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1、第第17章章 多元函数微分学多元函数微分学1 1 可微性可微性一、一、 可微性与全微分可微性与全微分数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学二、二、 偏导数偏导数数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学三、三、 可微性条件可微性条件数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学课堂练习课堂练习: P116, 1(8), 4, 9(2).作业作业: P116, 1(3)(6)(9), 5, 8(1), 9(1).数学
2、分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学课堂练习课堂练习: 1. 考察二元函数在原点的偏导数和连续性。数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学四、四、 可微性的几何意义及应用可微性的几何意义及应用数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学例例7 7. .计算的近似值. 解解: 设,则取则课堂练习课堂练习: P116, 12数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学小结小
3、结1、理解可微和全微分的概念，会证明可微性；2、掌握偏导数定义和计算，会求全微分；3、了解可微的必要条件和充分条件，及其有关例子；4、知道几何意义，会在几何和近似计算上的应用。 作业作业: P116, 7, 11, 13(1).数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学2 2 复合函数微分法复合函数微分法数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学一、一、 复合函数的求导法则复合函数的求导法则公式（4）也称为链式法则链式法则.数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学注意注意: 多元复合函数求导, 关键
4、是理顺复合步骤,分清中间变量与自变量. 当自变量只有一个时,因变量对自变量的导数为全导数.当自变量多于一个时,因变量对自变量的导数为偏导数.复习一元微分法(P100)! Quiz:y=e-xarcsin2x,求y数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学二、二、 复合函数的全微分复合函数的全微分这就是多元函数的一阶一阶(全全)微分形式不变性微分形式不变性.利用微分形式不变性，能更有条理地计算复杂函数的全微分，并进而求出偏导数. 例如，数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学课堂练习课堂练习: P123, 1(1)(5), 2.小结小结1、熟练掌
5、握复合函数的求导法；2、了解一阶全微分形式不变性。 作业作业: P123, 1(3)(6), 3, 5.数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学3 3 方向导数与梯度方向导数与梯度 x).,( )(, 00000zyfPflfllPrrr或记作 . ,)(),( , ,)(),( .000300000PPPUlzyxPPlRPUzyxPfrr两点间的距离与表示以的任一点内上且含于为出发的射线为从点有定义内的某邻域在点设三元函数1 1 定义定义r, ,0lPfrr的沿方向在点则称此极限为函数D方向导数方向导数 lim )()(lim 000fPfPfl存在若极限=-+rrrr数学分析多元函数
6、微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学梯度的意义：。作业作业: P127, 2, 4.数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学以前的部分作业问题以前的部分作业问题: P104, 1(1)(3)(5),3.数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学4 4 泰勒公式与极值问题泰勒公式与极值问题一、高阶偏导数一、高阶偏导数数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学
7、数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学注意定理17.8和推广情形的区别，如D为闭圆(闭凸)和闭矩形()。公式（8）也称为二元函数在凸域上的中值公式中值公式；注意它与P.112定理17.3的中值公式（12）的差别:数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学其中记号其中记号表示表示数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学一般地, 将导数公式代入即得
8、二元函数的n阶泰勒公式. 由 的麦克劳林公式, 得 数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学, )(),(!),(),( ),(),( ,)(000000000011oyxfykxhnppyxfkyhxfPUkyhxnPUfnp+=+=+r则当阶的连续偏导数内有直到在设数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学解解: 因此,例例5. 求函数的三阶泰勒公式. 数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学其中作业作业: P141, 1(2)(7), 2, 6, 7(3).数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学三、极值问题三、极值问题例如例如
9、:在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 无极值.在点 (0,0) 有极大值;22yxz+-=数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值 ,取得极值取得极值故数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学解解: 显然 (0,0) 都是它们的稳定点 ,并且在 (0,0) 都有 例例7.讨论函数及是否取得极值.在点(0,0)在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.正正负负0可能为因此为极小值.数学分析多元函数微分学数学分析多元函数
10、微分学解解数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学解解数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学解解数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学小结小结:1、掌握高阶偏导数的求法；2、了解中值公式和泰勒公式；3、掌握利用极值的必要条件和充分条件求极值。作业作业: P141, 8(3), 9(1), 11.数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学“Ch17 Ch17 多元函数微分学多元函数微分学”的习题课的习题课一、一、 基本内容基本内容 1、 理解可微和全微分的概念，了解可微的必要条件和充分条件，
11、 了解全微分的几何意义。2、 会求曲面的切平面和法线，会用全微分作近似计算。3、 熟练掌握复合函数的求导法，会用一阶全微分形式不变性。4、 会计算方向导数，梯度及其模。5、 掌握高阶偏导数的计算。6、 掌握中值定理，会用泰勒公式， 掌握极值的必要条件和充分条件，及其应用。数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学二、二、 作业问题作业问题三、三、 练习题练习题数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学解解 由由数学分析多元函数微分学数学分析多元函数微分学
