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1、第19章矩形、菱形与正方形19.1矩形 1.矩形的性质1.1.了解矩形的定义，理解矩形与平行四边形的区别和联系了解矩形的定义，理解矩形与平行四边形的区别和联系.(.(重重点点) )2.2.会用矩形的性质进行计算或证明会用矩形的性质进行计算或证明.(.(重点、难点重点、难点) )一、矩形的定义一、矩形的定义有一个角是有一个角是_的平行四边形的平行四边形. .二、矩形的性质二、矩形的性质在矩形在矩形ABCDABCD中，中，BAD=90BAD=90，对角线，对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O.O.直角直角【思考思考】(1)(1)由由BAD=90BAD=90，可以推出，可以推出ABCABC，
2、BCDBCD，CDACDA的的度数分别为多少？度数分别为多少？提示：提示：因为矩形是特殊的平行四边形，因为矩形是特殊的平行四边形，ADBCADBC，ABCDABCD，根根据据两两直直线线平平行行，同同旁旁内内角角互互补补，可可得得ABC=BCD=CDA=90ABC=BCD=CDA=90. .(2)(2)对角线对角线ACAC，BDBD有怎样的数量关系？为什么？有怎样的数量关系？为什么？提示：提示：AC=BD.AC=BD.在在ABDABD和和DCADCA中中 AD=ADAD=AD， BAD=CDA=90BAD=CDA=90， AB=CDAB=CD，ABDDCAABDDCA，AC=BD.AC=BD.
3、【总结总结】矩形的性质：矩形的性质：(1)(1)矩形具有矩形具有_的一般性质的一般性质. .(2)(2)定理定理1 1：矩形的四个角都是：矩形的四个角都是_. .(3)(3)定理定理2 2：矩形的对角线：矩形的对角线_. .(4)(4)对称性：矩形既是对称性：矩形既是_图形，也是轴对称图形，图形，也是轴对称图形，对称轴为对称轴为_的直线的直线. .平行四边形平行四边形直角直角相等相等中心对称中心对称通过对边中点通过对边中点 ( (打打“”“”或或“”)”)(1)(1)矩形的对角线相等且互相平分矩形的对角线相等且互相平分. .( )( )(2)(2)矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角. .
4、( )( )(3)(3)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. .( )( )知识点知识点 1 1 矩形的性矩形的性质质【例例1 1】(2013(2013宁夏中考宁夏中考) )在矩形在矩形ABCDABCD中，点中，点E E是是BCBC上一点，上一点，AE=ADAE=AD，DFAEDFAE，垂足，垂足为为F.F.求求证证：DF=DC.DF=DC.【思路点拨思路点拨】连结连结DEDE，四边形，四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，DFAEDEC=AEDDFAEDEC=AED，DFE=C=90DFE=C=90DFEDCEDFEDCE结论结论. .【自主解答自主解答】连结连
5、结DE.DE.AD=AEAD=AE，AED=ADE.AED=ADE.四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，ADBCADBC，C=90C=90. .ADE=DECADE=DEC，DEC=AED.DEC=AED.又又DFAEDFAE，DFE=C=90DFE=C=90. .DE=DEDE=DE，DFEDCE.DFEDCE.DF=DC.DF=DC.【总结提升总结提升】矩形的性质矩形的性质(1)(1)矩形的性质为我们以后证明线段平行或相等、角的相等提矩形的性质为我们以后证明线段平行或相等、角的相等提供了新的方法供了新的方法. .(2)(2)由边、角之间的相等关系，特别是有直角，可以将矩形中由边、角
6、之间的相等关系，特别是有直角，可以将矩形中的问题转化为直角三角形中有关边角的计算问题的问题转化为直角三角形中有关边角的计算问题. .(3)(3)对角线将矩形分成了四个面积相等的等腰三角形，可以解对角线将矩形分成了四个面积相等的等腰三角形，可以解决有关等腰三角形的问题决有关等腰三角形的问题. .(4)(4)矩形既是中心对称图形，同时还是轴对称图形，为解决图矩形既是中心对称图形，同时还是轴对称图形，为解决图形的旋转和对折提供了依据形的旋转和对折提供了依据. .知识点知识点 2 2 矩形性矩形性质质的的应应用用【例例2 2】如如图图，四，四边边形形ABCDABCD为为矩形矩形纸纸片，片，AB=10A
7、B=10，AD=8AD=8，把，把纸纸片片ABCDABCD沿沿AFAF折叠，使点折叠，使点B B恰好落在恰好落在CDCD边边E E上上. .求折痕求折痕AFAF的的长长. .【思路点拨思路点拨】由对称性由对称性AB=AEAB=AE由勾股定理由勾股定理DEECBFAF.DEECBFAF.【自主解答自主解答】AEFAEF和和ABFABF关于直线关于直线AFAF对称，对称，AE=AB=10AE=AB=10，EF=BFEF=BF，AEF=B=90AEF=B=90，在在RtADERtADE中，中，AD=8AD=8，AE=10AE=10，根据勾股定理，根据勾股定理，DE=DE=EC=10-6=4.EC=1
8、0-6=4.在在RtEFCRtEFC中，中，EC=4EC=4，设，设BFBF为为x x，则则FC=8-xFC=8-x，根据勾股定理，得方程，根据勾股定理，得方程(8-x)(8-x)2 2+4+42 2=x=x2 2，解得，解得x=5x=5，即即BF=5BF=5，AF=AF=【总结提升总结提升】解决矩形中折叠问题的两个思路解决矩形中折叠问题的两个思路(1)(1)运用矩形的对边相等、对角线相等、四个角是直角等性质运用矩形的对边相等、对角线相等、四个角是直角等性质. .(2)(2)运用轴对称的性质，找出折叠前后相等的角、线段运用轴对称的性质，找出折叠前后相等的角、线段. .题组一：题组一：矩形的性质
9、矩形的性质1.(20131.(2013宜昌中考宜昌中考) )如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，ABABBCBC，ACAC，BDBD相交于点相交于点O O，则图中等腰三角形的个数是，则图中等腰三角形的个数是( )( )A.8A.8B.6B.6C.4C.4D.2D.2【解析解析】选选C C四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，AO=BO=CO=DOAO=BO=CO=DO，ABOABO，BCOBCO，DCODCO，ADOADO都是等腰三都是等腰三角形角形. .2.2.如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，O O是对角线是对角线ACAC，BDBD的交点，点的交点，点E E
10、，F F分分别是别是ODOD，OCOC的中点的中点. .如果如果AC=10AC=10，BC=8BC=8，那么，那么EFEF的长为的长为( )( )A.3A.3B.4B.4C.5C.5D.6D.6【解析解析】选选A.ABC=90A.ABC=90，AB=AB=CD=AB=6CD=AB=6， 点点E E，F F分别是分别是ODOD，OCOC的中点，的中点，EF=3.EF=3.3.(20133.(2013资阳中考资阳中考) )在矩形在矩形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC，BDBD相交于相交于点点O O，若，若AOB=60AOB=60，AC=10AC=10，则，则AB=AB=. .【解析解析
11、】四边形四边形ABCDABCD是矩形，是矩形，OA=OB.OA=OB.又又AOB=60AOB=60，AOBAOB是等边三角形是等边三角形AB=OA=AB=OA=AC=5.AC=5.答案：答案：5 54.4.已知：如图，在矩形已知：如图，在矩形ABCDABCD中，中，ACAC，BDBD是对角线，过顶点是对角线，过顶点C C作作BDBD的平行线与的平行线与ABAB的延长线相交于点的延长线相交于点E.E.求证：求证：AC=CE.AC=CE.【证明证明】BDECBDEC，BEDCBEDC，四边形四边形BDCEBDCE是平行四边形，是平行四边形，BD=EC.BD=EC.四边形四边形ABCDABCD是矩形
12、，是矩形，AC=BDAC=BD，AC=CE.AC=CE.5.5.如图，如图，E E，F F分别是矩形分别是矩形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC和和BDBD上的点，上的点，且且AE=DF.AE=DF.求证：求证：BE=CF.BE=CF.【证明证明】四边形四边形ABCDABCD为矩形，为矩形，OA=OB=OC=ODOA=OB=OC=OD，AB=CDAB=CD，AE=DFAE=DF，OE=OF.OE=OF.在在BOEBOE与与COFCOF中，中，BOECOFBOECOF，BE=CF.BE=CF.题组二：题组二：矩形性质的应用矩形性质的应用1.1.如图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中
13、，E E，F F，G G，H H分别为边分别为边ABAB，BCBC，CDCD，DADA的中点若的中点若ABAB2 2，ADAD4 4，则图中阴影部分的面积为，则图中阴影部分的面积为( )( )A.8A.8B.6B.6C.4C.4D.3D.3【解析解析】选选C.C.阴影部分的面积为阴影部分的面积为2 24-44-42 21=4.1=4.2.2.如如图图是一是一块电脑块电脑主板的示意主板的示意图图，每一，每一转转角角处处都是直角，数据都是直角，数据如如图图所示所示( (单单位：位：mm)mm)，则该则该主板的周主板的周长长是是( () )A.88mmA.88mm B.96mmB.96mmC.80m
14、mC.80mm D.84mmD.84mm【解析解析】选选B.B.如图，把主板转化为一个矩形后，还多余如图，把主板转化为一个矩形后，还多余2 2个个4mm4mm的边长，即主板的周长为的边长，即主板的周长为2 2(24+20)+4(24+20)+42=96(mm).2=96(mm).3.3.如图，矩形如图，矩形ABCDABCD中，中，AB=8AB=8，BC=6BC=6，E E，F F是是ACAC上的三等分点，上的三等分点，则则BEFBEF的面积为的面积为( () )A.8A.8B.12B.12C.16C.16D.24D.24【解析解析】选选A.A.因为因为ABCABC的面积为的面积为8 86=24
15、6=24又因为又因为E E，F F是是ACAC上的三等分点上的三等分点所以所以BEFBEF的面积为的面积为 24=824=84.4.如如图图，在矩形，在矩形ABCDABCD中，点中，点E E，F F分分别别在在边边ABAB，CDCD上，上，BFDE.BFDE.若若AD=12cmAD=12cm，AB=7cmAB=7cm，且，且AEEB=52.AEEB=52.则则阴影部分阴影部分EBFDEBFD的面的面积积为为cmcm2 2. .【解析解析】因为因为BFDEBFDE，ABCDABCD，所以四边形，所以四边形BEDFBEDF是平行四边形，是平行四边形，又又AB=7cmAB=7cm，AEEB=52AE
16、EB=52，得，得EB=2cmEB=2cm，所以阴影部分面积为，所以阴影部分面积为BEBEAD=2AD=212=24(cm12=24(cm2 2).).答案：答案：24245.5.如图，把一张矩形纸片如图，把一张矩形纸片ABCDABCD沿沿BDBD折叠，使折叠，使C C点落在点落在E E处，且处，且BEBE与与ADAD相交于点相交于点O.O.判定判定OBDOBD的形状，并说明理由的形状，并说明理由. .【解析解析】OBDOBD为等腰三角形为等腰三角形. .理由：理由：根据对称性，根据对称性，CBD=EBDCBD=EBD，ADBCADBC，CBD=ADBCBD=ADB，EBD=ADBEBD=AD
17、B，OB=ODOB=OD，OBDOBD为等腰三角形为等腰三角形. .【变变式式备选备选】在上面的在上面的题题目中，保持条件不目中，保持条件不变变，试试判断判断AOBAOB和和EDOEDO面面积积的大小，的大小，说说明理由明理由. .【解析解析】AOBAOB和和EDOEDO面积相等面积相等. .理由：理由：根据矩形的中心对称性，根据矩形的中心对称性，ABDABD和和CDBCDB面积相等面积相等. .即即S SABDABD=S=SCDBCDB，即，即S SABDABD=S=SEDBEDB，S SABDABD-S-SOBDOBD=S=SEDBEDB-S-SOBDOBD，AOBAOB和和EDOEDO面积相等面积相等. .【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图所示，如图所示，ABCDABCD中，中，ACAC，BDBD相交于点相交于点O O，且，且AOBAOB是等边三角形，边长为是等边三角形，边长为6 6，求这个平行四边形的面积，求这个平行四边形的面积. .提示：提示：观察图形时，误认为四边形为矩形而出现错误观察图形时，误认为四边形为矩形而出现错误. .
