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1、第3课时 平面向量的数量积及平面向量的运用根底知识梳理根底知识梳理非零非零(2)范范围围向量向量夹夹角角的范的范围围是是 ，a与与b同向同向时时，夹夹角角 ；a与与b反向反向时时，夹夹角角 .(3)向量垂直向量垂直假假设设向量向量a与与b的的夹夹角是角是 ，那么，那么a与与b垂直，垂直，记记作作 .根底知识梳理根底知识梳理0180018090ab【思索【思索提示】不正确求两提示】不正确求两向量的向量的夹夹角角时时，两向量起点，两向量起点应应一一样样，向量向量a a与与b b的的夹夹角角为为ABC.ABC.根底知识梳理根底知识梳理2平面向量的数量积平面向量的数量积知两个非零向量知两个非零向量a、
2、b，a(x1，y1)，b(x2，y2)根底知识梳理根底知识梳理根底知识梳理根底知识梳理定义定义(1)ab(2)规定：规定：0a坐标表示坐标表示ab 运算律运算律(1)abba(2)(a)b (3)(ab)ca在在b方向上的投影方向上的投影b在在a方向上的投影方向上的投影ab的几何意义的几何意义数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与 |a|b|cos0x1x2y1y2(ab)a(b) acbc|a|cos|b|cosb在在a方向上的投影方向上的投影|b|cos的的乘乘积3.与平面向量的数量积有关的结与平面向量的数量积有关的结论论知两个非零向量知两个非零向量a、b，a(x1，y1)，b(
3、x2，y2)根底知识梳理根底知识梳理根底知识梳理根底知识梳理结论结论几何表示几何表示坐标表示坐标表示模模夹角夹角 cos ab的充的充要条件要条件ab0x1x2y1y20|ab|与与|a|b|的关的关系系|ab|a|b| |x1x2y1y2|2.如何利用向量的数量如何利用向量的数量积证积证明明ab?【思索【思索提示】假提示】假设设ab|a|b|或或ab|a|b|，那么，那么ab.根底知识梳理根底知识梳理4.向量方法向量方法处处理几何理几何问题问题的步的步骤骤(1)建立几何与建立几何与 的的联络联络，用，用 表表示示问题问题中涉及的几何元素，将几何中涉及的几何元素，将几何问题转问题转化化为为 问
4、题问题；(2)经过经过向量的运算，研向量的运算，研讨讨几何元素之几何元素之间间的关系，如的关系，如夹夹角、角、间间隔、垂直、平行等隔、垂直、平行等问题问题；(3)把运算把运算结结果果“翻翻译译成几何关系成几何关系根底知识梳理根底知识梳理向量向量向量向量向量向量1(2021年高考重年高考重庆庆卷改卷改编编)知知|a|1，|b|6，(a2b)(ba)68，那，那么向量么向量a与与b的的夹夹角是角是()答案：答案：C三基才干强化三基才干强化2知知a(1，3)，b(4,6)，c(2,3)，那么，那么a(bc)等于等于()A(26，78) B(28，42)C52 D78答案：答案：A三基才干强化三基才干
5、强化3知知a(2,1)，b(3，x)，假，假设设(2ab)b，那么，那么x的的值值是是()A3 B1C1或或3 D3或或1答案：答案：C三基才干强化三基才干强化4(教材教材习题习题改改编编)假假设设|a|2，|b|5，ab3，那么，那么|2ab|_.三基才干强化三基才干强化答案：答案：1三基才干强化三基才干强化1数量数量积积的运算要留意的运算要留意a0时时，ab0，但，但ab0时时不能得到不能得到a0或或b0，由于，由于ab时时，也有，也有ab0.2假假设设a、b、c是是实实数，那么数，那么abacbc(a0)；但；但对对于向量，就没于向量，就没有有这样这样的性的性质质，即假，即假设设向量向量
6、a、b、c满满足足abac(a0)，那么不一定有，那么不一定有bc，即等式两，即等式两边边不能同不能同时约时约去一个向量，去一个向量，但可以同但可以同时时乘以一个向量乘以一个向量课堂互动讲练课堂互动讲练考点一考点一平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例1 1知知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求求a与与b的的夹角角；(2)求求|ab|.【思【思绪绪点点拨拨】课堂互动讲练课堂互动讲练平面向量数平面向量数量量积的定的定义夹角公式角公式求模公式求模公式课堂互动讲练课堂互动讲练【名【名师师点点评评】正确地】正确地进进展数量展数量积积的运算，防止的
7、运算，防止错错用公式，如用公式，如a2a2|a|2|a|2是正确的，而是正确的，而abab|a|b|a|b|和和|ab|ab|a|b|a|b|都是都是错误错误的的课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练互互动动探求探求课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练考点二考点二平面向量数量积的坐标运算平面向量数量积的坐标运算留意：留意：(1)x1y2(1)x1y2x2y1x2y10 0与与x1x2x1x2y1y2y1y20 0不同，前者是两向量不同，前者是两向量a a(x1(x1，y1)y1)，b b(x2(x2，y2)y2)共共线的充要条件，的充要条件，后者是它后者是它们垂直的充要条
8、件垂直的充要条件课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例2 2 (2021年高考江年高考江苏苏卷卷)设设向量向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)假假设设a与与b2c垂直，求垂直，求tan()的的值值；(2)求求|bc|的最大的最大值值；(3)假假设设tantan16，求，求证证：ab.【思【思绪绪点点拨拨】课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【规规律小律小结结】向量的坐】向量的坐标标表示表示与运算可以大大与运算可以大大简简化数量化数量积积的运算，的运算，由于有关由于有关长长度、角度和垂直的度、角度和
9、垂直的问题问题可可以利用向量的数量以利用向量的数量积积来来处处理，因此我理，因此我们们可以利用向量的直角坐可以利用向量的直角坐标标求出向量求出向量的的长长度、平面内两点度、平面内两点间间的的间间隔、两个隔、两个向量的向量的夹夹角，判角，判别别两向量能否垂直两向量能否垂直课堂互动讲练课堂互动讲练1平面几何经常涉及间隔平面几何经常涉及间隔(线段线段长度长度)、夹角问题，而平面向量的运算，、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此可以用向量方向量之间的夹角，因此可以用向量方法处理部分几何问题法处理部分几何问题2物理学中的力、速度
10、、位移都物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法类似，故可以用向量的知识来加减法类似，故可以用向量的知识来处理某些物理问题处理某些物理问题课堂互动讲练课堂互动讲练考点三考点三平面向量的运用平面向量的运用课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3如如图， ABCD中，点中，点E，F分分别是是AD，DC边的中点，的中点，BE，BF分分别与与AC交于交于R，T两点，他能两点，他能发现AR，RT，TC之之间有何关系有何关系吗？【思【思绪绪点点拨拨】第一步，建立平】第一步，建立平面几何与向量的关系，用向量表示面几何与向量的关系，用向量表示问问题题的几何
11、元素，将平面几何的几何元素，将平面几何问题转问题转化化为为向量向量问题问题第二步，第二步，经过经过向量运算，研向量运算，研讨讨几几何元素之何元素之间间的关系的关系第三步，把运算第三步，把运算结结果果“翻翻译译成成几何关系几何关系课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【规规律小律小结结】用向量法】用向量法处处理几理几何何问题时问题时，先用向量表示相，先用向量表示相应应的点、的点、线线段、段、夹夹角等几何元素；然后角等几何元素；然后经过经过向向量的运算研量的运算研讨讨点、点、线线段等元素之段等元素之间间的的关系；最后把运算关系；最后把运算结
12、结果果“翻翻译译成几成几何关系，得到几何何关系，得到几何问题问题的的结论结论这这就就是向量法是向量法处处理平面几何理平面几何问题问题的的“三部三部曲曲课堂互动讲练课堂互动讲练向量与三角函数结合是高考命题向量与三角函数结合是高考命题的一个热点，在处置这类问题时，除的一个热点，在处置这类问题时，除留意三角公式的合理运用外，要特别留意三角公式的合理运用外，要特别留意有关向量的数量积、向量的夹角、留意有关向量的数量积、向量的夹角、向量模的公式的准确运用向量模的公式的准确运用课堂互动讲练课堂互动讲练考点四考点四平面向量的综合问题平面向量的综合问题课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例4 4【思【思绪绪点点拨拨
13、】先利用向量运算】先利用向量运算求得函数求得函数f(x)f(x)的解析式，再求的解析式，再求f(x)f(x)的的周期和周期和单调单调区区间间课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【思想【思想总结总结】此】此题题中中经过经过向量向量的坐的坐标标运算得到复合函数运算得到复合函数y yloga2sin(2xloga2sin(2x)，根据复合函数，根据复合函数“同增异减的同增异减的单调单调原那么原那么进进展求解，展求解，在解在解题过题过程中要留意定程中要留意定义义域的限制，域的限制，即即单调单调区区间间必需在必需在g(x)0g(x)0的前提下的前提下进进展判展判别别课
14、堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练高考高考检阅检阅课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练1对数量积概念的了解对数量积概念的了解(1)两个向量的数量积是一个数量，两个向量的数量积是一个数量，它的值为两个向量的模与两向量夹角它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，结果可正、可负、可的余弦的乘积，结果可正、可负、可为零，其符号由夹角的余弦值确定为零，其符号由夹角的余弦值确定计算数量积的关键是正确确定两向量计算数量积的关键是正确确定两向量的夹角，条件是两向量的始点必需重的夹角，条件是两向量的始点必需重合，否那么要经过平移，使两向量符合，否那么要经过平移，使两向量符合以上条件
15、合以上条件规律方法总结规律方法总结(2)两向量两向量a，b的数量的数量积积ab与代与代数中数中a，b的乘的乘积积写法不同，不写法不同，不应该应该漏漏掉其中的掉其中的“(3)b在在a上的投影是一个数量，它上的投影是一个数量，它可正，可可正，可负负，也可以等于，也可以等于0.2.对对数量数量积积运算律的了解运算律的了解(1)当当a0时时，由，由ab0不一定推不一定推出出b0，这这是由于是由于对对任一个与任一个与a垂直的垂直的向量向量b，都有，都有ab0.规律方法总结规律方法总结当当a0时，abac也不一定推出也不一定推出bc，由于由，由于由abac，得，得a(bc)0，即，即a与与(bc)垂直也就是向量的垂直也就是向量的数量数量积运算不运算不满足消去律足消去律(2)对于于实数数a，b，c，有，有(ab)ca(bc)，但，但对于向量来于向量来说，(ab)c与与a(bc)不一定相等，不一定相等，这是由于是由于(ab)c表示一个与表示一个与c共共线的向量，而的向量，而a(bc)表表示一个与示一个与a共共线的向量，而的向量，而a与与c不一定不一定共共线，所以，所以(ab)c与与a(bc)不一定相不一定相等等规律方法总结规律方法总结随堂即时稳定随堂即时稳定点点击进入入课时活页训练课时活页训练点点击进入入
