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1、第 五 章虚功原理与结构位移计算5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 结构属于变形体，在一般情况下，结构内部产生应变。结构属于变形体，在一般情况下，结构内部产生应变。结构的位移计算问题属于变形体体系的位移计算问题，方结构的位移计算问题属于变形体体系的位移计算问题，方法仍以虚功法最为普遍。法仍以虚功法最为普遍。 推导位移计算一般公式有几种途径：推导位移计算一般公式有几种途径： 1、根据变形体体系的虚功方程，导出位移计算的一、根据变形体体系的虚功方程，导出位移计算的一般公式。（般公式。（5-8） 2、应用刚体体系的虚功原理，导出局部变形的位移、应用刚体体系的虚功原理，导出局部变形的
2、位移公式；然后应用叠加原理，导出变形体体系的位移计算公公式；然后应用叠加原理，导出变形体体系的位移计算公式。式。 一、局部变形时静定结构的位移计算举例一、局部变形时静定结构的位移计算举例 设静定结构中的某个微段出现局部变形，微段两设静定结构中的某个微段出现局部变形，微段两端相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变端相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形，仍然是刚体。形，仍然是刚体。 因此，当某个微段有局部变形时，静定结构的位因此，当某个微段有局部变形时，静定结构的位移计算问题可以归结为当该处相邻截面有相对位移时移计算问题可以归结为当该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算问题。举
3、例说明。刚体体系的位移计算问题。举例说明。 书书例例5-1：悬悬臂臂梁梁在在截截面面B有有相相对对转转角角，求求A点点竖竖向位移向位移AV（是由于制造误差或其他原因造成的）。是由于制造误差或其他原因造成的）。ABCa a A1ABCA1ABCM1 解解：在在B处处加加铰铰（将将实实际际位位移移状状态态明明确确地地表表示示为为刚体体系的位移状态）。刚体体系的位移状态）。 A点点加加单单位位荷荷载载FP=1，在在铰铰B处处虚虚设设一一对对弯弯矩矩M（为保持平衡）为保持平衡）M=1a（5-5） 虚功方程：虚功方程： 1AV- M=0 AV = M= a() 书书例例5-2：悬悬臂臂梁梁在在截截面面B
4、有有相相对对剪剪切切位位移移，求求A点点与与杆杆轴轴成成角角的的斜斜向向位位移移分分量量（是是由由于于制制造造误误差差或其他原因造成的）。或其他原因造成的）。ABCa a A1B1ABC 解解：在在B截截面面处处加加机机构构如如图图（将将实实际际位位移移状状态态明明确确地地表表示示为为刚刚体体体体系系的的位位移移状态）。状态）。A1B1 A点点加加单单位位荷荷载载FP=1，在在铰铰B处处虚虚设设一一对对剪剪力力FQ（为保持平衡）为保持平衡）FQ= sinaABC1FQ 虚功方程：虚功方程： 1- FQ =0 = FQ 二、局部变形时的位移公式二、局部变形时的位移公式基本思路：基本思路： 把局部
5、变形时的位移计算问题转化为刚体体系的位把局部变形时的位移计算问题转化为刚体体系的位移计算问题。移计算问题。 如图所示，已知只有如图所示，已知只有B点附近的微段点附近的微段 ds 有局部变形，有局部变形，结构其他部分没有变形。结构其他部分没有变形。 ds局部变形有三部分：局部变形有三部分： 轴向伸长应变轴向伸长应变 平均剪切应变平均剪切应变 0 轴线曲率轴线曲率 （ = 1/R，R为杆件轴向为杆件轴向 变形后的曲率半径）变形后的曲率半径）求求A点沿点沿方向的位移分量方向的位移分量d 。 位移状态（实际）位移状态（实际） 力状态（虚拟）力状态（虚拟）（1） 两端截面的三种相对位移两端截面的三种相对
6、位移 相应内力相应内力相对轴向位移相对轴向位移 d= d s相对剪切位移相对剪切位移 d=0ds相对转角相对转角 d=d s /R= d s轴力轴力 FN剪力剪力 FQ弯矩弯矩 M 相对位移相对位移d、 d、 d是描述微段总变形的是描述微段总变形的三个基本参数。三个基本参数。基本思路：基本思路：dABCABCsdsA1dddds dBCddRFNFNFQFQMM1FNFQM （2） d s趋近于趋近于0，三种相对位移还存在。，三种相对位移还存在。相当于整个结构除相当于整个结构除B截面发生集中变形（截面发生集中变形（d，d，d）外，其他部分都是刚体，没有任何变形。外，其他部分都是刚体，没有任何变
7、形。属刚体体系的位移问题。属刚体体系的位移问题。 （3） 应用刚体体系虚功原理，根据截面应用刚体体系虚功原理，根据截面B的相对位移可分别求出点的相对位移可分别求出点A的位移的位移d，局部变局部变形位移公式：形位移公式：（5-8）三、结构位移计算的一般公式三、结构位移计算的一般公式由叠加原理：由叠加原理： 总位移总位移=叠加每个微段变形在该点叠加每个微段变形在该点(A)处引起的微小处引起的微小 位移位移d即：若结构有多个杆件，则：若结构有多个杆件，则：（5-9）单位荷载虚功单位荷载虚功 = 所求位移所求位移 考虑支座有给定位移，则可得出结构位移考虑支座有给定位移，则可得出结构位移计算的一般公式：
8、计算的一般公式：其中包含：其中包含：弯曲变形对位移的影响弯曲变形对位移的影响（5-11）轴向变形对位移的影响轴向变形对位移的影响（5-12）剪切变形对位移的影响剪切变形对位移的影响（5-13） 支座移动对位移的影响支座移动对位移的影响（5-10）（5-14）讨论：讨论： （1） 式（式（5-10）根据刚体体系虚功原理和）根据刚体体系虚功原理和叠加原理导出，适用于小变形情况。叠加原理导出，适用于小变形情况。 （2）式）式(5-10)实质上是几何方程，给出已知实质上是几何方程，给出已知变形（内部变形变形（内部变形、0 和支座位移和支座位移ck），），与拟求与拟求位移位移之间的关系。之间的关系。 （
9、3）式（）式（5-10）是普遍公式。（因为在推导）是普遍公式。（因为在推导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质）可考中未涉及变形因素、结构类型、材料性质）可考虑任何情况：虑任何情况：、变形类型：弯曲、轴向、剪切变形。、变形类型：弯曲、轴向、剪切变形。、产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移、产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移动等。动等。、结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超、结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超静定。静定。、材料性质：弹性、非弹性。、材料性质：弹性、非弹性。（4）变形体虚功原理：）变形体虚功原理：将式（将式（5-10）改写为：）改写为：（5-15）外力虚功外力虚功W =
10、内力虚功内力虚功Wi （5-16）可视为变形体虚功原理的一种表达形式。可视为变形体虚功原理的一种表达形式。四、结构位移计算的一般步骤四、结构位移计算的一般步骤(P161) 已知结构杆件各微段的应变已知结构杆件各微段的应变、0（根据引根据引起变形的原因而定），支座移动起变形的原因而定），支座移动ck。求结构某点沿某方向的位移求结构某点沿某方向的位移。1、沿欲求、沿欲求方向设方向设FP=1。 2、根据平衡条件求出、根据平衡条件求出FP=1作用下的作用下的M、FN、FQ、FR。3、根据公式（、根据公式（5-10）可求出）可求出。注意正负号：注意正负号： 、公式（、公式（5-10）中各乘积表示，力与变
11、形方向一致，）中各乘积表示，力与变形方向一致，乘积为正，反之为负。乘积为正，反之为负。 、求得、求得为正，表明位移为正，表明位移的实际方向与所设单的实际方向与所设单位荷载方向一致。位荷载方向一致。五五 、广义位移计算、广义位移计算广义位移：广义位移：某截面沿某方向的线位移；某截面沿某方向的线位移；某截面的角位移；某截面的角位移；某两个截面的相对位移等。某两个截面的相对位移等。 在利用（在利用（5-10）求广义位移）求广义位移时，必须根据广义位移的性质时，必须根据广义位移的性质虚设广义单位荷载。虚设广义单位荷载。ABqABABMA =1MB=1 如：右图所示简支梁，求如：右图所示简支梁，求AB两
12、截面两截面的相对角位移。的相对角位移。 求解过程：求解过程： 可先求可先求A和和B，再叠加。再叠加。也可直接求出也可直接求出AB= A+ B 广义位移和广义虚单位荷载示例广义位移和广义虚单位荷载示例广义位移广义虚单位荷载（外力）虚功BAABBAFP=1FP=11A+1B =A+B =ABABlABBAABABlAB1lAB11/lABA+ 1/lABB=(A+B)/ lAB=AB 广义位移和广义虚单位荷载示例广义位移和广义虚单位荷载示例广义位移广义虚单位荷载（外力）虚功ABBACClilj1li1li1lj1lj1/liAi + 1/liBi +1/ljAj+ 1/ljAj= (Ai+Bi)/
13、 li+ (Bj+Cj)/ lj=i+ j= ijCABCAB1 11 CL+1 CR= CL + CR= C5-3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算1 1、荷载作用下的结构位移计算公式、荷载作用下的结构位移计算公式 根据公式（根据公式（5-95-9） 本节讨论中，设材料是线弹性的。在此，微本节讨论中，设材料是线弹性的。在此，微段应变段应变 、 、 0 是由荷载引起的（实际位移状是由荷载引起的（实际位移状态），由荷载态），由荷载内力内力应力应力应变顺序求出。应变顺序求出。(5-9)由材料力学公式可知：由材料力学公式可知： 荷载作用下相应的弯曲、拉伸、剪切应荷载作用下相应的弯曲、拉伸、剪
14、切应变可表示为：变可表示为： 弯曲应变：弯曲应变： = MP /EI 轴向应变：轴向应变： = FNP /EA (5-18) 剪切应变：剪切应变： 0= k FQP /GA式中：式中： FNP、 FQP 、 MP是荷载作用下，结构各截是荷载作用下，结构各截面上的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状面上的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状态下的内力。态下的内力。 E，G 材料的弹性模量和剪切弹性模量。材料的弹性模量和剪切弹性模量。 A，I 杆件截面的面积和惯性矩。杆件截面的面积和惯性矩。 EA，GA ， EI杆件截面的抗拉，抗剪，抗杆件截面的抗拉，抗剪，抗弯刚度。弯刚度。 k是与截面形状有关的系数
15、（剪应力分布不是与截面形状有关的系数（剪应力分布不均匀系数）均匀系数） 计算公式计算公式 将（将（5-18）代入（）代入（5-9）可得荷载作用下平面杆）可得荷载作用下平面杆件结构弹性位移计算的一般公式：件结构弹性位移计算的一般公式：（5-19）将位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。将位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。正负号规定：正负号规定：FN 、 FNP 拉力为正；拉力为正；FQ 、 FQP 同材料力学；同材料力学；M、 MP使杆件同侧纤维受拉时，乘积为正。使杆件同侧纤维受拉时，乘积为正。2、各类结构的位移计算公式、各类结构的位移计算公式 （1）梁和刚架：位移主要由弯曲变形
16、引起。）梁和刚架：位移主要由弯曲变形引起。 （2）桁架：各杆只有轴力，且各杆截面和各）桁架：各杆只有轴力，且各杆截面和各杆轴力沿杆长一般为常数。杆轴力沿杆长一般为常数。（5-20）（5-21） （3）组合结构：一些杆件主要受弯，一些杆）组合结构：一些杆件主要受弯，一些杆件只有轴力。件只有轴力。（4）拱：）拱： 扁平拱及拱的合理轴线与拱轴相近时： 通常情况： （5-22）（5-23）（5-20）例例: 简支梁的位移计简支梁的位移计算。算。 求图示简支梁中求图示简支梁中点点C的竖向位移的竖向位移CV 和截面和截面B的转角的转角 。解：求解：求C点的竖向位移点的竖向位移: 虚拟状态如图：虚拟状态如图
17、：FP=11/2 实际状态 虚拟状态MP=q(lx-x2) / 2M=x/ 2FQP=q(l-2x)/ 2FQ=1/ 2 因因对称性，只计算一半。对称性，只计算一半。5-4 荷载作用下的位移计算举例荷载作用下的位移计算举例 讨论剪切变形和弯曲变形对位移的影响：讨论剪切变形和弯曲变形对位移的影响： 设简支梁为矩形截面，设简支梁为矩形截面，k=1.2, I /A= h2 / 12, 横向变形系数横向变形系数 =1/3, E/G=2(1+ )=8/3。 / = ( kql2/8GA)/(5ql4/384EI) =9.6/l2kE/G I /A = 2.56(h/l)2当当 h/l =1/10时时,
18、则：则： / =2.56 对一般梁来说，可略去剪切变形对位移的影响。对一般梁来说，可略去剪切变形对位移的影响。 但当梁但当梁h/l1/5时时, 则：则： / =10.2 对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。求截面求截面B的转角。的转角。虚拟状态如图所示。虚拟状态如图所示。M=11/l实际状态实际状态 虚拟状态虚拟状态MP=q(lx-x2)/2 M= - x/l 计算结果为负，说明实际位移与虚拟力方向相反。计算结果为负，说明实际位移与虚拟力方向相反。例例: 图示一屋架，屋图示一屋架，屋架的上弦杆和其他压架的上弦杆和其他压杆采用钢筋混凝土杆，杆采用钢筋混
19、凝土杆，下弦杆和其他拉杆采下弦杆和其他拉杆采用钢杆。用钢杆。 试求顶点试求顶点C的竖的竖向位移。向位移。解：解： （1）求）求FNP先将均布荷载先将均布荷载q化为结点荷载化为结点荷载FP=ql/4 。求结点荷载作用下的求结点荷载作用下的FNP 。0.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l1111/21/2FNP3.002.02.0- 4.74- 4.42- 0.951.504.500.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l10.50.5FN（2） 求作业：作业：P2005-7（b） 、5-8（a）、）、5-10每周三课后随堂交作业，周一发回。每周三课后随堂交作业，周一发回。
