性质在不同方向上有规律重复出现的现象，称为晶体的对称性。例：例： 围绕光轴（围绕光轴（C C轴）每转动轴）每转动120120，晶体自身重合。在垂直于，晶体自身重合。在垂直于C C轴的平面内，轴的平面内，石英晶体具有三重对称性。表现在宏观性质上，相隔石英晶体具有三重对称性。表现在宏观性质上，相隔120120方向上，晶体的方向上，晶体的物理性质是一样的。物理性质是一样的。C轴

41、晶体结构的对称性晶体结构的对称性 晶体内部原子（离子）的规则排列使晶体具有外形规则性，晶体内部原子（离子）的规则排列使晶体具有外形规则性，不仅几何外形上具有明显对称性，而且晶体的宏观物理性质也不仅几何外形上具有明显对称性，而且晶体的宏观物理性质也表现明显对称性。这种性质称为晶体结构的对称性。表现明显对称性。这种性质称为晶体结构的对称性。对称性的本质是指系统中一些要素是等价的，对称性越高对称性的本质是指系统中一些要素是等价的，对称性越高的系统，需要独立表征的系统要素就越少，描述起来就越的系统，需要独立表征的系统要素就越少，描述起来就越 简单，且能大大简化某些计算工作量。简单，且能大大简化某些计算

42、工作量。对于一个具体的晶体材料，如果知道了它对于一个具体的晶体材料，如果知道了它的点对称性，那么它的某种物理性质就可的点对称性，那么它的某种物理性质就可以确定，这称为以确定，这称为Neumann原理。原理。对称性的分类按照是否考虑平移来分宏观对称性：不考虑平移对称性，宏观对称操作时，晶体至少有一个点不动，所以相应的对称操作又称为点对称操作。微观对称性：考虑平移后的对称性，除了宏观对称操作完全适用外，还包括了平移、螺旋旋转、滑移反映三种新的对称元素。1 1、晶体结构的对称操作、晶体结构的对称操作所谓点阵的对称操作是这样一种运动或动作：将点阵经过这样一种操作后，点阵中的所有阵点都会落到操作前的等价

43、点上，这种操作的结果是把点阵引入到与原始状态完全等价的构型上。对称操作越多，晶体对称性越高。在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为点对称点对称操作操作，如简单旋转和镜像转动，如简单旋转和镜像转动(反映和倒反反映和倒反)是是点式操作点式操作;使空使空间中所有点都运动的对称操作称为间中所有点都运动的对称操作称为非点式操作非点式操作，如平移，螺，如平移，螺旋转动和滑移反映。旋转动和滑移反映。点对称操作主要分以下几类：点对称操作主要分以下几类：（1 1）转动）转动 将点阵（或晶体）绕通过某一定点将点阵（或晶体）绕通过某一定点的轴进行旋转，如果，每转

44、动的轴进行旋转，如果，每转动2/2/点点阵都是自身还原的，则相应的转动轴，阵都是自身还原的，则相应的转动轴，我们称之为重转动轴。转动轴的符号我们称之为重转动轴。转动轴的符号用用1 1、2 2、3 3、4 4、6 6表示。（晶体固有的平表示。（晶体固有的平移对称性对许可的转动操作有严格的限移对称性对许可的转动操作有严格的限制，可以制，可以证明只有这五种转动对称性证明只有这五种转动对称性）B点转到点转到B点点B点必有一个格点点必有一个格点绕通过绕通过A的转轴的任意对称操作，转过角度的转轴的任意对称操作，转过角度 A和和B两点等价两点等价以通过以通过B点的轴顺时针转过点的轴顺时针转过 A点转到点转到

45、A点点A点必有一个格点点必有一个格点设想有一个对称轴垂直于平面，设想有一个对称轴垂直于平面，B是是A的最近邻点的最近邻点由于由于 ，而且而且AB为该方向上的最短平移周期，所以有为该方向上的最短平移周期，所以有 p为整数为整数由几何关系有由几何关系有即：即：p=1-2cosq qcosq q的的变化范化范围+1-1cosq q=+1,+1/2,0,-1/2,-1 q q=0,60,90,120,180 p=-1,0,1,2,3n=1，6，4，3，2除了除了1，2，3，4和和6以外的以外的其他角度的转动，例如转动其他角度的转动，例如转动2p p/5或或2p p/7，不可能找到使之与自身，不可能找到

46、使之与自身重合的晶格。适当设计的单分子重合的晶格。适当设计的单分子可以有任意角度的转动对称性，可以有任意角度的转动对称性，但是一个无限的周期晶格则不可但是一个无限的周期晶格则不可能。可以用分子制作一个晶体，能。可以用分子制作一个晶体，其中单独的分子具有其中单独的分子具有5重转动轴，重转动轴，但是不能期望晶格具有但是不能期望晶格具有5重转动重转动轴。轴。当试图去制作一个具有当试图去制作一个具有5重对称性的周期晶格将会遇到什么样的情重对称性的周期晶格将会遇到什么样的情况况:这些五边形不能相互贴紧地填充整个空间。或者说是这些五边形不能相互贴紧地填充整个空间。或者说是不可能不可能使五边形相互连接的列阵

47、不留任何空隙地充满整个空间使五边形相互连接的列阵不留任何空隙地充满整个空间。这就表。这就表明，不可能将明，不可能将5重点对称性同所需要的平移周期性结合起来。重点对称性同所需要的平移周期性结合起来。（3 3）中心反演）中心反演 通过某一定点的直线为轴，将点阵或晶体先转动通过某一定点的直线为轴，将点阵或晶体先转动1801800 0 ，然后通过过这一定点而垂直于旋转轴的平面再，然后通过过这一定点而垂直于旋转轴的平面再作镜面反映的操作称为中心反演。这样的操作效果相作镜面反映的操作称为中心反演。这样的操作效果相当于把（，）变成为（，当于把（，）变成为（，z z）。）。原点原点O O称为对称心，中心反演一

48、般用表示。称为对称心，中心反演一般用表示。（2 2）镜面反映）镜面反映 若一个点阵以通过某一定点的平面为镜面，将点阵反若一个点阵以通过某一定点的平面为镜面，将点阵反映为它的镜象，点阵是自身还原的，这种对称性称为镜面映为它的镜象，点阵是自身还原的，这种对称性称为镜面对称性，这种操作称为镜面对称操作。通常用符号或对称性，这种操作称为镜面对称操作。通常用符号或表示。表示。（）转动反演（）转动反演 通过过某定点的轴把点阵先转动通过过某定点的轴把点阵先转动2/2/，再进行，再进行中心反演，相应的转动轴称为重转动反演轴，用符中心反演，相应的转动轴称为重转动反演轴，用符号表示，只可能取号表示，只可能取1 1

49、、2 2、3 3、4 4、6 6。 （）转动反映（）转动反映 绕通过某一定点的转轴将点阵先转动绕通过某一定点的转轴将点阵先转动2/2/，接着，接着对垂直于转轴的平面作镜面反映。对垂直于转轴的平面作镜面反映。转动轴、对称心、镜面等这些几何元素，即进行转动轴、对称心、镜面等这些几何元素，即进行对称操作所依靠的几何元素称为对称操作所依靠的几何元素称为对称元素对称元素。对称操作是一种运动、是一种动作，只有当晶体存对称操作是一种运动、是一种动作，只有当晶体存在对称元素时才能进行对称操作，对称操作只有与对称在对称元素时才能进行对称操作，对称操作只有与对称元素相联系才可能进行，它们是相互关联的，对称元素元素

50、相联系才可能进行，它们是相互关联的，对称元素的存在只有依靠对称操作才能证实。的存在只有依靠对称操作才能证实。 一种点阵可以同时存在若干种一种点阵可以同时存在若干种对称元素。对称操作的一种特定的对称元素。对称操作的一种特定的组合方式叫做点群。点群在组合方式叫做点群。点群在“群论群论”中有严格的定义，点群代表的是中有严格的定义，点群代表的是点阵或晶体的对称性，也就是点阵点阵或晶体的对称性，也就是点阵或晶体能进行什么样的对称操作。或晶体能进行什么样的对称操作。 按照点对称操作将点阵划分为按照点对称操作将点阵划分为 七大晶系三斜、单斜、正交、四角、七大晶系三斜、单斜、正交、四角、立方、三角、六角（七个

51、点群）立方、三角、六角（七个点群）。 再考虑基元的对称性，需要加上另外25个点群，共有32个空间点群。立方体的点对称操作立方体的点对称操作1)绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动33=9个对称操作个对称操作共有共有6个对称操作个对称操作2)绕绕6条面对角线轴转动条面对角线轴转动42=8个对称操作个对称操作3)绕绕4个立方体对角个立方体对角线轴转动线轴转动4)转动转动2p p或不动的一个或不动的一个操作操作1个对称操作个对称操作纯转动对称操作一共有：纯转动对称操作一共有：9+6+8+1=24个个 每一转动操作再加上中心反演也是立方体的对称操作，每一转动操作再加上中心反演也是立方体的对称操作，所以，立

52、方体有：所以，立方体有：242=48个对称操作。这个对称操作。这48个对称操作个对称操作的集合就构成了全立方点群的集合就构成了全立方点群Oh群。群。例例2 2： 正四面体的点对称操作正四面体的点对称操作四个原子位于正四面四个原子位于正四面体的四个顶角上，正体的四个顶角上，正四面体的对称操作包四面体的对称操作包含在立方体操作之中含在立方体操作之中 金刚石晶格金刚石晶格共有共有3个对称操作个对称操作1)绕三个立方轴转动绕三个立方轴转动p p8个对称操作个对称操作2)绕绕4个立方体对角线个立方体对角线轴转动轴转动3)转动转动2p p或不动或不动1个对称操作个对称操作6个对称操作个对称操作4)绕三个立

53、方轴转动绕三个立方轴转动加中心反演加中心反演6个对称操作个对称操作5)绕绕6条面对角线轴转动条面对角线轴转动加上中心反演加上中心反演正四面体对称操作共有正四面体对称操作共有2424个个立方晶系晶体并不一定具有对称心立方晶系晶体并不一定具有对称心(即基元不是球对称即基元不是球对称的的)，这时就只有，这时就只有24个对称操作，对应立方点群个对称操作，对应立方点群O群。群。 上面讲的对称性主要是点对称性，即在操作的过上面讲的对称性主要是点对称性，即在操作的过程中至少有一个点保持不动。若再考虑到平移对称性，程中至少有一个点保持不动。若再考虑到平移对称性，还有两种对称操作，这两种对称操作只有还有两种对称

54、操作，这两种对称操作只有晶体结构晶体结构才才有，点阵没有这种对称操作。一种是重螺旋轴，另有，点阵没有这种对称操作。一种是重螺旋轴，另一种是滑移面对称。一种是滑移面对称。空间群空间群 在三维空间，对点阵来讲，描述晶体宏观对称性的在三维空间，对点阵来讲，描述晶体宏观对称性的3232种对种对称操作类型称操作类型( (点群点群) )加上描述晶体微观对称性的平移对称操作，加上描述晶体微观对称性的平移对称操作，可以证明只有可以证明只有1414种布拉菲格子。种布拉菲格子。如果再加上基元的对称性和两如果再加上基元的对称性和两类平移对称操作类平移对称操作, ,可以得到可以得到230230种操作，构成空间群。每种

55、空间种操作，构成空间群。每种空间群对应一种晶体结构类型。群对应一种晶体结构类型。 14种布拉菲原胞种布拉菲原胞1)简单三斜简单三斜2)简单单斜简单单斜3)底心单斜底心单斜4)简单正交简单正交5)底心正交底心正交6)体心正交体心正交7)面心正交面心正交8)三角三角9)简单四方（四角）简单四方（四角）10)体心四方（四角）体心四方（四角） 11)六角六角 12)简单立方简单立方(SC)13)体心立方体心立方(BCC)14)面心立方面心立方 (FCC)附录：一些微观对称的宏观结果附录：一些微观对称的宏观结果纯粹是由于晶体排列对称性的缘故，而导致的特异物理性质，纯粹是由于晶体排列对称性的缘故，而导致的

56、特异物理性质，与内含之个别元素种类没有关系。以下几种皆属之：与内含之个别元素种类没有关系。以下几种皆属之：热电性热电性有永久电偶极的晶体结构，因温度的不同而造成材料有永久电偶极的晶体结构，因温度的不同而造成材料表面电荷的出现与消失，就是表面电荷的出现与消失，就是热电性。热电性。压电性压电性不必装电池而一按就能跳出火花的厨房用瓦斯炉点火不必装电池而一按就能跳出火花的厨房用瓦斯炉点火器，里面装置的晶体，容易受压力形变而造成晶胞内电偶极器，里面装置的晶体，容易受压力形变而造成晶胞内电偶极的改变，因而导致了表面电荷的变化。的改变，因而导致了表面电荷的变化。STM（扫描隧道显微（扫描隧道显微镜）的伸缩臂

57、杆、石英表内产生固定频率的石英振荡器，都镜）的伸缩臂杆、石英表内产生固定频率的石英振荡器，都因晶体受不同电场而形变，而能发挥它们超精密幅度伸缩与因晶体受不同电场而形变，而能发挥它们超精密幅度伸缩与不断规律振荡的功能。不断规律振荡的功能。光学活性光学活性例如石英能将入射光的偏振方向旋转。例如石英能将入射光的偏振方向旋转。原子结构的直接成像扫描电镜（扫描电镜（SEM）与透射电镜（）与透射电镜（TEM）原理原理利用电子束与样品作用产生的次级电子成像利用电子束与样品作用产生的次级电子成像空间分辨取决于电子束的束斑大小空间分辨取决于电子束的束斑大小使用了场发射针尖的使用了场发射针尖的STEM，空间分辨，

58、空间分辨0.2nm具有元素分析功能具有元素分析功能DavidScharfDavidScharf，鸡蛋壳扫描电镜像，鸡蛋壳扫描电镜像，鸡蛋壳扫描电镜像，鸡蛋壳扫描电镜像扫描隧道显微镜（扫描隧道显微镜（STM）1981年，年，G.Binnig与与H.Rohrer发明了发明了STM工作原理工作原理利用了量子力学中的隧道效应。利用了量子力学中的隧道效应。基本构造基本构造探针与样品探针与样品三维扫描控制器三维扫描控制器压电陶瓷压电陶瓷样品粗逼近控制样品粗逼近控制减震系统减震系统电子学系统电子学系统三种常见的三维扫描控制器三种常见的三维扫描控制器工作模式工作模式恒高模式恒高模式恒流模式恒流模式空间分辨空间

59、分辨横向分辨横向分辨0.1nm，纵向分辨，纵向分辨0.01nm。Si（111）77原子重构像原子重构像电解液中硫酸根离子吸附在铜单晶（电解液中硫酸根离子吸附在铜单晶（111）表）表面的面的STM图象图象单原子分子操纵单原子分子操纵用用STM操纵单原子分子操纵单原子分子STM主要是利用其针尖与目标原子分子的相互主要是利用其针尖与目标原子分子的相互作用以及偏压在针尖和样品间产生的强电场来作用以及偏压在针尖和样品间产生的强电场来进行原子分子操纵的。通过在针尖进行原子分子操纵的。通过在针尖-样品间加脉样品间加脉冲电压，可以对吸附在样品表面的原子分子或冲电压，可以对吸附在样品表面的原子分子或样品表面内的

60、原子进行各种操纵。对脉冲幅度样品表面内的原子进行各种操纵。对脉冲幅度和宽度的调节，加上和宽度的调节，加上STM优秀的定位能力，使优秀的定位能力，使得这种操纵非常精确。人类对单原子的第一次得这种操纵非常精确。人类对单原子的第一次操纵，就是在操纵，就是在STM上实现的。上实现的。单原子分子操纵单原子分子操纵1990年，年，D.M.Eigler组，用组，用STM移动移动Ni（110）表面上的表面上的35个个Xe原子，组成原子，组成IBM三个字母。三个字母。单原子分子操纵单原子分子操纵1993年，年，Eigler组，量子围栏。组，量子围栏。将将48个吸附在个吸附在Cu（111）表面上的铁原子移动）表面

61、上的铁原子移动形成空心围拦，半径形成空心围拦，半径7.13nm。单原子分子操纵单原子分子操纵1994年，黄德欢组，单原子年，黄德欢组，单原子表面缺陷修复。表面缺陷修复。将吸附有将吸附有Si原子的原子的STM针针尖置于尖置于Si（111）7 7表面上表面上的的Si单原子缺陷（图单原子缺陷（图a中以三中以三角形标出）上方，然后用加角形标出）上方，然后用加脉冲电压的方法将脉冲电压的方法将Si原子放原子放入缺陷内，实现表面单原子入缺陷内，实现表面单原子缺陷的修复。缺陷的修复。单原子分子操纵单原子分子操纵1994年，黄德欢组，单原子链。年，黄德欢组，单原子链。STM针尖沿着针尖沿着Si（111）7 7表

62、面上单胞洞的方向有表面上单胞洞的方向有序并连续地移走单个序并连续地移走单个Si原子，原子，从而加工出两条相隔一个原从而加工出两条相隔一个原子的单原子槽。随后，这两子的单原子槽。随后，这两条单原子槽之间的条单原子槽之间的Si原子自原子自动重新组合，构成一条间隔动重新组合，构成一条间隔均匀的直线单原子链均匀的直线单原子链单原子分子操纵单原子分子操纵1992年，年，Eigler组，操纵组，操纵CO单分子组成的人单分子组成的人形结构。形结构。单原子分子操纵单原子分子操纵2019年，年，Jung等，操纵吸附在等，操纵吸附在Cu（100）表）表面的面的6个个Cu-TDBPP分子，使它们从平行的两分子，使它

63、们从平行的两排变为围成六角形。排变为围成六角形。单原子分子操纵单原子分子操纵2019年，年，W.Ho组，单分子旋转。组，单分子旋转。用用STM对吸附在对吸附在Pt（111）面上的一个氧分子（右边的）面上的一个氧分子（右边的）加脉冲，使其发生旋转。加脉冲，使其发生旋转。而没有加脉冲的另一个氧而没有加脉冲的另一个氧分子（左边的）则保持原来分子（左边的）则保持原来的取向不变。的取向不变。第一章晶体结构内容提要1布拉菲点阵和初基矢量布拉菲点阵和初基矢量2初基晶胞（原胞）初基晶胞（原胞）3惯用晶胞（单胞）惯用晶胞（单胞）4维格纳维格纳-赛兹晶胞（赛兹晶胞（W-S晶胞）晶胞）5晶体结构晶体结构6简单晶体结

64、构简单晶体结构7晶面指数和晶向指数晶面指数和晶向指数8对称操作对称操作9七种晶系和十四种布拉菲点阵七种晶系和十四种布拉菲点阵解解（a）若）若（i=1，2，3）全为偶数，则点阵矢量）全为偶数，则点阵矢量可以写为可以写为这里这里为整数，于是有为整数，于是有显然由显然由定义的是一个点阵常数为定义的是一个点阵常数为2的的sc点阵。点阵。若若全为奇数，则点阵矢量为全为奇数，则点阵矢量为例例1具有笛卡尔坐标具有笛卡尔坐标的所有点形成什么样的的所有点形成什么样的布喇菲点阵？如果布喇菲点阵？如果（a）或全为奇数，或全为偶数，或全为奇数，或全为偶数，（b）要求）要求为偶数。为偶数。由由所定义的也是一个点阵常数为

65、所定义的也是一个点阵常数为2的的sc点阵，但对于相对于上面一个点阵，但对于相对于上面一个SC点阵位移了一个矢量点阵位移了一个矢量，这个点正好位于体心位置。上，这个点正好位于体心位置。上面两个面两个sc点阵穿套起来正好是一个点阵穿套起来正好是一个bcc点阵，故点阵，故或全取偶数或全取偶数或全取奇数所定义的是一个或全取奇数所定义的是一个bcc点阵。点阵。（b）为偶数，这里为偶数，这里N是整数。于是点阵矢量为是整数。于是点阵矢量为令令则有则有又令又令仍为整数，仍为整数，则有则有由于由于fcc点阵的点阵矢量是点阵的点阵矢量是可见上述可见上述定义的是一个点阵常数定义的是一个点阵常数a=2的的fcc点阵。

66、点阵。面心立方面心立方(fcc)初基基矢初基基矢：a1=a/2(i+j) a2=a/2(j+k) a3=a/2(k +i)例例2 立方晶系的晶面和晶向立方晶系的晶面和晶向证明立方晶系中方向hkl垂直于平面（hkl）。 证明方法一证明方法一 对立方晶系，三个立方轴为zxyACBKn根据晶面指数的定义，平面组（hkl）中距原点最近的平面ABC在三个晶轴上的截距是 。该平面法线方向的单位矢量 的方向余弦是其中，d是原点到平面ABC的垂直距离，法线方向的单位矢量是 由方向指数的定义，hkl方向的方向矢量是 显然，所以，方向所以，方向hkl垂直于具有相同指数的平面（垂直于具有相同指数的平面（hkl）。）

67、。 证明方法二证明方法二 要证明方向hkl垂直于平面（hkl），只需证明方向矢量垂直于平面（hkl）上的两个矢量，例如AB和BC：显然有同理所以，方向所以，方向hkl垂直于平面（垂直于平面（hkl）。zxyACBKnO例例3 简单正交点阵的面间距简单正交点阵的面间距 如果基失 构成正交系，证明平面族（ hkl）的面间距为 例例3 3 简单正交点阵的面间距简单正交点阵的面间距如果基失如果基失构成正交系，证明平构成正交系，证明平面族（面族（ hkl）的面间距为）的面间距为解：解：参看右图，根据晶面指数的定义，平面族（参看右图，根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶）中距原点最

68、近平面在三个晶轴轴上的截距分别是上的截距分别是。该平面（该平面（ABC）法线方向的单位矢量是）法线方向的单位矢量是这里这里d是原点到平面是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距的垂直距离，即面间距。zxyACB由由得到得到故故对对sc点阵，点阵，所以有所以有思考题1、解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？2、晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基矢a1、a2和a3重合，除O点外,OA、OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？作作 业业1.求以下点阵堆积比率求以下点阵堆积比率:（1）sc（2）bcc（3）fcc（4）dia

69、mond2.已知已知NaCl是立方晶体是立方晶体,其分子量为其分子量为M=58.46,在室温下密度为在室温下密度为2.167g/cm3.试试计算计算NaCl的点阵常数的点阵常数.习习 题题 习题习题1，2，33.某晶体的每一个阵点只有一个同种原子，其基矢某晶体的每一个阵点只有一个同种原子，其基矢（单位：（单位：angstrom）为）为试求（试求（1）Bravais点阵是什么类型；点阵是什么类型；（2）计算初基晶胞和惯用晶胞的体积）计算初基晶胞和惯用晶胞的体积.4.立方立方ZnS的密度为的密度为4.067103g/cm3,Zn的原子量为的原子量为65.07,S的原子量为的原子量为32.66.求立方求立方ZnS的点阵常数的点阵常数.