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1、第五节 数列求和及通项1.1.公式法公式法等差数列前等差数列前n n项和公式项和公式 S Sn n= = = =等比数列前等比数列前n n项和公式项和公式 S Sn n= = 前前n n个个正整数之和正整数之和 1+2+ 1+2+n=+n=_,q=1_,q=1na1na1前前n n个个正奇数之和正奇数之和 1+3+5+1+3+5+(2n-1)=_+(2n-1)=_ 前前n n个正整个正整数平方和数平方和 1 12 2+2+22 2+ +n+n2 2= =前前n n个正整个正整数立方和数立方和 1 13 3+2+23 3+ +n+n3 3= =n2n22.2.裂项相消求和法裂项相消求和法把数列的
2、通项分解为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵把数列的通项分解为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法消的项的求和方法. .3.3.错位相减求和法错位相减求和法(1)(1)适用的数列：适用的数列：anbnanbn，其中数列，其中数列anan是公差为是公差为d d的等差数列的等差数列,bn,bn是公比为是公比为q1q1的等比数列的等比数列. .(2)(2)方法：设方法：设Sn=a1b1+a2b2+Sn=a1b1+a2b2+anbn,+anbn,则则qSn=a1b2+a2b3+qSn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1+an-1bn+anbn+1，-得：得：(1-q)Sn
3、=a1b1+d(b2+b3+(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+bn)-anbn+1+bn)-anbn+1，就转化为，就转化为根据公式可求的和根据公式可求的和. .4.4.其他求和方法其他求和方法名称名称含义含义简单示例简单示例分解法分解法分解为基本数列求和分解为基本数列求和a an n=2=2n n+(2n-1)+(2n-1)分组法分组法分为若干组整体求和分为若干组整体求和a an n=(-1)=(-1)n nn,n,求求S S2n2n倒序倒序相加法相加法把求和式倒序后两和式把求和式倒序后两和式相加相加函数函数f(x)f(x)图象关于点图象关于点(1,1)(1,1)对称，求对称，求f(
4、-1)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)f(0)+f(1)+f(2)判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确( (请在括号中打请在括号中打“”或或“”“”).).(1)(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n n项和时使用公式项和时使用公式Sn= Sn= 较为合理较为合理.( ).( )(2)(2)如果数列如果数列anan为等比数列，且公比不等于为等比数列，且公比不等于1 1，则其前，则其前n n项和项和Sn= ( )Sn= ( )(3)(3)当当n2n2时，时， ( ) ( )(4)(4)求求Sn=a+2a2+3a3+Sn=a+2a2+3a
5、3+nan+nan之和时只要把上式等号两边同时乘之和时只要把上式等号两边同时乘以以a a即可根据错位相减法求得即可根据错位相减法求得.( ).( )(5)(5)如果数列如果数列anan是周期为是周期为k(kk(k为大于为大于1 1的正整数的正整数) )的周期数列，的周期数列，那么那么Skm=mSk.( )Skm=mSk.( )(6)(6)如果数列如果数列anan是公差是公差d0d0的等差数列，那么的等差数列，那么 ( ) ( )【解析】【解析】(1)(1)正确正确. .根据等差数列求和公式以及运算的合理性根据等差数列求和公式以及运算的合理性可知可知. .(2)(2)正确正确. .根据等比数列的
6、求和公式可知根据等比数列的求和公式可知. .(3)(3)正确正确. .直接验证或倒推可知正确直接验证或倒推可知正确. .(4)(4)错误错误. .需要分需要分a=0,a=1a=0,a=1，以及，以及a0a0且且a1a1三种情况求和三种情况求和. .(5)(5)正确正确. .根据周期性可得根据周期性可得. .(6)(6)正确正确. .直接验证或倒推可得直接验证或倒推可得. .答案：答案：(1) (2) (3) (4)(1) (2) (3) (4) (5) (6) (5) (6)1.1.等比数列等比数列anan的前的前n n项和为项和为SnSn，且，且4a14a1，2a22a2，a3a3成等差数列
7、成等差数列. .若若a1=1a1=1，则，则S4=_.S4=_.【解析】【解析】4a14a1，2a22a2，a3a3成等差数列，成等差数列，4a1+a3=4a24a1+a3=4a2，即，即4a1+a1q2=4a1q,4a1+a1q2=4a1q,q2-4q+4=0,q=2,S4=15.q2-4q+4=0,q=2,S4=15.答案：答案：15152.2.等差数列等差数列anan的通项公式为的通项公式为an=2n+1an=2n+1，其前，其前n n项和为项和为SnSn，则数，则数列列 的前的前1010项和为项和为_._.【解析】因为等差数列【解析】因为等差数列anan的通项公式为的通项公式为an=2
8、n+1an=2n+1，所以，所以Sn=n2+2n,Sn=n2+2n,所以所以 n+2n+2，3+4+5+3+4+5+12+1275.75.答案：答案：75753.3.数列数列anan的通项公式的通项公式an=2n-(-1)nan=2n-(-1)n，设此数列的前，设此数列的前n n项和为项和为SnSn，则，则S10S10S21S21S100S100的值是的值是_._.【解析】当【解析】当n n为奇数时，为奇数时，an=2(n+1)an=2(n+1)；当；当n n为偶数时，为偶数时，an=2(n-1)an=2(n-1)，故有故有S10= =60+50=110,S10= =60+50=110,S21
9、= =464,S21= =464,S100= S100= 50=10 100.50=10 100.故故S10S10S21S21S100=9 746.S100=9 746.答案：答案：9 7469 7464.4.一个数列一个数列anan，当，当n n是奇数时，是奇数时，an=5n+1an=5n+1；当；当n n为偶数时，为偶数时，an=an= ，则这个数列的前，则这个数列的前2m2m项的和是项的和是_._.【解析】所有奇数项的和【解析】所有奇数项的和S1=6m+ =5m2+mS1=6m+ =5m2+m，所有偶数，所有偶数项的和项的和S2= =2m+1-2S2= =2m+1-2，两部分相加即得，两
10、部分相加即得. .答案：答案：2m+1+5m2+m-22m+1+5m2+m-25.5.在数列在数列anan中，中，a1= a1= ，SnSn为数列为数列anan的前的前n n项和且项和且Sn=n(2n-1)anSn=n(2n-1)an，则，则Sn=_.Sn=_.【解析】因为【解析】因为Sn=n(2n-1)anSn=n(2n-1)an，Sn-1=(n-1)(2n-3)an-1(n2),Sn-1=(n-1)(2n-3)an-1(n2),两式相减两式相减Sn-Sn-1=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1(n2),Sn-Sn-1=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1(n2
11、),即即an=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1(n2),an=n(2n-1)an-(n-1)(2n-3)an-1(n2),即即n(2n-1)-1n(2n-1)-1an=(n-1)(2n-3)an-1(n2),an=(n-1)(2n-3)an-1(n2),即即(2n+1)(n-1)an=(n-1)(2n-3)an-1(n2),(2n+1)(n-1)an=(n-1)(2n-3)an-1(n2),即即(2n+1)an=(2n-3)an-1(n2),(2n+1)an=(2n-3)an-1(n2),即即 (n2), (n2),所以所以Sn=n(2n-1)an=Sn=n(2n-1)an=
12、答案：答案：考向考向 1 1 公式求和法公式求和法 【典例【典例1 1】(1)(2019(1)(2019南通模拟南通模拟) )已知数列已知数列anan的前的前n n项和项和Sn=Sn=32n-n232n-n2，求数列，求数列|an|an|的前的前n n项和项和Tn.Tn.(2)(2)已知数列已知数列anan的通项公式是的通项公式是an=2an=23n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)3n-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3+(-1)nnln 3，求其前，求其前n n项和项和Sn.Sn.【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)根据数列根据数列anan的前的前n n项和可得
13、数列项和可得数列anan的通项的通项公式，根据求出的通项公式把数列公式，根据求出的通项公式把数列|an|an|分段求解分段求解. .(2)(2)由于存在由于存在(-1)n(-1)n，按照，按照n n为奇数和偶数分别求解为奇数和偶数分别求解. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)当当n=1n=1时，时，a1=S1=31a1=S1=31，当，当n2n2时，时，an=Sn-Sn-1an=Sn-Sn-1=33-2n=33-2n，an=33-2n(nN*)an=33-2n(nN*)，即数列，即数列anan是公差为是公差为-2-2，首项为，首项为3131的等的等差数列，差数列，令令an=33-2n0an
14、=33-2n0，则，则n16n16，故当故当0n160n16时，时，Tn=Sn=32n-n2Tn=Sn=32n-n2；而当而当n17n17时，时，Tn=S16-(a17+a18+Tn=S16-(a17+a18+an)=-Sn+2S16+an)=-Sn+2S16，即即Tn=-32n+n2+2(32Tn=-32n+n2+2(3216-162)16-162)=n2-32n+512=n2-32n+512，(2)Sn=2(1+3+(2)Sn=2(1+3+3n-1)+-1+1-1+3n-1)+-1+1-1+(-1)n(ln 2-ln 3)+(-1)n(ln 2-ln 3)+-1+2-3+-1+2-3+(-
15、1)nnln 3+(-1)nnln 3，所以当所以当n n为偶数时，为偶数时，当当n n为奇数时，为奇数时，= ln 3-ln 2-1.= ln 3-ln 2-1.综上所述，综上所述，【拓展提升】几类可以使用公式求和的数列【拓展提升】几类可以使用公式求和的数列(1)(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解求解. .(2)(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的
16、，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式. .(3)(3)等差数列各项加上绝对值，等差数列乘以等差数列各项加上绝对值，等差数列乘以(-1)n.(-1)n.【变式训练】【变式训练】(1)(1)在等差数列在等差数列anan中，中，a1=-60a1=-60，a17=-12,a17=-12,求其求其前前3030项的绝对值之和项的绝对值之和. .【解析】设等差数列的前【解析】设等差数列的前n n项和为项和为SnSn，前，前n n项的绝对值之和为项的绝对值之和为SnSn，由由-60+16d=-12-60+16d=-12得得d=3d=3，
17、an=-60+3(n-1)=3n-63an=-60+3(n-1)=3n-63，由此可知当由此可知当n20n20时，时，an0an2n2时，时，Sn=1- bn,Sn-1=1- bn-1,Sn=1- bn,Sn-1=1- bn-1,两式相减得两式相减得bn= bn-1-bn= bn-1- bn, , bn, ,所以所以bnbn是等比数列，是等比数列，(2)cn=an(2)cn=anbn=bn=两式相减得：两式相减得：所以所以【满分指导】解答数列求和问题【满分指导】解答数列求和问题【典例】【典例】(14(14分分)(2019)(2019江西高考江西高考) )已知数列已知数列anan的前的前n n项
18、和项和Sn=- n2+kn(Sn=- n2+kn(其中其中kN*),kN*),且且SnSn的最大值为的最大值为8.8.(1)(1)确定常数确定常数k k，求，求an.an.(2)(2)求数列求数列 的前的前n n项和项和Tn.Tn.【思路点拨】【思路点拨】【规范解答】【规范解答】(1)(1)当当n=kn=k，kN*kN*时，时，Sn=- n2+knSn=- n2+kn取最大值，即取最大值，即8=Sk=- k2+k2= k28=Sk=- k2+k2= k2，2 2分分故故k2=16k2=16，因此，因此k=4,k=4,3 3分分从而从而an=Sn-Sn-1= -n(n2).an=Sn-Sn-1=
19、 -n(n2).又又a1=S1= ,a1=S1= ,适合适合an= -nan= -n，5 5分分所以所以an= -n.an= -n.6 6分分(2)(2)设设bn= bn= ，88分分Tn=b1+b2+bn=Tn=b1+b2+bn=2Tn= 102Tn= 10分分所以所以Tn=2Tn-TnTn=2Tn-Tn 14 14分分【失分警示】【失分警示】( (下文下文见规范解答过程见规范解答过程) )1.(20191.(2019扬州模拟扬州模拟) )知知anan为等差数列，为等差数列，a3=7,a1+a7=10,Sna3=7,a1+a7=10,Sn为为其前其前n n项和，则使得项和，则使得SnSn达到
20、最大值的达到最大值的n n等于等于_._.【解析】设公差为【解析】设公差为d,d,则由题意知则由题意知an=13-2n,a6=10,a7=-10,a7=-11n1时，时，an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1)an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1)，则则a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2)a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2)， ，c=2.a2=4c=2.a2=4，即，即k(c2-c1)=4k(c2-c1)=4，解得，解得k=2k=2，an=2n(nan=2n(n1)1)，当当n=1n=1时，时，a1=S1=2a1=S1=2，综上所述综上所述an=2n(nN*).an=
21、2n(nN*).(2)nan=n(2)nan=n2n2n，则，则Tn=2+2Tn=2+222+322+323+23+n+n2n2n2Tn=12Tn=122+222+223+323+324+24+(n-1)2n+n+(n-1)2n+n2n+12n+1-得得-Tn=2+22+23+-Tn=2+22+23+2n-n+2n-n2n+12n+1，Tn=2+(n-1)2n+1.Tn=2+(n-1)2n+1.1.1.若数列若数列anan满足满足 =d(nN* =d(nN*，d d为常数为常数) )，则称数列，则称数列anan为为“调和数列调和数列”. .已知正项数列已知正项数列 为为“调和数列调和数列”，且
22、，且b1+b1+b2+b2+b9=90+b9=90，则，则b4b4b6b6的最大值是的最大值是_._.【解析】由已知得【解析】由已知得bnbn为等差数列，且为等差数列，且b4+b6=20,b4+b6=20,又又bn0,bn0,所以所以b4b4b6b6答案：答案：1001002.2.已知数列已知数列anan满足满足a1= a1= ，且对任意的正整数，且对任意的正整数m,nm,n都有都有am+n=am+n=amamanan，若数列，若数列anan的前的前n n项和为项和为SnSn，则，则Sn=_.Sn=_.【解析】对【解析】对m=1m=1等式等式am+n=amam+n=amanan也成立，即也成立
23、，即an+1= anan+1= an，所以数，所以数列列anan是首项为是首项为 ，公比为，公比为 的等比数列，所以的等比数列，所以Sn=Sn=答案：答案：3.3.在数列在数列anan中，中，a1=1a1=1，an+1=2an+2n.an+1=2an+2n.(1)(1)设设 . .证明：数列证明：数列bnbn是等差数列是等差数列. .(2)(2)求数列求数列anan的前的前n n项和项和Sn.Sn.【解析】【解析】(1)an+1=2an+2n(1)an+1=2an+2n， 即即bn+1=bn+1bn+1=bn+1，那么那么bnbn为等差数列，为等差数列，b1=1b1=1，bn=n,an=nbn=n,an=n2n-1.2n-1.(2)Sn=1(2)Sn=120+220+221+21+(n-1)+(n-1)2n-2+n2n-2+n2n-1,2n-1,2Sn=12Sn=121+221+222+22+(n-1)+(n-1)2n-1+n2n-1+n2n,2n,两式相减，得两式相减，得Sn=nSn=n2n-12n-120-21-20-21-2n-1=n-2n-1=n2n-2n+12n-2n+1=(n-1)=(n-1)2n+1.2n+1.
