函数的连续性与间断点

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1、第八节第八节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量2.连续的定义连续的定义例例1 1证证(1)按定义按定义2得得:(2)类似可证类似可证.图图例例2 2证证按定义按定义2得：得：3.单侧连续单侧连续定理定理例例3 3解解右连续但不左连续右连续但不左连续 ,4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间 直观上直观上,连续函数的图形是一条连续而不连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线间断的曲线.例例4 4证证注注二、函数的间断点二、函数的间断点1.跳跃间断点跳跃间断点例例5 5解解2.可去间断点可去间断点例例6 6解解注意注意 对于对于可去间

2、断点可去间断点,只要改变或者补充间断只要改变或者补充间断处函数的定义处函数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.例例7 7解解( ( 可去可去 ) )如例如例6中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点：特点：如例如例7中中,3.第二类间断点第二类间断点例例8 8解解例例8 8解解注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.仅在仅在x=0处连续处连续, 其余各点处处间断其余各点处

3、处间断.判断下列间断点类型判断下列间断点类型:例例9 9解解三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型等振荡型等.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx若存在若存在若不存在若不存在若无定义若无定义若有定义若有定义若等于若等于若不等于若不等于若不都存在若不都存在若都存在若都存在但不等但不等四、作业四、作业P64 P64 习题习题1-81-8， 3,4,6 3,4,6思考：思考：P65, 5P65, 5back