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1、7.2 向量的坐标表示向量的坐标表示一一 空间直角坐标系空间直角坐标系二二 向量在轴上的投影向量在轴上的投影三三 向量的坐标表示向量的坐标表示一一 空间直角坐标系空间直角坐标系横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手法则右手法则。即以右手握住即以右手握住 轴，当当轴右手的四个手指从正向右手的四个手指从正向轴时，角度角度转向正向向正向以以轴的的正正拇指的指向就是拇指的指向就是向。向。大大xyz0面面面面面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示: :轴上的点
2、轴上的点轴上的点轴上的点轴上的点轴上的点面上的点面上的点面上的点面上的点面上的点面上的点坐标原点坐标原点二二 向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理设有一轴设有一轴是轴是轴上的有向线段。上的有向线段。空间两向量的夹角：空间两向量的夹角：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角。类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角。两非零向量两非零向量 与与 的的夹角角空间一点在轴上的投影：空间一点在轴上的投影： 过点点作作轴的垂直平面，的垂直平面，即即为点点在在轴上的上的交点交点投影。投影。空间一向量在轴上的投影：空间一向量在轴上的投影：记为定理定理1 1 向量向量在在轴上的投影等于向量的模
3、乘以上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角轴与向量的夹角的余弦，的余弦，即即投影投影，设向量的起点向量的起点和和终点点在在轴上的投影分上的投影分别为那么那么轴上的有向上的有向线段段的的值，轴轴称为向量在称为向量在上的上的定理定理2 2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴在该轴上的投影之和，上的投影之和，即即1 1 向量的坐向量的坐标表示表示三三 向量的坐标向量的坐标以以分分别表示沿表示沿轴正向的正向的单位向量。位向量。设向量设向量则则所以所以（向量的坐标分解式）（向量的坐标分解式）的向径。的向径。称为点称为点分别称向量分别称向量为为在三个坐标轴上的分
4、向量，在三个坐标轴上的分向量，称称为向量为向量的坐标。的坐标。向量向量又可以表示为又可以表示为（向量的坐标表达式）（向量的坐标表达式）起点固定在原点，终点在点起点固定在原点，终点在点的向量的向量注：注：（1）（2）（3）2 向量的模与方向余弦的坐标表示向量的模与方向余弦的坐标表示设向量设向量则则所以所以称非零向量称非零向量的正向的夹角为的正向的夹角为方向角方向角.与三条坐标轴与三条坐标轴 由投影定理由投影定理1有有同理同理称非零向量称非零向量的方向角的余弦为的方向角的余弦为的的方向余弦方向余弦。易见：易见：3 向量的加、减、数乘运算的坐标表示向量的加、减、数乘运算的坐标表示设设所以所以同理同理
5、则则4 空空间两点两点间的距离的距离设为空空间两点，两点，则则所以所以解解所求点为所求点为例例1 1 设在在轴上，它到上，它到到点到点的距离的两倍，求点的距离的两倍，求点 的坐的坐标. .的距离为的距离为因因为在在轴上，上， 设设点坐标为点坐标为解解例例2 2 求向量求向量的方向余弦。的方向余弦。的方向余弦为：的方向余弦为：例例3 3 设有向量有向量已知已知它与它与轴和和轴的的夹角分角分别为 和和 如果如果的坐的坐标为求求的坐的坐标。解解设向量向量的方向角的方向角为则则因此因此所以所以的坐的坐标是是的坐的坐标加上加上的坐标，即是的坐标，即是例例4 4 设和和为两已知点，两已知点，直直线上的点上的点分有向分有向线段段为两部分两部分使它使它们的的值的比等于某数的比等于某数即即而在而在解解 ，求分点，求分点的坐标。的坐标。设设，则则由题设有由题设有即有即有所以分点所以分点的坐标为的坐标为为有向有向线段段的的定比分点定比分点。为中点中点时，特别特别注：注：
