2020届中考数学十大题型卷09 几何类比、拓展、探究题（含答案）

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1、2020届中考数学十大题型专练卷题型0 9几何类比、拓展、探究题一、解答题1 .如 图1, AABC 绕点。顺时针旋转得AOEC，射线A 6交射线O E于点F .2（ 1）NAED与ZBCE的关系是；（ 2）如图2 ,当旋转角为60。 时，点 。，点5与线段A C的中点。恰好在同一直线上，延长D O至点G ,使OG = Q D ,连接GC.NAED与NGCO的关系是，请说明理由；如图3 ,连接A E ,B E ,若NACB = 4 5 ，CE = 4 ,求线段4 E的长度.图1图2图3【 答案】（ 1） ZAFD = / BCE； （ 2）N 4 ） = LNG C。或NAED+NGCO =

2、180，理由见解析；2A E = 2 瓜 + 2 0【 分析】（ 1）如 图1. A F与8 0的交点记作点N , 由旋转的性质与三角形内角和定理得到NACD = N /SD ,即可求解；（ 2）如图2,连接A D ,由旋转的性质及全等三角形的性质得到A A C MSA / M，故“）力 ，即可证明M O D也A C O G ,再得到N G CD = 2 Z A C D = 120，即可得到结论；由得NGCD = 120，NACO = N3CE = 60，由角度的关系得到NGCB = NACE,再 证 明G CB= ACE,再利用等腰三角形的性质得到NCOG = NCO3 = 90，再利用直角

3、三角形三角函数求出CO, 3 0 ,即可求出AE的长.【 详解】解：（ 1）如 图1,A F与8D的交点记作点N,由旋转知，Z A C B = Z D C E , Z A = ZD，： . / BCE = ZACD，: ZACO = 180-NA-ZA/VC，ZAFD = 180 -N D-N DN F，ZAN C = Z D N F ,： . ZACD = ZAFD，： . ZAFD = / B C E ,故答案为：ZAFD = / BCE；( 2 )NAfD = LNGC。或ZAFQ + NGCD = 180，2理由：如图 2 ,连接 AO，由旋转知，NCAB = NCDE, C4 = C

4、D，ZACD = 60 二AACD是等边三角形，,AD = CD，：ZAMC=/DMF,：. ACM s M)FM，ZACD = ZAFD，。是AC的中点，二 AO = CO, ： OD = OG, ZAOD=/COG，AAO丝ACOG (SAS),： .AD CG，：.CG = CD,ZGCD = 2ZACD = 120，ZAFD = ZGCD 或 ZAFD + ZGCD = 180，2故答案为：NA/T = ，NGC。或 NAFO+NGCO= 180；2由知，ZGCD = 120 ZACP = ZBCE = 60,二 ZGCA = ZGCD - NACD = 60，二 4GCB = /B

5、C E，： ZGCB = ZGCA+ZACB, ZACE = ZBCE + ZACB，NGCB = ZACE,由知，CG = CD,CD = CA,A CG = C4.,/ BC = EC = 4,： .GCB 三 ACESAS),BC = CE = 4, * . GB = AE，V CG = CD, OG = OD,：.CO1GD, NCOG = NCOB = 90在册ABOC中，BO = BC sinZACB = 272 - CO = BC cosNACB = 2拒，在 H rAS C 中，G O = CO t a n ZG CA = 2 7 6 )/ G B = CO + B O = 2

6、 瓜+ 2 叵,，A E = 2瓜+ 2丘.【 点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形、直角三角形、相似三角形的判定与性质及三角函数进行求解.2.（ 问题）如 图 1 , 在 Rf ABC中，Z A C B = 9Q , A C = BC,过点C作直线/ 平行于A B / 瓦 犷 = 9 0 , 点。在直线/ 上移动，角的一边O E始终经过点3,另一边O E与 AC交于点P ,研究。尸和的数量关系.（ 探究发现）（ 1 ）如图2,某数学兴趣小组运用“ 从特殊到一般” 的数学思想，发现当点。移动到使点P 与点。重合时,通 过 推 理 就 可 以 得 到 = 请写出证

7、明过程；图2（ 数学思考）（ 2 ） 如图3 , 若点P 是 AC上的任意一点（ 不含端点A 、C） , 受 （ 1 ） 的启发， 这个小组过点。作 。G 1 8交 6c于点G ，就可以证明。尸= Z ） B，请完成证明过程;D（ 拓展引申）（ 3） 如 图4 ,在 （1） 的条件下，M是AB边上任意一点（ 不 含 端 点A、B ） , N是 射 线80上一点， 且A M = B N ,连 接M N与B C交于点、Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验, 发现点M在某 一 位 置 时B Q的 值 最 大 . 若AC=BC = 4,请 你 直 接 写 出5Q的最大值.【 答 案 】【 探

8、 究 发现 】（ 1 ）见解析：【 数学思考】（ 2 ）见解析；【 拓展引申】（ 3 ） 40=2夜 时 ，BQ有最大 值 为2 .【 分析】根据等腰三角形的性质及平行的定义即可解得根 据 证 明C D W G D B（ A S4 ）即可推出D P = D B过 点M作M H ，肱V交AC于 点 “ ，连 接C M, 可 证 明AMg B N Q （ A S A ） ,再推出- A C A M 4 A M 广ACM s BM Q即可得 面 /=瓦=凝二而= 而, 则 . = 2万【 详 解 】证明：【 探究发现】（ 1 ） V Z A C B = 90, A C = B C二 Z C A B

9、= Z C B A = 4 5C D A BZ C B A = Z D C B = 4 5 ，且 8。_ L C D/ D C B = Z D B C = 4 5： . D B = D C即 =【 数学思考】( 2 ) D G CD, Z D C B = 4 5 /. NDCG = ZDGC = 45。： .DC = DG, NDCP = NDGB = 135,；NBDP = NCDG = 90。：. ZCDP = NBDG，且 。C = DG,ZDCP = ZDGB = 135。 ，Z . CDP GDB(ASA) BD = DP【 拓展引用】(3 )如图4 ,过点M作MH，MN交AC于点“

10、 ，连接CM,HQ, ： MH1MN,：. ZAMH + /NMB = 90。： CD/ AB,ZCDB = 90ZDBM =9Q： .ZNMB+ZMNB90ZHMA = ZMNB，且 AM = BN, ZCAB = NCBN = 45/. AMHg BNQ(ASA)：. AH = BQZACB = 90, AC=BC = 4,： .AB = 472, AC-AH = BC- BQ：. CH = CQ： .NCHQ = NCQH = 45 = NCAB：. HQ / AB：. ZHQM = NQMBZACB = ZHMQ = 90. . . 点”，点M ，点 。, 点C四点共圆，ZHCM =

11、NHQM：. ZHCM = NQMB，旦 ZA = ZCBA = 45A C M B M Q _A_C_ _ _A_M_. 4 A M442 - A M - B Q. - - ( A M - 2 ) D(2 = - -F 2AM = 2A/ 2时，B Q有最大值为2 .【 点睛】本题考查等腰三角形，解题关键在于熟练掌握等腰三角形的性质.3. 小 波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展. 温故： 如 图1 ,在AABC中，A O_ L B C于点D ,正方形P Q M N的边QM在B C上， 顶点P , N分别在A 8 ,A C上，若B C= 6 , A D = 4 ,求

12、正方形尸。M N的边长.( 2 )操作： 能画出这类正方形吗? 小波按数学家波利亚在 怎样解题 中的方法进行操作： 如图2 ,任意画AABC,在A B上任取一点P,画正方形P Q MW,使 。 ， , 眩 在B C边上，V在A A B C内，连结8 V并延长交A C于点N ,画N M L B C于点M, N P L N M交A B于点P, PQ BC于点Q ,得到四边形P Q W V .小波把线段B N称为“ 波利亚线( 3 )推理：证明图2中的四边形P Q M N是正方形.3( 4 )拓展：在( 2 )的条件下，于波利业线8 N上截取NE = MW ,连结E Q , E M( 如图3 ) .

13、当 tanNNBM=一时，4猜想N QEM的度数，并尝试证明.请帮助小波解决“ 温故” 、 推理” 、” 拓展” 中的问题.【 答案】( 1 )温故：PN = M； ( 3 )推理：四边形P Q M N为正方形. 见解析；( 4 )拓展： 猜想NQ K 0 = 9 O ,理由见解析.【 分析】( 1 )根 据A P N A B C ，列比例式求解即可；( 3 )由作法知四边形P Q M N为矩形，通 过 ：: 角形相似证 明M丝N土 = BN七 ， P N =包BN-， 从而M/ V = P N,M N B N P N B N可证四边形P Q M N为正方形；M N 3( 4 ) tan N

14、N B M = =一可设 MN= 3鼠 B M = 4 k 则 B N = 5k, B Q = k , B E = 2 k .根据两边对应成B M 4比例且夹角相等可证Q BEs BEM ,从而NBEQ=ZBME.通过证明NBEQ + /N E M = 90,可得QEM = 90.【 详解】( 1 )温故： PN/BC.A P N - ABC.PN AE 口 、 、PN 4 -P N： . =即=- - - - - -.BC AD 6 4解得PN = 1 .( 2 )推理：由画法可得NQMN = NPNM =NPQM = N 0 M N =90二四边形PQMN为矩形，MN / /MN .:nB

15、N M s BN M ，. MN _ BN-PN BN同理可得，- = .PN BN _M_N_ _ _P_N_MN - PNMN= PN ，：.MN = P N .四边形尸QMN为正方形.( 3 )拓展：猜想N Q FM = 90,理由如下：MN 3山 tan Z.NBM =-=可设 MN=3k, BM = 4k .BM 4则 8N = 5A, BQ = k , BE = 2k.BQ k 1 BE 2k BQ BENQBE=NEBM ,/. Q BEs BEM ,:.NBEQ=NBME.NE = NM ,:.ZNEM = /NME.NBME + NFMN = 96，NBEQ + NNEM=9

16、0.:.NQEM =90.【 点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键. 相似三角形的判定方法有：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；两角相等的两个三角形相似；两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；三边对应成比例的两个三角形相似.4. 问题提出:如图，图是一张由三个边长为1的小正方形组成的乜“ 形纸片，图是一张a x6的方格纸（“ xZ,的方格纸指边长分别为a , b的矩形，被 分 成 办 。个 边 长 为1的小正方形，其 中a2 , b2,且a , 0为正整数） .把图放置在

17、图中，使它恰好盖住图中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？u 1 II a I t I Q I I I_I五口二口问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论.探究一：把图放置在2 x 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，对 于2x2的方格纸，要用图盖住其中的三个小正方形，显 然 有4种不同的放置方法.田 田 田 田探究二：把图放置在3x2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在3x2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2 x 2方格，依据探究一的

18、结论可知，把图放置 在3 x 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共 有2 x 4 = 8种不同的放置方法.旺图探 究 ：. ：把图放置在 x 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图， 在a x 2的方格纸中，共可以找到 个位置不同的2x2方格，依据探究一的结论可知，把图放置在6 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法.图探究四：把图放置在 x 3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在4 X 3的方格纸中，共可以找到 个位置不同的2x2方格，依据探究一的结论可知，把图放置在 x

19、 3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 种不同的放置方法.问题解决：把图放置在a x b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？ ( 仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图. )问题拓展：如图， 图是一个由4个 棱 长 为1的小立方体构成的几何体， 图是一个长、 宽、 高分别为a , b , c ( 介2 ,b2 , c 2，且a ,匕 ，c是正整数) 的长方体，被分成了 “ xbxc个 棱 长 为1的小立方体. 在图的不同位置共可以找到 个图这样的几何体.【 答案】探究三：a - 1, 4 a-4；探究四：2( a - l ), 8a 8；问题

20、解决：共有4(a 1)(0 1)种不同的放置方法；问题拓展：8(a-1)(/?-l)(c-l).【 分析】对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解. 探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题.【 详解】探究三：根据探究二，ax2的方格纸中，共可以找到(a -1 )个位置不同的2x2方格，根据探究一结论可知，每个2x2方格中有4种放置方法，所以在ax2的方格纸中，共可以找到( 上1) x4=( 4 * 4 )种不同的放置方法；故答案为。- 1 , 4 / 4 ；探究四：与探究三相比，本题矩形的宽改

21、变了，可以沿用上一间的思路：边长为4 ,有 ( 。 -1 )条边长为2的线段，同理，边长为3 ,则有3 - 1 = 2条边长为2的线段，所以在a x 3的方格中，可以找到2 ( 小1 ) = ( 2a - 2)个位置不同的2 x 2方格，根据探究一，在在x 3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共 有( 2 a - 2 ) x 4 = ( 8公8 )种不同的放置方法.故答案为2 a - 2 , 8 a - 8 ；问题解决：在火的方格纸中，共可以找到( / 1 )。-1 )个位置不同的2 x 2方格，依照探究- 的结论可知，把图放置在a x b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，

22、共有4 ( a - 1 )( b- 1)种不同的放置方法;问题拓展：发现图示是极长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，这个长方体的长宽高分别为。 、b、c ,则分别可以找到( 小1 )、( 6 - 1 )、( c - 1 )条边长为2的线段，所以在a x x c的长方体共可以找到( 个1 ) ( ft - l ) ( c - 1 )位置不同的2 x 2 x 2的正方体，再根据探究一类比发现，每个2 x 2 x 2的正方体有8种放置方法，所以在a x c的长方体中共可以找到8 ( a - 1 ) ( / ? - 1 ) ( c - 1 )个图这样的几何体；故答案为 8 ( a - 1 ) (

23、 fe - 1 ) ( c - 1 ) .【 点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键.5 .在中，A B A C = 90, A B = AC，于点 。，( 1 )如 图1 ,点M ，N分别在A D , 上，且/ BM N = 90,当NAW = 3 0 , A B = 2时，求线段AM的长；( 2 )如图2 ,点 、E，尸分别在A8，AC上，且 / 。匹 =9 0 ,求证：BE=AF；( 3 )如图3 ,点M在 的 延 长 线 上 ，点N在AC上，且N B MV = 9 0 ,求证：A B + AN = 42 A

24、M ；图1图2图3【 答案】（ 1） AM = J5- 2叵 ；（ 2）见解析；（ 3）见解析.3【 分析】（ 1）根据等腰三角形的性质、 直角三角形的性质得到4=8O=OC= y2， 求 出ZMBD=30,根据勾股定理计算即可；（ 2）证明ABOEg /XAD凡 根据全等三角形的性质证明；（ 3）过 点M作MEBC交A8的延长线于E ,证 明 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 得 到BE=AN,根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论.【 详解】（ D 解： NB4C = 90，AB = AC，ADA.BC,:.AD = BD = DC，ZABC = ZACB = 45, N84D

25、= NC4 = 45。 ，AB = 2.AD = BD = DC = V 2 ,ZAMN = 30。 ，:.ZBMD = 180-90 - 30 = 60，30,:.BM = 2DM，由勾股定理得，BM2 _ DM2 = BD2，即（ 2。河 ）2一。加2 =（ 0 ） 2,解得，DM= ,3AM = AD- DM =丘- ；3（ 2）证明：AD1BC. NEDF = 90 ,:.NBDE = ZADF，在ABZ宏 和AADE中，ZB = ZDAFDB = DA ,NBDE = ZADFABDE/ADF（ASA）BE=AF；（ 3）证明：过点M作交AB的延长线于，:.ZAME = 90,则 A

26、 E= 43，NE = 45。 ,：.ME = MA,：ZAME=, NBMN = 90，:./BME=ZAMN,在和A A MN中 ,Z E = N M A N ME = M A ,Z B M E = N A M N B M E A M N ( A S A ) ,:. B E = AN ，：.AB+AN = AB+BE = AE = 6AM -【 点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.6 .如图，正方形A B 0 E和的边A B ，B C在同一条直线上，且A 3 = 2 B C ,取 所 的 中 点M

27、 ，连接M ，M G ，MB .（ 1 ）试证明0M _ L M G ,并求的值.M G（ 2 ）如图，将如图中的正方形变为菱形，设/ 4 5 = 2戊（0 。9 0 ） ,其它条件不变，问（ 1 ）中 黑 的值有变化吗？若有变化，求出 该 值 （ 用含。的式子表示） ；若无变化，说明理由.【 答案】 见 解 析 ；= 7 5 ； （ 1 ）中 幽 的值有变化. 理由见解析；处= s i / a + cos2aM G M G M G s i n a【 分析】（ 1 ）根据全等三角形的判定（ AAS）和勾股定理即可得到答案；（ 2 ）根据平行线的性质和三角函数，即可得到答案.【 详解】（ 1 ）

28、证明：如 图1中，延长DM交FG的延长线于 ，.图1: 四边形A5CD，四边形BCFG都是正方形，DE AC GF, /EDM = NFHM，,: AEMD = 4FMH，EM = FM-：. EDM = FHM（ A45） ,:. DE = FH，DM = MH，v DE = 2FG, BG = DG,/. HG = DG，, ； /DGH = /BGF = 90。 、:.GM LDM，DM = MG，连接B，BF，设BC = a ,则AB = 2a，BE = 2 6 a，BF = 6 a . ：/EBD =/DBF = 45。，：. /EBF = 90,EF = yjBE2+BF2 = M

29、 a ，EM = MF，,: HM = DM，GH = FG,. A0 1 V22 2Vio. MG一 母 7 a2（ 2）解：（ 1）中 幽 的值有变化.MG理由：如图2中，连接BE, AD交于点0 ,连接0G，CG, BF，CG交BF于0, .E图2 : DO = OA, DG = G B，：. GO AB, OG = -A B ,2: GF A C ,：.O , G ,尸共线， / F G -A B ,2OF - AB - DF ： DF AC, AC O F ,：. DE O F ,0。与 即 互相平分，,: EM = M F，点 拉 在直线A D上 ，；GD = GB = G 0 =

30、 GF,. . . 四边形0B FD是矩形，二 ZOBF = ZODF = ZBOD = 90, ； OM = M D，OG = G F，：.M G = - D F ,设 BC = m ，则 AB = 2 相 ，2易知 BE = 2OB - 2 - 2m- sin a = 4m- sin a , BF - 2BO = 2m coscr， DF = OB - 2m- sin a , : BM = 3E F = gdBE? + BF? = . sin2 + m2 - cos2 a DF = m -sina,. BM /4m2 - sin2 + 7/22 - cos2 a V4sin2 6z 4-c

31、os2 a - -= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -= - - - - - - - - - - - - - - - - - -.MG m - sin a sin a【 点睛】本题考查全等三角形的判定（ AAS）、勾股定理、平行线的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定（ A4S）、勾股定理、平行线的性质和三角函数.7 .定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.理解：（ 1）如 图1 ,点4 8 ,。 在 O上，NA8C的平分线交 。于点。 ， 连接A。，C D求证： 四边形A8CO是等补四边形；探究

32、：（ 2）如图2 ,在等补四边形ABCD中，AB=AD,连接AC, AC是否平分NBC。？ 请说明理由.运用：（ 3）如图3 ,在等补四边形A8CO中，ABAD,其外角NE4。的平分线交C O的延长线于点F , CD=10, A F=5,求 。尸的长.图1图2图3【 答案】（ 1）证明见解析；（ 2） 平分NBC。 ，理由见解析；（ 3） D F = 5后5【 分析】（ 1）由圆内接四边形互补可知NA+NC=180, Z A B C + Z A D C = 1 8 0 ,再证4 ） =C。 ，即可根据等补四边形的定义得出结论；（ 2）过点A分别作AE_LBC于点，A E垂直。 的延长线于点 尸

33、 ， 证 放 匆F ， 得到 心 F ，根据角平分线的判定可得出结论；（ 3）连接AC,先证NE4ZAN8CD,推出zT C 4= N E 4D再证 ACF D A F ,利用相似三角形对应边的比相等可求出O R的长.【 详解】（ 1）证明：四边形ABC。 为圆内接四边形，.-.ZA+ZC=180, ZABC+Z A D C = 1 80,平分 ZABC,： . A A B D = A C B D ,AD = C D:. A D = C D , . 四边形ABC。是等补四边形;(2)A D平分/BC D,理由如下：如图2 ,过点A分别作AELBC 丁点 . AR垂直CO的延长线于点/，则NAE

34、3=ZAR=90。，图2四边形ABC。是等补四边形，:.ZB+ZADC=180,又 NADC + ZA。/=180,:.ZB=ZADF,AB=AD,： .ABE且 ADF(AAS),:.AE=AF,AC是ZBCF的平分线，即AC平分NBCD；图3四边形ABC。是等补四边形,:.ZBAD+ZBCD=S00,又 NBM+NE4D=180，:.ZEAD=ZBCD,AF 平分 ZE4,ZFAD=-ZEAD,2由（ 2）知，AC平分NBCD,NFCA =、NBCD2:.ZFCA=ZFAD,乂 ZAFC=/DFAACFs /MF,AF CFDFAFDF=5近 -5.【 点睛】本题考查了新定义等补四边形，圆

35、的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等.8 . 已 知 ABC内接于 O , NfiAC的平分线交 O 于点Q,连接QB, DC.（1）如图，当 NB4C = 120时，请直接写出线段AB, AC, A。之间满足的等量关系式：；（2）如图，当N84C = 9（ ）时，试探究线段AB，AC, 之间满足的等量关系，并证明你的结论；图 图 图4【 答案】（1）AB+AC=A。；（2） AB+AC = 41AD- ；（ 2） 延长 A8 至点 M ,使 8 M = A C ,连接。 M ,证明可得 MO=A。， 证得

36、 A8+4C =04）；( 3 )延长 48 至点 M 使 8N=AC,连接。N ,证明 N8/)四A C O ,可得 ND=A。 ，NN=NCAD,证 NA。A AN ADs C 8Z ),可得-=-BC BDAZ)可由AN=A8+4C,求出-的值.AB + AC【 详解】解：( 1)如图在4。 上截取4 E = 4 8 ,连接8E,图：ZBAC=120, N8AC的平分线交。0于点。 ，/. ZDBC=ZDAC=60, ZDCB=ZBAD=60a,，A A BE和 BCD都是等边三角形，；.NDBE=NABC, AB=BE, BC=BD,.BE。 好R4C (SAS),J.DEAC,：.A

37、D=AE+DE=AB+AC；故答案为：AB+AC=AD.(2) AB+AC=y/2AD-理由如下：如图，延长A 8至点M ,使8M =4C ,连接。M,:/MBD=/ACD,: ZBAD=ZCAD=45,：.BD=CDf(SAS),：.MD=ADf ZM=ZCAD=45f：.MD_LAD. AM= y/2AD，即 A3+BM=五A D ，：.AB+AC=y/2AD( 3 )如图，延长AB至点N ,使BN=AC,连接0M ZNBD=ZACD,* ： /BAD=/CAD,:BD=CD,N8。丝AC。（ SAS） ,:ND=AD, ZN=ZCADf： .ZN=ZNAD=ZDBC=ZDCBf:./XN

38、ADsACBD,.AN _ AD BC - B D， AD _ _B DAN B C又 AN=AB+BN=AB+AC，BC=5, BD=4,. AD _ BD _ 4 A B + A C B C 1 【 点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线解决问题.9 .如图， 在AABC中，A B = BC，AQ_LBC于点。，8 E 1 A C于点E ， AO与 8E交于点F , BH VAB于点3 ，点M是 的 中 点 ，连 接 并 延 长 交5”于点H .n（ 1）如图所示，若NABC =

39、3（ ）.求证：DF + BH = B D - ,（ 2 ）如图所示，若N A B C = 45 ，如图所示，若N A B C = 6 （ ）（ 点M与点。重合） ，猜想线段OE、与3 0之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.【 答案】（ D见 解 析（ 2 ） DF+BH = BD【 分析】（ 1）连 接C F ,由垂心的性质得出C F _ LA B ,证出C尸8月 , 由平行线的性质得出N C 8 H = N B C F ,证明尸得出BH=CF,由线段垂直平分线的性质得出AF=CF,得出BH=AF, AD=DF+AF=DF+BH,由直角三角形的性质得出A Q= X 8。，即

40、可得出结论；3（ 2 ）同（ 1）可证：AD=DF+AF=DF+BH,再由等腰直角三角形的性质和含30。 角的直角三角形的性质即可得出结论.【 详解】（ 1）证明：连接CF,如图所示：A D 1B C . BEL A C，:.CFAB,BH 1AB,:.CF/BH,:.CBH = /BC F,点M是B C的中点，ZM B H = ZM C F在NBMH 和 ACMF 中，, = M CZBMH = ZCMFBMH 三 CMF(ASA),BH = CF,AB = BC，BE 1 A C ,. . B E垂直平分A C ，.AF = CF,:.BH = AF，.-.AD=DF+AF = DF+BH

41、，在用AADB 中，NA3C = 3（ ） ，AD = BD3hDF + BH = BD - .3（ 2）解：图猜想结论：DF+BH = BD；理由如下:同（ 1）可证：AD = DF+AF = DF+BH，在 RfAAOB 中，ZABC = 45 ，.-.ADBD,：.DF+BH = BD.图猜想结论：DF + BH = y/3BD-.理由如下：同（ 1）可证：AD=DF+AF = DF + BH，在 中，NABC = 6（ ），AD=6BD，DF + BH = y/3BD .图【 点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂直平分线的性质，含30。 角的直角三角形的性质，解题关键

42、在于作辅助线10.将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC, D E.探究SA A B C与SA A D C的比是否为定值.(1 )两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S“B C： SA A O E是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由. (图)(2) 一块是等腰直角三角板，另一块是含有30。 角的直角三角板时，SABC： 是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由. （ 图）（ 3）两块三角板中，ZBAE+ZCA=180, A B = a , A E = b, A C = m, A D = n （ a , b, m, 为常数） ，SAABC：SAA

43、OE是否为定值？如果是，用含a, b, m, 的式子表示此定值（ 直接写出结论，不写推理过程） ，如果不是，说明理由. （ 图）同【 答案】（1）结论：SAABC： SAADE= 1 ,为定值. 理由见解析：（2） SSB C： SAADE=,为定值，理由见解3ma析；（ 3） 5AABC: SGADE=- - - 为定值. 理由见解析.nh【 分析】（1）结论：SAASC： SAAD F定 值 . 如 图1中，作 。HJ_AE于4, CG LBA交BA的延长线于G .首先证明N D 4 E = /C A G ,利用三角形的面积公式计算即可.（ 2）结论：SABC： SAADE=定 值 . 如

44、 图1中，作ZW LAE于CG_L8A交8 A的延长线于G .首先证明ND A E = Z C A G ,利用三角形的面积公式计算即可.（ 3）结论：S“ 8C：孔 . = 定 值 . 如 图1中，作于，CGJ_BA交8 A的延长线于G .首先证明ND A E = Z C A G ,利用三角形的面积公式计算即可;【 详解】（1）结论：S A B C ： SAAOE=定值.理由：如 图1中，作 。 “工AE于 ”，CGJ_BA交8 4的延长线于G.图, ： Z B A E = Z C A D = 90 ,： ./8AC+NEAD=180, /8 A C + /C A G = 180,. . Z

45、D A E = Z C A G, ： A B = A E = A D A C , , 过点。作正方形。 E C F ,分别交BC, AC于点E, F, A B = B E + A F ,求 乙 的 度 数 ；( 3 ) 联系拓广：如图，在(2 ) 的条件下，分别延长EQ, F D ,交 AB于点M, N , 求 MN, AM, B N 的数量关系.【 分析】数学理解：(1 ) 由等腰直角三角形的性质可得AC=8C, NA=N8=45, A 8 =五AC,由正方形的性质可得DE=DF=CE,N D F C = N D E C = 9 Q 。 ,可求AF=OF=C,即可得(AF+BE)；问题解决：

46、( 2 ) 延长A C ,使通过证明 F例丝 ) & 可得0M= 。 8 , 通过A4OM丝A O 8 ,可得ND4C=Z D A B = - ZCAB, Z A B D = Z C B D = - A A B C ,由 三 角 形 内 角 和 定 理 可 求 乙 的 度 数 ；2 2联系拓广：( 3 ) 由正方形的性质可得OEAC, D F / / B C ,由平行线的性质可得/D4B=NAOM, N N D B = N A B D , 可得D N = N B ,即可求MM AM, 8N 的数量关系.【 详解】数学理解：(1) A B = y f 2(AF+BE)理由如下：A8C是等腰直角三

47、角形：.ACBC, /A = /8 = 4 5。 ，A B =0A C四边形DECF是正方形DE= DF=CE=CF, Z DFC= Z DEC= 90，ZA = ZADF=45：.AF=DF=CE:.AF+BE=BC=AC:.AB=显(AF+BE)问题解决：( 2 )如图，延长A C ,使连接CM,四边形OEC尸是正方形AM：.DF=DEf /DFC=NDEC=90。 ：BE=FM, /DFC=NDEB=90。 , DF=ED DFMmADEB (SAS):.DM=DB ；AB=AF+BE, AM=AF+FMf FM=BE,：.AM =AB,且 。M=D8, AD=AD： .(55S)1ZD

48、AC= ZDAB= - ZCAB2同理可得：ZABD=ZCBD= - ZABC2V N4cB=90。 ，：.ZCAB+ZCBA=90：.ZDAB+ZABD=- (/CAB+/CBA) =452A ZADB= 180 - (NDAB+NABD) =135联系拓广：(3) , 四边形。ECF是正方形： .DE/AC, DF/BC： . Z C A D = Z A D M , Z C B D = Z N D B , Z M D N = ZAFD=90, ： Z D A C = Z D A B , Z A B D = Z C B D： .Z D A B = Z ADM, Z N D B = Z A B

49、 D： .A M = M D , D N = N B在 R f N D M N 中,M l M D + D N2,： .MN2= A M2+NB2.【 点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.1 3. 如图， 正方形A B C D的边长为2 , E为A B的中点，P是以延长线上的一点， 连接P C交AO于点尸，A P（ 2 ）如 图1 ,连接E C ,在线段E C上取一点M ，使E M = E B，连 接 板，求证：M F = P F -（ 3 ）如图2 ,过点E作ENLCD于点N,在线段

50、N上取一点Q,使A Q = AP,连接5 Q , B N .将A 4 Q B绕点A旋转， 使点。旋转后的对应点。 落在边A Z ）上. 请判断点8旋转后的对应点B 是否落在线段上，并说明理由.【 答案】（ 1 ）竺 =苴 二1（ 2 ）见解析（ 3 ）点8旋转后的对应点夕不落在线段B N I :A P 2A P Af7【 分析】（ 1 ）设A P = F D = a，则A尸= 2 a ,根据A B C D得到A A F P A D F C ,故=，求C D F D得求得A F d P的值即可求解；（ 2 ）在 。 上截取证得R 4 bM A / Z D尸 ，再利用勾股定理求出E C = 得到N

51、 P = N E C P ,再利用平行得到N E C P = Z P C D ，贝IAFCMM C （ SAS） ,即可得到F M = F 77，故. M P = P F（ 3 ）若点 在8 N上，以4原点，AB为丁轴，AD为x建立平面直角坐标系，由旋转的性质可得A Q = AQ = j5-l, A B = A 8 = 2 ，QB= Q B = y5-l,求出直线BN解析式为：y = - x - 2 ,设3 。 =利用勾股定理求出x = 1 ,得点-由点Q（ 逐一 1,0） ,得出V5-1，于是点B旋转后的对应点5 不落在线段BN上【 详解】（ 1）设AP=ED = a,* * - AF =

52、2 - a , . 四边形A8CD是正方形AB/CD，：. M FP NDFC，. AP AF. . - =-.CD FDar, a 2-a即 - =- .2 a., = V5-1.AP = FD = /5-l，AF = AD-DF = 3 - 5. AF V5-1AP 2（ 2）在CD上截取 / / = A F，: AF = DH，ZPAF = ZD = 90, AP=FD，：.PAFHDF（SAS）, PF=FH，V ADCD, AF = DH，FD = CH = APf - l， . , 点E是AB中点，/. BE = AE = = EM，: .PE = PA+AE = 5,: EC?=

53、砥 + 叱=1 + 4 = 5 EC =亚 ,:. EC=PE, CM =75-1.：. 4P = /EC P，：APPCD,：. NP=NPCD,ECP = /PC D ,且 CM =C = 5 - 1 ，CF = CF,：. AFCM 三 AFC” （ SAS） ,二 FM = FH，：. FM = PF.（3）若点B在BN上 ,如图，以A原点，AB为 轴，AQ为x建立平面直角坐标系,二 AQ = BQ = AP = 4 -I.由旋转的性质可得AQ = AQ = 6一1, A6 = AB = 2 ，QB= QB = 5 -1， . 点 3 （ 0, 2） ,点 N（ 2, l） ,二直线8

54、N解析式为：y = - x - 2 ,2设点 28. . x - -5，点8Id . 点e（ 行 附 ,二夕。 =+ * 逐 T .点B旋转后的对应点B,不落在线段B N上 .【 点睛】此题主要考查函数与几何综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、勾股定理及一次函数的应用.AB1 4 .在AABC中，Z A B C = 90，- - = ，M 是 B C 上一点，连接川WB CN 是 A 8 延长线上一点， C N 与 4 0 垂直，求证：B M = B N图 1（ 2）过点8 作P 为垂足，连接C P 并延长交A B 于点Q._ C P B M如图2 , 若 =

55、 1 , 求证：图 2如图3 , 若 M 是 的 中 点 ，直接写出tanNBPQ的 值 （ 用含的式子表示）【 答案】（ 1）证明见解析；（ 2）证明见解析；1n【 分析】延长AM交C V于点，证明A A B MMA C B N即可得；（ 2）过点。作CD B P交AB的延长线于点 。 ，由（ 1） ,得B M = B D，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；过点C作CQ 8P交48的 延 长 线 于 点 延 长AM交CD于点H,先证明“PM 5 = G ; B E + B F = 6 B D ；B E + B F = # B D .理由见解析， GM的长度为. 理由见解析.【 分析】

56、（ 1 ）根据旋转的性质解答即可；根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（ 2 ）根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；作辅助线，计算B D和B F的长，根据平行线分线段成比例定理可得B M的长，根据线段的差可得结论.【 详解】（ 1 ） D B = D G ,理由是：: N D B E 绕点、 B逆时针旋转9 0 ,如 图 1 ,图1由旋转可知，/ B D E = N F D G , NBDG=90, ,四边形A 8 C O 是正方形, ZC B = 4 5 ,N G = 4 5 。 ，： .ZG=ZCBD=4 5,:.DB=DG；故答案为D B = D G ；B F

57、+ B E = 6 B D ,理由如下：由知：Z F D G = Z E D B , N G = N O8 E = 4 5 , BD=DG,:. A F D G 会A E D B ( A SA ) ,: .BE=FG,： .BF+FG=BF+BE=BC+CG,RSDCG 中，：/ G= / CDG=45,二 CD=CG=CB,: DG=BD=4i BC,即 BF+BE=2BC= BD；( 2 )如图 2, B F + B E fB D ,理由如下：在菱形 ABC。中，ZADB= Z CDB= - ZADC- x60=30,2 2由旋转 120得/EDF=/BDG=120, NEDB=NFDG,

58、在AO8G 中，NG=180-120-30=30,ZDBG=ZG=30,：.DB=DG,: . AEDB妾4FDG (ASA),: . BE=FG,： .BF+BE=BF+FG=BG,过点。作 。M LB G于点M ,如图2,：BD=DG,: .BG=2BM,在 力中，/。8历=30,：.BD=2DM.设 D M = a ,贝U BD=2a,DM=y/3a,: .BG=2 6 a,.B D - 2 a - 1B G 2 岛 - 6，: .B G = BD,：.BF+BE=BG=y/3 BD；过点A作AMLBD F N ,过 。作 。 尸_L8G于P ,如图3,图3R f B N 中，NABN=

59、30。 , AB=2,：.AN=1, BN=5：.BD=2BN=2y/3，：DC/BE,. CD CM _ 2 ； CM+BM=2,23RtABDP 中 ,N。 8 p = 3 0 , 8 D = 2 6 ，：.BP=3,由旋转得：BD=BF,:.BF=2BP=6,2 19：.GM=BG-BM=6+1-= 一 .3 3【 点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形3 0 度的角性质等知识，本题证明F OG 丝 8 D E 是解本题的关键.1 6 . 教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第7 8 页的部分内容.i-i r

60、v 1例 2如图，在A48C中，2 E分别是边8 c A 3的中点，4。,比相交于点6,求证：= -CE AD 3证明：连结ED.请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程.结论应用：在 A8CO中，对角线AC、BD交于点、O, E为 边 的 中 点 ，A E . BD交于点F .（ 1 ）如图，若 ABC。为正方形，且AB = 6 ,则OF的长为（ 2 ）如图，连结。E交AC于点G，若四边形O F E G的面积为一，则 A B C。 的面积为2【 答案】教材呈现：详见解析；结论应用：（ 1 ）血 ；（ 2 ） 6 .【 分析】教材呈现：如图，连结即.根据三角形中位线定理可得OE / / A

61、C ，D E = -AC,那么2T-r r-v 1A D E G MCG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明？一 = = 一；C E A D 3结论应用：（ 1 ）如图.先证明S 4/，得出那么8尸 = !8。 ，乂 B O = B D ,2 3 2可得。尸 = 。8 由正方形的性质求出8。= 6五 ，即可求出OR =及；6B F（ 2 ）如图，连接0E.由（ 1 ）易证一= 2 .根据同高的两个- : 角形面积之比等于底边之比得出 反 所OF与AO M的面积比= =2,同理，A C E G与A O E G的面积比= 2 ,那么A C E G的面积+A B瓦 的面OF1 3积=2（

62、 A O E G的面积+A 0砂 的 面积）= 2 x - = l ,所以A 8 0 C的面积=一，进而求出 A 8 C D的面积22= 4 x 3 = 6 .2【 详解】教材呈现:证明：如图，连结 ) .V在AA8C中，D ,E分别是边BC, AB的中点,DE/AC,DE = A C ,：. ADEG MCG. CG AG AC c - =-=-= 2 ,GE GD DECG + GE AG + GDGEGD= 3 ,. GE GDCEAD3结论应用：(1 )解：如图. . 四边形ABC。为正方形， 为边8C的中点，对角线AC、8 0交于点0 ,AD/BC,BE = -B C = -AD,

63、BO = -B D ,2 2 2/. BEF AZMF.BF BE 1 yDF AD 2B F = -D F ,2BF = -BD ,3BO -BD ,2: .OF = OB - BF =二 BD-L BD = 上 BD ,2 3 6 正方形ABC。中，A8 = 6,BD = 672，故答案为0 ；（ 2 ）解：如图，连接0 E .由（ 1 ）知，B F = - B D , O F = - B D ,3 6. B F - - = 2 .O F ； N B E F与b O E F的高相同，B F： .A B E F与Z J E F的面积比=2 ,O F同理，ACEG与AO EG的面积比= 2 ,

64、ACEG的面积+ A B E F的面积= 2 （ AO E G的面积+ A O E F的面积）= 2 x = 1 ,23，ABO C的面积=,23A B C。的面积= 4 x - = 6 .2故答案为6 .【 点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质. 灵活运用正方形性质，相似三角形判定和性质是关键.1 7 .如 图1 ,在矩形A B C。中，B C = 3 ,动点P从3出发，以每秒1个单位的速度，沿射线8C方向移动,作A R 4 B关于直线P A的对称/PAB，设点P的运动时间为s ）（ 1 ）若 AB = 2 6如图2 ,当 点 落 在A C上时，显然PC B ，是直角三角形，求此时/ 的

65、值是否存在异于图2的时刻，使得AP C B ，是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的， 的值？若不存在，请说明理由（ 2 ）当尸点不与C点重合时， 若直线尸夕与 直 线 相 交 于 点 且 当f 3的任意时刻，结论 / 勿 =4 5。 是否总是成立？请说明理由.【 答案】（ 1 ） 2币-4;0 或U 6或片2石（ 2 ）见解析.【 分析】（ 1） 先利用勾股定理求出AC长，再根据 APBgZsAPQ,继而根据全等三角形的性质推导得出/B = /P B C = 90, B ， C = V 21-2V 3 . 再证明C B P s C B A ，根据相似三角形的性质求出P夕= 2 0 -

66、4,由此即可求得答案；根据题意分三种情况，分别画出图形，结合图形分别讨论求解即可；如图，根据/% M =45。 以及翻折的性质可以证明得到AD4M乌8 4 M ,从而可得AO=A=AB,证得四边形 A8CD是正方形，继而根据题意画出图形，根据翻折的性质以及全等三角形的知识进行推导即可求得答案 .【 详解】 四边形A8c。是矩形，ZB=90,二 A C = AB2 + BC2 =42 可 + 32 = V 21，A A P B A A P B ,:. NA B P = NB = 90, AB，=AB=2 百 ，B P = B P ,： . Z B = Z P B C = 90, B /C = A

67、 C - A B = 721 - 2 7 3 ，又N P C /A C 8 ,A C B P A C B A，.P B C B . - - - ,A B C BmP B V 21-2V 325/3 3:. P B = 2 币 4 ,： .P B = 2 币 4 ,即t = 2币- 4 ；如图，当NPCB&90。 时，此 时 点 落 在 BC上，在 R t A B D 中，/ 力=90, ； . B D = y j A B 2 - AD2 = 4 （ 2同一 3?= 6，:.B，C= 6在中，由勾股定理得：（ 、 / 5 + （ 3 - 力2 = / ,解得r=2；如图，当N P C = 9 0

68、 。 时，此时点8 在 CO 的延长线上,在 R l A B D 中, / AO8 =9 0 ,：.BD=y/AB,2-AD2 = 3 2 = G ，:. B ， C = 3 下 , ,在APC9中，由勾股定理得：( 3 百 产 + 0 - 3 ) 2 = /，解得r =6；当 / C P =9 0 。 时，易得四边形A8 P 9为正方形,： . B P = A B = 2y /3，解得1 =2 后 ；综上，U 2或 Z =6或/ =2 6；( 2 ) 如图DMCZB4M=45,AZ2+Z3=45, Z l + Z4=45,又 , 翻折，A Z 1= Z 2, Z3=Z4,又 V ZADM=

69、ZABrM=90, AM=AMf：.AD=ABr=ABf 四边形ABC。是正方形，设 NAP8=x, , ZB4B=90-x, NDAP=x,a：AD=ABf, AM=AMf NAOM=/AM=90。 , . RmMDA g R s 1rAM(HL),NB，AM=NDAM, 翻折，工 ZPAB=ZPAB,=900-xf /a43=NB48-NQAP=9()o-2x,1 Z D A M = - NOA3=45-x,2 ZMAP=ZDAM+ZPAD=45.【 点睛】本题是四边形综合题，涉及了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质等

70、，综合性较强，有一定的难度，正确画出符合题意的图形，熟练运用相关知识是解题的关键.18.在等腰三角形A4BC中，AB = AC，作CM，A8交4B于点例，BN上AC交AC于氤N.(1 )在图 1 中，求证：ABMC = AOVB；(2)在图2中的线段CB上取一动点P ,过P作PE/AB交CM于点E,作PFH AC交BN于点F,求证：PE+PF = BM ；(3)在图3中动点P在线段CB的延长线上， 类似(2)过P作PE/AB交CM的延长线于点， 作PF/AC交的延长线于点凡 求证：AM PF + OM BN = AM PE.【 答案】( 1)见解析；( 2 )见解析；( 3 )见解析【 分析】

71、( 1)根据等腰三角形的性质得到NA3C = N A C 3,利用AAS定理证明；(2 )根据全等三角形的性质得到BM = N C ,证明ACEP ACMB、岫FP2 NC，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；(3 )根据A B M CMA Q V B ，得到MC = BN，证明A4MC OMB，得到 纹= 也，根据比例的性MC MB质证明即可.【 详解】证明：( 1) -： AB = AC,： .ZABCZACB, CM V AB BN 上 AC，： ./BM C=/CNB = 9Q。 ,在ABMC和ACNB中，ZMBC = ZNCB = 90, AB = BC = CD, DC/AB

72、.过点3作B/ MV分别交AE、CD于点G、F.所以四边形M B F 7 V为平行四边形.所以 NE = M& 所以 5FLAE, NBGE = 90。 ,所以 NCB/ + NAES = 90,又因为 ZBAE + ZAEB = 90 ,所以 NCBF = NBAE. AABE * ABCF ,所以 8E = CE.因为 DN + NF + CF = BE+ EC,所以 DN + NF = EC ,所以 DN + MB = EC.问题探究:(1 )连接A Q ,过点。作 小 A 8 ,分别交A。、B C于 点 、H、/ .易得四边形AB/ 矩形.所以 印 ，AD, HI B C R H I

73、= A B A D因为3 /是正方形A B C D的对角线，所以N B D A = 45.所 以 是 等 腰 直 角 三 角 形 ，H D = H Q .所以A H = Q L因为MN是AE的垂直平分线，所以AQ = QE.所以比AQ乌RtZQ/E.所以 Z A Q H = N Q E I .所以 Z A Q H + N E Q I = 90.所以 NAQE = 90.所 以AQE是等腰直角三角形，Z E A Q = Z A E Q = 4 5 ,即NAEF = 45.(2 )如图所示，连接AC交6。于点0 ，由题意易得A/W的直角顶点P在0 8匕运动.设点P与点3重合，则点P 与点。重合；设

74、P与点。 电 ： 合，则点P的落点为0 .易知= 45 .当点P在线段8 0上运动时，过点作 8的垂线，垂足为G,过点尸 作PH ，CD，垂足为点 ”.易证：R t A P G N竺 Rt/NHP ,所以 P G = NH, G N = P H 因为BO是正方形ABCD的对角线，所以 NPE)G = 4 5 ,易 得 P G = G D ,所以 G N = D H .所以D H = PH所以 N P 0 / 7 =4 5 ，故 N P D 4 = 4 5 .所以点尸 在线段。 上运动.过点S作S K ，。 ，垂足为K ，因为点S为AO的中点,所以D S = 2 ,则P S的最小值为及 .问题拓

75、展：解：延长4 G交6 c于E ,交 。C的延长线于Q ,延长F H交C。 于P ,如图4 ：则 E G = A G = - ， PH=FH,2.M E =5 ,在 R 3 A 8 E 中，B E =AE2 - AB =3 ,： . C E = B C - B E = 1 ,./ B =/ E C Q =90。 ，N A E B = N Q E C ,： ./ABE/QCE,QE = gAE = |,A Q = AE + QE = TV A G 1W ,乙4GM=90= N3,：ZMAGZEAB,：.AAGMAABE,AM AG . . . -= ，即 AM 2，AE AB 5=4解得：AM=

76、 ，8由折叠的性质得：AB,=EB=3, ZB =Z B =90, ZC =ZB C D =90,I7-A B2 =-,AC =1,8: ZBAD=90,ZBAM=ZCFA,：.4FC s/M A 8,AF AC AF , 而 一 访巨一7 ， 825 25 3解得：AF = ,D F = 4- 3=二7 7 79AGMN9 FHJLMN,J.AG/FH,：.AQ/FPf：./DFP/DAQ,3FP DF FP 7/.- = - , B p -7-= ,AQ DA 20 4T解 得 :FP= ,7/.FW -FP = .2 14【 点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质

77、、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键.2 0 .箭头四角形， 模型规律:如图1 ,延长C。交A8于点Q ,则NBOC=N1 + NB=NA+NC+NB.因 为凹四边形4BOC形似箭头， 其四角具有“NBOC=NA+NB+NC这个规律， 所以我们把这个模型叫做“箭头四角形模型应用：(1 )直接应用：如图 2, Z A + Z B + Z C + Z D + Z E + Z F .如图3， NABE、NACE的2等分线( 即角平分线) BR CE交于点F,已知Z6EC = 12

78、(), Zft4c = 5()，则 Z B =如图4, BO- CO,分别为NAB。 、NACO的2019等分线( i = l,2,3,.,2017,2018).它们的交点从上到下依次为。 1 、。2、Q 、 、02018 已 知 NBOC = m, Z B A C n，则 NBO1000c =度(2)拓展应用： 如图5 ,在四边形48CD中，BC = CD, /BCD = 2/B A D .。是四边形A8CZ)内一点，且。4 = OB = O O .求证：四边形OBCQ是菱形.【 答案】 2 a , 8 5 ， +黑 ：见解析.【 分析】 ( 1) 由NA+4+NC=NBOC=a, NO+N

79、E+NE=NX9E=a可得答案；由 /BEC= /EBF + NECF + /F , / / = / / 叔 + 44。 9 + / 4 且ZBEC + ZAZEBF=ZABF, /ECF= NACF 知 NBEC= / F N A + /F ,从而得 NF =-， 代入计算2可得；由 ZBOC= ZOBO1(W + NOCgooo + NBO1tme = (ZABO + ZACO) + NBO1moC ,2019ZBO.imC=ZABO,)m + ZACO,m + ZBAC=-(ZABO+ZACO) + ZBAC1 Ul/U 1UUU I uuuonio知 ZABO + ZACO= ( 0n

80、oe - ABAC),1000 1000代入 N8OC=去历(ZABO + ZACO) + NB。000ci( ) g 2019得 Z B O C = x - (ZBOl(mC- ABAC) + ZBOimC ,据此得出 NBa=Na4） +NABO+NA）O=2NB4Z） ,结 合/BCD=aBAD福NBCD=NBOD,连接0C,根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可.【 详解】 解：（ 1）如图2,图2在 凹 四 边 形 ABOC 中，ZA + ZB+ZC=ZBOC=a，在凹四边形。 / 中，ZD+ZE+ZF=ZDOE=a，:.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2a；如图3,Z

81、BEC= NEBF+NECF + NF, N E =Z /W b+Z A C +Z A ,且/ 斯 KE:.ZBEC=ZF-ZA+ZF,“ ZBEC+ZA/. Z r = -,2ZBEC = nQ) ,ZBAC = 5Q),.4=85 ;如图4,图4由 题 意 知 A A B O = - NABO, ZOBOum = ZABO,looo 2019 2019ZACO.m= -ZA C O , ZOCO.m= -ZA C O ,1000 2019 2019ZBOC= ZOBOim + ZOCO1000 + ZBOimC = ( ZABO+NACO) + NBO1moeZBOl(mC= ZABOl0

82、00 + ZACOimo + N B A C = (ZABO + ZACO) + ABAC,2019则 ZABO + ZACO =-( ZBO.(mC- ABAC),1000 1000代入 ZBOC=-C NABO + ZACO) + ZBOl(mC 得2019 1000ZBOC=-x - (ZBOumC- ZBAC) + ZBOumC2019 1000 1000 1000解得：ZBOI000C = ( ZBOC + NBAC) = NBOC + ABAC,00 2019 2019 1000 2019ZBOC=m , ZBAC=n，/、_1000 1019二 . NJBQ1nme- m H -

83、n ；1000 2019 2019故答案为：2 a； 85 : ( U也 加+ & 2 )；2019 2019(2)如图5 ,连接OC,OA=O&=OD,.-.ZOABZOBA, ZOADZODA,ZBOD=ZBAD+ ZABO+ZADO=2ZBAD,ZBCD=2ZBAD,ZBCD=ZBOD,BC=CD, OA=OB=OD, OC 是公共边,:.A O B 8 AoDC(SSS)，:.ZBOC=ZDOC, ZBCOZDCO,ZBOD= ZBOC + ZDOC, ZBCD=ZBCO+ZDCO,：. ZBOC=-ZBOD, ZBCO= - ZBCD ,2 2又/BOD=/BCD,ZBOC=ZBCO

84、,BO=BC,又 OB=OD, BC=CD,:.OB=BC=CD=DO,，四边形O B C。是菱形.【 点睛】考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握“ 箭头四角形” 的性质N 8 O C = Z A + /B+NC及其运用，全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点.2 1 .如 图1 ,在R A A B C中，Z B =90 , B C =2 4 B =8 ,点 、 D , E分别是边B C , A C的中点，连接O E ,将AEOC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a .（ 1 ）问题发现Ap Af? 当 二 =0 时，=_ _ _ _ _ _ _ _ ； 当 a = 1 8 0 时，=_

85、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _BD BD（ 2 ）拓展探究试判断：当0。5 （/ =8： 2=4,.: D :F好2E一的大小没有变化,D. D E( 3 )如图3 ,图3： 4 C = 4逐 ，CD=4 , CD1AD,AD= JAC、-CD2 = 4 舟 -H = V so-i 6 = 8： A O= 8 C , ABDC, N B = 9 0。 ，二四边形A 8 C O是矩形，:.BD=AC=4小 .如图4 ,连接B D ,过点。作A C的垂线交A C于点。，过点8作A C的垂线交A C于点P , A C = VAC2-C D2 = 7 ( 4 / 5 )2-42 =

86、V 8 0 -1 6 = 8 ，: 点 。、E分别是边B C、A C的中点，.DE=-AB = -X(8-2) = -X4=2,2 2 2. . A E = A D -OE = 8 -2 = 6 ,由( 2 ),可得A E 7 5- =- ，B D 26 1 2 7 5: BD=飞 =丁 T综上所述，8。的长为4石 或 卷5 .2 2 .操作体验：如图，在矩形A B C。中，点E、F分别在边A。、8 C上，将矩形A B C D沿直线E F折叠，使点D恰好与点B重合， 点C落在点C处. 点P为直线E F上一动点（ 不与E、F重合） ,过点P分别作直线BE、8F的垂线，垂足分别为点M和 N, 以P

87、M、PN为邻边构造平行四边形P M Q M 如 图 1 , 求 证 :B E = B F ；( 2 )特例感知：如图2,若 DE=5, C F = 2 ,当点P在线段E 尸上运动时，求平行四边形PMQN的周长；( 3 )类比探究：若 DE=a, CF=b.如图3, 当点P在线段E 尸的延长线上运动时，试用含“ 、匕的式子表示QM与 QN之间的数量关系，并证明；如图4 ,当点P在线段F E的延长线上运动时， 请直接用含“ 、 匕的式子表示QM与 QN之间的数量关系. ( 不【 答案】( 1 )证明见解析；( 2 )四边形 用。 代的周长为2 万；( 3 )Q N - QM= , 证明见解析；2

88、M - Q N = .【 分析】( 1 )根 据 矩 形 的 对 边 平 行 可 得 根 据 翻 折 性 质 可 得 由 此 可 得 / 8 尸= N E F B ,即可求得结论； 如 图 2中，连接B P , 作 E ”_ L B C 于 ，则 四 边 形 是 矩 形 ，E H = A B ,先求出AB的长，继而利用面积法求出P M + P N = E H = 后,再根据平行形的周长公式求解即可；( 3 )如图3中，连接8 P , 作于，先求出E H = A B = b 2 ，再根据面积法求得P M - P N =E H = 7 a2- b2，继而根据平行四边形的性质即可求得Q N - Q

89、M = ( P M - PN)= 荷七，如图4, 当点尸在线段尸E的延长线上运动时，同法可证：- Q N = P N - P M = 正行.【 详解】 如 图 1 中，却 四边形A B C 。是矩形,J.AD/BC,: .ZDEF= NEFB,由翻折可知：NDEF=NBEF,:/B E F = /E F B ,：.BE=BF；(2)如图2 中，连接3 P , 作于，则四 边 形 是 矩 形 ，EH=AB,:DE=EB=BF=5, CF=2,:,AD=BC=7, AE=2f在 ABE1中，V ZA=90, BE=5, AE=2f. 8 = J5 2 22 =后,: S&BEF=S&PRESAPB

90、F, PM_L BE, PN_L BF,1 1 1 一BFEH= 一BEPM十 一8FPM2 2 2 ; BE=BF,:.PM+PN=EH=后,四边形PMQN是平行四边形，二四边形 PMQN 的周长=2(/M +PM =2&T ；(3)如图3 中，连接8 P ,作EH LBC于H,： ED=EB=BF=a, CF=b,：.AD=BCa+h,：.AE=AD- DE=b,； .EH=AB=Ja2_b2，* ： S2EBP - SdB F P=SbE B F ,1 1 1- BEPM - -BFPN = -BFEH,2 2 2,: BE=BF,：.PM - PN=EH=正力， . 四边形PMQN是平

91、行四边形，QN - QM=(PM - PN)= yJa2- )2 ,如图4 , 当点尸在线段尸E 的延长线上运动时，同法可证：QM - QN=PN - PM= Ja? b? 【 点睛】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理，面积法等知识，综合性较强，有一定的难度，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键.2 3 .如图，平面内的两条直线八、h 点 A、8 在直线/2上，过点A、B 两点分别作直线人的垂线，垂足分别为 4 、我们把线段AtB)叫做线段AB在直线/2上的正投影， 其长度可记作T .AB. CD)或T .AB.， 特别地，线段AC在直线h 上的正投影就是线段A iG 请依据上述定义

92、解决如下问题.( 1 ) 如图 1 , 在锐角 AABC 中，AB=5, T ,AC,AB) = 3 ,则 Tec. =；( 2 ) 如图 2 , 在即ABC 中，ZACB=90, TIAC.AB =4, T ,BC.AB = 9 ,求4ABC 的面积；(3 )如图 3 ,在钝角 AABC 中 , NA=60。 ， 点 。在 AB 边 上 , ZACD=90, T(AD, AC =2, T(BC,AB, = 6 ,求 73cCD).卸7【 答案】(1) 2 ； (2) AABC 的面积=39； (3) T、B c e = 62【 分析】(1)如 图 I，过 C 作 根 据 正 投 影 的 定

93、义 求 出 8 , 的长即可； 如 图 2 , 过点C 作于”，由正投影的定义可知A4=4, BH=9,再根据相似三角形的性质求出C4的长即可解决问题；(3)如图3 , 过 C 作 C/7_LAB于 ，过 8 作 BKJ_C于 K , 求出CO、QK即可得答案.【 详解】(1)如 图 I , 过 C 作 C H L A 8 ,垂足为H,T(AC, A 6)=3,：.AH=3f,.A8=5,：BH=AB-AH=2,T(BC, AB尸BH=2,故答案为：2；(2)如图2 ,过点。作C , 4 3于” ，则 N44C=NC” 8=90。 ，J NB+NHCB=9U。 ,ZACB=90, /8+NA=

94、90。 ZA=ZHCB,： .ACS/ C B ，A CH： BH=AH： CH,:.C kA H B H ,* T(AC. )=4, T(RC. AB)=9,：.AH=4f BH=9,：.AB=AH+BH=3, CH=6,： .SABC=(AB- CH)-2=1 3X64-2=39；(3)如图3 ,过 。作C” _L48于，过8作BKLCO于K,V ZACZ90, T(AD, AO=2,：.AC=29： ZA=60,/. /ADC=NBDK=30。 ,：.CD=AGtan60o=2yj3 AD=2AC=49 AH=AC=l,：.DH=4-=3f: RBC.AB尸6, CH1AB,:BH=6,

95、:.DB=BH-DH=3,在放 5QK 中，NK=90。 , 80=3, N5QK=30。 ，：.DK=BD cos30= ,23 7RBC, CD)=CK=CD+DK=6 + 卡 = 耳 6 .【 点睛】本题是三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，理解题意，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题问题的关键.2 4 . （ 1 ）（ 探究发现）如 图1 , NEOR的顶点。在正方形A B C D两条对角线的交点处，N E O R = 9 0 ，将绕点。旋转,旋转过程中，NEOR的两边分别与正方形A B C。的边BC和CO交于点E和 点 / （ 点F与点C，

96、。不重合） . 则CE,CF, BC之 间 满 足 的 数 量 关 系 是 .（ 2 ）（类比应用）如图2 ,若将（1 ）中的“ 正方形A B C Z T改为“ N 5 C O = 1 2 （ ）的菱形A B C D ” ,其他条件不变， 当Z E O F = 6 0时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请猜想结论并说明理由.（ 3 ）（ 拓展延伸）3如图 3 , N B O D = 1 2 0 ，O D = -, 0 6 = 4 ,平分N B O D , = ， 且Q8n，点C是0 84上一点，Z C 4 = 6 0o.求0C的长.【 答案】（ 1 ） C E + C F

97、= B C（ 2 ）结论不成立.C E + C FB C （ 3 ）-2 4【 分析】（ 1 ）结论：C E + C F = B C .根据正方形性质，证ABOEMACOR（ ASA） ,根据全等三角形性质可得结论；（ 2 ）结论不成立.C E + C F - B C .连接EF，在C0上截取C 7 = CV,连接E/.根据菱2形性质，证N E O尸+ NE3 = 1 8 0 ，O , E , C , F四点共圆，分别证A E O尸是等边三角形，A C K /是等边三角形， 根据等边三角形性质证AOE/MAEFCGSAS） ,根据全等三角形性质可得结论；（ 3 ）由 2 3 4可知A B A

98、O是钝角三角形，A B A O 90，作A H 1 O B V H，设0 H = x .根据勾股定理，可得到。4 = 2 0 = 1 ,由NCOD+NAC0 = 18O，得A,CQQ 四点共圆， 再证AACD是等边三角形，由（ 2）可知I： OC+OD = O A ,故可得0C.【 详解】 如 图1中，结论：CE+CF = B C .理由如下：图1 四边形ABC。是正方形，/. AC BD, OB = OC, ZOBE = ZOCF = 45NEOF = NBOC = 9 6，：. ZBOE = ZOCF，： .ABOE 三 ACOF(ASA),BE = CF，：. CE+CF = CE+ B

99、E=BC.故答案为CE+CF = BC.(2 )如图2中，结论不成立.CE + CF = -B C .2图2理由：连接所，在CO上截取C/ = C b，连接E /. . 四边形ABCD是菱形，ZBCD = 120，: .NBCO = NOCF = 60，,* ZEOF+ ZECF = 180，二O,QC,尸四点共圆,二 NOFE = NOCE = 60，ZEOF = 60二AEOE是等边三角形，：. OF = FE, NOEE = 60，CF = C J，AFCJ = 60.二是等边三角形，F C = F J，/ EFC = AOFE = 60，ZOFJ = ZCFE,：. bOFJ 三 AE

100、FC(SAS), * . OJ = CE ：.C F + C E C J + OJ O C -B C ,2(3)如图3中，由QB2Q4可 知 凶4 0是钝角三角形，N84O 9()，作4 / M B于“ ， 设CH 天 .图3在用中，BH = 1 1 3 -3 / , OB = 4 ， V13-3%2 + x = 4 ，3 1解得x = ( 舍 弃 ) 或 一 ，2 2.04 = 20/7 = 1,: ZCOD+ZACE = 180.A, C, 0 ,0四点共圆,04 平分 NC8,二 ZAOC = ZAOD = 6 (f，ZADC = ZAOC = 60.VZC4D = 60二A4CD是等边

101、三角形，由( 2 )可知：0。+0。=。4,【 点睛】考核知识点：正方形性质，全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，圆的性质. 综合运用各个几何性质定理是关键；此题比较综合.2 5 .根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形. 相似四边形对应边的比叫做相似比.（ 1 ）某同学在探究相似四边形的判定时， 得到如下三个命题， 请判断它们是否正确（ 直接在横线上填写“ 真”或 假” ） .条边成比例的两个凸四边形相似；（命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（命题）两个大小不同的正方形相似. （命题）（ 2 ）如图 1 ,在四边形 A B C。和四

102、边形 A /B /C /S 中，/ BCD=/B Q DI,AB BC CDA B BC C（）|求证：四边形A B C。与四边形A /B /C /。 相似.（ 3 ）如图2 ,四边形A B C。中，A B /C D ,A C与8。相交于点0 ,过点。作E F A B分别交A。，B C于点E , F .记四边形A B F E的面积为S /,四边形E F D E的面积为S 2 ,若四边形4 B F E与四边形E F C C相似，求 的值.【 答案】（ 1 ）假，假，真；（ 2 ）见 解 析：（ 3 ）寸= 1【 分析】（ 1 ）根据相似多边形的定义即可判断.（ 2 ）根据相似多边形的定义证明四边

103、成比例，四个角相等即可.（ 3 ）四边形A 8 F E与四边形E F C。相似，证明相似比是1即可解决问题，即证明O E = A E即可.【 详解】解（ 1 ）四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等.三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例.两个大小不同的正方形相似. 是真命题.故答案为假，假，真.（ 2 ）证明：分别连接B D , B /D /BC CDNBCD = 9,且而一而BC D s B C R ,：.NCDB = N C R B , “gD, = ZCBD ,BD BC CDBD B C CQiBD ABB R A与ZABC = NAB ,AABD

104、 = ZAiBDi,AD ABA D A BNA = ，ZADB = N A R B ,AB BCA B BCCD AD- - = - - - - , ZA C = Z1 )1CI , NA = , ZA B C = Zf i. C , , ZB C Z) =GA AR . 四边形ABC。与四边形4 8 /。 相似.( 3 ) 如图2 中，四边形ABFG与四边形E F C D相似DE EFAEABEF = OE+OF，DE OE+OFAE -ABEF AB CD,DE _ OE DE _OC OFDE DE OE OF._ +_=_ I _AD AD AB AB IDE DEAD HEAD -

105、 DE + AE，. 2 _ 1 DE + AE AE ；.2AE = D E + A E ,即 AE=DE筌 = 1,S2【 点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.26.在 ABC中，己知。是BC边的中点，G是 ABC的重心， 过G点的直线分别交AB、AC于点石、F.BE CF（ 1）如 图1 ,当E尸 BC时，求证： +=1；AE AF（ 2）如图2 ,当 所 和 不 平 行 ，且点E、产分别在线段AB、4 C上时，（ 1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

106、（ 3）如图3 ,当点E在 的 延 长 线 上 或 点F在AC的延长线上时，（ 1）中的结论是否成立？如果成立,请给出证明；如果不成立，请说明理由.【 答案】（ 1）证明见解析；（ 2） （ 1）中结论成立，理由见解析；（ 3） （ 1）中结论不成立，理由见解析.【 分析】（ 1）根据G为重心可知生=,AG 2q i BE DG由EF/ BC可知 -AE AGJ_ CF2,AFDG 1A G-2故BE CF- 1 -AE AFI 1 + 2 21BF BM( 2 ) 过 点 A 作 A N 8 C 交的延长线于点N，F E、G B 的延长线相交于点M，则=，AE ANCF CMftp CF故要

107、求式子一+ AE AFBM CM BM + CM- 1 - - -AN AN AN,又 BM + CM = BM + CD+ D M，D是 B C 的中点，即 B O = C D ，故有8 W + C M = 3A/ + B O + D M = )M + )M = 2 D M ，所以原式-B-E- 1 -C-F = -2-D-M-琛 + 等AE AF AN DM又有ANDGAG2xr故结论成立;( 3 ) 由 G 点为重心可知，当 E 点与C 点重合时， E 为 A 8 中点，BE = A E，故当点 尸 在 A C 的延长线上时，B E A E，1,则一+ 1 , 同理：当点E 在 的 延

108、长 线 上 时 ，一+ 1 ，故结论AE AE AF AE AF不成立.【 详解】(1) 证明： G是4 A B C重心 D G 1 =一,AG 2又 EF / BC .BE DG CF DG 族一 花 -5赤一花-5则BE CF- 1 -AE AF1 1+ 2 2=1.(2) ( 1 ) 中结论成立，理由如下:如图，过 点 A 作 A N B C 交 E E 的延长线于点N . F E、C B 的延长线相交于点M，, BE BM CF CM则=,=AE AN AF ANBE CF BM CM BM + CM_ _ I _ _ _ _ _ I _ _ _ _ AE AF AN A N AN又

109、BM + CM = BM + C D + D M而 。是 B C 的中点，即BD = CDBM + CM = BM + B D + D M = D M + D M = 2DMBE CF 2DM- 1 - = -AE AF AN又D M D G 1A 7 V - AG-2B E C F- 1 - A E A F2 x - = l2结论成立;( 3 ) ( 1 )中结论不成立，理由如下:当厂点与。点重合时， 为4?中点，BE = A E、点尸在AC的延长线上时，B E A E ,B E , Hl B E C F , 1 ,则一+ 1 ,A EA E A F同理：当点后在AB的延长线上时， + 1

110、，A E A F结论不成立.【 点睛】本题考查了三角形的重心，相似三角形的性质和判定，分类讨论思想，解本题的关键是通过三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 : 1与相似比结合来解题，并合理作出辅助线来解题.2 7 .如图，在 等 腰ABC中，N A C 3 = 9 0 , 4 3 = 1 4 0 . 点 。 ， 芯分 别 在 边 上 ，将线段E D绕点E按逆时针方向旋转9 0。 得到EF.图1图2( 1 )如 图1 ,若A D = B D ，点E与点C重合,4尸与力C相交于点O.求证：B D = 2 D O .( 2 )已知点G为A B的中点.如图2 ,若A D = B D ,

111、 C E = 2 ,求OG的长.若A Q = 6 8 ) ,是否存在点E ,使得 D E G是直角三角形？若存在，求C E的长；若不存在，试说明理由 .【 答案】（ I）见解析；（ 2） 。G = | 血 , 存在，CE的长为：6-2夜，2或6 + 2及，18-2， 1彳 .【 分析】（ 1）先证明CD=80=AZ） ,再证明 ADOwAFCO,根据全等三角形的性质可得DO=8 ,由此即可证得结论；（ 2）分别过点力，F作D N LBC与点N, FM工BC与点、M ,连接8凡 先求得8F的长，再证明OG是 尸 的 中 位 线 ，根据三角形的中位线定理即可求得0G的长；分NDEG=90。 和NE

112、DG=90。 两种情况求解即可.【 详解】解：（ 1）由旋转性质得:CD = C户 ，ZDCF =90AABC是等腰三角形，AD = BDZADO = 90 - CD = BD = ADZDCF = ZADC在AADO和AR70中，NAOD = NFOC 72 / . B D = 2 6 ,当N D E G = 9 0 时，有如图2 , 3两种情况，设C E = f，Z D E F = 9 0 - ND E G = 90 ，. , . 点E在线段A以上,:. B H = D H = 2 、 B E = 1 4 f, H E = B E - B H = T 2- t ，等-DDHESECA .E

113、-42111-27即解得f = 6 2及 ,二 C E = 6 + 2近 或 C E = 6 - 20，当O G B C时，如图4 ,图4过点尸作尸KLBC与点K ,延长O G交A C于点N ,延长A C并截取MN = 2 4 ,连接F M ,则 N C = O = 2 ，M C = 1 0 ,设G N = r ,则 M W= 2 f, B K = T 4 2t ,DH Ewg K F、:. KE = D H = 2, ： . KF = HE = T 4 - 2f,M C F K , . - . 1 4 - 2 r = 1 0 ,得f = 2 ,GN = EC = 2, GN/EC.四边形GE

114、CN是平行四边形，: /ACT? = 90，四边形 GECN 是矩形，.NEGN = 90 ； . 当 EC = 2时 ; 有 NDGE = 90当NEG = 90时，如图5,图5过点G, F分别作AC的垂线， 交射线AC于点N, M ,过点E作EK上FM于点K ,过点D作GN的垂线,交NG的延长线于点P ,则RV = C = BC HB = 12设 GN = t，则 =:.PG = PN-GN = n - t由 ADHE 三 AEKF 可 得 :FK = 2：.CE = KM = 2t-2HE=HC-CE = 12 - （ 2/ - 2） = 14 - 2r:.EK = HE=l4-2tAM

115、 = AC+CM = AC+EK = 14 + 14 2f = 28 2,r.M N ,A M = 14T , NC = MN CM=t2:.PD = t-2由 AGPsAD” E 可得： =HD HE解得 4 =10 一J五 ，r2 = io+V14 （ 舍去）.C = 2?-2 = 18-2A/14所以，CE的长为：6-272 . 2或6 + 2 0 ，1 8 - 2 9【 点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似二角形解决问题，属于中考压轴题

116、.28. (1)方法选择如图，四边形A 5C O 是 。的内接四边形， 连接A C ，B D, A B =B C = A C .求证：B D = A D + C D .小颖认为可用截长法证明：在 。8 上截取DW = A，连接AM .小军认为可用补短法证明：延长C D 至点N, 使得DN = 4 ) 请你选择一种方法证明.类比探究( 探 究 1)如图，四边形ABC。是 。的内接四边形，连接A C ，B D ，8 C 是 O 的直径，A B A C .试用等式表示线段A O ，B D ，C O 之间的数量关系，并证明你的结论.( 探究2)如图，四边形A 8C D 是 。的内接四边形，连接A C

117、, B D . 若 B C 是 。的直径，Z A B C = 30,则线段A D ，B D ，之 间 的 等 量 关 系 式 是 .(3)拓展猜想如图，四边形ABC。是 。的内接四边形，连接A C ，B D .若 6 C 是 。的直径，B C : A C : A B = a : h : c ,则线段A, B D ，C O 之间的等量关系式是【 答案】( 1)方法选择：证明见解析： 【 探 究 1 ：B) S) W 2；【 探究 2 】B D = y/3CD + 2 A D ；(3)拓展猜想：B D = - C D + - A D .b b【 分析】( 1 ) 方法选择：根据等边三角形的性质得到

118、/AC8=/ABC=60。 ，如图，在 BD 上截取。Ig AO,连接A M ,由圆周角定理得到/AB=/ACB=60。 ，得 到 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 得 到 BM=C,于是得到结论；( 2 ) 类比探究：如图，由8 c 是。的直径，得到NBAC=90。 ，根据等腰直角三角形的性质得到NABC=ZACB=4 5 ,过 人作 4。交 B 0 于 推 出 是 等 腰 直 角 三 角 形 ，求得M=夜根据全等三角形的性质得到结论；【 探究2】如图，根据圆周角定理和三角形的内角和得到NB4C=90。 ，NAC8=60。 ，过 4 作 AMLAO交 8。于 M,求得N4M o=30。

119、 ，根 据 宜 角 三 角 形 的 性 质 得 到 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 得 到 C D ,于是得到结论；( 3 )如图，由B C是。的宜径，得到/ B AC = 9 0。 ，过A作4ML4。交8。于M,求得/ M 4 = 9 0。 ，根据相似三角形的性质得到8 M = C D , DM =-AD,于是得到结论.b h【 详解】( 1 )方法选择：AB = BC = AC,/. ZACB = ZABC = 60%如图，在3。上截取0M=A D，连接A M，ZAZ) B = ZACB = 60./ . A A DM是等边三角形，.-AM = AD交8。于M， NADB = NA

120、C3 = 45。 ，A A DM是等腰直角三角形，：. AM AD ZAAQ = 45， DM =V2A:.ZAMB = ZAQC = 135， ； ZABM = ZACD，：. AAfiMAACD(AAS),二 BM =CD，BD = BM + DM = CD + 插AD ；I探究2 如图， . 若BC是 。的直径，Z A B C = 3 0 ,.NB4C = 90，NACB = 60。 ，过A作AM_LAZ交8。于M，ZAD6 = ZACB = 60。 ，r. /AMD = 30。 ，, MD = 2AD，ZABD=ZACD, ZAMB = ZADC = 150，/. ABM AACD.

121、BM AB r-.-= = 73,CD ACBM = 6 C D，/. BD = BM + DM = 辰D + 2AD ；故答案为 BD = y/3CD + 2AD ；(3)拓展猜想：BD = BM + DM =-CD + -A D ；b b理由：如图， 若3。是 O的直径，/. N6AC = 90。 ，过A作AM_LAD交3。于M，NMW = 90。 ，/. ZBAM ZDAC，二 AABM /SACD，. BM AB c- - - - =- - - - =一,CD AC b：. BM - C D ,bV ZADB = ZACB, ABAC = ZNAD = 90，：. AADM AACB，

122、. AD AC _bDM BC a：. D M -A D ,b：. BDBM + DM =-CD + -A D .b b故答案为6 0 = . CD+ 且AO.h bDDDD【 点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.2 9 . （ I ）证明推断：如 图（ 1 ） ,在正方形A B C D中，点E，。分别在边B C , A B 。，4后于点0 ,点G ，尸分别在边C O , A B上，G F A E .求证：D Q = AE.推断：？G二F的值为A E（ 2 ）类比探究：如 图（ 2 ） ,

123、在矩形A B C。中， k （ Z为常数） . 将 矩 形A B C。沿G/ 折 叠 ，使点AA B落在8C边上的点E处，得到四边形E E PG, E P 交 C D 于点、 H ,连接A E交G F于点0.试探究G F与A E C P之间的数量关系，并说明理由；2 3（ 3 ）拓展应用：在（ 2 ）的条件下，连接C P ,当 = 时，若t a n /CG P = j, G F = 2回,求C尸的长.【 答案】（ 1 ）证明见解析；解：结论：一=1 .理由见解析；（ 2 ）结论：一= k .理由见解析；（ 3 ）A E A EPC后.【 分析】（ 1 ）由正方形的性质得AB=D4 , ZABE

124、=90 =ZDAH.所以N/MO + NO A =90。 ，又知NAO O +ZOAD=90 ,所以于是ABE g /X O A” ，可得4 E =O Q .证明四边形力。F G是平行四边形即可解决问题.(2 )结论：一= k如图2中，作GM_LA8于M.证 明 ： ABEsaGM尸即可解决问题.AE(3 )如图2-1中，作PM， 8 c交8 c的延长线于M .利用相似三角形的性质求出PM, CM即可解决问题.【 详解】( 1 )证明： 四边形A6CD是正方形，A AB = DA = = ZDAQ .：. ZQAO + ZOAD = 90 ./ AE 工 D H，ZADO+ZOAD = 90

125、-： .ZQAO=ZADO.： .MBE 丝 ADAQ (ASA),AE = DQ.GF解：结论：一=1.AE理由：.DQLAE, FG1AE,： .DQ/FG,：FQ/DG,四边形DQFG是平行四边形，FG = DQ,； AE = DQ,：.FG = AE,. 41.AE故答案为1.FG(2 )解：结论：k .AE理由：如图2中，作GM _L ABM.图AE1G F,ZAOF = ZGMF = ZABE = 9 0 ，二 ZBAE + ZAFO = 9 0， ZAFO + ZFGM = 9 0 ，/BAE = /F G M，：. MBE s AGMF,. GF GMAEAB /10)2,.

126、Z = 1 或 -1 ( 舍弃) ，* . BE - 3 ) AB - 9，BCAB = 2:3,/. BC = 6,:. BE = CE = 3, AD=PE=BC = 6,NBEF = NFEP = ZPME = 9 0 ， NFEB + NPEM = 9 0 ，ZPEM + NEPM = 9 0 ，二 /FEB = /E P M，二 FBE s AEMP，EFBFBEPEEMPM5436 一EM PM ,24 Q/. CM = EM = EC =3 = - ,5 5/. PC = yCM2 + PM2 =1x/5 ,【 点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角

127、形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.3 0 .在AABC, CA = CB, NACB = a .点尸是平面内不与点A, C重合的任意一点.连接4 P ,将线段AP绕点P逆时针旋转a得到线段Q P,连接A。，BD, CP.( 1)观察猜想如 图1 ,当a = 60时，处的值是 ，直线8。与直线CP相交所成的较小角的度数是 .CP(2 )类比探究如图2 ,当a = 90时，请写出也的值及直线5。与直线C尸相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明CP理由.( 3 ) 解决问题当

128、a = 90时，若点 F 分别是CA, C 8的中点，点 P 在直线EF上，请直接写出点C, P ,。在同一直线上时一的值.C P【 答案】1. 6 0 45 (3) 2-垃,2 + V2【 分析】(1)如 图 1中，延长C尸交3力的延长线于E ,设 4 8 交 EC于点O .证明C4PAB4D(S4S),即可解决问题.( 2 ) 如图2 中，设交AC于点O, 8。交 PC于点E . 证明AZMB A E 4 C .即可解决问题.(3 ) 分两种情形： 如图3 - 1 中， 当点O 在线段PC上时， 延长AD交 BC的延长线于H .证明AZ) = C即可解决问题.如图3 - 2 中，当点P 在

129、线段CQ上时，同法可证：D4 = O C 解决问题.【 详解】解：(1)如 图 I 中，延长CP交 8。的延长线于E , 设 A 8交 EC于点O.图1Z P A D = NC A B = 6 0 ，： . A C A P = A B A D .C4 =BA, P A = D A -A C A P = A B A D ( S A S ),:.PC=BD，ZACP = ZABD.ZAOC = /BOE， . NBEO = NC4O = 6()， = 1 )线8。与直线CP相交所成的较小角的度数是60，PC故答案为1，60.(2 )如图2中，设2。交AC于点O, BD交PC于点、E.图2/PAD

130、= ZCAB = 45.：.NPAC = NDAB，空= 生= 夜，AC AP：.DAB APAC:.NPCA = /D B A， = -= V2 ,PC ACZEOCZAOB,:.ZCEO = ZOAB = 45Q .直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45 .(3 )如图3 -1中，当点。在线段尸C上时，延 长 交8 c的延长线于H:.EF/AB，ZEFC = ZABC = 45，NP4O = 45，:.Z P A O = Z O F H .ZPO A = Z F O H ,Z H = ZA P O ,ZAPC = 90，EA = E C，:.P E = E A = E C ,:.Z

131、E P A = ZE A P = ZB A H：.Z H = Z B A H ,BH = B A，ZAD P = NBDC = 45，4 0 8 = 90，：.B D A H ,ZD BA = ZD BC = 22.5 .ZAD B = ZACB = 90，.A, D, C, 8 四点共圆，AD AC = NDBC = 22.5，NDCA = ZABD = 22.5，ZD AC = ZD CA = 22.5，R：.D A = D C，设 A D = a ,则 O C = A = a , PD = a2AD aCP V2-a + a22-V 2c如图3 - 2 中， 当点尸在线段CD上时， 同法可证：D 4=D C ， 设 心 丑 ， 则 Q ) ” 并PD = a2PC = a - - a 2ADaPC 夜a - a22 + V2【 点睛】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.