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1、6、带电粒子在磁场中的运动、带电粒子在磁场中的运动 第三章第三章第三章第三章 磁场磁场磁场磁场（磁聚焦）（磁聚焦） 当带电粒子从同一边界入射出当带电粒子从同一边界入射出射时速度与边界夹角相同射时速度与边界夹角相同对称性对称性l 带电粒子在带电粒子在直边界直边界磁场中的运动磁场中的运动x xy yO Ov v0 0例、例、例、例、在在在在xoyxoy平面内有很多质量为平面内有很多质量为平面内有很多质量为平面内有很多质量为mm，电量为，电量为，电量为，电量为e e的电子，从坐标的电子，从坐标的电子，从坐标的电子，从坐标原点原点原点原点O O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图不断以相同速率沿
2、不同方向射入第一象限，如图不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示现加一垂直于所示现加一垂直于所示现加一垂直于所示现加一垂直于xOyxOy平面向里、磁感强度为平面向里、磁感强度为平面向里、磁感强度为平面向里、磁感强度为B B的匀强的匀强的匀强的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x x轴且沿轴且沿轴且沿轴且沿x x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为多大轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为多大轴正向运动，
3、试问符合该条件的磁场的最小面积为多大轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互作用）？（不考虑电子间的相互作用）？（不考虑电子间的相互作用）？（不考虑电子间的相互作用） 所有电子的轨迹圆半径相等，且均过所有电子的轨迹圆半径相等，且均过O点。这些轨迹圆的圆心都在以点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆为圆心，半径为心，半径为r的且位于第的且位于第象限的四分象限的四分之一圆周上，如图所示。之一圆周上，如图所示。 电子由电子由O点射入第点射入第象限做匀速象限做匀速圆周运动圆周运动解解解解1:1:x xy yO Ov v0 0O O1 1O O2 2O O3 3O O4 4O O
4、5 5O On n 即所有出射点均在以坐标即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧为圆心的圆弧abO上，显然，上，显然，磁场分布的最小面积应是实线磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧和圆弧abO所围的面积，由几何所围的面积，由几何关系得关系得 由图可知，由图可知，a、b、c、d 等点就是各电等点就是各电子离开磁场的出射点，均应满足方程子离开磁场的出射点，均应满足方程x2 + (ry)2=r2。解解解解2:2: 设设P(x，y)为磁场下边界上的一为磁场下边界上的一点，经过该点的电子初速度与点，经过该点的电子初速度与x轴轴夹角为夹角为 ，则由图可知：，则由图可知：x = rsin ， y = r
5、rcos ，得得: x2 + (yr)2 = r2。 所以磁场区域的下边界也是半径为所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为，圆心为(0，r)的的圆弧应是磁场区域的下边界。圆弧应是磁场区域的下边界。磁场上边界如图线磁场上边界如图线1所示。所示。x xy yO Ov v0 01 1 P P ( (x,yx,y) )O Or rr r 两边界之间图形的面积即为所求。两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面图中的阴影区域面积，即为磁场区域面积：积，即为磁场区域面积：例、例、例、例、（2009海南海南T16）如图，如图，ABCD是边长为是边长为a的正方形。的正方形。质量为质量为m电荷量为电荷量为
6、e的电子以大小为的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂的初速度沿纸面垂直于直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场，电子从强磁场，电子从BC边上的任意点入射，都只能从边上的任意点入射，都只能从A点射点射出磁场。不计重力，求：出磁场。不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向；）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向；（2）此匀强磁场区域的最小面积。）此匀强磁场区域的最小面积。ABCDx xy yO Ov v0 0解：解：解：解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧。令圆弧AEC是自是
7、自C点垂直于点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。依题意，圆心在入射的电子在磁场中的运行轨道。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为点即为圆心，圆半径为a，按照牛顿定律有，按照牛顿定律有 ev0B= mv02/a，得，得B= mv0/ea。A AB BC CD DE EF Fp p q qO O （2）自）自BC边上其他点入射的电子运动轨道只能在边上其他点入射的电子运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧区域中。因而，圆弧AEC是所求的最小磁场区域的一个边界。是所求的最小磁场区域的一个边界。（3）设某射中）设某射中A点的电子速度方向与点的电子速度方向
8、与BA的延长线夹的延长线夹角为角为的情形。该电子的运动轨迹的情形。该电子的运动轨迹qpA如图所示。图中如图所示。图中圆弧圆弧Ap的圆心为的圆心为O，pq垂直于垂直于BC边边 ，圆弧，圆弧Ap的半径的半径仍为仍为a，在，在D为原点、为原点、DC为为x轴、轴、DA为为y轴的坐标系中，轴的坐标系中，p点的坐标为点的坐标为(x，y)，则，则 x=asin，y=-acos。因此，所求的最小匀强磁场区域，是分别以因此，所求的最小匀强磁场区域，是分别以B和和D为圆心、为圆心、a为半径的两个四分为半径的两个四分之一圆周之一圆周AEC和和AFC所围成的区域，其面积为所围成的区域，其面积为S=2(a2/4-a2/
9、2) =(-2)a2/2由由式可得：式可得：x2+y2=a2，这意味着在范围，这意味着在范围0/2内，内，p点处在以点处在以D为圆心、为圆心、a为半径的四分之一圆周为半径的四分之一圆周AFC上，上，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。磁场区域的另一边界。磁聚焦概括：磁聚焦概括：磁聚焦概括：磁聚焦概括：平行会聚于一点平行会聚于一点平行会聚于一点平行会聚于一点一点发散成平行一点发散成平行一点发散成平行一点发散成平行RR Rrr区域半径区域半径区域半径区域半径 R R 与运动半径与运动半径与运动半径与运动半径 r r 相等相
10、等相等相等迁移与逆向、对称的物理思想！迁移与逆向、对称的物理思想！例、例、例、例、（20092009年浙江卷）年浙江卷）年浙江卷）年浙江卷）如图，在如图，在如图，在如图，在xOyxOy平面内与平面内与平面内与平面内与y y轴平行的匀强轴平行的匀强轴平行的匀强轴平行的匀强电场，在半径为电场，在半径为电场，在半径为电场，在半径为R R的圆内还有与的圆内还有与的圆内还有与的圆内还有与xOyxOy平面垂直的匀强磁场。平面垂直的匀强磁场。平面垂直的匀强磁场。平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿在圆的左边放置
11、一带电微粒发射装置，它沿x x轴正方向发射轴正方向发射轴正方向发射轴正方向发射出一束具有相同质量出一束具有相同质量出一束具有相同质量出一束具有相同质量mm、电荷量、电荷量、电荷量、电荷量q q( (q q0)0)和初速度和初速度和初速度和初速度v v的带电微的带电微的带电微的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在粒。发射时，这束带电微粒分布在粒。发射时，这束带电微粒分布在粒。发射时，这束带电微粒分布在0 0y y2 2R R的区间内。已的区间内。已的区间内。已的区间内。已知重力加速度大小为知重力加速度大小为知重力加速度大小为知重力加速度大小为g g。（1 1）从）从）从）从A A点射出的带电微粒
12、平行于点射出的带电微粒平行于点射出的带电微粒平行于点射出的带电微粒平行于x x轴从轴从轴从轴从C C点进入有磁场区点进入有磁场区点进入有磁场区点进入有磁场区域，并从坐标原点域，并从坐标原点域，并从坐标原点域，并从坐标原点O O沿沿沿沿y y轴负方向离开，求电场强度和磁感轴负方向离开，求电场强度和磁感轴负方向离开，求电场强度和磁感轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向。应强度的大小与方向。应强度的大小与方向。应强度的大小与方向。（2 2）请指出这束带电微粒与）请指出这束带电微粒与）请指出这束带电微粒与）请指出这束带电微粒与x x轴相轴相轴相轴相 交的区域，并说明理由。交的区域，并说明理
13、由。交的区域，并说明理由。交的区域，并说明理由。（3 3）在这束带电磁微粒初速度变为）在这束带电磁微粒初速度变为）在这束带电磁微粒初速度变为）在这束带电磁微粒初速度变为 2 2v v，那么它们与，那么它们与，那么它们与，那么它们与x x轴相交的区域又在轴相交的区域又在轴相交的区域又在轴相交的区域又在 哪里？并说明理由。哪里？并说明理由。哪里？并说明理由。哪里？并说明理由。 x xy yR RO O/ /O Ov v带带带带点点点点微微微微粒粒粒粒发发发发射射射射装装装装置置置置C CxyRO/Ov带带点点微微粒粒发发射射装装置置CPQr图图 (c)x xy yR RO O/ /O Ov vC
14、CA Ax xy yR RO O/ /v vQQP PO OR R 图图图图( (a)a)图图图图( (b)b)【答案答案答案答案】（1 1）；方向垂直于纸面向外（）；方向垂直于纸面向外（）；方向垂直于纸面向外（）；方向垂直于纸面向外（2 2）见解析）见解析）见解析）见解析（3 3）与）与）与）与x x同相交的区域范围是同相交的区域范围是同相交的区域范围是同相交的区域范围是x x0. 0. 【解析解析解析解析】 略略略略【关键关键关键关键】 图示图示图示图示例、例、例、例、如图，在如图，在xOy平面内，有以平面内，有以O(R，0)为圆心，为圆心，R为半径的圆为半径的圆形磁场区域，磁感应强度大小
15、为形磁场区域，磁感应强度大小为 B，方向垂直，方向垂直xOy平面向外，平面向外，在在 y=R上方有范围足够大的匀强电场，方向水平向右，电场上方有范围足够大的匀强电场，方向水平向右，电场强度大小为强度大小为E。在坐标原点。在坐标原点O处有一放射源，可以在处有一放射源，可以在xOy平面平面内向内向 y 轴右侧（轴右侧（x 0）发射出速率相同的电子，已知电子在）发射出速率相同的电子，已知电子在该磁场中的偏转半径也为该磁场中的偏转半径也为 R， 电子电量为电子电量为 e，质量为，质量为 m。 不计重力及阻力的作用。不计重力及阻力的作用。 （1）求电子射入磁场时的速度大小；）求电子射入磁场时的速度大小；
16、 （2）速度方向沿）速度方向沿x轴正方向射入磁场轴正方向射入磁场 的电子，求它到达的电子，求它到达y轴所需要的时间；轴所需要的时间； （3）求电子能够射到）求电子能够射到y轴上的范围。轴上的范围。 x xy yO OE EOOR R例、例、例、例、如图所示，在如图所示，在如图所示，在如图所示，在 xOyxOy平面上平面上平面上平面上HH y y HH的范围内有一片的范围内有一片的范围内有一片的范围内有一片稀疏的电子，从稀疏的电子，从稀疏的电子，从稀疏的电子，从 x x 轴的负半轴的远外以相同的速率轴的负半轴的远外以相同的速率轴的负半轴的远外以相同的速率轴的负半轴的远外以相同的速率 v v0 0
17、 沿沿沿沿 x x 轴正向平行地向轴正向平行地向轴正向平行地向轴正向平行地向 y y 轴射来，试设计一个磁场区域，使轴射来，试设计一个磁场区域，使轴射来，试设计一个磁场区域，使轴射来，试设计一个磁场区域，使得：得：得：得：(1)(1)所有电子都能在磁场力作用下通过原点所有电子都能在磁场力作用下通过原点所有电子都能在磁场力作用下通过原点所有电子都能在磁场力作用下通过原点 O O； (2)(2)这这这这一片电子最后扩展到一片电子最后扩展到一片电子最后扩展到一片电子最后扩展到 2 2HH y y2(1k k1 1 k k2 20)0)，求二者发射的时间差。，求二者发射的时间差。，求二者发射的时间差。
18、，求二者发射的时间差。MMO Oa ab bc cN N1 12 23 3x x( (mvmv0 0/ /qBqB) )y y ( (mvmv0 0/ /qBqB) )1 12 2v v0 0例、例、（1975 IPHO1975 IPHO试题）试题）试题）试题）质量均为质量均为质量均为质量均为mm的一簇粒子在的一簇粒子在的一簇粒子在的一簇粒子在P P点以同一点以同一点以同一点以同一速度速度速度速度v v向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场B B将这些粒子聚焦于将这
19、些粒子聚焦于将这些粒子聚焦于将这些粒子聚焦于R R点，距离点，距离点，距离点，距离PRPR=2=2a a，离子的轨迹应是轴，离子的轨迹应是轴，离子的轨迹应是轴，离子的轨迹应是轴对称的。试确定磁场区域的边界。对称的。试确定磁场区域的边界。对称的。试确定磁场区域的边界。对称的。试确定磁场区域的边界。x xy yv vP PR Ra a磁磁磁磁 场场场场O Oa ar rb b A A( (x,yx,y) )解答：解答：解答：解答：在磁场在磁场B中，粒子受洛仑兹力作用中，粒子受洛仑兹力作用作半径为作半径为r的圆周运动：的圆周运动： 设半径为设半径为r的圆轨道上运动的粒子，的圆轨道上运动的粒子，在点在
20、点A (x，y)离开磁场，沿切线飞向离开磁场，沿切线飞向R点。由相似三角形得到：点。由相似三角形得到：同时，同时，A作为轨迹圆上的点，应满足方程：作为轨迹圆上的点，应满足方程：v v2 2qvB qvB = = mmr rmvmvr rqBqB= =x x= = = =y yb by ya ax xx x2 2+ +( (y yb b)=)=r r2 2 y y = =r r2 2x x2 2x x ( (a ax x) )消去消去(y-b)，得到满足条件的，得到满足条件的A点的集合，因此，表示磁场边界点的集合，因此，表示磁场边界的函数方程为：的函数方程为：例、例、例、例、 ( ( ( (第二
21、十届全国预赛试题第二十届全国预赛试题第二十届全国预赛试题第二十届全国预赛试题) ) ) )从从从从 z z轴上的轴上的轴上的轴上的O O点发射一束电量为点发射一束电量为点发射一束电量为点发射一束电量为q q、质量为、质量为、质量为、质量为mm的带正电粒子，它们速度方向分布在以的带正电粒子，它们速度方向分布在以的带正电粒子，它们速度方向分布在以的带正电粒子，它们速度方向分布在以O O点点点点为顶点、为顶点、为顶点、为顶点、z z轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图所轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图所轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图所轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图所示），速度
22、的大小都等于示），速度的大小都等于示），速度的大小都等于示），速度的大小都等于v v。试设计一种匀强磁场，能使。试设计一种匀强磁场，能使。试设计一种匀强磁场，能使。试设计一种匀强磁场，能使这束带电粒子会聚于这束带电粒子会聚于这束带电粒子会聚于这束带电粒子会聚于z z轴上的另一点轴上的另一点轴上的另一点轴上的另一点MM，MM点离开点离开点离开点离开O O点的点的点的点的距离为距离为距离为距离为d d。要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和。要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和。要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和。要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和最小值。不计粒子间的相互作用和重力的作用。最小值。不计粒子间的相互作用和重力的作用。最小值。不计粒子间的相互作用和重力的作用。最小值。不计粒子间的相互作用和重力的作用。n n=1=1，2 2，3 3， z zO OMM磁透镜磁透镜磁透镜磁透镜谢谢 谢谢 听听 讲！讲！
