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1、 2.4.1 平面向量数量积平面向量数量积 物理背景及其含义物理背景及其含义已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，则，则AOB= （0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直， 记为ab.OAab一个物体在力一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS那么力那么力F所做的功所做的功W为：为：情景引入情景引入W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。
2、的概念。数量积的定义数量积的定义（1）两向量的数量积是一个数量，）两向量的数量积是一个数量，注注意意 已已知知两两个个非非零零向向量量a 和和b ，它它们们的的夹夹角角为为 ，我我们们把把数数量量 叫叫做做a 与与b 的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作a b ，即，即（2） a b不能写成不能写成ab ，不能省不能省. 向量的数量积是一个数量，那么它什向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？么时候为正，什么时候为负？ab=|a| |b| cos当当0 90时时 ab为正；为正；当当90 180时时 ab为负。为负。当当 =90时时 ab为零。为零。例题讲解例题讲
3、解例例1已知已知 =5， =4， 与与 的夹角的夹角 ，求，求 .变式变式:如图的菱形如图的菱形ABCD中，角中，角A等于等于 ，AB=2,求下列各数量积求下列各数量积.DABC例例2 已知已知 =(1,1), =(2,0),求求 。解：解： 设设是非零向量，是非零向量，方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，的夹角，则的夹角，则特别地特别地OAB abB1求模的方法求模的方法判断垂直的又一条件判断垂直的又一条件求求角角 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功只有在位移方向上的力做功sF 对非零向量对非零向量a与与b，定义定义| b
4、 | cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的投影方向上的投影| a | cos叫叫向量向量a在在b 方向上的投影方向上的投影数量积的几何意义数量积的几何意义，过点，过点B作作则则 的数量是的数量是| b | cos（不是向量）（不是向量） a b的的几几何何意意义义：数数量量积积a b等等于于a的的长长度度|a|与与b在在a的方向上投影的方向上投影|b|cos 的乘积。的乘积。 为锐角时，为锐角时，| b | cos0为钝角时，为钝角时，| b | cos0为直角时，为直角时，| b | cos=0数量积的几何意义数量积的几何意义 OABbaB1B1OAB baOAB ba回顾实数运算中有关的
5、运算律，类比数量回顾实数运算中有关的运算律，类比数量积得运算律积得运算律: 在实数中在实数中 在向量运算中在向量运算中交换律交换律: ab=ba ( )结合律：结合律： (ab)c=a(bc) ( ) ( )分配律：分配律： (a+b)c=ab+bc ( )消去律消去律: ab=bc(b0) a=c ( )数量积的运算律数量积的运算律数量积的运算律数量积的运算律已知向量已知向量a、b、c和实数和实数 ，则，则: 则： (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射
6、影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律证明运算律(3)典型例题典型例题例例1.已知向量已知向量a，b,求证下列各式求证下列各式证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.向量的数量积运算类似于多项式运算向量的数量积运算类似于多项式运算解：解：a+kb与与a-kb互相垂直的条件是互相垂直的条件是 （ a+kb） （a-kb）=0即即a2-k2b2=0 9-16 =0所以，所以，k= 例4、(2009海南、宁夏高考，理9)已知点O、N、P在ABC所在平面内，且 A重心
7、、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心夹角的范围夹角的范围运算律运算律性性 质质数量积数量积(3) (ab) c =acbc aa=|a|2（简写 a2 = |a|2） 知识回顾:(2)(1) a b= b a(交换律交换律)(分配律分配律)判断正误，并说理判断正误，并说理.1.已知向量已知向量 和实数和实数1 1若若 ，则，则 中至少有一个为中至少有一个为 2. 2. 若若b0，abcb ，则，则a=c4. 对任意向量对任意向量 a 有有3. (ab)c=a(bc)巩固练习巩固练习2. 已知已知ABC中中, AB=a, AC=b, 当当 ab 0, ab =0
8、时时, ABC各是什么各是什么三角形？三角形？当当a b0时，时， cos 0，为钝角三角形为钝角三角形当当a b=0时，时，为直角三角形为直角三角形巩固练习巩固练习3. 3. 在在ABCABC中中a=5,b=8,C=60a=5,b=8,C=60o o, , 求求思考思考：用向量方法证明：直径所对的圆：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。周角为直角。ABCO如图所示，已知如图所示，已知如图所示，已知如图所示，已知 OO，ABAB为直径，为直径，为直径，为直径，C C为为为为 OO上任意一点。求证上任意一点。求证上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90ACB=90分析：要证分析：要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。解：解：设设 则则 ，由此可得：由此可得：即即 ，ACB=90课后作业: P108 18 (习题).预习向量的数量积的坐标表示预习向量的数量积的坐标表示
