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1、第五课 程序设计方法学基本理论 结构化程序的正确性证明n课件已上载至ftp:/10.11.11.110/程序设计方法学（蔡铭）本课的内容n1.重复递归引理n2.正确性定理n3.结构化程序正确性证明的代数方法n4.循环不变式产生的方法结构化程序正确性证明思路n任何结构化程序都可以用序列、条件和循环3种结构表示，其中循环的正确性最为复杂，若能够用序列和条件结构来表示循环，则可以使正确性证明得以简化。重复递归引理（1/5）n 基本概念：基于程序函数的程序正确性概念。 假设已知一个程序P和一个预期函数F，若有 f=P 则称程序P正确地实现了函数f，或说程序P是正确的。重复递归引理（2/5）n重复递归引
2、理内容n引理1 while-do的正确性定理n引理2 do-until的正确性定理n引理3 do-while-do的正确性定理重复递归引理引理1（3/5）n引理1 已知预期函数f和循环程序P while p do g 则 f=P的充要条件是：对所有XD（f）， 程序P终止，且 f=if p then g；f重复递归引理引理1 （4/5）证明：必要性： f= P=while p do g if p then g;f p=while p do g=if p then g; while p do g =if p then g;f 充分性： if p then g;f while p do g if
3、p then g;f =if p then g;if p then g;f = if p then g;if p then g;(if p then g) = if p then g;if p then g;I = while p do g 重复递归引理引理2/3 （5/5）引理2 已知函数f和循环程序P：do g until p ,则 f=P的充要条件是：程序P终止，且 f=g;if p then f 引理3 已知函数f和循环程序P：do1 g while p do2 h ,则 f=P的充要条件是：程序P终止，且 f=g;if p then h;f 重复递归引理告诉我们，循环程序的验证可以通
4、过将循环化为递归的方法，转化为终止性和由选择以及序列组成的无循环程序进行验证！ 正确性定理（1/2）已知预期函数f和基本程序P，则f=P的充要条件是： XD（f），程序P终止，且对于不同的基本程序，函数f分别满足下列关系情形a：对于序列，p=g;h,有f=(x,y)|y=h*g(x)情形b：对于if-then程序，if p then g fi，有 f=(x,y)|p(x)y=g(x) | p(x) y=x情形c：对于if-then-else，if p then g else h fi，有 f=(x,y)|p(x) y=g(x)|p(x) y=h(x)情形d：对while-do程序,while
5、p do g od，有 f=(x,y)|p(x) y=f*g(x)|p(x) y=x情形e：对于do-until程序,do g until p od,有 f=(x,y)|p*g(x) y=g(x)|p*g(x)-y=f*g(x)情形f：对于do-while-do程序，do1 g while p do2 h od，有 f=(x,y)|p*g(x) y=g(x)|p*g(x)-y=g(x)正确性定理-证明（2/2）情形a,b,c由程序函数直接可得情形d,由下式可得（根据引理1）： 对while-do程序,while p do g ，有 while p do = if p then g;f = (x
6、,y)|p(x) y=f*g(x)|p(x) y=x = f 情形e,f由引理2，3可证结构化程序正确性证明的代数方法n给定一个程序P的预期程序函数f，若XD（f），程序P是终止的，且通过正确性定理求解程序P的程序函数f，若与预期函数f相等，则得证。n证明步骤： 1：程序P是终止的； 2：f和程序P的定义域相同； 3：通过正确性定理求解程序P的程序函数f，与预期函数f相等。n对于相对简单直观的程序，可以直接使用代数方法计算程序函数。n对于复杂的序列和条件程序,循环程序的证明，可以采取跟踪表方法求解程序函数。代数方法跟踪表1.已知程序P：x:=x+y;y:=x-y;x:=x-y;求它的程序函数
7、假设变量x,y的初值是x0,y0，执行第一个赋值语句后变量值为x1,y1，则可以建立赋值表如下：语句xy1x:=x+yx1=x0+y0y1=y02y:=x-yx2=x1y2=x1-y13x:=x-yx3=x2-y2y3=y2分析跟踪表可知：X3=x2-y2=x1-(x1-y1)=y1=y0 Y3=y2=x1=y1=x0+y0-y0=x0通过跟踪表法，可知程序P的程序函数为(x,y),(y,x)代数方法例子（跟踪表）例：已知预期函数f是（x,y,a是整数，且x0） (x,y,a),(0,a*x+y,a) 程序P如下，其中x 0： while x0 do x,y=x-1,y+a 证明程序P是正确的
8、，即f=P 证明1：程序是终止的 证明2：定义域相同 证明3：f=(x,y)|p(x)-y=f*g(x) | p(x)-y=x，其中 p(x)=(x0),p(x)=(x=0) 利用f*g(x)的跟踪表证明3代数方法例子于是有： x2=0 y2=a0*(x0-1)+y0+a0=a0*x0+y0即当x0时 x,y,a :=0,a*x+y,a 当x=0时 x,y,a := 0,y,a = 0,a*0+y,a因此可知，f (x,y,a)(0,a*x+y,a)，与预期函数相等，因此得证。语句xyx,y:=x-1,y+ax1=x0-1y1=y0+a0x,y,a:=0,a*x+y,ax2=0y2:=a0*x
9、1+y1循环不变式产生的方法 对于程序部分正确性证明的不变式断言法，这一方法的关键是建立一个正确的不变式断言，对一般程序来说，不变式断言的建立主要依靠程序员对程序的理解，尚无系统的方法。 但对结构化程序来说，如果已知它的程序函数，则可以根据不变式状态定理不变式状态定理，来确定它的一个循环不变式。循环不变式产生的方法不变式状态定理不变式状态定理：假设f=while p(x) do g(x) ，x0是初始值，则 循环不变式q(x)为： f(x) = f(x0)证明：1.在第一次进入循环时， f(x0) = f(x0)，因此q(x)成立。2.试证假设在每一次进入循环前q(x) 成立，即f(x0)=f
10、(x)，则执行循环后q(x)也成立，即证明 p(x) q(x) = q(g(x)=(f(g(x)=f(x0)由p(x)为真，以及正确性定理 f=(x,y)|p(x) y=f*g(x)|p(x) y=x可知 即 f(x0)=f(x)y=f*g(x)=f(g(x)循环不变式产生的方法同理可知如下定理：2 假设 f(x)=do g(x) until p(x) ，则该循环不变式q(x)为 f(x)=(f(x)=f*g(x0)3假设 f(x)=do1 g(x) while p(x) do2 h(x) ,则该循环不变式q(x)为 f(x)=f*h*g(x)循环不变式产生的方法例1对于循环程序P：while
11、 v0 do u,v=u+1,v-1 其程序函数为(u,v),(u+v,0)，求其循环不变式对循环中所有变量，分别计算f(x)和f(x0)，列表如下：则循环不变式为f(x)=f(x0) = u+v=u0+v0xf(x)f(x0)Uu+vu0+v0v00循环不变式产生的方法例2求程序P： while ab do a,q:=a-b,q+1 的循环不变式该程序的程序函数为(a,b,q),(a-a/b*b),b,a/b+qa-a/b*b=a0-(a0/b0)*b0 （1）b=b0 （2）(a/b)+q=(a0/b0)+q0 （3）由(1)、(2)得：a0-a=b*(a0/b0-a/b) （4）由(3)
12、得：a0/b0-a/b=q-q0 （5）综合(4)、(5)得 a0-a=b*(q-q0)xf(x)f(x0)aa-a/b*ba0-a0/b0*b0BbB0q(a/b)+q(a0/b0)+q程序正确性证明练习nP174页习题1和2nP190页习题1和6s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z
13、-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlT
14、hQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3
15、B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z-w&t!pYm
16、VjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C
17、0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnV
18、kShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5Ew*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z
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22、RfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C
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24、OdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A
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26、eMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#ThQeNbJ8G4D1A-w*t
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