《4、随机向量及其概率分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4、随机向量及其概率分布（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第4章章 随机向量及其概率分布随机向量及其概率分布4.1 随机向量的联合分布随机向量的联合分布4.2 边缘分布边缘分布4.3 条件分布条件分布4.4 随机变量的独立性随机变量的独立性4.5 随机向量函数的分布随机向量函数的分布上页下页返回退出4.1 随机向量的联合分布随机向量的联合分布4.1.1 二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数引例引例 假设某商店一天内的顾客人数假设某商店一天内的顾客人数X服从参服从参数为数为1000的的Poisson分布；购买某种商品的人数分布；购买某种商品的人数记为记为Y，若每个顾客购买这种商品的概率为，若每个顾客购买这种商品的概率为0.25，且各个
2、顾客是否购买这种商品是相互独，且各个顾客是否购买这种商品是相互独立的。求一天有立的。求一天有m个顾客进入商店且有个顾客进入商店且有n个顾客个顾客购买这种商品的概率。购买这种商品的概率。上页下页返回退出定义定义 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为，X、Y为为定义在上定义在上的随机变量，则称的随机变量，则称(X,Y)为一个二维为一个二维随机向量。随机向量。若若(X,Y)是一个二维随机变量，则称函数是一个二维随机变量，则称函数 F(x,y)=P(Xx,Yy)(等式右边表示随机事件等式右边表示随机事件Xx、Yy的乘积的的乘积的概率概率)为随机变量为随机变量(X,Y)的的(联合联合)分布函数。
3、分布函数。上页下页返回退出二维随机向量二维随机向量(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)的性质：的性质：0F(x,y)1且且F(-,y)=F(x,-)=0，F(+,+)=1；当当x固定时固定时F(x,y)是是y的单调不减函数，当的单调不减函数，当y固定时固定时F(x,y)是是x的单调不减函数；的单调不减函数；F(x,y)最多有可列个间断点，且在间断点最多有可列个间断点，且在间断点(x0,y0)处关于处关于x和和y都是右连续。都是右连续。上页下页返回退出例例 已知已知(X,Y)的分布函数为的分布函数为求：求：A、B；概率概率P(0X1,0Y5)。离散型随机向量的联合概率分布的性质：离散型随机
4、向量的联合概率分布的性质：pij0；p11+p12+p1n+p21+p22+p2n+pn1+pn2+pnn+=1。上页下页返回退出4.1.3 二维连续型随机向量二维连续型随机向量定义定义 对二维随机向量对二维随机向量(X,Y)，若存在非负可，若存在非负可积函数积函数f(x,y)，有，有则称则称(X,Y)为二维连续型随机向量，为二维连续型随机向量，f(x,y)为为X与与Y的联合概率密度函数或的联合概率密度函数或(X,Y)的密度函数，简记的密度函数，简记为为(X,Y)f(x,y)。上页下页返回退出连续型随机向量的密度函数连续型随机向量的密度函数f(x,y)的性质：的性质：f(x,y)0； 例例 设
5、二维随机向量设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函的联合概率密度函数为数为求：求：A；P(X+Y1)。上页下页返回退出定理定理 若二维随机向量若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度函数为函数为f(x,y)，联合分布函数为，联合分布函数为F(x,y)。则有。则有例例 随机向量随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为求：求：A；P(XY)；(X,Y)的联合分布函数的联合分布函数F(x,y)。上页下页返回退出例例 随机向量随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为求：求：A；P(XY)。定义定义 若随机向量若随机向量(X,Y)的密度函数为的密度函数为
6、则称随机向量则称随机向量(X,Y)服从服从D上的均匀分布。上的均匀分布。上页下页返回退出定义定义 若随机向量若随机向量(X,Y)的密度函数为的密度函数为则称随机向量则称随机向量(X,Y)服从二维正态分布，记为服从二维正态分布，记为(X,Y)N(1,2,12,12,r)。上页下页返回退出4.2 边缘分布边缘分布4.2.1 边缘分布函数边缘分布函数定义定义 对二维随机向量对二维随机向量(X,Y)，随机变量，随机变量X、Y 的分布函数称为的分布函数称为(X,Y)关于关于X、Y的边缘分布函数。的边缘分布函数。定理定理 若若(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为F(x,y)，则，则(X,Y)关于关于
7、X的边缘分布函数为的边缘分布函数为FX(x)=F(x,+)，(X,Y)关于关于X的边缘分布函数为的边缘分布函数为FY(y)=F(+,y)。上页下页返回退出4.2.2 二维离散型随机向量的边缘分布律二维离散型随机向量的边缘分布律定义定义 若若(X,Y)是二维离散型随机向量，则随是二维离散型随机向量，则随机变量机变量X、Y的概率分布称为的概率分布称为(X,Y)关于关于X、Y的的边边缘概率分布。缘概率分布。定理定理 若二维离散型随机向量若二维离散型随机向量(X,Y)的联合概的联合概率分布为率分布为P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,3,，则，则(X,Y)关于关于X的边缘概率分布为的边缘
8、概率分布为pi=P(X=xi)=pi1+pi2+pij+，i=1,2,3,，(X,Y)关于关于Y的边缘概率分布为的边缘概率分布为pj=P(Y=yj)=p1j+p2j+pij+，j=1,2,3,，上页下页返回退出求边缘概率分布时，可在表格上直接进行：求边缘概率分布时，可在表格上直接进行： YX y1y2yjpix1p11p12 p1jp1x2p21p22 p2jp2 xipi1pi2pijpi pjp1p2pj上页下页返回退出例例 若离散型随机向量若离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布如右的联合概率分布如右求求(X,Y)关于关于X、Y的边缘概的边缘概率分布。率分布。例例 若离散型随机向量若离散
9、型随机向量(X,Y)的联合概率分布如右的联合概率分布如右求求(X,Y)关于关于X、Y的边缘概的边缘概率分布。率分布。 YX 23410.20.25 0.05200.25 0.053000.2 YX 23410.10.25 0.1520.06 0.15 0.0930.040.10.06上页下页返回退出4.2.3 二维连续型随机向量的边缘密度二维连续型随机向量的边缘密度 定义定义 若若(X,Y)为二维连续型随机向量，则称为二维连续型随机向量，则称随机变量随机变量X、 Y的概率密度为的概率密度为(X,Y)关于关于X、Y的的边边缘概率密度。缘概率密度。定理定理 若若(X,Y)f(x,y)，则，则(X,
10、Y)关于关于X、Y的的边缘边缘概率密度分别为：概率密度分别为：上页下页返回退出例例 若二维连续型随机向量若二维连续型随机向量(X,Y)的联合概率的联合概率密度为：密度为：求：求：c的值；的值；(X,Y)关于关于X、Y的边缘概率密度。的边缘概率密度。上页下页返回退出4.3 条件分布条件分布4.3.1 条件分布函数条件分布函数定义定义 (X,Y)为二维随机向量，若对固定的为二维随机向量，若对固定的x，极限极限存在，则称之为在存在，则称之为在X=x下下Y的条件分布函数，记的条件分布函数，记为为FY|X(y|x)。上页下页返回退出定义定义 (X,Y)为二维随机向量，若对固定的为二维随机向量，若对固定的
11、y，极限极限存在，则称之为在存在，则称之为在Y=y下下X的条件分布函数，记的条件分布函数，记为为FX|Y (x|y)。上页下页返回退出4.3.2 二维离散型随机向量的条件分布律二维离散型随机向量的条件分布律定义定义 设设(X,Y)为二维离散型随机向量，为二维离散型随机向量，若对固定的若对固定的xi，有，有PX=xi0，则称，则称为在条件为在条件X=xi下下Y的条件分布列。的条件分布列。若对固定的若对固定的yj，有，有PY=yj0，则称，则称为在条件为在条件Y=yj下下X的条件分布列。的条件分布列。上页下页返回退出例例 若二维离散型随机向量若二维离散型随机向量(X,Y)的联合概率的联合概率分布如
12、右，求：分布如右，求：边缘分布；边缘分布；在条件在条件Y=2下下X的条件分布；的条件分布；条件条件X=2下下Y的的条件分布。条件分布。 YX12300.10.05 0.1510.05 0.15 0.0520.150.1030.100.1上页下页返回退出4.3.3 二维连续型随机变量的条件分布密度二维连续型随机变量的条件分布密度定义定义 设设(X,Y)为二维连续型随机向量，为二维连续型随机向量，若对固定的若对固定的x，有，有fY(y) 0，则称，则称为在条件为在条件X=x下下Y的条件分布。的条件分布。若对固定的若对固定的y，有，有fY(y) 0，则称，则称为在条件为在条件Y=y下下X的条件分布。
13、的条件分布。上页下页返回退出例例 若二维连续型随机向量若二维连续型随机向量(X,Y)的联合概率的联合概率密度为：密度为：求：求：(X,Y)关于关于X、Y的边缘密度函数；的边缘密度函数；在条件在条件X=0下下Y的条件密度函数；的条件密度函数；条件密度函数条件密度函数fX|Y(x|y)。上页下页返回退出4.4 随机变量的独立性随机变量的独立性定义定义 设设(X,Y)为二维随机向量，若对任意为二维随机向量，若对任意x、yR，有，有F(x,y)=FX(x)FY(y)则称则称X与与Y相互独立。相互独立。定理定理 若若X与与Y相互独立，则相互独立，则FX|Y (x|y)=FX(x)；FY|X (y|x)=
14、FY(y)。上页下页返回退出若离散型随机向量若离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布为的联合概率分布为 PX=xi ,Y=yj=pij，i,j=1,2,3,，则则X与与Y相互独立的充要条件为：对任意相互独立的充要条件为：对任意i,j， pij=pipj例例 已知二维随机变量已知二维随机变量(X,Y)的联合概率分布的联合概率分布如右图：如右图：且且X与与Y相互独立，相互独立，求求a、b的值。的值。 YX01210.080.20.122a0.3b上页下页返回退出若连续型随机变量若连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为f(x,y)，则，则X与与Y相互独立的充要条件为：相互独立的充要
15、条件为： f(x,y)=fX(x)fY(y)例例 已知随机向量已知随机向量(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为判断判断X与与Y是否相互独立。是否相互独立。例例 已知已知Xe(1)，Ye(2)，且，且X与与Y相互独立，相互独立，求求P(XY)。上页下页返回退出定义定义 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为，X1、X2、Xn为定义在上为定义在上的随机变量，则称的随机变量，则称(X1,X2,Xn)为一个为一个n维随机向量。维随机向量。若若(X1,X2,Xn)是一个是一个n维随机向量，则称维随机向量，则称函数函数F(x1,x2,xn)=P(X1x1,X2x2,Xnxn)为随机向量为随机向
16、量(X1,X2,Xn)的的(联合联合)分布函数。分布函数。函数函数FXi(x)=P(Xix)为随机向量为随机向量(X1,X2,Xn)关于关于Xi的的边缘分布函的的边缘分布函数。数。上页下页返回退出定义定义 若随机向量若随机向量(X1,X2,Xn)的的(联合联合)分分布函布函数数F(x1,x2,xn)及其边缘分布函数及其边缘分布函数FXi(x)满足满足F(x1,x2,xn)=FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn)则称则称X1、X2、Xn相互独立。相互独立。定理定理 若若X1、X2、Xn相互独立，则其中任相互独立，则其中任意意k个随机变量也相互独立，个随机变量也相互独立，2kn 。上页下页返回
17、退出定义定义 若随机向量若随机向量(X1,X2,Xm)、(Y1,Y2,Yn)和和(X1,X2,Xm,Y1,Y2,Yn)的的(联合联合)分布函数分分布函数分别别为为F1(x1,x2,xm)、F2(y1,y2,yn)和和F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)，且，且F(x1,x2,xm,y1,y2,yn)=F1(x1,x2,xm)F2(y1,y2,yn)则称则称(X1,X2,Xm)与与(Y1,Y2,Yn)相互独立。相互独立。定理定理 若若(X1,X2,Xm)与与(Y1,Y2,Yn)相互独立，相互独立，对任意函数对任意函数g和和h，则，则g(X1,X2,Xm)与与h(Y1,Y2,Yn)相互独立。相
18、互独立。上页下页返回退出定理定理 若若(X1,X2,Xm)与与(Y1,Y2,Yn)相互独相互独立，立，记记则则Ak与与Ak、Ak与与Bk、Bk与与Ak、Bk与与Bk相互独立。相互独立。上页下页返回退出4.5 随机向量函数的分布随机向量函数的分布定义定义 设设(X,Y)是二维随机变量，是二维随机变量，Z是随机变是随机变量。量。对连续函数对连续函数g(x,y)，若，若X=x和和Y=y描述的事件发生描述的事件发生时，时，Z=g(x,y)描述的事件一定会发生，则称随机描述的事件一定会发生，则称随机变量变量Z为为(X,Y)的函数，记为的函数，记为Z=g(X,Y)。求二维随机变量求二维随机变量(X,Y)的
19、函数的函数Z的分布时，常的分布时，常把把Z描述的事件转化为用描述的事件转化为用(X,Y)表示。表示。上页下页返回退出4.5.1 二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布 例例 设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分的概率分布布为为求求X+Y、X-Y、XY、X/Y的概率分布。的概率分布。 YX-11200.10.20.110.150.30.15上页下页返回退出总结总结 求离散型随机向量求离散型随机向量(X,Y)的函数的函数Z=g(X,Y)的概率分布的步骤为：的概率分布的步骤为：把把(X,Y)的取值代入的取值代入z=g(x,y)中得到中得到Z的所有的所有取值；取
20、值；对对Z的每一个取值的每一个取值z0，找出所有满足，找出所有满足g(x,y)=z0的的(x,y)，把对应的概率，把对应的概率PX=x,Y=y相加得到相加得到P(Z=z0)。例例 设设Xg(p1)，Yg(p2)，且，且X与与Y相互独立，求相互独立，求X+Y的概率分布。的概率分布。上页下页返回退出定理定理 对和的分布，重要的离散型分布的结对和的分布，重要的离散型分布的结果：果：设设XB(n1,p)，YB(n2,p)，且，且X与与Y相互独立，相互独立，则则X+YB(n1+n2, p)； 设设XP(1)，YP(2)，且，且X与与Y相互独立，则相互独立，则X+YP(1+2)。定义定义 若两个同种分布的
21、随机变量的和仍服从若两个同种分布的随机变量的和仍服从这种分布，并且和的参数等于参数的和，则称这这种分布，并且和的参数等于参数的和，则称这种分布具有可加性或再生性。种分布具有可加性或再生性。上页下页返回退出4.5.2 二维连续型随机向量函数的分布二维连续型随机向量函数的分布已知已知(X,Y)f(x,y)，g(x,y)为已知函数，求为已知函数，求Z=g(X,Y)的概率密度的步骤为：的概率密度的步骤为：把把FZ(z)转化为用转化为用(X,Y)表示表示(其中其中Dz为区域为区域或或者几个区域的并者几个区域的并)：FZ(z)=P(Zz)=P(g(X,Y)z)=P(X,Y)Dz)；计算积分计算积分FZ(z
22、)=P(X,Y)Dz对对FZ(z)求导得到求导得到Z的概率密度。的概率密度。这种方法一般称为分布函数法。这种方法一般称为分布函数法。上页下页返回退出例例 已知已知求求X+Y的概率分布。的概率分布。定理定理 已知已知(X,Y)f(x,y)，则，则X+Y的概率密度的概率密度为为已知已知XfX(x)，YfY(y)，且，且X与与Y相互独立，相互独立，则则X+Y的概率密度为两个概率密度的卷积的概率密度为两个概率密度的卷积上页下页返回退出例例 若若Xe(2)，Ye(3)，且，且X与与Y相互独立，相互独立，求求maxX,Y、 minX,Y的概率密度。的概率密度。定理定理 已知已知(X,Y)f(x,y)，则，则U=maxX,Y的概率密度为的概率密度为V=minX,Y的概率密度为的概率密度为上页下页返回退出例例 若若XN(0,1)，YN(0,1)，且，且X与与Y相互独相互独立，求立，求X2+Y2的概率密度。的概率密度。
