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1、普通高级中学教科书（必修）第二册（下普通高级中学教科书（必修）第二册（下B B）第九章：直线、平面、简单几何体第九章：直线、平面、简单几何体第一章第一章 概率概率统计统计1.2离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望(1) pi0，i1，2，；(2) p1p211 1、离散型随机变量的分布列和性质、离散型随机变量的分布列和性质一、复习回顾一、复习回顾2、特殊的分布列之一、特殊的分布列之一二项分布（重点掌握）二项分布（重点掌握）3、特殊的分布列之二、特殊的分布列之二几何分布（了解）几何分布（了解）“=k”表示在第表示在第k次次独立重复试验时事件第一次发生。独立重复试验时事件第一次发生。“=k”表
2、示在第表示在第n次独立重复试验中事件恰好发生的次数。次独立重复试验中事件恰好发生的次数。4、超几何分布：、超几何分布：1. 期望定义：期望定义：一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为 则称则称为为 的数学期望或平均数、均值，的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望数学期望又简称为期望2. 期望的性质：期望的性质：3、随机变量、随机变量服从二项分布的期望服从二项分布的期望4、随机变量、随机变量服从几何分布的期望服从几何分布的期望则则若若问题问题1：某射手射击所得环数：某射手射击所得环数的分布列下的分布列下：思考：如何衡量该射手的射击水平？思考：如何衡量该
3、射手的射击水平？假设该射手进行了假设该射手进行了n n次射击试验次射击试验得4环的次数约为：得5环的次数约为：得10环的次数约为：0.220.290.280.090.060.040.02P10987654射手射手n n次射击的平均环数次射击的平均环数类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数的分布列，即已知的分布列，即已知各个各个P(i)(i0，1，2，10)，则可预计他任意则可预计他任意n次射击的平均次射击的平均环数是环数是:E 0P(0)1P(1)10P(10)定义：定义：一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量的概率分布为的概率分布为: pi
4、p2p1Pxix2x1称为称为的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望二、期望的定义二、期望的定义它刻划了随机变量它刻划了随机变量所取的平均值，从一个方面反映了射手的射击所取的平均值，从一个方面反映了射手的射击水平水平例例1： 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中分，罚不中得得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球，求他罚球1次的得分次的得分的期望的期望解：解：的可能取值为：的可能取值为：1，0 则有：则有：P(1)0.7，P(0)0.3，所以所以 E10.700
5、.30.7变式：变式：某商场在国庆节搞促销活动，若在室内进行，可以某商场在国庆节搞促销活动，若在室内进行，可以获利获利2万元，若在室外进行，若不下雨可获利万元，若在室外进行，若不下雨可获利10万元，若万元，若下雨则损失下雨则损失4万元，已知国庆节下雨的概率为万元，已知国庆节下雨的概率为0.4，判断商，判断商场应在室内还是室外进行促销活动？场应在室内还是室外进行促销活动？ 甲和乙打赌，甲抛三枚硬币，若全是正面向上或反面向甲和乙打赌，甲抛三枚硬币，若全是正面向上或反面向上，甲都给乙上，甲都给乙10元，若是其他情况，则乙给甲元，若是其他情况，则乙给甲5元。元。 乙心想：三枚硬币中一定有两枚的正反面相
6、同，第三枚乙心想：三枚硬币中一定有两枚的正反面相同，第三枚硬币和它们相同的可能与不相等的可能各一半，我赢了得硬币和它们相同的可能与不相等的可能各一半，我赢了得10元，输了给元，输了给5元，划得来，于是就答应了。元，划得来，于是就答应了。 大家判断大家判断乙明智吗？乙明智吗？三、三、 期望的性质：期望的性质：于是于是即即若若 = a+b，其中其中a，b为常数，则为常数，则也是随机变量也是随机变量 因为因为 P(axib) P(xi ) ，i1，2，3， 所以，所以，的分布列为的分布列为（1）当）当 a=0 时，时， E(b) = b ，即常数的数学期望就是这个常数本身；即常数的数学期望就是这个常
7、数本身；（2）当）当 a=1 时，时， E(+b) =E+ b ，即随机变量即随机变量与常数之和的期望等于与常数之和的期望等于 的期望与这个常数的和；的期望与这个常数的和；（3）当）当 b=0 时，时， E(a) =aE，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积；即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积；依题意，可得依题意，可得的分布列为的分布列为0 05 52525100100P P例例2 2、在有奖摸彩中，一期、在有奖摸彩中，一期( (发行发行1000010000张彩票为一期张彩票为一期) )有有200200个奖品是个奖品是5 5元的，元的，2020个奖
8、品是个奖品是2525元的，元的，5 5个奖品是个奖品是100100元元的在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少的在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？元？解：设一张彩票中奖额为随机变量解：设一张彩票中奖额为随机变量，则，则所有可能取的所有可能取的值为值为0 0，5 5，2525，100100。变式：（变式：（06四川）设离散型随机变量四川）设离散型随机变量可能取的值为可能取的值为1，2，3，4.P(k)ak+b (k=1，2，3，4)，又，又的数学期望的数学期望 E3，则，则 a + b_。 例例3：袋子中装有：袋子中装有3个白球个白球4个黑球，现甲、乙两人轮流取个黑球，现
9、甲、乙两人轮流取出一个球，甲先取，取后不放回，直到两人中有一人取出出一个球，甲先取，取后不放回，直到两人中有一人取出白球为止，求取球次数的分布列及数学期望。白球为止，求取球次数的分布列及数学期望。三、一种特殊的分布列三、一种特殊的分布列二项分布二项分布pnk10当n取1时：当n取2时：当n取n时：思考：思考：证明服从二项分布证明服从二项分布 的随机变量的期望是：的随机变量的期望是：思考：证明服从二项分布思考：证明服从二项分布 的随机变量的期望是：的随机变量的期望是：所以，所以，证明：证明：几何分布的期望：几何分布的期望：例例4 4、一次英语单元测验由、一次英语单元测验由2020个选择题构成，每
10、个选择题个选择题构成，每个选择题有有4 4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得择正确答案得5 5分，不作出选择或选错不得分，满分分，不作出选择或选错不得分，满分100100分分学生甲选对任一题的概率为学生甲选对任一题的概率为0.90.9，学生乙则在测验中对，学生乙则在测验中对每题都从每题都从4 4个选项中随机地选择一个求学生甲和学生乙个选项中随机地选择一个求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望在这次英语单元测验中的成绩的期望解：解： 设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择设学生甲和学生乙在这次英语测验中
11、选择了正确答案的选择题个数分别是题个数分别是和和， 则则B(20，0.9)，B(20，0.25)，所以，所以，E200.918，E200.255由于答对每题得由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是别是5和和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是所以，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5)E(5)5E55255E 518 90，例例5、有一批数量很大的产品，其次品率是、有一批数量很大的产品，其次品率是15%对这批对这批产品进行抽查，每次抽出产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查
12、，直到抽出次品，但每次抽查次数最多止，否则继续抽查，直到抽出次品，但每次抽查次数最多不超过不超过10次次 . 求抽查次数求抽查次数的期望（结果保留三个有效数的期望（结果保留三个有效数字）字）解：抽查次数解：抽查次数 取取110的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取次品的概率是一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取次品的概率是0.15，取，取正品的概率是正品的概率是0.85，前，前k-1次取出正品而第次取出正品而第k 次（次（k=1,29)取出次品取出次品的概率的概率需要抽查需要抽查10 次即前次即前9次取出的都是正品的概率是次取出的都是正品的概率是由此可得由此可得的概率的分布列：的概率的分布列：0.23160.04090.04810.05660.06660.07830.0920.10840.12750.15P10987654321可得可得 的期望的期望
