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1、第八章第八章 分离变数法分离变数法分离变数法是解定解问题的一种常用方法，分离变数法是解定解问题的一种常用方法，适合各种常见有界区域上的边值问题适合各种常见有界区域上的边值问题基本方法：基本方法：通过变数分离，把偏微分方程通过变数分离，把偏微分方程分解成几个常微分方程，将定解问题转化分解成几个常微分方程，将定解问题转化为常微分方程的本征值问题。为常微分方程的本征值问题。理论基础：理论基础：迭加原理迭加原理线性定解问题满足迭加原理线性定解问题满足迭加原理泛定方程和定解条件都是线性的定解问题泛定方程和定解条件都是线性的定解问题称为线性定解问题。称为线性定解问题。81 齐次方程的分离变数法齐次方程的分
2、离变数法齐次方程齐次方程例例1 两端固定弦的自由振动两端固定弦的自由振动第一步：分离变量第一步：分离变量设设代入泛定代入泛定方程和边界条件：方程和边界条件：分离变量分离变量第二步：解本征值问题第二步：解本征值问题？满足边界条件的常微分方程有非零解满足边界条件的常微分方程有非零解（1）应应排除排除通解：通解：（2）也应排除也应排除设设通解：通解：解解得：得：（3）设设通解：通解：解解得：得：X（x）要有非零解要有非零解故故只有当只有当才有非零解：才有非零解：称为本征值称为本征值称为本征函数称为本征函数第三步：解另一个（时间变量）常微分方程第三步：解另一个（时间变量）常微分方程 得到定解问题的分离
3、变量形式特解得到定解问题的分离变量形式特解通解：通解：称为本征振动称为本征振动每每一个一个n，对应一种驻波；对应一种驻波；n=1为基波。为基波。第四步：将所有特解第四步：将所有特解 un（x，t） 迭加迭加第五步：由初始条件确定迭加系数第五步：由初始条件确定迭加系数An、Bn将将和和展为傅里叶展为傅里叶级数级数比较系数比较系数例例2 两端自由杆的自由纵振动两端自由杆的自由纵振动设设解解代入泛定方程和边界条件：代入泛定方程和边界条件：分离变量分离变量解本征值问题：解本征值问题：？满足边界条件的常微分方程有非零解满足边界条件的常微分方程有非零解（1）通解：通解：（2）应排除应排除设设通解：通解：解
4、解得：得：（3）设设通解：通解：X（x）要有非零解要有非零解本征值：本征值：本征函数：本征函数：通解：通解：将将和和展为傅里叶展为傅里叶级数级数比较系数比较系数例例3 杆的导热。设初始杆的一端温度为零，杆的导热。设初始杆的一端温度为零，另一端为另一端为u0。杆上温度梯度均匀，一端保杆上温度梯度均匀，一端保持零度不变，另一端与外界绝热。求杆温度持零度不变，另一端与外界绝热。求杆温度设设解解代入泛定方程和边界条件：代入泛定方程和边界条件：分离变量分离变量解本征值问题：解本征值问题：？满足边界条件的常微分方程有非零解满足边界条件的常微分方程有非零解（1）通解：通解：应排除应排除（2）应排除应排除设设
5、通解：通解：解解得：得：（3）设设通解：通解：X（x）要有非零解要有非零解本征值：本征值：本征函数：本征函数：通解：通解：将将右边展右边展为傅里叶为傅里叶级数比较系数：级数比较系数：例例4 稳定温度场的分布稳定温度场的分布横横截面为矩形的散热片，一边（截面为矩形的散热片，一边（y=b）处于高温热源（温度处于高温热源（温度U）；）；其它三边其它三边处于冷却介质（温度处于冷却介质（温度u0）。求）。求截面上截面上温度分布。温度分布。令令定解定解问题变为：问题变为：解解：设设代入泛定方程和边界条件：代入泛定方程和边界条件：（1）通解：通解：应排除应排除解本征值问题：解本征值问题：（2）应排除应排除设
6、设通解：通解：解解得：得：（3）设设通解：通解：X（x）要有非零解要有非零解本征值：本征值：本征函数：本征函数：通解：通解：将将边界条件边界条件代入代入将将右边展为傅里叶正弦级数比较系数：右边展为傅里叶正弦级数比较系数：例例5 均匀静电场中放入圆柱形导体。求空均匀静电场中放入圆柱形导体。求空 间的电场。间的电场。+ + + + + +解解 设电场设电场 沿沿x方向方向电势电势u（x，y）泛定方程：泛定方程：边界条件：边界条件：自然周期性边界条件：自然周期性边界条件：用用平面极坐标平面极坐标设设解本征值问题：解本征值问题：（1）（2）通解：通解：通解：通解：设设显然对任何显然对任何m，自然周期性
7、边界条件自然周期性边界条件均不满足：均不满足：应排除应排除（3）设设通解：通解：自然周期性边界条件要求：自然周期性边界条件要求：必须取：必须取：本征值：本征值：本征函数：本征函数：（代入）（代入）（欧拉型常（欧拉型常微分方程）微分方程）作作变量代换变量代换由由边界条件确定系数边界条件确定系数82 非齐次波动方程和输运方程非齐次波动方程和输运方程一、傅里叶级数法一、傅里叶级数法用用分离变数法解波动方程、输运方程时所得分离变数法解波动方程、输运方程时所得到的解通常是傅里叶级数形式，这就提示我到的解通常是傅里叶级数形式，这就提示我们求解时可直接将解写成傅里叶级数形式：们求解时可直接将解写成傅里叶级数
8、形式：傅里叶级数的基本函数族傅里叶级数的基本函数族 由齐次边界由齐次边界条件确定：条件确定：可以应用傅里叶级数法解非齐次方程可以应用傅里叶级数法解非齐次方程例例1 两端固定弦的受迫振动。设单位长度两端固定弦的受迫振动。设单位长度受横向力受横向力F（x，t），），力密度力密度设设将非齐次项展为傅里叶将非齐次项展为傅里叶正弦级数：正弦级数：代入泛定代入泛定方程：方程：比较系数得：比较系数得：由初始条件由初始条件可以应用拉普拉斯变换解以上常微分方程可以应用拉普拉斯变换解以上常微分方程解解二二 应用迭加原理应用迭加原理设设将非齐次项展为傅里叶将非齐次项展为傅里叶正弦级数：正弦级数：代入泛定代入泛定方程
9、：方程：比较系数得：比较系数得：由初始条件由初始条件应用拉普拉斯变换解常微分方程应用拉普拉斯变换解常微分方程例例2 杆的受迫纵向振动杆的受迫纵向振动设力密度设力密度设设右边已是傅右边已是傅里叶里叶余弦级数，比较系数：余弦级数，比较系数：代入泛定代入泛定方程：方程：由初始条件由初始条件解常微分方程解常微分方程应用拉普拉斯变换解以上常微分方程应用拉普拉斯变换解以上常微分方程应用拉普拉斯变换应用拉普拉斯变换若用迭若用迭加法加法二、冲量定理法（齐次化原理）二、冲量定理法（齐次化原理）1、齐次化原理、齐次化原理设设 满足齐次方程的定解问题满足齐次方程的定解问题则非齐次方程的定解问题则非齐次方程的定解问题
10、的解的解为：为：证明证明先先证明证明 u 满足齐次初始条件满足齐次初始条件再证明再证明 u 满足非齐次方程满足非齐次方程2、物理思想（冲量定理法）、物理思想（冲量定理法）将将方程右边持续作用的非齐次项看作是许多相继方程右边持续作用的非齐次项看作是许多相继发生的瞬时作用的迭加发生的瞬时作用的迭加该瞬时作用力引起的振动为该瞬时作用力引起的振动为后后瞬时作用力为零瞬时作用力为零单位质量上的瞬时作用力单位质量上的瞬时作用力在在时间内：时间内：满足定解问题：满足定解问题：令令满足定解问题：满足定解问题：u（x，t）的定解问题就等于一系列瞬时作用产的定解问题就等于一系列瞬时作用产生的生的 的迭加。的迭加。
11、3、应用范围和条件、应用范围和条件（1）可应用于求解非齐次波动方程和）可应用于求解非齐次波动方程和 非齐次输运方程。非齐次输运方程。（2）对边界条件没有特别限制，可以是第）对边界条件没有特别限制，可以是第 一、二、三类边界条件。一、二、三类边界条件。（3）初始条件必须是齐次（零值）初始条件必须是齐次（零值）如果初始条件是非齐次（非零值），可应如果初始条件是非齐次（非零值），可应用迭加原理将用迭加原理将u（x，t）分为两项：分为两项：分离变数法分离变数法冲量定理法冲量定理法例例1 求解求解解解先求解先求解设设比较系数：比较系数：代入泛定代入泛定方程：方程：常常微分方程的解为：微分方程的解为：由由
12、初始条件：初始条件：比较系数：比较系数：例例2 求解求解解解先求解先求解设设比较系数：比较系数：代入泛定代入泛定方程：方程：常常微分方程的解为：微分方程的解为：由初始条件：由初始条件：将将右边展为傅里叶正弦级数，右边展为傅里叶正弦级数，Cn即展开系数即展开系数83 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理原则：利用迭加原理令：原则：利用迭加原理令：先找先找 v 使它满足非齐次边界条件，再使它满足非齐次边界条件，再求求 w 满足齐次边界条件的定解问题。满足齐次边界条件的定解问题。关键：如何确定合适的关键：如何确定合适的 v ？一、一般方法：一、一般方法：1、第一类非齐次边界条件、第一类非齐次边界
13、条件（1）设：设：代入代入边界条件得：边界条件得：解得：解得：令：令：（2）（3）将（将（2）、（）、（3）代入（）代入（1），可以得到），可以得到w（x，t）的定解问题：的定解问题：2、第二类非齐次边界条件、第二类非齐次边界条件（1）令：令：（2）设：设：代入边界条件得：代入边界条件得：解得：解得：（3）将（将（2）、（）、（3）代入（）代入（1），可以得到），可以得到w（x，t）的定解问题：的定解问题：例例 弦的一端弦的一端(x=0)固定固定,另一端另一端(x=l)受迫受迫作谐振动作谐振动 ,弦的初始位移和初弦的初始位移和初始速度均为零。求弦的振动。始速度均为零。求弦的振动。解解 定解问题
14、为定解问题为令：令：w（x，t）满足定解问题：满足定解问题：能否有更好的方法？能否有更好的方法？关键怎样选关键怎样选v（x，t）？）？ 取取v（x，t）为为满足原泛定方程和边满足原泛定方程和边界条件的一个特解，则能使界条件的一个特解，则能使w（x，t）既既满足原泛定方程又满足齐次边界条件。满足原泛定方程又满足齐次边界条件。 二、特殊处理方法二、特殊处理方法设设代入泛定方程：代入泛定方程：代入边界条件：代入边界条件：解常微分方程：解常微分方程：将将代入原定解问题代入原定解问题得到得到w（x，t）的定解问题的定解问题用用分离变数法求解可得：分离变数法求解可得：由由初始条件：初始条件：84 泊松方程
15、泊松方程S是是V 的边界的边界与与时间无关，不适合用冲量定理法时间无关，不适合用冲量定理法方法：（特解法）方法：（特解法）考虑空间区域考虑空间区域V内，内，泊松方程第一类边值问题泊松方程第一类边值问题1、先求出方程的一个特解、先求出方程的一个特解 （不管边界条件）：（不管边界条件）：得到拉普拉斯方程第一类边值问题：得到拉普拉斯方程第一类边值问题：3、解出、解出w（x，y，z）2、应用迭加原理，令、应用迭加原理，令代入原方程和边界条件：代入原方程和边界条件：例例1 在圆域在圆域 上求解泊松方程上求解泊松方程解解为求特解设为求特解设比较系数：比较系数：应用极坐标应用极坐标令：令：得得 w 的定解问题：的定解问题：在极在极坐标中用分离变数法求得一般解为：坐标中用分离变数法求得一般解为：w 在圆域内处处有限，而在在圆域内处处有限，而在 点点和和为为无限大，应排除。无限大，应排除。由由边界条件：边界条件：比较系数：比较系数：解解例例2 在矩形域在矩形域 上上求解泊松方程求解泊松方程为求特解设为求特解设要使要使v 同时满足边界条件同时满足边界条件令：令：得得 w 的定解问题：的定解问题：用用分离变数法求解分离变数法求解设设本征值：本征值：本征函数：本征函数：由由边界条件确定边界条件确定 An ，Bn将右边展为傅里叶正弦级数：将右边展为傅里叶正弦级数：比较系数：比较系数：解解得：得：
