《《概率统计》PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《概率统计》PPT课件（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.5几种重要的连续型分布几种重要的连续型分布n n指数分布指数分布n n正态分布正态分布n n分布分布*n n对数正态分布对数正态分布*前面我们曾经讨论的均匀分布是最简单的前面我们曾经讨论的均匀分布是最简单的常用连续型分布。在这一节里，将介绍另几常用连续型分布。在这一节里，将介绍另几种常用连续型分布，它们有着广泛的应用背种常用连续型分布，它们有着广泛的应用背景。景。1指数分布指数分布n n定义定义: 如果随机变量如果随机变量X的概率密度为的概率密度为其中0,则称X服从参数为的指数分布, X Exp().易知,其分布函数为2指数分布的分布函数推导指数分布的分布函数推导当当当当x x00时时时时
2、, ,当x 0时,3指数分布的期望、方差指数分布的期望、方差4指数分布应用背景指数分布应用背景n n指数分布经常用来作各种指数分布经常用来作各种“寿命寿命”分布的近分布的近似。如随机服务系统中的服务时间似。如随机服务系统中的服务时间, 某些消耗某些消耗性产品性产品(电子元件等电子元件等)的寿命的寿命, 产品首次发生故产品首次发生故障（需要维修）的时间都常被假定服从指数障（需要维修）的时间都常被假定服从指数分布。分布。n n某产品的寿命某产品的寿命T服从参数为服从参数为=0.002的指数分的指数分布，布，则该产品的平均寿命品的平均寿命E(T)= 1=(0.002)-1=500n n对指数分布对指
3、数分布,任何实数任何实数a,b(0 a s+t | X s )=P( X t )的充分必要条件是对任何的s,t0,有无后效性是指数分布的特征.7例题与解答例题与解答n n例例例例2. 2. 顾客在某银行窗口等待服务的时间顾客在某银行窗口等待服务的时间顾客在某银行窗口等待服务的时间顾客在某银行窗口等待服务的时间X X服从参数为服从参数为服从参数为服从参数为1/51/5的指数分布的指数分布的指数分布的指数分布, ,X X的计时单位为分钟的计时单位为分钟的计时单位为分钟的计时单位为分钟. .若等待时间超过若等待时间超过若等待时间超过若等待时间超过1010分钟分钟分钟分钟, ,则他就离开则他就离开则他
4、就离开则他就离开. .设他一个月内要来银行设他一个月内要来银行设他一个月内要来银行设他一个月内要来银行5 5次次次次, ,以以以以Y Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数, ,求求求求Y Y分布律及至少有一次没有等到服务的概率分布律及至少有一次没有等到服务的概率分布律及至少有一次没有等到服务的概率分布律及至少有一次没有等到服务的概率P(YP(Y11) ). . n n解解解解: :由题意不难看出由题意不难看出由题意不难看出由题意不难看出YBYB(5,(5,p p
5、) ) 而其中的概率而其中的概率而其中的概率而其中的概率p p= =P P( (X X10)10)，现，现，现，现X X的概率密度函数为的概率密度函数为的概率密度函数为的概率密度函数为 因此因此因此因此, ,Y Y的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为于是于是于是于是 P P( (Y Y1)1)=1-P=1-P( (Y Y=0)=0)= =1 1-( -(1 1-e -e - -2 2) )5 50.51670.5167. . 8例题与解答例题与解答n n例例3. 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T,设设0, t时段内过桥的汽车数时段内过桥的汽车数X t 服从
6、参数为服从参数为 t 的的泊松分布泊松分布，求，求T的概率密度。的概率密度。n n解解:当当当当t t 0 0时，时，时，时，当当当当t t 0 0时，时，时，时，= = = = 1 1- - - - P P P P 在在在在t t t t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥 于是于是于是于是9正态分布正态分布n n正态分布也叫高斯分布正态分布也叫高斯分布, 正态分布是实践中应正态分布是实践中应用最为广泛用最为广泛,在理论上研究最多的分布之一在理论上研究最多的分布之一,故它在概率统计中占有特别重要的地位。故它在概率统计中占有特别重要的地位。n n正态分布是自
7、然界最常见的一种分布。例如正态分布是自然界最常见的一种分布。例如测量的误差；人的生理尺寸测量的误差；人的生理尺寸:身高、体重；一身高、体重；一个班的考试成绩；普通人的年收入；工厂产个班的考试成绩；普通人的年收入；工厂产品的尺寸：直径、长度、宽度、高度；一个品的尺寸：直径、长度、宽度、高度；一个地区的降雨量等等都近似服从正态分布。地区的降雨量等等都近似服从正态分布。n n一般说来，若某一数量指标受到大量微小的，一般说来，若某一数量指标受到大量微小的，独立的随机因素的影响，则这个指标服从正独立的随机因素的影响，则这个指标服从正态分布。态分布。10正态分布正态分布n n定义定义: 如果连续型随机变量
8、如果连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为其中其中 , 为常数为常数, 并且并且 0, 则称则称X服从正服从正态分布态分布, 简记作简记作XN( , 2) 。特别地特别地, 当当 =0, =1时时, 称其为标准正态分布称其为标准正态分布, 其概率密度记为其概率密度记为j j (x), 这时这时X N(0,1) 。11泊松积分公式泊松积分公式12 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰决定了图形中峰的陡峭程度的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点13正态分布的两个特性正态分布的两个特性n n (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=
9、对称对称 f( )maxf(x) n n (2) 的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越大越大,曲线越平坦曲线越平坦,越小越小,曲线越陡峻。曲线越陡峻。14标准正态分布密度函数图标准正态分布密度函数图xj (x)01115标准正态分布密度函数特性标准正态分布密度函数特性n n(1) j j (x)有各阶导数有各阶导数n n(2) j j (-x)= j j (x), 偶函数偶函数n n(3) 在在(- ,0)内严格上升内严格上升,在在(0, + )严格下严格下降降.在在x=0 处达到最大值处达到最大值: j j (0)=(2 )- -1/2 0.3989.n n(4) 在在x=
10、1处有两个拐点处有两个拐点;n n(5) x轴是轴是j j (x)的水平渐近线的水平渐近线:标准正态分布标准正态分布分布函数分布函数表示为表示为:16 因此对同一长度的区间因此对同一长度的区间, x0y-11若此区间越靠近点若此区间越靠近点 x = 0, 则其则其 即即X 在该区间上取值的概率在该区间上取值的概率所以标准正态分布的分布规律是所以标准正态分布的分布规律是 “中间多中间多, 两头少两头少”.越大越大,对应的曲边梯形的面积越大对应的曲边梯形的面积越大, 17正态分布的期望正态分布的期望n n若随机变量若随机变量XN(,2),则则EX= 。n n证明证明:18正态分布的方差正态分布的方
11、差n n若随机变量若随机变量XN(,2),则则DX= 2 。n n证明证明:19(-x)当当 时时,x0yn n(1) (1) 表中表中表中表中 x x 的取值范围的取值范围的取值范围的取值范围0, 4.49,0, 4.49,n n(2)(2)当当 时时,则有则有(x)(x)x0yn n当当当当 x x - - - -4.54.5 时时时时, ,标准正态分布函数表标准正态分布函数表20 (x) 的计算的计算(1) x 0 时, 查标准正态分布分布函数表.(2) x a) =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若若a 0, 则则 P(|X|a) = P( aXa) =
12、(a)( a) = (a) 1 (a) = 2 (a) 1 21例题与解答例题与解答n n例例4. XN(0,1), 求求P(X 1.96), P(X 1.96), P(|X| 1.96), P( 1X 2), P(X 5.9) 。n n解解 P(X 1.96) =F F(1.96) =0.975P(X 1.96)=F F(-1.96)=1 F F(1.96) =1 0.975=0.025P(| X | 1.96)=P( 1.96 X 1.96) =2F F(1.96) 1=0.95P( 1 X 2)=F F(2) F F( 1)=F F(2) 1 F F(1)=0.81855P(X 5.9)
13、=F F(5.9)=1.22一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化定理定理 设 X N(, 2),则 Y N(0, 1).推论推论: 若 X N(, 2), 则23 标准正态分布的标准正态分布的重要性重要性在于在于, 都可以通过线性变换转化为标准正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. .证明证明:X即即任何一个一般的正态分布任何一个一般的正态分布24例题与解答例题与解答n n例例例例5. 5. X X N N(8,0.5(8,0.52 2), ), 求求求求P P(| (| X X 8|1)8|1)及及及及P P( (X X 10)10)。n n解解解解: : 因为因为因为因为X X
14、 N N(8,0.5(8,0.52 2), ), 所以所以所以所以( (X X 8)/0.58)/0.5N N(0,1)(0,1)25例题与解答例题与解答n n例例例例6. 6. X X N N( (,2), ),P P( (X X 5)=0.045, 5)=0.045, P P( (X X 3)=0.618,3)=0.618,求求求求及及及及。n n解：解：解：解：26例题与解答例题与解答n n例例例例7. 7. 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似地服从正态分布，平均成
15、绩为（百分制）近似地服从正态分布，平均成绩为（百分制）近似地服从正态分布，平均成绩为（百分制）近似地服从正态分布，平均成绩为72727272分，分，分，分，96969696分以上的考生占考生总数的分以上的考生占考生总数的分以上的考生占考生总数的分以上的考生占考生总数的2.3%2.3%2.3%2.3%，试，试，试，试求考生的外语成绩在求考生的外语成绩在求考生的外语成绩在求考生的外语成绩在60606060分至分至分至分至84848484分之间的概率分之间的概率分之间的概率分之间的概率. . . .273原则原则n n例例8. 设设 X N( , 2),求求P -3X +3n n解解: P -3X
16、+3= P-3(X- )/3的值。的值。n n 如在质量控制中如在质量控制中,常用标准指标值常用标准指标值3作两条作两条线线,当生产过程的指标观察值落在两线之外时当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报发出警报,表明生产出现异常。表明生产出现异常。28正态分布的正态分布的 3 3 原则原则设 X N(, 2), 则 P( | X | ) =2( (1 1) ) -1=68.27%. P( | X | 2 ) = 2( (2 2) ) 1=95.45%. P( | X | 3 ) = 2( (3 3) ) -1= 99.73%. P( | X | 6 ) = 99.999999802682%
17、.29例题与解答例题与解答n n例例9 一种电子元件的使用寿命一种电子元件的使用寿命(小时小时)服从正服从正态分布态分布(100,225),某仪器上装有某仪器上装有3个这种元个这种元件件,三个元件损坏与否是相互独立的。求使用三个元件损坏与否是相互独立的。求使用的最初的最初90小时内无一元件损坏的概率。小时内无一元件损坏的概率。n n解解:设设Y为使用的最初为使用的最初90小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数,则则YB(3,p)，其中其中故故30 设 X N(0,1),求 Y= X2的密度函数.解：Y是非负随机变量.是连续函数，对y0可微，所以Y的密度是对y0,分布函数课堂练习课堂练习31 设设
18、X为连续型随机变量，其密度函数为连续型随机变量，其密度函数为为p(x),而而Y=f(X)，如，如f(x)在不相重叠的在不相重叠的区间区间I1,I2上逐段严格单调，其反函数上逐段严格单调，其反函数分别为分别为h1(y),h2(y), 而且而且h1(y),h2(y), 均为连续函数，那均为连续函数，那么么Y=f(X)是连续型随机变量，其密度函是连续型随机变量，其密度函数为数为32 设 X N(0,1),求 Y= X2的密度函数.解：y=f(x)=x2,分段单调，因此Y的密度函数为33n n 已知电源电压已知电源电压已知电源电压已知电源电压 XNXN(220,25(220,252 2)( )(单位单
19、位单位单位: :伏伏伏伏), ),在电源电压在电源电压在电源电压在电源电压n n不超过不超过不超过不超过200200伏、伏、伏、伏、200240200240伏和超过伏和超过伏和超过伏和超过240240伏三种情况伏三种情况伏三种情况伏三种情况, ,某种电子某种电子某种电子某种电子n n元件损坏的概率分别为元件损坏的概率分别为元件损坏的概率分别为元件损坏的概率分别为0.1, 0.001 0.1, 0.001 和和和和 0.2, 0.2, 试求试求试求试求: :n n(1) (1) 该电子元件损坏的概率该电子元件损坏的概率该电子元件损坏的概率该电子元件损坏的概率; ;n n(2) (2) 该电子元件
20、损坏时该电子元件损坏时该电子元件损坏时该电子元件损坏时, ,电源电压在电源电压在电源电压在电源电压在200240200240之间的概率之间的概率之间的概率之间的概率. .解：解：设设 B = “电子元件损坏电子元件损坏”, Ai = “三种电压三种电压” ( i=1,2,3 )且且或或:则则 A1 , A2 , A3 是一完备事件组是一完备事件组,34解：解：(1)(2)35 分布分布*n n定义：如果随机变量定义：如果随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X服从服从 分布，简记作分布，简记作X (,r),其中其中,r均为常数均为常数,。( -函数)36 分布的特例分布的特例n n 分布中
21、分布中,若若r=1,就是参数为就是参数为的指数分布。的指数分布。n n若若r为正整数时为正整数时,有有 (r)=(r-1)! ,此时的此时的 分布分布就是排队论中常用的就是排队论中常用的r 阶厄兰阶厄兰(Erlang)分布。分布。n n若若 =1/2, r =n/2, 其中其中n是自然数是自然数,则则 分布便分布便成了具有成了具有n个自由度的个自由度的2分布分布,简记为简记为X 2(n) 。n n2分布是数理统计中最重要的几个常用统计量分布是数理统计中最重要的几个常用统计量的分布之一。的分布之一。 2(n) 分布的密度函数为分布的密度函数为372分布与正态分布的关系分布与正态分布的关系n n定
22、理定理: 设设X N(0,1), 则则X2 2(1) 。n n证明证明: 设设X2的概率密度为的概率密度为fX2(x), X的概率密度的概率密度仍用仍用(x)表示。由分布函数法表示。由分布函数法 FX2(x)=PX2 x当当x 0时时,FX2(x)=0,故故fX2(x)=0;当当x0时时, FX2(x)=PX2x=P-x1/2Xx1/2 = F(x1/2)- F(-x1/2)所以所以38对数正态分布对数正态分布*n n某些连续型随机变量本身并不服从正态分布某些连续型随机变量本身并不服从正态分布,但经适当变换后就服从或近似服从正态分布。但经适当变换后就服从或近似服从正态分布。其中有一类随机变量经
23、对数变换后服从正态其中有一类随机变量经对数变换后服从正态分布分布,这就是所谓的这就是所谓的“对数正态随机变量对数正态随机变量” 。n n定义定义: 如果随机变量如果随机变量X的概率密度为的概率密度为:其中其中 0,则称则称X服从参数为服从参数为 和和2的对数正态的对数正态分布。分布。39对数正态分布与正态分布关系对数正态分布与正态分布关系n n定理定理(1): 若若XN(,2),则则Y=eX服从参数为服从参数为 和和2的对数正态分布。的对数正态分布。n n定理定理(2): 若若Y 服从参数为服从参数为 和和2的对数正态分的对数正态分布布,则则X=lnY N(,2) 。另外另外, 参数为参数为
24、和和2的对数正态分布的期望、的对数正态分布的期望、方差为方差为:40一般正态与标准正态的关系一般正态与标准正态的关系n n定理：定理： 如果如果N( , 2), N(0,1), 其概率密其概率密度分布记为度分布记为f(x)和和j j (x), 分布函数分别记为分布函数分别记为F(x)及及(x), 则则n n可以证明可以证明, 服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量X, 它它的线性函数的线性函数kX+b(k 0)仍服从正态分布。仍服从正态分布。41 1 1、 一种电子元件的使用寿命一种电子元件的使用寿命X X（单位：小时）单位：小时）服从参数为服从参数为1/101/10的指数分布，求其中一个的使用的指数分布，求其中一个的使用寿命在寿命在1010到到2020小时的概率小时的概率。作业作业P83 6742例例 设设则则43当当 k 为偶数时为偶数时, 令令于是于是44作业作业n nP83n n68n n69n n7245
