第第第第 1 1 页页页页■零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应举例举例例例：描述某系统的微分方程为：描述某系统的微分方程为 y””(t) + 3y’’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，，y’’(0-)=0，，f(t)=ε(t)求该系统的零输入求该系统的零输入响应和零状态响应响应和零状态响应 解解：（：（1））零输入响应零输入响应yzi(t) 激励为激励为0 ，故，故yzi(t)满足满足 yzi””(t) + 3yzi’’(t) + 2yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi’’(0+)= yzi’’(0-)= y’’(0-)=0该齐次方程的该齐次方程的特征根特征根为为–1，， – 2，故，故 yzi(t) = Czi1e –t + Czi2e –2t 代入初始值并解得系数为代入初始值并解得系数为Czi1=4 ,Czi2= – 2 ，，代入得代入得 yzi(t) = 4e –t – 2e –2t ,t > 0 第第第第 2 2 页页页页■▲（（2）零状态响应）零状态响应yzs(t) 满足满足 yzs””(t) + 3yzs’’(t) + 2yzs(t) = 2δ(t) + 6ε(t) 并有并有 yzs(0-) = yzs’’(0-) = 0由于上式等号右端含有由于上式等号右端含有δ(t)，，故故yzs””(t)含有含有δ(t)，，从而从而yzs’’(t)跃变，即跃变，即yzs’’(0+)≠yzs’’(0-)，，而而yzs(t)在在t = 0连续，即连续，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，，积分得积分得[yzs’’(0+)- yzs’’(0-)]+ 3[yzs(0+)- yzs(0-)]+2 因此，因此，yzs’’(0+)= 2 + yzs’’(0-)=2 对对t>0时，有时，有 yzs””(t) + 3yzs’’(t) + 2yzs(t) = 6不难求得其齐次解为不难求得其齐次解为Czs1e-t + Czs2e-2t，，其特解为常数其特解为常数3，，于是有于是有 yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3代入初始值求得代入初始值求得 yzs(t)= – 4e-t + e-2t + 3 ，，t≥0 。