斐波那契数列斐波那契数列在初中数学竞赛中的应用在初中数学竞赛中的应用温州新星学校温州新星学校 易永彪易永彪 yyb173@ “十秒钟加数”请用十秒，计算出左边一条加数的答案1235813213455+89??时间到！数学活动：数学活动：答案是答案是231. “十秒钟加数”换一个试试！3455891442333776109871597+2584????时间到！答案是答案是6710数学活动：数学活动： 细看这两个数列：1235813213455+892313455891442333776109871597+25846710 您有什么您有什么发现吗？发现吗？ 问题的提出•在 1202 年，斐波那契在他的著作中，提出以下的一个问题：•假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成假设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能生下一对小兔，并大兔，再过一个月就能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，一年内没有且此后每个月都生一对小兔，一年内没有发生死亡，问：一对刚出生的兔子，一年发生死亡，问：一对刚出生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子内繁殖成多少对兔子? ?这就是著名的这就是著名的“兔子问题兔子问题” 合作探究：1 月1 对 1 月1 对2 月1 对合作探究： 1 月1 对2 月1 对3 月2 对合作探究： 1 月1 对2 月1 对3 月2 对4 月3 对合作探究： 1 月1 对2 月1 对3 月2 对4 月3 对5 月5 对合作探究： 1 月1 对2 月1 对3 月2 对4 月3 对5 月5 对6 月8 对合作探究： 1 月1 对2 月1 对3 月2 对4 月3 对5 月5 对6 月8 对7 月 13 对合作探究： •可以将结果以表格形式列出：1 月2 月3 月5 月4 月6 月7 月8 月9 月11 月10 月12 月1123581321345589144•因此，兔子问题的答案是 144 对。
•以上的数列，是意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘全书》中提出的，亦被称为“斐波那契斐波那契数数列列”归纳小结： 斐波那契斐波那契数数列列这个数列有着十分明显的特点，那是：这个数列有着十分明显的特点，那是：1，，1，，2，，3，，5，，8，，13，，21，，34，，55，，…数列中的每一个数都被称为数列中的每一个数都被称为斐波那契斐波那契数前面相邻两项之和，构成了后一项前面相邻两项之和，构成了后一项n为正整数）为正整数） 连续连续1010个个斐波那契斐波那契数数之和，之和，与与第第7 7个数有什么个数有什么关系吗？关系吗？即：即： 与与 有什么关系吗？有什么关系吗？我们发现：我们发现：现在你知道“十秒钟加数”的秘密了吗？ “十秒钟加数”的秘密：•我们发现： 连续10个斐波那契数之和，必定等于第7个数的11倍！1235813213455+89??•所以右式的答案是：21 11 = 231 •又例如：•右式的答案是：3455891442333776109871597+2584????610 11 = 6710“十秒钟加数”的秘密： 下图是一个树形图的生长过程，依据图中下图是一个树形图的生长过程，依据图中所示的生长规律，第所示的生长规律，第16行的实心圆点的个行的实心圆点的个数是数是 ．（迎春杯赛题）．（迎春杯赛题） 610 一个楼梯共有一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，从地面到最上面一级台阶，台阶或二级台阶，从地面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的走法？一共可以有多少种不同的走法？分析：分析： 1级台阶，有级台阶，有1种；种； 2级台阶，有级台阶，有1、、1；；2，， 共共2种；种；3级台阶，有级台阶，有1、、1、、1；；1、、2；； 2、、1；；共共3种；种；4级台阶，有级台阶，有1、、1、、1、、1；；1、、1、、2；； 1、、2、、1；；2、、1、、1；；2、、2；； 共共5种；种；5级台阶，级台阶， 若第一次迈若第一次迈1级台阶，还剩级台阶，还剩4级，有几种？级，有几种？若第一次迈若第一次迈2级台阶，还剩级台阶，还剩3级，有几种？级，有几种？你有什么发现？你有什么发现？加法加法原理原理 一个楼梯共有一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶最多可以迈三级台阶。
从地从地面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的走法？的走法？分析：分析： 1级台阶，有级台阶，有1种；种； 2级台阶，有级台阶，有1、、1；；2，， 共共2种；种；3级台阶，有级台阶，有1、、1、、1；；1、、2；； 2、、1；；3；； 共共4种；种；4级台阶，有级台阶，有1、、1、、1、、1；；1、、1、、2；；1、、2、、1；；2、、1、、1；；2、、2；；1、、3；； 3、、1；；共共7种；种；你又有什么发现呢？你又有什么发现呢？那那5级台阶呢？级台阶呢？那那6级台阶呢？级台阶呢？那那7级台阶呢？级台阶呢？ 2、有一堆火柴共、有一堆火柴共12根，如果规定每次取根，如果规定每次取 1～～3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？取法？ 考考你：考考你：1、一只青蛙从宽、一只青蛙从宽5米的水田的一边要跳往米的水田的一边要跳往另一边另一边,它每次只能跳它每次只能跳0.5米米,或或1米米,这只青这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法蛙跳过水田共有多少种不同的方法? 共有共有89种种共有共有927种种 3、如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方、如下图，小方和小张进行跳格子游戏，小方从从A跳到跳到B，每次可跳，每次可跳1步或步或2步；小张从步；小张从C跳到跳到D，每次可跳，每次可跳1步、步、2步或步或3步。
试比较：谁跳到步试比较：谁跳到目标处的不同跳法多？多几种？目标处的不同跳法多？多几种？A C B D 小方要跳小方要跳11步、小张要跳步、小张要跳9步小方有小方有144种，种， 小张有小张有149种，种，小张的不同跳法多，多小张的不同跳法多，多5种 斐波那契数列是1，1，2，3，5，8，13，……，它的前两项都是1，之后的每一项都等于前两项的和问题问题1：在斐波那契数列的前：在斐波那契数列的前2010项中，项中， 有多少个偶数？有多少个偶数？问题问题2：在斐波那契数列的前：在斐波那契数列的前2010项中，项中， 有多少项的末位数等于有多少项的末位数等于2？？ 问题问题2：在斐波那契数列的前：在斐波那契数列的前2010项中，项中， 有多少项的末位数等于有多少项的末位数等于2？？分析：分析：显然要尝试按模10计算，即只考察其个位数 且寻求其重复的循环规律112358314594370774156 1 7 8 5 3 8 1 9 09 9 8 7 5 2 7 ……前一半部分前一半部分后一半部分后一半部分问题问题3：根据刚才探索的经验，你能尝试提出一个：根据刚才探索的经验，你能尝试提出一个 新的问题吗？让你的同伴进行解决。
新的问题吗？让你的同伴进行解决 本节课你学到什么本节课你学到什么？？ 有什么收获？有什么收获？ 同学们再见！ 谢 谢 。