对高考数学复习的思考

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1、对高考数学复习的思考对高考数学复习的思考一、高考中的几个热点问题一、高考中的几个热点问题二、二、2008年高考试题举例年高考试题举例三、高三数学总复习三、高三数学总复习知识脉络梳理知识脉络梳理四、对高考的思考四、对高考的思考五、五、 考纲变化实例解释考纲变化实例解释六、对函数思想的重点考查六、对函数思想的重点考查七、七、 以空间图形为载体的轨迹问题分析以空间图形为载体的轨迹问题分析 八、关于复习的建议八、关于复习的建议一、高考中的几个热点问题 近年来，高考试题遵循大纲要求，重视基础，突出能力，方向明确。试题可大致归纳如下：1.知识交汇是高考命题的永恒话题（综合性）2.新定义运算的试题常考常新3

2、.函数相关内容是高考的主旋律4.数学思想方法是中学数学解题的利剑二、二、2008年高考试题举例年高考试题举例1以比大小的形式考查考生的基础知识（北京文2）若 则（ ） A B CD 选 A（北京理2）若 则（ ） A B CD 选 A（辽宁4）已知，则（ C ） A B C D（全国4）若 则（ ） AB C D选C二、以图形为背景建立函数关系（北京理(8)）如图，动点P在正方体的对角线 上。过点P作垂直平面 的直线，与正方体表面相交于M、N，设 则函数 的图象大致是（ B ）2BCAyx1O34 5 61234（北京理12文13）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ； （用数字作

3、答）Oyx（山东文12）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ A ）CDDAB(福建理12) 已知函数的导函数的图象如下图，那么图象可能是（福建文11）如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是( )（练习）已知图中的图象对应的函数为则图中的图象对应的函数 （ ） ，B C DA在下列给出的四式中只可能是stOAstOstOstOBCD（全国理2文2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 看作时间的函数，其图像可能是（ ）三、新定义运算10.设x表示不超过x的最大整数（如2=2, =1）,对于给定的nN*,定义 x, 则当x 时，函数 的值域是（

4、 ）A. B.B.C. D. （北京理14）某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数 的整数部分，例如，按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 四、与函数有关的综合题（湖北理14）已知函数,等差数列的公差为2 .若,则 .四、与函数有关的综合题（湖北理14）已知函数,等差数列的公差为2 .若,则 .（北京理13文14）已知函数，对于上的任意，有如下条件：；其中能使恒成立的条件序号是（ ） （安徽理11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足则有（ ） BCA.D.yxOyxOyxOyxOABCD（山东文

5、3理3）函数的图象是（ ）（广东文9）设，若函数，有大于零的极值点，则（ ) B、 C、 D、A（江西理12）已知函数，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） B C D A（天津文10）设，若对于任意的都有满足方程这时的取值集合为（ ） B. C. D.A.五、抽象函数（陕西理11）定义在上的函数满足（），则A2B3C6D9等于（ ）(重庆理6)若定义在R上的函数满足：对任意，有则下列说法一定正确的是( ) 为奇函数 B.为偶函数 为奇函数 D.为偶函数A.C.三、高三数学总复习 知识脉络梳理重视基础，落实基础，在重视基础的基础上才能有一定的能力要求，瞄准数学命题的走向

6、复习。 揭示知识的内在联系，揭示知识的内在联系， 构建知识网络构建知识网络 四、对高考的思考四、对高考的思考1数学命题的原则考查基础知识的同时，注意考查能力，注重对数学思想方法的考查。2数学考试的学科性（学科特点）（1）概念性强：几乎每道题涉及概念，还涉及新概念。（2）充满思辨性：数学是以思维为主体的学科，一是辨析，你自己决定这样做对不对，这是辨误；第二是辨证，从哲理上看有一定的辨证成分。（3）量化突出：方法做的再对，结果不对也不行。（4）解法多样：专家不赞成只有一两种解法的，或者是解法偏怪的，而是重通法，常常将一道题要用多种思路都考虑到，让同学容易上手，这就是学科特点。3在涉及七种数学方法：

7、（1）函数与方程的思想；（2）数与形结合的思想；（3）分类与整合的思想；（4）划归与转化的思想；（5）特殊与一般的思想；（6）有限与无限的思想；（7）或然与必然的思想。（实际上都谈的是学科特点）4数学试题中考查的主要能力（1）思维能力；（2）计算能力；（3）空间想象能力；（4）实践能力下面围绕这些内容讲解几个题目，我介绍的的题目并不以难为特色。例1：定义“max”的意义是选大的。 函数 ，求 的最小正周期。分析1：max是新引人的概念， 最小正周期 例2：中，AB ，D为AC边的中点，求外接圆半径.解1：设 ACb,BC=a ,即 外接圆半径 解2：建立直角坐标系，设 外接圆半径 例3：甲乙两

8、队进行一场排球赛，一场分为若干局，采用五局三胜，即先胜三局的队获胜，比赛结束。比赛中，各局比赛相互无影响，设单局比赛时，甲胜的概率为0.6，设 为本场比赛的局数。求 的数学期望。 分析： ， 即 （这里既含有常识内容，又含有基本思维的内容）甲本场胜与乙本场胜是互斥事件。 如果3局使本场比赛结束，甲胜的概率是 ，乙胜的概率 ，.如果4局使本场结束，分两种情况前3局中甲胜两局，乙胜1局，第4局甲胜；（分甲胜在哪两局，等可能事件问题）前3局中乙胜两局，甲胜1局，第4局乙胜；由独立重复试验概率算法知.如果打满5局使本场结束，分两种情况前4局中两队各胜两局，第5局甲胜；前4局中两队各胜两局，第5局乙胜。

9、(概念性强，充满思辨性，量化突出，立足基础)例4：无限项数列 的前n项和为 ， 证明： 是等比数列的充要条件是 .证明：（充分性）若 ， ，时， ， 当是以x为公比的等比数列。 （必要性）若 为等比数列时，该等比数列的公比是，且。由 （思辨性，立足基础的应用 解决数列问题的基本思路是：解决数列问题的基本思路是：（1 1）判判断断所所要要求求研研究究的的数数列列是是否否为为特特殊殊数数列列：等等差差数数列列或或等等比比数数列列，如如是是，用公式和性质解决用公式和性质解决. .（2 2）如如果果不不是是等等差差、等等比比数数列列，要要么么转转化化为为等等差差数数列列或或等等比比数数列列，要要么么寻

10、寻找其它方法找其它方法. . （20062006，北京卷，北京卷 7 7） 则则 分析要点：分析要点：（1）不不是是先先看看这这个个和和的的最最后后一一项项如如何何，而而应应通通过这个和，把相关的数列的属性做一判断过这个和，把相关的数列的属性做一判断.(2)如如果果不不是是等等差差、等等比比数数列列，那那么么，再再研研究究它的通项的特征，寻求方法它的通项的特征，寻求方法. 则则 （2005，天津卷），天津卷）已知已知 ：求 分析要点分析要点: 1.判断是否为特殊数列判断是否为特殊数列? 2.选用公式选用公式 难点：难点：是否讨论是否讨论q？当a=b时，当ab时，以下分以下分a ab,ab,a

11、b两种情况讨论：设 当q1时，当q1时，=a=b（q1）研究函数研究函数 使用函数使用函数 要掌握研究一个函数的基本方法要掌握研究一个函数的基本方法. 例5：作函数 的图象（近年没考作图）分析：描点作图可能不能表达出全局特性，从研究该函数性质入手，用性质指导作图分析：归结到作函数 的图像，函数 图像平移一个单位后就可得到函数 的图像。函数 的图像也不能上来就描点，先看性质，因为函数给定后，其性质其图像是相辅相成的两个侧面，对立统一，互相制约。分析性质指导作图，函数 是偶函数，图像关于y轴对称；图像过（0，1）点；定义域 条件。定义域条件对作图有什么影响呢？ 这将是函数图像不可碰到的线（警戒线）

12、 时，函数 是减函数， 。 时，函数 是减函数， 。 时， 时， 。 时，因为偶函数左侧图像可根据y轴右侧对称画出来，但这还不够，还应该有一种趋势分析，设想 时， 的分母就非常大，y就和0很接近，但y是正的。当 ，y是一个分母很小的正数的倒数，同理 时， 。这样就可作出函数图像函数 图像函数的图象如图体现（性质、图像是相辅相成，互相制约） 注注：研研究究函函数数主主要要是是研研究究函函数数的的特特征征，而而函函数数特特征征可可以以直直观观地地用用函函数数的的图图象象显显示示出出来来；反反之之，借借助助函函数数的的特特征征，也也可可以以知知道道我我们们的的作作图图.对对作作图图有有帮帮助助的的性

13、性质质主主要要有有：奇奇偶偶性性、单单调调性性、周周期期性性、特特殊殊点点出出的的函函数数值值、渐近线、凸凹性、以及定义域等渐近线、凸凹性、以及定义域等.五、五、 考纲变化实例解释考纲变化实例解释1、适当增加开放性的试题数量，鼓励有、适当增加开放性的试题数量，鼓励有创造性答案，命题注重知识的网络化，创造性答案，命题注重知识的网络化，不刻意追求知识的覆盖面。不刻意追求知识的覆盖面。例例1 (2007年上海春季)求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题。 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体

14、积”.求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”。例2（07年国统卷）年国统卷）理科数学（宁夏）理科数学（宁夏） 8已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）2020正视图20侧视图101020俯视图本题考查了空间想象能力，由三视图不难看出该几何体是一边长20cm的正方形为底面的四棱锥。S-ABCD，SA=SB，SC=SD，面SCD垂直面ABCD，该棱锥的高为20cm,容易求出体积： 故选B2、 在知识要求中，增加了知识相关背景在知识要求中，增加了知

15、识相关背景的认识，要求学生学习数学知识的同时，的认识，要求学生学习数学知识的同时，应了解知识的背景，如导数概念的某些应了解知识的背景，如导数概念的某些背景（如瞬时速度，加速度，平滑曲线背景（如瞬时速度，加速度，平滑曲线的切线等），认识到数学知识来源于生的切线等），认识到数学知识来源于生活实际。活实际。3、对学生数学思维及运算能力的、对学生数学思维及运算能力的要求，相应有所提高。要求，相应有所提高。4、开放性试题是历年高考命题追求的一个、开放性试题是历年高考命题追求的一个方向，只不过是，作为规模比较大高考，方向，只不过是，作为规模比较大高考，其开放度不可以太大。一般有结论开放其开放度不可以太大。

16、一般有结论开放型、条件开放型，解答开放型等。型、条件开放型，解答开放型等。六、对函数思想的重点考查六、对函数思想的重点考查例例 函数 对一切 ，满足 且其图像关于 成中心对称，给出两个命题：（1） 是偶函数；（2） 的图像关于直线 对称思考：两个自变量相差时，函数值互为相反数；(性质一) 思考：的图像关于成中心对称， 两个自变量的和等于时函数值互为相反数 (性质二) 例例.函数 恒过定点A，若点A在直线上，求 的最小值 (mn0)。 思考：(1)恒过定点A，这里“恒”的含义是什么？上 (2)点A在直线都是正数； （3）求的最小值， 可见都是变量， 是的二元函数； （4）化为一元，函数 设定义域

17、，易知， 时， 时，的最小值是8.例例.设 是二次函数，若 的值域是 ，则 的值域 是( )A. B. C. D.思维过程：把 看成自变量，根据图形解不等式.已知，已知 ， 则， 与只能取其一，则选C 先先看看第第一一个个问问题题：要要求求k的的范范围围，就就先分析约束先分析约束k的几何特征是什么？的几何特征是什么？几几何何特特征征：是是直直线线的的斜斜率率，直直线线与与曲曲线线C交于交于A，B两点两点.将其代数化：将其代数化： 注注：对对于于参参数数的的取取值值范范围围问问题题，要要引引导导学学生生能能从从几几何何特特征征的的角角度度去去分分析析参参数数变变化化的的原原因因，谁谁是是自自变变

18、量量，实实际际是是函函数数问问题题，要要让让学学生生学学会会用用函函数数的的观点分析这类问题观点分析这类问题.七、七、 以空间图形为载体的轨迹以空间图形为载体的轨迹问题分析问题分析近几年的高考数学试题，设置了一些数学学科近几年的高考数学试题，设置了一些数学学科内的综合题，即所谓的内的综合题，即所谓的“在知识网络交汇点处在知识网络交汇点处设计试题设计试题”. 以空间图形为载体的轨迹问题正以空间图形为载体的轨迹问题正是在这种背景下登场的是在这种背景下登场的.此类问题将平面几何，此类问题将平面几何，立体几何，解析几何巧妙而自然地交汇在一起，立体几何，解析几何巧妙而自然地交汇在一起，涵盖的知识点多，数

19、学思想和方法考查充分涵盖的知识点多，数学思想和方法考查充分,解答起来颇感困难解答起来颇感困难.1.(2006,1.(2006,北北京京卷卷) ) 平平面面的的斜斜线线ABAB交交于于平平面面 点点，过过定定点点A A的的动动直线直线l l与与ABAB垂直，且交平面垂直，且交平面 于点于点C C，则点则点C C的轨迹是的轨迹是（A A）一条直线（一条直线（B B）一个圆（一个圆（C C）一个椭圆（一个椭圆（D D）双曲线的一支双曲线的一支(2006,(2006,北北京京卷卷) ) 平平面面的的斜斜线线ABAB交交于于平平面面 点点，过过定定点点A A的的动动直直线线l l与与ABAB垂直，且交平

20、面垂直，且交平面 于点于点C C，则点则点C C的轨迹是的轨迹是（A A）一条直线（一条直线（B B）一个圆（一个圆（C C）一个椭圆（一个椭圆（D D）双曲线的一支双曲线的一支6 本本题题关关键键：点点P到到直直线线D1C1的的距距离离转转化化为为PC1,从从而而将将问问题题转转变变为为：在在平平面面BCC1B1内内，到到定定点点C1与与到到定定直直线线BC距距离离相相等等的轨迹问题的轨迹问题.（2007海海淀淀区区期期末末）已已知知每每条条棱棱长长都都为为3的的直直平平行行六六面面体体ABCDA1B1C1D1中中，BAD=60，长长为为2的的线线段段MN的的一一个个端端点点M在在DD1上上

21、运运动动，另另一一个个端端点点N在在底底面面ABCD上上运运动动.则则MN中中点点P的的轨轨迹迹与与该该直直平平行行六六面面体表面所围成的几何体中较小体积值为体表面所围成的几何体中较小体积值为_.1111对对策策2：依依据据三三垂垂线线定定理理及及逆逆定定理理将将空空间间的的线线线线垂垂直直轨轨迹迹问问题题转转化化为为平平面内的线线垂直轨迹问题面内的线线垂直轨迹问题10八、关于复习的建议一关于复习的告诫一关于复习的告诫二重视数学思想方法的复习（归纳方法）二重视数学思想方法的复习（归纳方法）三、培养良好的解题习惯，教会学生思考三、培养良好的解题习惯，教会学生思考三、培养良好的解题习惯，教会学生思考1分析条件，弄清问题2明确任务，制订策略3规范表达，实施计划4验算结果，回顾反思四、精选例题，讲练得法，反思到位（习题课到底怎么上）谢谢各位