图论及其应用图论及其应用应用数学学院应用数学学院1 本次课主要内容本次课主要内容(一一)、一些特殊平面图、一些特殊平面图(二二)、平面图的对偶图、平面图的对偶图特殊平面图与平面图的对偶图特殊平面图与平面图的对偶图 1、极大平面图及其性质、极大平面图及其性质 2、极大外平面图及其性质、极大外平面图及其性质2 1、极大平面图及其性质、极大平面图及其性质(一一)、一些特殊平面图、一些特殊平面图 对于一个简单平面图来说，在不邻接顶点对间加边，对于一个简单平面图来说，在不邻接顶点对间加边，当边数增加到一定数量时，就会变成非平面图这样，当边数增加到一定数量时，就会变成非平面图这样，就启发我们研究平面图的极图问题就启发我们研究平面图的极图问题 定义定义1 设设G是简单可平面图，如果是简单可平面图，如果G是是Ki (1≦i≦4),≦i≦4),或或者在者在G G的任意非邻接顶点间添加一条边后，得到的图均是的任意非邻接顶点间添加一条边后，得到的图均是非可平面图，则称非可平面图，则称G G是极大可平面图是极大可平面图 极大可平面图的平面嵌入称为极大平面图极大可平面图的平面嵌入称为极大平面图。
3 注：只有在单图前提下才能定义极大平面图注：只有在单图前提下才能定义极大平面图 引理引理 设设G G是极大平面图，则是极大平面图，则G G必然连通；若必然连通；若G G的阶数大的阶数大于等于于等于3 3，则，则G G无割边极大平面极大平面图图非极大平非极大平面图面图极大平面极大平面图图 (1) (1) 先证明先证明G G连通 若不然，若不然，G G至少两个连通分支设至少两个连通分支设G G1 1与与G G2 2是是G G的任意两个的任意两个连通分支连通分支4 把把G G1 1画在画在G G2 2的外部面上，并在的外部面上，并在G G1 1,G,G2 2上分别取一点上分别取一点u u与与v.v.连接连接u u与与v v得到一个新平面图得到一个新平面图G G* *但这与G G是极大平面图相是极大平面图相矛盾 (2) (2) 当当G G的阶数的阶数n≥3n≥3时，我们证明时，我们证明G G中没有割边中没有割边 若不然，设若不然，设G G中有割边中有割边e=e=uvuv，则，则G-G-uvuv不连通，恰有两个不连通，恰有两个连通分支连通分支G G1 1与与G G2 2。
设设u在在G1中，而中，而v在在G2中由于n≥3, 所以，至少有一个所以，至少有一个分支包含两个以上的分支包含两个以上的顶点设G2至少含有两个至少含有两个顶点又设G1中含有点中含有点u的面是的面是 f , 将将G2画在画在 f 内 由于由于G是单图，所以，在是单图，所以，在G2的外部面上存在不等于点的外部面上存在不等于点v的点的点t现在，在现在，在G中连接点中连接点u与与t得新平面图得新平面图G*,它比它比G多多一条边这与一条边这与G的极大性相矛盾的极大性相矛盾5 下面证明极大平面图的一个重要性质下面证明极大平面图的一个重要性质 定理定理1 设设G是至少有是至少有3个顶点的平面图，则个顶点的平面图，则G是极大平是极大平面图，当且仅当面图，当且仅当G的每个面的次数是的每个面的次数是3且为单图且为单图 注：该定理可以简单记为是注：该定理可以简单记为是“极大平面图的三角形特极大平面图的三角形特征征”，即每个面的边界是三角形即每个面的边界是三角形 证明：证明：“必要性必要性” 由引理知，由引理知，G是单图、是单图、G无割边且无割边且G的每个面的次数至的每个面的次数至少是少是3。
假设假设G中某个面中某个面f的次数大于等于的次数大于等于4记f的边界是的边界是v1v2v3v4…vk如下图所示如下图所示6 如果如果v1与与v3不邻接，则连接不邻接，则连接v1v3，没有破坏，没有破坏G的平面性，的平面性，这与这与G是极大平面图矛盾所以是极大平面图矛盾所以v1v3必须邻接，但必须在必须邻接，但必须在 f 外连线；同理外连线；同理v2与与v4也必须在也必须在f外连线但边外连线但边v1v3与边与边v2v4在在 f 外交叉，与外交叉，与G是平面图矛盾！是平面图矛盾！ 所以，所以，G的每个面次数一定是的每个面次数一定是3. 定理的充分性是显然的定理的充分性是显然的v1v2v3v4v5vkf7 推论：设推论：设G是是n个点，个点，m条边和条边和фф个面的极大平面图，个面的极大平面图，且且n≥3.n≥3.则：则：(1) m=3n-6; (2) (1) m=3n-6; (2) фф=2n-4.=2n-4. 证明：因为证明：因为G是极大平面图，所以，每个面的次数为是极大平面图，所以，每个面的次数为3.由次数公式：由次数公式： 由欧拉公式：由欧拉公式： 所以得：所以得：8 所以得：所以得： 又又 所以：所以： 注：顶点数相同的极大平面图并不唯一。
例如：注：顶点数相同的极大平面图并不唯一例如：正正20面体面体非正非正20面体面体9 还在研究中的问题是：顶点数相同的极大平面图的个还在研究中的问题是：顶点数相同的极大平面图的个数和结构问题数和结构问题 2、极大外平面图及其性质、极大外平面图及其性质 与极大平面图相对应的图是极小平面图与极大平面图相对应的图是极小平面图 定义定义2 若一个可平面图若一个可平面图G存在一种平面嵌入，使得其所存在一种平面嵌入，使得其所有顶点均在某个面的边界上，称该图为外可平面图外可有顶点均在某个面的边界上，称该图为外可平面图外可平面图的一种外平面嵌入，称为外平面图平面图的一种外平面嵌入，称为外平面图外可平面图外可平面图外平面图外平面图1外平面图外平面图210 注：对外可平面图注：对外可平面图G来说，一定存在一种外平面嵌入，来说，一定存在一种外平面嵌入，使得使得G的顶点均在外部面的边界上这由球极投影法可的顶点均在外部面的边界上这由球极投影法可以说明 下面研究极大外平面图的性质下面研究极大外平面图的性质 定义定义3 设设G是一个简单外可平面图，若在是一个简单外可平面图，若在G中任意不邻中任意不邻接顶点间添上一条边后，接顶点间添上一条边后，G成为非外可平面图，则称成为非外可平面图，则称G是极是极大外可平面图。
极大外可平面图的外平面嵌入，称为极大大外可平面图极大外可平面图的外平面嵌入，称为极大外平面图外平面图极大外平面图极大外平面图11 引理引理 设设G是一个连通简单外可平面图，则在是一个连通简单外可平面图，则在G中有一中有一个度数至多是个度数至多是2的顶点 证明证明 我们对我们对G的阶数的阶数n作数学归纳作数学归纳 当当n≦3≦3时，引理结论显然成立；当时，引理结论显然成立；当n=4n=4时，由于时，由于K K4 4不不能是外可平面图，所以，四阶的外可平面图至少有一个能是外可平面图，所以，四阶的外可平面图至少有一个顶点度数不超过顶点度数不超过2 2事实上，更强一点的结论是：当事实上，更强一点的结论是：当n=4n=4时，有两个不邻接顶点，其度数不超过时，有两个不邻接顶点，其度数不超过2.2. 设当设当G是一个阶数小于是一个阶数小于n的简单连通外可平面图时，的简单连通外可平面图时，存在两个不邻接顶点，其度数不超过存在两个不邻接顶点，其度数不超过2 考虑考虑G是一个阶数等于是一个阶数等于n的简单连通外可平面图的简单连通外可平面图 情形情形1，如果，如果G有割点有割点x12 由归纳假设，由归纳假设，G-x的两个不同分支中分别有一个异于的两个不同分支中分别有一个异于x的顶点的顶点z与与z1,使得度数不超过使得度数不超过2。
这说明这说明G中有两个不邻中有两个不邻接顶点接顶点, 使得度数都不超过使得度数都不超过2；；x 情形情形2 若若G是是2连通的 考虑考虑G的任意一种外平面嵌入则的任意一种外平面嵌入则G的外部面边界一的外部面边界一定是圈否则，容易推出定是圈否则，容易推出G有割点 设设C是是G的外平面嵌入的外部面边界若除的外平面嵌入的外部面边界若除C外，图外，图中没有其它的边，则中没有其它的边，则G=C, 显然显然G中有不邻接点，度数不中有不邻接点，度数不超过超过2；；13 若除若除C外，图中至少有边外，图中至少有边xy如下图所示：如下图所示：xy 则在则在C上的两条上的两条xy路上的点在路上的点在G中的两个导出子图中的两个导出子图H1与与H2是外平面图是外平面图 有归纳假设，在有归纳假设，在H1,H2中分别存在异于中分别存在异于x ,y的点的点z与与z1,使得，它们的度数不超过使得，它们的度数不超过2.xyzz114 定理定理2 设设G是一个有是一个有n (n≥3)个点，且所有点均在外部面个点，且所有点均在外部面上的极大外平面上的极大外平面图，，则G有有n-2个内部面。
个内部面 证明：对证明：对G的阶数作数学归纳的阶数作数学归纳 当当n=3时，时，G是三角形，显然只有一个内部面；是三角形，显然只有一个内部面； 设当设当n=k时，结论成立时，结论成立 当当n=k+1时，首先，注意到时，首先，注意到G必有一个必有一个2度顶点度顶点u在在G的外的外部面上这可以由上面引理得到这可以由上面引理得到) 考虑考虑G1=G-v由归纳假设，由归纳假设，G1有有k-2个内部面这样个内部面这样G有有k-1个内部面于是定理个内部面于是定理2得证15 定理定理3 设设G是一个有是一个有n (n≥3)个点，且所有点均在外部面个点，且所有点均在外部面上的外平面上的外平面图，，则G是极大外平面是极大外平面图，当且，当且仅当其外部面当其外部面的的边界是圈，内部面是三角形界是圈，内部面是三角形 注：这是极大外平面图的典型特征注：这是极大外平面图的典型特征 证明：先证明必要性证明：先证明必要性 (1) 证明证明G的边界是圈的边界是圈 设设W=v1v2…vnv1是是G的外部面边界若的外部面边界若W不是圈，则存不是圈，则存在在i与与j,使得：使得：1≦i,j≦n,≦i,j≦n,且且j-i≠j-i≠±±1(modn),1(modn),使使v vi i= =v vj j=v.=v.此时，此时，G G可以示意如下：可以示意如下：W vi-1 v1vnv2vi+1vj-1vj+1v16 vi-1与与vi+1不能邻接。
否则不能邻接否则W不能构成不能构成G的外部面边界这的外部面边界这样，我们连接样，我们连接vi-1与与vi+1：： vi-1 v1vnv2vi+1vj-1vj+1v 得到一个新外平面图这与得到一个新外平面图这与G的极大性矛盾的极大性矛盾 (2) 证明证明G的内部面是三角形的内部面是三角形 首先，注意到，首先，注意到，G的内部面必须是圈因为，的内部面必须是圈因为，G的外部的外部面的边界是生成圈，所以面的边界是生成圈，所以G是是2连通的，所以，连通的，所以，G的每个面的每个面的边界必是圈的边界必是圈17 其次，设其次，设C是是G中任意一个内部面的边界如果中任意一个内部面的边界如果C的长度的长度大于等于大于等于4，则，则C中一定存在不邻接顶点，连接这两点得到中一定存在不邻接顶点，连接这两点得到一个新平面图，这与一个新平面图，这与G的极大性矛盾又由于的极大性矛盾又由于G是单图，所是单图，所以以C的长度只能为的长度只能为3. 下面证明充分性下面证明充分性 设设G是一个外平面图，内部面是三角形，外部面是圈是一个外平面图，内部面是三角形，外部面是圈W. 如果如果G不是极大外平面图，那么存在不邻接顶点不是极大外平面图，那么存在不邻接顶点u与与v,使使得得G+uv是外平面图。
是外平面图 但是，但是，G+uv不能是外平面图因为，若边不能是外平面图因为，若边uv经过经过W的的内部，则它要与内部，则它要与G的其它边相交；若的其它边相交；若uv经过经过W的外部，导的外部，导致所有点不能在在致所有点不能在在G的同一个面上的同一个面上 所以，所以，G是极大外平面图是极大外平面图18 定理定理4 每个至少有每个至少有7个顶点的外可平面图的补图不是外个顶点的外可平面图的补图不是外可平面图，且可平面图，且7是这个数目的最小者是这个数目的最小者 我们用枚举方法证明我们用枚举方法证明 证明：对于证明：对于n=7的极大外可平面图来说，只有的极大外可平面图来说，只有4个如下图所示 直接验证：它们的补图均不是外可平面的直接验证：它们的补图均不是外可平面的 而当而当n=6时，我们可以找到一个外可平面图时，我们可以找到一个外可平面图G(见下图见下图),使得其补图是外可平面图使得其补图是外可平面图19 (二二)、平面图的对偶图、平面图的对偶图 1、对偶图的定义、对偶图的定义 定义定义4 给定平面图给定平面图G，，G的对偶图的对偶图G*如下构造：如下构造： (1) 在在G的每个面的每个面fi内取一个点内取一个点vi*作为作为G*的一个顶点；的一个顶点； (2) 对对G的一条边的一条边e, 若若e是面是面 fi 与与 fj 的公共边，则连接的公共边，则连接vi*与与vj*，且连线穿过边，且连线穿过边e;若若e是面是面fi中的割边，则以中的割边，则以vi为顶点为顶点20 作环，且让它与作环，且让它与e相交。
相交 例如，作出平面图例如，作出平面图G的对偶图的对偶图G*G21 2、对偶图的性质、对偶图的性质 (1)、、G与与G*的对应关系的对应关系 1) G*的顶点数等于的顶点数等于G的面数；的面数； 2) G*的边数等于的边数等于G的边数；的边数； 3) G*的面数等于的面数等于G的顶点数；的顶点数； 4) d (v*)=deg( f )对偶图面边割边环边割集回路点边环割边回路边割集对 应平面图G22 (2)、定理、定理5 定理定理5 平面图平面图G的对偶图必然连通的对偶图必然连通 证明：在证明：在G*中任意取两点中任意取两点vi*与与vj*我们证明该两点连我们证明该两点连通即可！通即可！ 用一条曲线用一条曲线 l 把把vi*和和vj*连接起来，且连接起来，且 l 不与不与G*的任意的任意顶点相交顶点相交 显然，曲线显然，曲线 l 从从vi*到到vj*经过的面边序列，对应从经过的面边序列，对应从vi*到到vj*的点边序列，该点边序列就是该两点在的点边序列，该点边序列就是该两点在G*中的通路。
中的通路 注注: (1) 由定理由定理5知：知：(G*)*不一定等于不一定等于G;23 证明：证明：“必要性必要性” (2) G是平面图，则是平面图，则 当且仅当当且仅当G是连通的是连通的习题第习题第26题题) 由于由于G是平面图，由定理是平面图，由定理5，，G*是连通的而由是连通的而由G*是平是平面图，再由定理面图，再由定理5，，(G*)*是连通的是连通的 所以，由所以，由 得：得：G是连通的是连通的 “充分性充分性” 由对偶图的定义知，平面图由对偶图的定义知，平面图G与其对偶图与其对偶图G*嵌入在同一平嵌入在同一平面上，当面上，当G连通时，容易知道：连通时，容易知道：G*的无界面的无界面 f **中仅含中仅含G的唯的唯一顶点一顶点v,而除而除v外，外，G中其它顶点中其它顶点u均与均与G*的有限面形成一一对的有限面形成一一对应，且对应顶点间邻接关系保持不变，即：应，且对应顶点间邻接关系保持不变，即：24 (3) 同构的平面图可以有不同构的对偶图。
同构的平面图可以有不同构的对偶图 例如，下面的两个图：例如，下面的两个图：G1G2 但但 这是这是因为：因为：G2中有次数是中有次数是1的面，而的面，而G1没有次数是没有次数是1的的面所以，它们的对偶图不能同构所以，它们的对偶图不能同构25 例例2 证明：证明： (1) B是平面图是平面图G的极小边割集，当且仅当的极小边割集，当且仅当 是是G*的圈 (2) 欧拉平面图的对偶图是偶图欧拉平面图的对偶图是偶图示意图示意图26 证明证明: (1) 对对B的边数作数学归纳的边数作数学归纳示意图示意图 当当B的边数的边数n=1时，时，B中边是割边中边是割边 显然，在显然，在G*中对应环所以，结论成立中对应环所以，结论成立 设对设对B的边数的边数n
的边27 现在，把现在，把e1加入到加入到G1中，恢复中，恢复G示意图示意图G1 由于由于G是平面图，其作用相当于圈是平面图，其作用相当于圈C1*上的一个顶点对上的一个顶点对应于应于G1中的一个平面区域中的一个平面区域 f, 被被e1划分成两个顶点划分成两个顶点f1*与与f2*,并并在其间连以在其间连以e1所对应的边所对应的边e1* 所以，所以，B对应在对应在G*中的中的C*仍然是一个圈由归纳法，仍然是一个圈由归纳法，结论得到证明结论得到证明示意图示意图28 充分性：充分性： G*中的一个圈，对应于中的一个圈，对应于G中中 的边的集合的边的集合B显然是显然是G中的一中的一个边割集个边割集 示意图示意图 若该割集不是极小边割集，则它是若该割集不是极小边割集，则它是G中极小边割集之中极小边割集之和而由必要性知道：每个极小边割集对应和而由必要性知道：每个极小边割集对应G*的一个的一个圈，于是推出圈，于是推出B在在G*中对应的边集合是圈之并但这与中对应的边集合是圈之并但这与假设矛盾假设矛盾 (2) 因欧拉图的任意边割集均有偶数条边。
于是由因欧拉图的任意边割集均有偶数条边于是由(1),G*中不含奇圈所以中不含奇圈所以G*是偶图29 例例3 设设T是连通平面图是连通平面图G的生成树，的生成树， 证明：证明：T*=G*[E*]是是G*中的生成树中的生成树习题第习题第27题题)示意图示意图30 证明：情形证明：情形1，如果，如果G是树 在这种情况下，在这种情况下，E* = ΦΦ. .则则T T* *是平凡图，而是平凡图，而G*G*的生成树的生成树也是平凡图，所以，结论成立；也是平凡图，所以，结论成立； 情形情形2，如果，如果G不是树 因因G的每个面必然含有边的每个面必然含有边e不属于不属于E(T),即即G*的每个顶点的每个顶点必然和必然和E*中的某边关联，于是中的某边关联，于是T*必然是必然是G*的生成子图的生成子图 下面证明：下面证明：T*中没有圈中没有圈 若若T*中有圈则由例中有圈则由例2知：知：T的余树中含有的余树中含有G的极小边割集的极小边割集但我们又可以证明：但我们又可以证明：如果如果T是连通图是连通图G的生成树，那么，的生成树，那么，T的的余树不含余树不含G的极小边割集的极小边割集。
这样，这样，T*不能含不能含G*的圈31 又因在又因在G中，每去掉中，每去掉T的余树中的一条边，的余树中的一条边，G的面减少一的面减少一个，当个，当T的余树中的边全去掉时，的余树中的边全去掉时，G变成一颗树变成一颗树T. 于是，有：于是，有： 所以，所以，T*是是G*的生成树的生成树32 作业作业 P143---146 习题习题5 ：：3，，4，，5，，6，，8，， 25, 26，，27 其中其中 25，，26，，27结合课件学习结合课件学习33 Thank You !34 。