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1、13.5 13.5 应用拉普拉斯变换法分析应用拉普拉斯变换法分析线性电路线性电路一、运算法和相量法一、运算法和相量法1、相量法、相量法相相量法把量法把正弦量正弦量变换为相量（复数），从而变换为相量（复数），从而把求解线性电路的正弦稳态问题归结为以相量为把求解线性电路的正弦稳态问题归结为以相量为变量的线性代数方程。变量的线性代数方程。2、运算法、运算法运算法把时间函数变换为对应的象函数，从运算法把时间函数变换为对应的象函数，从而把问题归结为求解以象函数为变量的线性代数而把问题归结为求解以象函数为变量的线性代数方程。方程。3、相似的方程形式、相似的方程形式当电路的所有独立初始条件为零时，电路元当电
2、路的所有独立初始条件为零时，电路元件件VCR的相量形式与运算形式是类似的，的相量形式与运算形式是类似的，加之加之KCL和和KVL的相量形式与运算形式也是的相量形式与运算形式也是类似的，类似的，所以对于同一电路列出的相量方程和所以对于同一电路列出的相量方程和零状态零状态下的运算形式的方程在形式上相似。下的运算形式的方程在形式上相似。在在非零状态非零状态条件下，电路方程的运算形式中条件下，电路方程的运算形式中还应考虑还应考虑附加电源附加电源的作用。的作用。当电路中的非零独立初始条件考虑成附加电当电路中的非零独立初始条件考虑成附加电源之后，电路方程的运算形式仍与相量方程类似。源之后，电路方程的运算形
3、式仍与相量方程类似。可见可见:相量法中各种计算方法和定理在形式上相量法中各种计算方法和定理在形式上完全可以移用于运算法。完全可以移用于运算法。例例1：电路原处于稳态。电路原处于稳态。t=0时开关时开关S闭合，试用运算闭合，试用运算法求解电流法求解电流i1(t)。11H+1V-1FS(t=0)1i1解：初稳态下，解：初稳态下，iL(0-)=0, uc(0-)=1V, 电路的运算电路为电路的运算电路为11H+1V-1FS(t=0)1i1S(t=0)1sL+1/s-1/sC1I1(s)+uc(0-)/s-sLI(s) -Li(0-)U(s)=电感电感电容电容S(t=0)1sL+1/s-1/sC1I1
4、(s)+uc(0-)/s-Ia(s)Ib(s)应用网孔法应用网孔法Ia(s)Ib(s)=Ia(s)Ib(s)=(1+sL+1/sC)1/sC-1/suc(0-)/s-1/sC-+(R2+1/sC)uc(0-)/s代入已知量，得代入已知量，得Ia(s)Ib(s)=Ia(s)Ib(s)=(1+s+1/s)1/s-1/s1/s-1/s-+(1+1/s)1/sS(t=0)1s+1/s-1/s1I1(s)+1/s-Ia(s)Ib(s)解得解得I1(s)= Ia(s)i1(t)=0.5(1-e-tcost-e-tsint)A求其求其拉氏反变换，拉氏反变换，例例2：电路原处于稳态，电路原处于稳态，t=0时将
5、开关时将开关S闭合，求闭合，求t0时时的的uL(t)，已知已知uS1为指数电压，为指数电压， uS1=2e-2t V， uS2为直流电压，为直流电压， uS2=5V 。+uS1- -+uS2- -551H+uL- -uS1=2e-2t VuS2=5V+uS1- -+uS2- -551H+uL- -55+- -+- - -+s+UL(s)- -Li(0-)+UL(s)- -解：运算电路图解：运算电路图应用结点电压法得应用结点电压法得结点电压结点电压un1(s)= UL(s)UL(s)=1/5 + 1/5 +1/s+-+i(0-) = us2/R2 = 1A为参考结点为参考结点55+- -+- -
6、 -+sLi(0-)+UL(s)- -UL(s)=uL(t)= (-4e-2t+5e-2.5t )V例例3：开关开关S原来闭合，求打开原来闭合，求打开S后电路中的电流及电后电路中的电流及电感元件上的电压。感元件上的电压。+ 10V-230.3H0.1HS23+ 10/s-0.3s0.1s1.5- +解：解：K打开后的运算电路图，初始电流为打开后的运算电路图，初始电流为 i(0-) = us/R1 = 5A L1 i(0-) =1.5V思考：几个附加电源？为什么？思考：几个附加电源？为什么？+ us 10V-230.3H0.1HSL1L2R1R223+ 10/s-0.3s0.1s1.5- +I(
7、s)i(t)=(2Ot(s)i(A)253.75+1.75e-12.5t)Ai(0-)i(0+)23+ 10/s-0.3s0.1s1.5- +I(s)UL1(s)=0.3sI(s)-1.5uL1(t)=-6.56e-12.5t - 0.375(t)VUL2(s)=0.1sI(s)uL2(t)=-2.19e-12.5t + 0.375(t)V为什么电感为什么电感L1和和L2的电压中有冲激函数出现？的电压中有冲激函数出现？+ 10V-230.3H0.1HS但开关打开后，但开关打开后， L1和和L2的电流在的电流在t=0+时都被时都被强制为同一电流，强制为同一电流，5A电感电感L1中原有电路为中原有
8、电路为电感电感L2中原有电流为中原有电流为0Ai(t)=(2+1.75e-12.5t)A23+ 10/s-0.3s0.1s1.5- +I(s)i(0+)= 3.75AOt(s)i(A)253.75i(0-)i(0+)+ 10V-230.3H0.1HS可见两个电感的可见两个电感的电流电流都发生了都发生了跃变跃变。由于电流的跃变，电感由于电流的跃变，电感L1和和L2的电压中有冲激的电压中有冲激函数出现。函数出现。 uL1(t)=-6.56e-12.5t - 0.375(t)V uL2(t)=-2.19e-12.5t + 0.375(t)V 但两者大小相同而方向相反，故在整个回路，不会但两者大小相同
9、而方向相反，故在整个回路，不会出现冲激电压，保证满足出现冲激电压，保证满足KVL。其他例题见课本。自学其他例题见课本。自学运算法的解题步骤运算法的解题步骤1、计算、计算uC(0-)和和iL(0-)2、画出运算电路图画出运算电路图注意注意: a.电感和电容的附加电压源电感和电容的附加电压源b.各元件的参数各元件的参数:电阻参数不变电阻参数不变电感参数为电感参数为sL电容参数为电容参数为1/sCc.原电路原电路中的中的电源电源进行拉氏变换进行拉氏变换3、列方程、列方程4、求解、求解5、拉氏反变换、拉氏反变换得出所求物理量的得出所求物理量的时域时域解。解。拉氏变换法（运算法）求解电路问题和向量法拉氏
10、变换法（运算法）求解电路问题和向量法求解正弦稳态电路之比较求解正弦稳态电路之比较13-2.求原函数求原函数（3）结果：结果： f(t)=2(t)+2e-t+e-2t(4)结果：结果： f(t)=(t)+e-t-4e-2t13-4. 电路原已达稳态，电路原已达稳态，t=0时开关时开关S合上，画运算电路。合上，画运算电路。稳态时，电感稳态时，电感 短路，电容短路，电容 开路。开路。i1i2u1u2i1(0-)= i2(0-)= 10/(3+1+1)=2Au1(0-)= u2(0-)= . =2V电容电容sLI(s) -Li(0-)U(s)=电感电感sM为为互感运算阻抗互感运算阻抗Mi1(0-) 和和Mi2(0+)是附加的电压源是附加的电压源i1i2u1u2第第13章结束章结束
