《高等数学课件：9微分方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学课件：9微分方程（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、东南大学东南大学hechuanfu.判别下列方程类型:提示提示: 可分离可分离 变量方程变量方程齐次方程齐次方程线性方程线性方程线性方程线性方程伯努利伯努利方程方程东南大学东南大学hechuanfu微分方程微分方程东南大学东南大学hechuanfu内容：内容：一阶微分方程求解一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法(2) 交换角色四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 贝努利方程东南大学东南大学hechuanfu一求下列微分方程的通解一求下列微分方程的通解 ( )( )东南大学东南
2、大学hechuanfu东南大学东南大学hechuanfu1. 求一连续可导函数使其满足下列方程:提示提示:令则有利用公式可求出二二.一阶方程的应用一阶方程的应用东南大学东南大学hechuanfu2. 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .提示提示: 设曲线上的动点为 M (x,y),令 X = 0, 得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵东南大学东南大学hechuanfu3.设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;(03) (2)
3、 求出F(x) 的表达式 .解解: (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:东南大学东南大学hechuanfu(2) 由一阶线性微分方程解的公式得于是 东南大学东南大学hechuanfu东南大学东南大学hechuanfu二阶微分方程二阶微分方程东南大学东南大学hechuanfu内容小结内容小结1.可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令东南大学东南大学hechuanfu2.二阶常系数方程二阶常系数方程特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .齐次齐次解法解法东南大学东南大学hechuanfu二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解
4、为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式, 待定系数法待定系数法非齐次非齐次东南大学东南大学hechuanfu 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根, 则设特解为为特征方程的 k (0, 1 )重根, 则设特解为东南大学东南大学hechuanfu 属于贝努里方程属于贝努里方程 四四.二阶微分方程二阶微分方程东南大学东南大学hechuanfu东南大学东南大学hechuanfu有特解求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为4. 4. 已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程东南大学东南大学hec
5、huanfu东南大学东南大学hechuanfu的一个特解.解解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为6.东南大学东南大学hechuanfu的通解. 解解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数, 得因此特解为代入方程得所求通解为7.东南大学东南大学hechuanfu东南大学东南大学hechuanfu9.已知函数已知函数满足关系式满足关系式东南大学东南大学hechuanfu10.设对任意的设对任意的恒有恒有其中函数其中函数可导，且可导，且东南大学东南大学hechuanfu11. 设设函数函数且且利用公式可求出利用公式可求出二阶可导，二阶可导，东南大学东南大学hechuanfu12.求微分方程求微分方程在原点处与直线在原点处与直线相切的特解相切的特解东南大学东南大学hechuanfu东南大学东南大学hechuanfu东南大学东南大学hechuanfu
