2022年中考数学真题分类汇编 专题15 相似三角形（学生版+解析版）

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1、专题1 5相似三角形-选择题1. （ 2022湖南衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（ 腰部以上）与 下 部 （ 腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感. 如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（）（ 结果精确到0.01m .参考数据：应kl.414, 6 a l . 7 3 2 ,石” 2.236）A. 0.73m B. 1.24m C. 1.37m D. 1.42m2. （ 2022山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识. 动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的（）B .旋转C .

2、轴对称D .黄金分割3. （ 2022浙江丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点4B, C都在横线上. 若线段43 = 3 ,则线段8 c的 长 是 （）4. （ 2022湖南湘潭）在AABC中 （ 如图） ，点 、E分别为A 3、A C的中点，则： Sv.c)C. 1:3D. 1:45. （ 2022浙江绍兴）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形（ 剪掉的两个直角三角形相似） ， 剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD,其中NA = 90。 ，AB = 9 , B C = 1, C D

3、 =6, A D = 2 ,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可熊是（ ）254535A . 2B . 4C. 10D.T6. （ 2022甘肃武威）若 （ ? : A D E F ,BC = 6, E F = 4,则条（）4 9c 22A . -B .一C . D.94327. （ 2022云南）如图，在AA8C中，D、E分别为线段8C、的中点，设AABC的面积为“，AEB。的面积为S 则 / =（A公BA. 18. （ 2022浙江舟山）如图，在用AABC和RM8OE中，Z A B C = Z B D E = 9 0,点A在边。 的中点上，若AB = BC, D B = D E = 2 ,连

4、结 C E ,则 CE的 长 为 （ ）EAB CA. 714 B. 715 C.9. （ 2022江苏连云港）“A B C 的三边长分别为2则ADEF的周长是（）A. 54 B. 36 C.10. （ 2022四川凉山）如图, 在0ABe中，点 D、8 c 的 长 为 （）4 D. V17， 3, 4 , 另有一个与它相似的三角形O E F ,其最长边为12,27D. 21AZ） 2E 分别在边A8、4 7 上，若 DE0BC, = - , D E = 6 cm ,则D B 3AnBL-1cA. 9cm B. 12cm11. （ 2022重庆） 如图，AABC与的周长之比是（）A. 102

5、B. 10412 . （ 2022重庆） 如图，4 A B e 与,的周长是（）C. 15cm D. 18cm 尸位似，点 。是它们的位似中心，且位似比为1回 2 , 则AABC与AFfC. 103 D. 109O F 位似， 点。为位似中心， 相似比为2 :3 .若 的 周 长 为 4 ,则 。 尸A. 4 B. 6 C. 9D. 1613. （ 2022浙江金华）如图是一张矩形纸片A 3 C Q ,点E为A O中点，点F在8C上，把该纸片沿瓦折叠,RF ? AD点4 8的对应点分别为A ,次A E与BC相交于点G5的延长线过点C. 若 江 = 十 则 法 的 值 为 （）L 4x/io 2

6、0 8A. 2,2 B. - C. D . 5 7 314. （ 2022浙江湖州）如图，已知8D是矩形A8CD的对角线，48 = 6, B C = 8 ,点E, F分别在边A。 , 8 c上,连结BE, D F .将0A8E沿BE翻折，将 由DCF沿DF翻折，若翻折后，点4 C分别落在对角线B。上的点G,H 处 ,连结G F .则下列结论不无刑的是（ ）A. B D = 10 B. H G = 2 C. EG/F H D. G甩BC15. （ 2022四川眉山） 如图，四边形ABC。为正方形， 将S C绕点C逆时针旋转90。 至点。，B,H在同一直线上， E与A 8交于点G,延长” 与C。的

7、延长线交于点/ ，H B = 2, H G = 3 .以下结论: /皮 心 =135。 ； EC? = C D C F； H G = E F；（4）sinZCD = .其中正确结论的个数为（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个16. （ 2022湖南株洲）如图所示，在菱形ABCD中，对角线A C与8。相交于点。，过点C作CE） 交A. OB = -C E B. “ ACE是直角三角形 C. BC = -A E D. BE = CE2 217. （ 2022浙江温州） 如图， 在R/AABC中，NAC8 = 90。 ， 以其三边为边向外作正方形， 连结C F ,作GM J_CF于点

8、M, 8 /，6加于点/，A K L R 7于点K ,交CF于点L .若正方形A8G尸与正方形刀2 M的面积之比为5, CE = M+日则C /的 长 为 （）A .旧 B. C. 2& D. x/io218. （ 2022湖北十堰）如图，某零件的外径为10cm ,用一个交叉卡钳（ 两条尺长AC和8。相等）可测量零件的内孔直径48 . 如果。4 ： OC =OB ： 0 D = 3 ,且量得C 7 3 c m ,则零件的厚度” 为 （ ）A . 0 .3 c m B . 0 .5c m C . 0.7cm D . 1cm二、填空题1 9 . （ 2 0 2 2 陕西）在 2 0 世纪70 年代

9、，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“ 优选法，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做E 尸将矩形窗框A B C 。分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点， BE2 = A E AB.己知A B 为 2米，则线段B E 的长为 米.A n 12 0 . （ 2 0 2 2 浙江湖州）如图，已知在B A 8C 中，D , E分别是A 8, A C 上的点，DE/ / B C ,若 O E = 2 ,A B 3则B C的长是.2 1 . （ 2 0 2 2 湖南怀化）如图，MBC中，点 。 、E分别是A B 、A C 的中点，若 S / O = 2 , 则 SA

10、ABC=2 2 . （ 2 0 2 2 四川成都）如图，AABC和 瓦 是以点。为位似中心的位似图形.若 。4 : 4 ） = 2 : 3 , 贝 lj AABC与ADEF的周长比是23. （ 2022湖南娄底）如图，已知等腰AABC的顶角ZBAC的大小为，点 。为边BC上的动点（ 与B、C不重合） ，将 绕 点A沿顺时针方向旋转6角度时点。落在用处，连接8 D .给出下列结论： A C D = ABiy- ,AC8ZAD/7：当BO = C时，闻 ） 。 的面积取得最小值.其中正确的结论有（ 填结论对应的序号） .24. （ 2022湖南常德） 如图， 已知产是AABC内的一点，FD /B

11、C ,庄 /W ,若口加 也 的 面积为2, BD = BA,25. （ 2022天津）如图，已知菱形A8C。的边长为2, ZZMB = 60, E为4 3的中点，F为CE的中点，AF与OE相交于点G ,则G F的长等于.DC7A E B2 6. （ 2 0 2 2 江苏宿迁）如图，在矩形A B C 。中，A f i = 6, 8 c = 8 , 点M 、N分别是边A 。、8 c的中点，某一时刻， 动点E从点M 出发， 沿 方 向 以 每 秒 2个单位长度的速度向点A匀速运动； 同时， 动点尸从点N出发，沿 NC方向以每秒1 个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停

12、止运动，连接EF, 过点B 作 尸的垂线，垂 足 为 在 这 一 运 动 过 程 中 ，点H所 经 过 的 路 径 长 是 .2 7. （ 2 0 2 2 四川宜宾） 如图，4 8。中， 点反尸分别在边” 、 4 （ 7上，N 1 = N2.若 8 C = 4 , A F = 2, C F = 3 ,贝 i j E F =.2 8. （ 2 0 2 2河北）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1 个单位长的小正方形顶点，钉点A, B 的连线与钉点C , 。的连线交于点E , 则（ 1 ） A B 与 C。是否垂直？ （ 填 是 或 否 ） ；（ 2 ） AE=.BD2 9 . （ 2 0

13、2 2 湖南邵阳）如图，在AABC中，点 。在 A 8 边上，点 E 在 A C 边上，请添加一个条件使 A D f s A i B C .3 0 . （ 2 0 2 2 新疆）如图，四边形A8 CD是正方形，点 E 在边B C 的延长线上，点 F 在边A 8 上，以点D 为中心将ADCE绕点。顺时针旋转9 0 。 与O AT恰好完全重合，连接EF 交 D C 于点P , 连接A C 交 EF 于点Q, 连接B Q ,若 A 0 Q P = 30, 则 8 。=.三、解答题3 1 . （ 2 0 2 2 浙江杭州）如图，在 “ 8 C 中，点 D, E , F 分另I 在边AB, A C ,

14、BC ,连接。 E, E F ,若A8 = 8, 求线段4） 的长. 若AADE的面积为1 , 求平行四边形BF ED的面积.32. (2022四川乐山)华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第 2 小题及参考答案.2 . 如图，在正方形ABCD中，CE工D F . 求证：CE=DF .证明：设 CE与 DF交于点。 ，回 四边形ABCD是正方形，0ZB = ZCF = 9O , BC = CD. 0ZBCE+ZDCE-9O .0C E D F, 0ZCOD = 9 0 .回 NCDF + NDCE = 90 .a NCDF = N B C E .团 ACBE冬DFC. aCE = D

15、F.某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究 【 问题探究】如图，在正方形A8CD中，点 E、F、G、 ”分别在线段A8、BC、CD. DA上，且 EG 试猜 想E会G的 值 ，并证明你的猜想.FH(2)【 知识迁移】如图，在矩形4BCD中，AB = m, BC = %点、E、F、G、H 分别在线段48、BC. CD、DAEG上，且E G L F H . 则 丽 = 【 拓展应用】如图， 在四边形ABCD中，ZZMB = 9O, ZABC = 60 , AB = 3C , 点 E、 F 分别在线段48、求AD 上，且 CE_LBF.3 3 . （ 2 0 2 2 浙江嘉兴） 小

16、东在做九上课本1 2 3 页习题： 1 ：夜也是一个很有趣的比.已知线段AB （ 如图1 ） ,用直尺和圆规作A 8 上的一点P , 使 AP ： 4 8 = 1 ：夜. 小东的作法是：如图2, 以A B 为斜边作等腰直角三角形ABC,再以点A 为圆心，A C 长为半径作弧，交线段A B 于点P , 点 P即为所求作的点.小 东称点P为线段的“ 趣点你赞同他的作法吗？请说明理由. （ 2 ） 小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结C P , 点 。为线段AC上的动点，点 E 在 A B 的上方，构造AD P E ,使得ADPEHACPB. 如 图 3, 当点。运动到点A 时，求 回 CP E

17、的 度 数 . 如 图 4 , D E 分别交CP , C B 于点M , N ,当点。为线段 A C 的“ 趣点 时（ C D C A D ） , 猜想：点 N是否为线段ME 的 趣点” ？并说明理由.3 4 . （ 2 0 2 2 浙江湖州）已知在O t Q A8 c 中 ,0 4 6 8 = 9 0 , a, b分别表示酎，回 8的对边，a b . 记EL 4 8 C的面积为S .如图1 , 分别以AC, C B 为边向形外作正方形ACDE和正方形BG F C.记正方形4 CDE的面积为舒，正方形8 GFC的面积为邑. 若，= 9 , 5 , = 1 6 , 求 S的值； 延 长 E A

18、 交 G 8 的延长线于点N ,连结F N ,交 BC于点M,交 A B 于点H .若 FH 蜘8 （ 如图2所示） ，求证：S2- St=2S.（ 2 ） 如图3, 分别以AC, CB 为边向形外作等边三角形A C D 和等边三角形CB , 记等边三角形A C D 的面积为$,等边三角形CB E 的面积为S 2 . 以A 8 为边向上作等边三角形AB F （ 点 C 在0 4 8 F内） ， 连结E F, CF .若 E f i E CF,试探索邑-。与 S 之间的等量关系，并说明理由.35 . （ 2 0 2 2 江西）如图，四边形A3CZ ） 为菱形，点 E 在 A C 的延长线上，Z

19、A C D = ZABE.求证：AA BC SAA E B ； （ 2 ） 当A8 = 6 , 4 C = 4 时 , 求 A E的长.E36 . （ 2 0 2 2 江苏扬州）如图1 , 在A A 8 c 中，/ 8 4 。= 9 0 。 , / 6 = 6 0 。 ，点 。在 B C 边上由点C 向点8 运 动 （ 不与点B、C 重合） ， 过点。作 D E L A O , 交射线43 于点E . （ 1 ） 分别探索以下两种特殊情形时线段A E与B E 的数量关系，并说明理由； 点 E在线段A 8的延长线上且5 = 3 ） ； 点 E在线段A B 上 且 砥 = D .（ 2 ） 若 A

20、8 = 6. 当 空 =立 时 ，求 A E的长；直接写出运动过程中线段A E 长度的最小值.A D 237. （ 2 0 2 2 浙江宁波）如图1 , 在AA B C 中，D, E, F 分别为AB , A C , B C 上的点，D E BC,BF = CF ,AF交O E于点G ,求证：DG = E G .如图2 ,在 的条件下，连接C R C G .若C G上DE,CD = 6,AE = 3 ,求厂的值.（3）如图3 ,在DA3C 中，乙4。= 45。 ,4 ?与8。交于点。 ，E为AO上一点，EG % ） 交AOBC于点G ,历_LEG交BC于点F .若NEGF = 40,尸G平分N

21、EFC,FG = 1 0 ,求8尸的长.38. （ 2022湖北武汉） 问题提出： 如图（1） , AABC中，4? = AC ,。是A C的中点， 延长B C至氤E ,使D E = D B ,A fA f延长E。交A 8于点尸，探究凝的值.（1）先将问题特殊化. 如图（ 2） ,当 的C = 6（ P时，直接写出旋的值：（2）再探究一般情形. 如图（1） ,证 明（1）中的结论仍然成立.问题拓展：如 图（ 3） ,在A/WC中，A B A C ,。是A C的中点，G是 边 上 一 点 ， | = - （ n2）,延BC nA T长8 c至点E ,使D E = D G ,延长 交A 8于 点

22、直 接 写 出 广 的 值 （ 用含 的式子表示） .39. （ 2022湖南岳阳）如图，AABC和 ? ： 的顶点 B重合，Z A B C = Z D B E = 9 0 , Z B A C = Z B D E = 30 ,B C = 3, 3E = 2. （ 1）特例发现：如图1 ,当点。，E分别在A 8, BC上时，可以得出结论：= _,CE直线AO与直线CE的 位 置 关 系 是 ： （ 2）探究证明：如图2 ,将 图1中的绕点8顺时针旋转，使点。恰好落在线段AC上，连接EC, （ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展运用：如图3 ,将 图1中的ADBE

23、绕点B顺时针旋转&（ 19。 。60。 ） ，连接A。、E C ,它们的延长线交于点尸，当。 尸=BE时，求tan（6QO-a）的值.40. （ 2022山西）综合与实践问题情境：在RfAABC中，的4C=90。 ，AB=6, A C = 8 .直角三角板EOF中 回EDF=90。 ，将三角板的直角顶点力放在R3A8C斜边BC的中点处，并将三角板绕点。旋转，三角板的两边力E, D F分别与边AB, AC交于点N ,猜想证明：图（1）如图，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMOV的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图，在三角板旋转过程中，当= 时，求线段CN的长：（ 3

24、）如图，在三角板旋转过程中，当4M=AN时，直接写出线段AN的长.41. （ 2022江苏苏州）（1）如图 1 ,在 B4BC 中，Z A C B = 2ZB, CD平分 ZAC B,交 AB 于点O, DE/AC,3A/? RF交 B C 于点E . 若 D E = 1, BD = g求BC的长； 试 探 究 罢 -等 是 否 为 定 值 . 如 果 是 ，请求出这个2 A D D E定值：如果不是，请说明理由.（ 2 ）如图2 , NC8 G和2 8 C尸是0 A B C的2个外角，/ B C F = 2 N C B G , CD平分/ 8 C尸，交AB的延长线于点。，D E / / A

25、C ,交C8的延长线于点E .记0 A C力的面积为S，回CDE的9面积为S2, S B D E的面积为S.若 SS3 = nS； ,求 C OS / C 8 D 的值.图24 2 . （ 2 0 2 2湖北黄冈）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论. 如图1,已知AD是A A B C的角平分线，可 证 普 =黑. 小慧的证明思路是：如图2,过点C作A C C L）CE/AB,交AD的延长线于点E,构造相似三角形来证明丝= 空 .A C C D（ 1 ）尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证 明 丝 =空；A C C D（ 2 ）应用拓展：如图3

26、,在R tA A B C中，N8 A C= 9 0。 ，D是边B C上一点. 连接AD,将 A C。沿4?所在直线折叠，点C恰好落在边A8上的E点 处 . 若A C= 1 , A B = 2 ,求 。E的长； 若B C= m, N A E D = a ,求DE的 长 （ 用含m, a的式子表示） .4 3 . （ 2 0 2 2甘肃武威）已知正方形A B C。，E为对角线AC上一点.图1图2图3 【 建立模型】如图1，连接BE, D E .求证：BE = D E（ 2）【 模型应用】如图2,/ 是 延 长 线 上 一点，F BA.BE, E尸交A 8于点G. 判 断FBG的形状并说明理由； 若

27、G为A 5的中点，且A8 = 4 ,求A F的长.【 模型迁移】 如图3 ,尸是。E延长线上一点，F B V B E , E F 交 A B 于点G , = 求证：G E = （ a -1 ） D E .44. （ 2022江苏扬州）【 问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【 初步尝试】如图1，已知扇形。钻 ，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【 问题联想】如图2 ,已知线段M N ,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以M N为斜边的等腰直角三角形M N P ；【 问题再解】如图3 ,已 知 扇 形 请 你 用 圆 规 和 无

28、 刻 度 的 直 尺 作 一 条 以 点 。为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分.（ 友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）45. （ 2022四川成都）如图，在矩形ABCD中，AZ） = 1） ,点E是AO边上一动点（ 点E不与A , D重合） ， 连接8 E ,以8E为边在直线BE的右侧作矩形瓦炉G , 使得矩形EBFG s矩形ABC。，EG 交直线CD于点H . 【 尝试初探】在点E 的运动过程中，与 始 终 保 持 相 似 关 系 ，请说明理由.（ 2） 【 深入探究】若 = 2 , 随着点位置的变化，”点的位置随之发生变化，当H 是线段C。中点时，求tanNABE的值.

29、 【 拓展延伸】连接, F H ,当A fifH 是以切 为 腰的等腰三角形时，求 tanNABE的值 （ 用含的代数式表示） .专题1 5相似三角形-选择题1. （ 2022湖南衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（ 腰部以上）与 下 部 （ 腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感. 如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（）（ 结果精确到0.01m .参考数据：75 = 1.414, 1 .7 3 2 ,石 = 2.236）A. 0.73m B. 1.24m C. 1.37m D. 1.42m【 答案】B【 分析】设雕像的5部高为x m

30、 ,由黄金分割的定义得土= 必 二 求解即可.2 2【 详解】解：设雕像的下部高为x m ,则上部长为（2-x） m, 雕像上部（ 腰部以上）与 下 部 （ 腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m,: . 土 : 昱1 , .x = V 5-l? 1 .2 4 ,即该雕像的下部设计高度约是1 .2 4 m ,故选：B.2 2【 点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键.2. （ 2022山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识. 动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的（）A .平移 B

31、.旋转 C .轴对称 D .黄金分割【 答案】D【 分析】根据黄金分割的定义即可求解.【 详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳匕发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直咎的比约为0.618.这体现了数学中的黄金分割. 故选：D【 点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为与，约等于。 出，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割. 熟知黄金分割的定义是解题关键.3. （ 2022浙江丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B, C都在横线上. 若线段4J = 3 ,则线

32、段BC的 长 是 （【 答案】CD. 2【 分析】过点A作五条平行横线的垂线，交第二、四条直线，分别于D、E ,根据题意得AO = 2 D E ,然后利用平行线分线段成比例定理即可求解.【 详解】解：过点A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于E,AR AF） 1 根据题意得AL = 2），V BD/CE. ：. = = 2, X V AB = 3f ：. BC = -A B = - 故选：CBC DE 2 2【 点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键.4. （ 2022湖南湘潭）在中（ 如图） ，点。、E分别为4 3、A C的中点，则人,0 ： 5丫.

33、0 =（）BB . 1 : 2C . 1 : 3D . 1 : 4【 答案】D【 分析】 证出。E是A A 8 C的中位线， 由三角形中位线定理得由D E B C , D E = ；8 C ,证出A A D E ,由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论.【 详解】解： .点 。、E分别为A B、A C的中点， E是A A 8 c的中位线，二 ） 7 / 3 （ 7 , DE = - BC,2D ADE D A B C , SVADE : S7ABe.故选：D .【 点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键.5

34、. （ 2 0 2 2浙江绍兴）将一张以A 8为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形（ 剪掉的两个直角三角形相似） ， 剩下的是如图所示的四边形纸片A 8 C 3 ,其中Z 4 = 9 0。 ，AB = 9 , B C = 7 , CD=6, A = 2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可熊是（ ）【 答案】A【 分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意.【 详解】解：当D F ESAECB时，如图，E_ .EBD F F E D E 、 儿

35、. x 9 6+y 5 设 。F=x, CE=y, . - = = , 解得：E C CB EB y 7 2 + x27尤= 一42121 45 .D E = C D + CE = 6 + = ,故8选项不符合题意；4 427 35A EB = D F + A D = + 2 = 1故选项。不符合题意;4 4如图，当D C FS/ F 8 时,. 6 m n h” 但 . y；TTQ，解得:. D C CF D F -.- =- =- , 乂 F C=m, F D=n,F E EB F B/n = 8“ = 6 . 昨1。 ，故选项c不符合题意;BF = F C + B C = 8+6 = 1

36、4,故选项A符合题意；故选：A【 点睛】本题考查相似三角形的性质、矩形性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答.AC6. (2022甘肃武威)若ABC: ADEF , B C = 6, EF = 4 ,则一= ( )D F4A . -9B- 4c 1D- I【 答案】D【 分析】根据A B CS D E F , 可以得 到 丝 = ， 然后根据8c=6, EF =4,即可求解.EF D F【 详解】解：:ABC: /DEF ,EF D FB C = 6 , EF = 4 - D F = 4 = j 故选 D【 点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.7

37、. （ 2022云南）如图，在“BC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设AA 8 C 的面积为5 - AE B D 的面积)为s 则当A【 答案】Bc 7D.78【 分析】先 判 定 得 到 相 似 比 为 再 根 据 两 个 相 似 三 角 形 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 : 据此解题即可.【 详解】解：E分别为线段8C、BA的中点，密 =整 =:，AB BC 2又, ： N B = Z B , ； . AEBD f A B C ,相似比为 : ，【 点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.8. （ 2022浙江舟山）

38、如图，在R hA B C和R h瓦比t中，ZABC = N3OE = 9（ ）。 ，点A在边。E的中点上，若AB = BC, D B = D E = 2 ,连结C E ,则CE的 长 为 （ ）A. T n B. V15 C. 4D. V17【 答案】D【 分析】过点E作E F L 8 C ,交CB延长线于点F ,过点A作AG L8E于点G ,根据等腰直角三角形的性质可得 BE = 2历,N8ED=45。 ，进而得到 4B = BC = /，EG = A G = AE = . fiG = .再证得aBEF2 2 2s A A B G ,可得2 F = 型 ,E F = 5叵 ，然后根据勾股定理

39、，即可求解.5 5【 详解】解：如图，过点E作E F LB C ,交C8延长线于点F ,过点A作AG_LBE于点G,EA在 RIABDE中 ,ZBDE=90, DB = DE = 2,*- BE = JBD + DE? = 2 夜 ，/ B f D = 4 5 ,点A在边OE的中点上，A D = A E = 1 , AB = A D ? + BEi2 = , AB = BC = y/5，/ 8 E D = 4 5 。 ，.二 A E G 是等腰直角三角形, EG = AG = AE = , BG =2 2 2Z4BC=ZF=90, ：.EF/AB,. ZBEF=ZABG, ：. ABEFSAB

40、G,a 口 ar 口 口 2 V 2 BF EF. BE BF EF j = - = -p = - =-十.瓦 = 花 = 病 卬石也逑，2 2* 4 DC . 门 7 5 / 用牛付： Br =-,E r =- , CF =-5 5 5CE = EF2+CF2 = V 1 7 - 故选：D【 点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键.9 . （ 2 02 2 江苏连云港）A45C的三边长分别为2 , 3 , 4 , 另 有 一 个 与 它 相 似 的 三 角 形 ， 其最

41、长边为1 2 ,则ADE/7的周长是（）A . 5 4 B . 3 6 C . 2 7 D . 2 1【 答案】C【 分析】根据相似三角形的性质求解即可.【 详解】解：: A B C 与0 下 相似， A B C 的最长边为4 , Z W E F 的最长边为1 2 ,. 两个相似三角形的相似比为1 ： 3 ,:A D E F的 周 长 与 8 c 的周长比为3 : 1 ,.DEF 的周长为 3x （ 2+3+4） =27,故选：C.【 点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似之比是解题的关键.An 210. （ 2022四川凉山）如图，在AABC中，点 。 、 分

42、 别在边AB、AC上，若DEBC, = DE=6cm,DB 3A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm【 答案】cAn r)F AD ?【 分析】根据平行得到A4D EA A B C ,根据相似的性质得出黑= 芸，再结 合 黑 =；,D E = 6cm ,利用AB BC DB 3相似比即可得出结论.【 详解】解： 在8 c中，点 。 、E分别在边A8、AC上，若DEBC, : 4 D E = NB,. /A = NA, D ADE D ABC .e*- = -,AB BCAD 2 DE AD AD 2, D B 39 AD + DB5 ,：DE = 6cm , r. BC

43、= = ? ) = 15cm ,故选：C.2 2【 点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.11. （ 2022重庆） 如图，AABC与 ） 2位似， 点 。是它们的位似中心， 且位似比为1 : 2 ,则AABC与的周长之比是（）A. 1 ： 2 B. 1 ： 4 C. 1 ： 3 D. 1 ： 9【 答案】A【 分析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解.【 详解】解：AABC与Q EF位似二 Z A B C s D E F, / 4 A B e 与ADE

44、F的位似比是1:2，AABC与AOEF的相似比是1:2二AABC与ADEF的周长比是1:2故选：A.【 点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质.12. （ 2022重庆） 如图， ABC与AF位似， 点。为位似中心， 相似比为2 :3 .若 的 周 长 为4 ,则 ）砂的周长是（）A. 4 B. 6 C. 9 D. 16【 答案】B【 分析】根据周长之比等于位似比计算即可.【 详解】设 。 历 的周长是X,AABC与ADEF位 似 ,相似比为2:3, AABC的周长为4,A 4： x=2： 3 ,解得：x = 6 ,故选：B.【 点睛】本题考查/ 位似的性质

45、，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键.13. （ 2022浙江金华）如图是一张矩形纸片A 8 C D ,点E为A。中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠,点4 8的对应点分别为H , B , A E与8 c相交于点G, & A的延长线过点C.若 芸 = ， 则 黑 的 值 为 （ ）G C 3 A BB l 4x/10 20 8A . 2 5/2 B . - C. D . 【 答案】A【 分析】 令 8F=2x, CG=3x, FG=y,易证 C G 4 sC F Q , W fl1, = ,进而得出 y=3x,则 AE=4x, AD=8x,CF B FAn过点E作E H L8c

46、于点H ,根据勾股定理得出EH=2五x ,最后求 出 黑 的值.【 详解】解：过点E作EHLBC于点H,又四边形A8CD为矩形，二 NA=/8=ND=/BCD=90, ADBC,四边形ABHE和四边形CDEH为矩形，； AB=EH, ED=CH,.B F _ 2 G C 3 ,: .令 BF=2x, CG=3x, FG =y,则 CF=3x+y, BF = 2x, ,由题意，得 NC4G=NC8F=90。 ，又N G C 4为公共角，A C G A /X C F B ,. CG AGCF BF5 x -y则 3x _ 2 ,3x+ y 2x整 理 ,得（ x + y ） （ 3 x -y ）

47、= 0,解得x=-y （ 舍去） ，y=3x,/. AD=BC=5x-y=8x, EG=3x, HG=x,在 RtAEGH 中 EH2+HG2=EG2,则 EH2+x2=（ 3x）2,解得EH=2立x，H=-2/x（舍） ， AB= 2/2 x，AD 8x . rr , ,；= 与 后= 2&故选：A.AB 2 j2 xAEB【 点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求边长等知识，借助于相似三角形找到y=3x的关系式是解决问题的关键.14. （ 2022浙江湖州）如图，己知B。是矩形A8CD的对角线，48 = 6, 8c= 8 ,点E, F分别在边AD, BC上，连

48、结BE, D F .将aABE沿BE翻折， 将ADCF沿DF翻折， 若翻折后，点A, C分别落在对角线8D上的点G,H处，连结G F .则下列结论不乏项的是（ ）A. 8。 =10 B. HG=2 C. EG /FH D. GF1.BC【 答案】D【 分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A ,根据折叠的性质即可求得“ 2 8 G ,进而判断B ,根据折叠的性质可得NEG8 = N） = 90。 ，进而判断C选项，根据勾股定理求得C F的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项【 详解】. BD是矩形A8CD的对角线，48 = 6, BC=8,BC = AD = 8,AB = C D 6 .

49、BD = NBC +CD2 = 10 故 A 选项正确， . , 将ABE沿BE翻折，将ADCF沿DF翻折，.-.BG =AB = 6, DH = CD = 6 :.DG = 4, BH = B D -H D = 4.6 = 1 0 -8一 = 1 0 -4 -4 = 2故8选项正确，EG BD, HF L D B , ：. E G /H F ,故 C 正确设 A = a ,则 EG = a , .-.E D = A D -A E = 8 -a ,NEDG = ZADB /. tan ZEDG = tan ZADBHrlEG AB 6 3 a 3DG 4。 8 4 4 4/.AE = 3 ,

50、同理可得b = 3若尸G 8则 变 =必BF BG. .Q L - l G D 4 . 2 . CF GD B F-5BG - 6 3 BF BG .EG不平行C O ,即G F 不垂直8 C , 故 D 不正确. 故选D【 点睛】本题考查J折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键.15. （ 2022四川眉山） 如图，四边形A8C。为正方形， 将 E 3C 绕点C 逆时针旋转90。 至AHBC,点。，B,”在同一直线上，H E与 A 8交于点G, 延长H E与CQ的延长线交于点尸，” 8 = 2, HG = 3 . 以下结论: 4 C = 135。 ；E

51、 C :C D C F ;HG = E F；（ 4） sinZCD = .其中正确结论的个数为（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个D. 4 个【 答案】D【 分析】利用旋转的性质，正方形的性质，可判断正确；利用三角形相似的判定及性质可知正确；证明G8S/X Q C ,得到名=箓，即C = 半著=当 ，利用口? 是等腰直角三角形，求出H13 HCr HB 2“ ： = 之 华 ，再证明”（ 淞 必 也 印 即可求出E尸=3可知正确；过点 作 风 f 交 F。于点M ,求出sin ZFC = = , 再证明N 3E C = N E fC ,即可知正确.EF 3【 详解】解：；A E D

52、C 旋转得到4HBC,：. ZEDC=ZHBC.：ABC。为正方形，D , B, 4 在同一直线上, Z/BC=180-45=135,/. ZEDC=135, 故正确；,/ C 旋转得到AHBC,: EC = HC , NECH =9()。 ,： .NHEC=45。 ,J ZFEC=180o-45=135,： ZECD=ZECF,/. A EFCA D EC, EC _ FC D C - EC ? 石 。 2 = 8。 尸，故正确；设正方形边长为G, : /G H B + ZBWC=45, /G H B+ZHGB=45Q,J ZBHC=ZHGB = /D EC , : NGBH = /EDC=

53、135,： .B H s A E D C ,. DC EC n1 _ CD HG 3 - - = , 即 EC =- = ,HB HG HB 2 ” EC是等腰直角三角形， =2V ZGHB = ZFHD9 NGBH = /HDF=135。 ,： AHBGSHDF ,2 _ 3 即 2 + & 。 3 0 。 ，解得：EF = 3，HD HF -+ EF2,/ HG = 3,:. HG = EF , 故正确；过点E 作 M _L也) 交 FD于点M,； ZEDM=45,* / ED=HB = 2,: MD = ME = 0， . , EF = 3,./ 口 “ ME _ 母 sin NF C

54、- - - EF 3 ； ZDEC+/DCE=45。 , ZEFC+ZDCE=45 , /DEC=/EFC,：. sin /DEC = sin ZEFC= - = ，故正确EF 3综上所述：正确结论有4个，故选：D【 点睛】本题考查正方形性质，旋转的性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握以上知识点，结合图形求解.16. （ 2022湖南株洲）如图所示，在菱形A8CD中，对角线AC与BO相交于点。，过点C作CE 8。交4B的延长线于点E ,下列结论不一定正确 的 是 （）A. OB = ；CE B. AACE是直角三角形 C. BC=AE D. BE = CE【 答案】

55、D【 分析】 由 菱 形 的 性 质 可 知A O = O C ,由两直线平行， 同位角相等可以推出NACE = 4 0 8 = 90。 ,再证明R td C E R tA 4 0 B ,得* 0 8 = （CE, AB = A E ,由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以得出2 2BC = A E .现 有 条 件 不 足 以 证 明 =【 详解】解：在菱形A3CO中，对角线A C与 相 交 于 点0 ,A A C L D B . A O = OC. ： . Z A O B = 9 0 ,V C E / / B Dt ： . Z A C E = Z A O B = 9 0 , ACE是直角三角

56、形，故B选项正确;V Z A C E = Z A O B = 9 0 , Z C A E = Z O A B ,.RtAACE R t O B ,. 嘿嚏嘿2： .OB = - CE, AB = -A E ,故 A 选项正确;2 2； .BC为RIAACE斜边上的中线，BC= AE,故C选项正确；现有条件不足以证明BE = C E ,故D选项错误；故选D.【 点睛】 本题考查菱形的性质， 平行线的性质， 相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质,难度一般，由菱形的性质得出A C LD B , 4O = OC是解题的关键.17. （ 2022浙江温州） 如图， 在中，Z ACB = 9

57、 0 , 以其三边为边向外作正方形， 连结C F， 作GM于点M, R/_LGM于点J, A K L即 于点K ,交C尸于点L .若正方形ABG尸 与 正 方 形 的 面 积 之 比 为5, CE = M+五 ,则8的 长 为 （ ）A .亚B.2C. 2夜D. M【 答 案 】C 分 析 】设 CF交 A 8 于 P ,过 C 作 CNA.AB于 N ,设 正 方 形 JKLM边 长 为 m ,根 据 正 方 形 A8GF与 正 方 形 JKLM的面积之比为 5 , 得 A F = A B = 0 m ,证明AFL丝ZFGM (A A 5 ),可得 AL=FM ,设 AL=FM =x,在 R

58、tzMFL 中,x2+ (x+m) 2= ( y/s m ) 2, 可解得 x = m ,有 AL=FM=m, FL=2m,从而可得 AP=亚四,FP- - m , 8P=或 ，即2 2 2知 P 为 AB 中点，CP=AP=8P=或 ，由CP/sZFB4,得 CN=m, PN=3m, B|JA/V= . + 1 m , 而 tan/R4C=2 2 2黑= 穿= 7 工，又A A E C sA B C H ,根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解AC AN V5 + 1【 详 解 】解 ：设 CF交 A 8 于 P , 过 C作 CN_LA8于 N , 如图：设正方形水LM 边 长 为

59、m, .正 方 形 JKLM面 积 为 m2,I 正 方 形 A8GF与正方形JKLM的 面 积 之 比 为 5,/ . 正 方 形 ABGF的 面 积 为 5m2, ；.AF=A8=石 m,由已知可得：ZAFL=90-Z MFG= Z MGF, ZALF=90=ZFMG, AF=GF,：./A FL/FG M (AAS), .AL=FM ,设 AL=F/W=x,贝 lj FL=FM+ML=x+m,在 AtTMFL 中，AL2+FL2=AF2, .x2+ (x+m) 2= ( 石 m) 2,解得 x=m 或 x=-2m ( 舍 去 ) ， .AL-FM-m, FL-2m,： t a n ZAF

60、L汇 金 =2, 二 #4 ， . ” =遍AF FL 2m 2 yj5m 2 2= 尸 + A 尸= / 争 64 =京 BP = AB 一 AP =屈 一 殍 =4：.AP=BP,即 P 为 A B 中点,: ZACB=90, ：. CP=AP=BP=2V ZCPN=ZAPF, ZCNPO=ZFAP, : . /XCPNs/FPA, CP _ CN PN 丁 CN PN一而一而一 ? 、 岛 】 一息12F：.CN=m, PN=gm, ；.A N = A P + P N = m2 2BC CN 2 tan Z BAC = = r- ，AC AN V5 +1 和8CH是等腰直角三角形，,A

61、A BC CH. .AECs /BCH,-= - ,AC CEi r- 2 CH 厂 一CE = M+&j = M m :.C H = 2也 故选：C.【 点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度.18. （ 2022湖北十堰）如图，某零件的外径为10cm ,用一个交叉卡钳（ 两条尺长A C和 相 等 ）可测量零件的内孔直径A 8 .如果0 4 OC=OB： 0 0 = 3 ,且量得C D =3cm ,则零件的厚度尤为（ ）A. 0.3cm B. （ ） .5cm C. 0.7cm D. 1cm

62、【 答案】B【 分析】求出A A 08和AC。 。相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出A 8 ,再根据外径的长度解答.【 详解】解：.OA： OC=OB： OD=3, NAOB=NCOD,：./A O B /C O D , ：.AB： CD=3, ：.AB： 3=3, ：.AB=9 （ cm） ,: 外径为 10cm, .19+2x=10, .,.x=0.5 （ cm） .故选：B.【 点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出A 8的长.二、填空题19. （ 2022陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“ 优选法 ，在全国大

63、规模推广，取得了很大成果. 如图，利用黄金分割法，所做E尸将矩形窗框ABC。分为上下两部分，其中E为边A3的黄金分割点，即= 已知A 8 为 2米，则线段8 E 的长为 米.【 答案】（ 右 一 1 ） # # 1 + 6 ）【 分析】根据点E是 4 8的黄金分割点，可 得 丝 =丝=%二 1,代入数值得出答案.BE AB 2【 详解】 . 点E是 A8的黄金分割点，. . 丝 =丝=选 二 1 .BE AB 2：A B = 2 米，； . A E =（ 6- D米. 故答案为：（ - 1 ） .【 点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键.An 12 0 . （ 2 0 2

64、 2 浙江湖州）如图，已知在 A 8 C 中，D, E分别是A B , A C 上的点，DE/ BC, = - . 若DEAB 3【 答案】6n r An i【 分析】根据相似三角形的性质可得芸=普=：，再根据D E = 2 , 进而得到8 c 长.DC AO 3【 详解】解：根据题意，DE AD 1*.* DE / BC , . I A D E s 4 8 C , - - - =,BC AB 32 1：DE=2, /. = , BC = 6 ；故答案为：6 .BC 3【 点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质进行计算.2 L （ 2 0 2 2湖南怀化）如图

65、， A 8 C 中，点 。 、E 分别是4 B 、4 C 的中点，若 S / O E = 2 , 则 S $ 8 C =AD E 1【 分析】根据三角形中位线定理求得DEB C ,处= ：，从而求得A D SZVBC ,然后利用相似三角形的BC 2性质求解.【 详解】解：D、E分别是48、AC的中点，则DE为中位线，所以DE B C ,空=：所以ADEsABC； .衿 =（ 黑 尸 =；BC 2 S.ABC BC 4,.,50。 =2 ,二544/=8故答案为：8.【 点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握.22. （ 2022四川

66、成都）如图，AA 3 C和AO E F是以点。为位似中心的位似图形. 若0 4 :4 0 = 2 :3 ,则AA 3 C与 Q E F 的周长比是.【 答案】2:5【 分析】根据位似图形的性质，得到AOC4AOF，根据0 4 :4 0 = 2 :3得到相似比为CA f）A OA ?而=历=耘=1再结合三角形的周长比等于相似比即可得到结论【 详解】解：, ABC和 / 是以点。为位似中心的位似图形,. NOCA bOFD,. CA OA. 而一而 OA:AD = 2:3,. CA _ O A _ OA _ 2. 而 一 而 一 QA + AO -二Q C4 2根据AA B C与AD E F的周长

67、比等于相似比可 得 * 高 产 工 ，故答案为：2:5.QDEF FD 5【 点睛】本题考查相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键.23. （ 2022湖南娄底）如图，已知等腰AABC的顶角N&4C的大小为。，点 。为边BC上的动点（ 与B、C不重合） ，将AD绕点A沿顺时针方向旋转角度时点。落在以处，连接5 0 .给出下列结论：Z4C = AABZy;ACEZA）Zy ；当比 = C。时， ” 加 的面积取得最小值. 其中正确的结论有（ 填结论对应的序号） .【 分析】 依题意知，AABC和AAOD是顶角相等的等腰三角形， 可判断； 利用SAS证明A

68、DC丝4 7 8，可判断：利用面积比等于相似比的平方，相似比为 黑 ，故最小时“ 曲面积最小，即AD_LBC,等腰Z* C x三角形三线合一，。为中 点 时 .【 详解】 ； 绕点A沿顺时针方向旋转0角度得到A D ： . ZD A D = 0, AD = AD 二 Z C A B = ZD A D 即 Z C A D + Z D A B = Z D A B + Z. B A D ： . Z C A D = A B A DA C A D = A B A D ： - A C = A B 得：ADC&ZVIPB （ SAS）故对A D = A D ,/ AA8C和 “ 是顶角相等的等腰三角形,A

69、A C B A D D f故对. . . 拳 g =（即A。最小时S&Q D最小当4 ），8C时，AD最小由等腰三角形三线合一，此时。点是8 c中点 故对 故答案为：【 点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项中将面积与相似比结合是解题的关键.24. （ 2022湖南常德） 如图， 已知F是AABC内的一点，FD/ / BC,庄 3 ,若 芯 的 面 积 为2, B D = ； B A ,BE=：Ba 则 . c 的面积是【 分析】延长EF 、D F 分布交A C 于点M、N , 可以得到相似三角形并利用相似三角形分别求出AM、MN、C N 之间的关系，从

70、而得到三角形的面枳关系即可求解.【 详解】解：如图所示：延长EF 、D F 分布交A C 于点N,. F D /B C ,F E / ABBD = -BA, BE = - B C ,34CE = 3BE, AD = 2BD.CM CE AN AD 2A MBE 9C N1SD * . 令 AM = x , 则 C M = 3 x , 二 . AC = 4 x，2 8 1 4A N = -A C = - xf CN = -A C = -X93333：.M N工 ， ： K3 A N 8 MC 9S小NM F ： S & NA D = 2 5 : 6 4 , S 4 NM F ： / M E C

71、= 2 5 ： 8 1 ,二 设 ZNM = 2 5 a , S NA D = 6 4 a , = 8,一S 四 边 形FECN = 5 6 , SABC= 2 + 1 2 0 ，.SADN 二痴S ABC 2 + 120。任 丫,，求出A B ） 9 12.SA4flC = 2 + 120a = 1 2 , 故答案为：12.【 点睛】本题考查了相似三角形中的A 型，也可以利用平行线分线段成比例知识，具有一定的难度，不断的利用相似三角形的性质：对应线段成比例进行求解线段的长度；利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键.25. （ 2022天津）如图，已知菱形A8CD的边长为2, N

72、ZMB = 60。 ，为 4 8 的中点，尸为CE的中点，AF与DE相交于点G ,则G F的长等于.【 分析】连接F B ,作CG LAB交 AB的延长线于点G . 由菱形的性质得出NCBG = A B = 60。 ，AD = AB = BC = CD = 2 ,解直角ABGC求出CG = 6，B G = 1 ,推出F 8为AECG的中位线，进而求出F 8 ,利用勾股定理求出好 ，再证明AAEGAABF,得出AG = GF=3AF.【 详解】解：如图，连接F B ,作CGJL相 交AB的延长线于点G./ 四边形A8CD是边长为2 的菱形,AD/BC, AD = AB = BC = CD = 2

73、, : ADAB = GO ,： .Z C B G = 2 D A B = 3 ,万CG = BC sinZCfiG = 2x = 73 ,2BG = BCcosZCBG = 2 x l = l,2. 为A B的中点,： . A E = E B = 1,； .BE= BG,即点8为线段EG的中点，又 F为CE的中点，F8为AECG的中位线，A F B I I C G , FB = -CG = ,2 2/ . F B I . AB,即AABb是直角三角形，A F = J A B + B F ? = J ?+停） =乎.在N E D和 M G C中，A D = B Cj2DQ = y/2BQ ,/

74、. DE FQ = -J2BQ-BQ = 3y/2 ,故答案为：后.【 点睛】本题综合考查了相似三角形、全等三角形、圆、正方形等知识，通过灵活运用四点共圆得到等弦对等角来证明相关角相等是解题的巧妙方法.三、解答题3 1 . （ 20 22浙江杭州）如图，在 “ 8 C 中，点 。 ，E, F 分别在边A B , AC, 8 c 上，连接。 E , E F ,已知四边形8 F E D 是平行四边形，翳;.【 答案】（ 2 （ 2 ） 6n r An【 分析】（ 1）利用平行四边形对边平行证明? ! s/ vwc, 得 到 壬 = 普 即 可求出：BC AB（ 2 ）利 用 平 行 条 件 证 明

75、 分 别 求 出 “力石与应与“ 18 c 的相似比，通过相似 .角形的面积比等于相似比的平方分别求出SV Q C、SA B C，最 后 通 过 阳 以 此 7 访 二 他 求 出 .（ 1） ,四边形B F E D是平行四边形,J DE BC ,: . /A D E /A B C ,. DE AD* AB DE 19 BC 4AD = -A B = -x S = 2-4 4丝* AB 4（ 2 ：四边形8 F E 。是平行四边形,: . DE BC ,E F II A B , DE=BF,：. ZAED = NECF/EAD = NCEF , 心皿 冷 = （ 匐 ,DE 1, : 一 =

76、-, DE=B F , ：. FC = BC-DE = 4DE-DE = 3DE,BC 4DE DE .返 = 团 = 他 丫 = * * FC 3DE 3 SAEFC IF CJ UJ 9. /AD E/ABC,翁”小圜制； S ziA D E = 1 , SAE F C =9,SA,WC =1 6 , Sa B F E D = S4ABe S&EFC SM E = 1 6 - 9 - 1 = 6 .【 点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键.32. （ 2022四川乐山）华师版八年级下册数学教材第121页

77、习题19.3第 2 小题及参考答案.2 . 如图，在正方形八8c。中，CEDF t求证：CE = DF .证明：设 CE与 D F交于点O, 四边形A8C。是正方形， .ZB = ZDCF = 90。 ，BC = CD.: ./BCE+/DCE = 90。 . . CE.LDF f .NCOD = 9()。 . ZCDF+ZDCE = 90o.: /CDF = /BCE. ACBE/ ADFC. CE = DF.某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究 【 问题探究】如图，在正方形A8CD中，点 人 F、G、H 分别在线段48、8C、CD、DA ,且EG工FH .试猜 想E票G

78、的 值 ，并证明你的猜想. 【 知识迁移】如图，在矩形A 8 C D 中，A B = m , B C = n ,点 E 、F 、G 、”分别在线段A B 、8 C 、C D 、D A 【 拓展应用】如图，在四边形A B C 。中，Z D A B = 9 0 , Z A B C = 60 , A B = 3C, 点 、 F 分别在线段A 8 、C E4 。上，且 CE, 族 . 求 不 ； 的值.【 答案】 1：证明见解析( 2 ) 2 ( 3 ) 也m 2【 分析】( 1) 过点A作 AM 修 F 交 8 C 于点M, 作 4 2 氏5交 8 的延长线于点N, 利用正方形A 8 C D , A

79、 B=A D , /A 8 /W = N 8 A D = N A D N = 9 0 求证即可.( 2 ) 过点A作交8 c 于点M, 作 A N E C 交 C 。的延长线于点N, 利用在矩形A 8 C D 中，8 C = A D ,ZA B M = Z B A D ZA D N=9 0 ,求证ABMS AA D N .再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可. ( 3 )先证A 4 8 c 是等边三角形， 设 A 8 = 3 C = A C = a , 过点CNLA8, 垂足为N, 交B F 于点M, 则 4 V = B N = g a ,在 HABCV中，利用勾股定理求得CN的长，然后证

80、A/VCES A AB P ,利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解.( 1) 言EG= 1 , 理由为：F H过点A作A M / / H F交B C于点M,作A N/ / E G交C D的延长线于点N,: 四边形 A 8 c 。是正方形，J . A B / / C D , A D / / B C ,，四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形,在正方形 A 8 C D 中，AB=AD, ZABM= ZBAD= ZADN=90；EG_LFH, ：. ZNAM90, : . /B A M = /DAN,在 A8 M 和 ADN 中，NBAM=NDAN, ABAD, NABM= NA

81、DNEG：. /AB M /A D N：.AM=ANf 即 EG=FH, : . =1 ；FH( 2 )解：过点A作A MHF交8c于点M ,作A N” 交CD的延长线于点M: 四边形 A 8 C D 是矩形，； . A B C D , AD/BC,二四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形,ZABM= ZBAD ZADN=90,：EGFH, ：.ZNAM 90, ；./BAM =N D AN .,A 八B/ V/ sA AD/ V, . . -A- -M- - - =- -A- -B- - ,AN AD( 3 )解：V Z A B C = 6 0 , A B =B C ,*/

82、AB = m ,BC = AD = n , AM=HF, AN=EG,. HF m ,， = ;故答案为:nEG nFH mmAA8 C是等边三角形，. ,.设 A8 =8 C = A C = a ,过点CNJ _ A3,垂足为N ,交M于点“ ，则4 N = 8 N =1 a2在 R f A B C N 中 ,CN = y/BC2 - BN2 =,: CN，AB, CELBF , ：. ZABF+ZBMN=90 , ZECN+ZCMF = 90 ,又Z.CMF = NBMN , ：. ZABF = NECN ,V CNA.AB, ZDAB = 90 , ：. 4DAB = ZCNE = 舒

83、，：. ANCEAABF,. CE CN即 C E 5“ s/3 .BF a 2【 点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是道难题.3 3 . （ 20 22浙江嘉兴） 小东在做九上课本1 23 页习题： “ 1 ：夜 也 是一个很有趣的比.已知线段A B （ 如图1 ） ,用直尺和圆规作A B 上的一点P , 使 A P ： 4 6 = 1 ： 0 . 小 东的作法是：如图2 ,以A B 为斜边作等腰直角三角形A B C , 再以点A为圆心，A C 长为半径作弧，交线段项 于 点 P , 点 P即为所求作的

84、点.小 东称点P为线段 A B 的“ 趣点你赞同他的作法吗？请说明理由. （ 2） 小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结C P , 点 。为线段A C上的动点，点 E在 A B 的上方，构造AD P E ,使得ADPES ACPB. 如 图 3,当点。运动到点4时，求N C P E 的 度 数 . 如 图 4 , O E 分别交C P , C B 于点M , N ,当点。为线段A C 的 趣点 时（ C D V A D ） ,猜想：点 N是否为线段ME的 趣点 ？并说明理由.【 答案】赞同，理由见解析，(2) 45。 ， 点 N 是线段ME的 趣点 ，理由见解析AC I【 分析】( 1)利

85、用等腰三角形的性质证明弁 二 下 ，再 利 用 = 从而可得结论；AB V2( 2 ) 由题意可得：? CAB ? B 45靶 AC8 = 90?, AC AP = B C ,再求解？ ACP ? APC 67.5?,?CPB 112.5?,证明？ 。 PE ?CPB 112.5?,从而可得答案；先证明VADPsVAC氏可得? APD 45?, DP / C B ,再证明 MP = MD = MC = MN, ? EMP 45靶 MPE = 9 0 ? ,从而可得结论.(1)证明：赞同，理由如下：等腰直角三角形A8C, AC = BC,?A IB 45?, cos45?AC _y/2 _ 1A

86、B 一 一 万A.p QAC = M =二点P 为线段AB的“ 趣点(2) 由题意可得：? CAB ? B 45靶 ACB = 90?, AC APBC, ?ACP ? APC g(180? 45?) 67.5?, ? BCP 90? 67.5? 22.5?, 1 CPB 180? 45? 22.5? 112.5?, ADPES ACPB, D, 4 重合, 1DPE 1 CP B 112.5?, 1 CPE ? DPE ? CPB 180? 45?. 点 N 是线段ME的 趣点 ，理由如下：当点。为线段AC的“ 趣点 时(CD b .记ABC的面积为S.图I如图1 ,分别以AC, CB为边向

87、形外作正方形ACDE和正方形BGFC.记正方形ACDE的面积为S 1 ,正方形BGFC的面积为邑.若5 = 9 ,邑= 1 6 ,求S的值； 延 长EA交GB的延长线于点N ,连结F N ,交BC于点例，交 A B 于点H.若FH_LA8 （ 如图2所示） ，求证：S2- St=2S .如图3 ,分别以AC, CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE,记等边三角形ACD的面积为、,等边三角形CBE的面积为S z .以A B为边向上作等边三角形ABF （ 点C在aA B F内） ，连结EF, C F .若EFJ_C F ,试探索S2-S1与S之间的等量关系，并说明理由.【 答案】 6；

88、见解析$2H =；S,理由见解析【 分析】（1）将面积用。 ，b的代数式表示出来，计算，即可J 7 A A N利用八N公共边，发现M /VS/V U V B,利 用 黑 = 偿，得到。 ，b的关系式，化简，变形，即可得结论A N NB（ 2）等边与等边共顶点B ,形成手拉手模型，A A B C 四A F B E ,利用全等的对应边，对应角，pp h 出得到：A C =F E =b, Z F E B = Z A C B = 9 0f 从而得到 N F E C =30,再利用用。 五 , cos30 = = - = ,C E a 2得到。与b的关系，从而得到结论(1)V 5j = 9 , S2 =

89、 16 /.b = 3 , 0=4/ Z4CB = 90A S = -ab = x 3x 4 = 62 2由题意得：NAN=NAN8 = 90,：FHA.AB：. NAFN=90 NFAH= NNAB3今嚼.等襦得：ab + b2=a2 ：. 2S + St=S2. 即 S-S( 2)S2-SI=：S , 理由如下： ； 4ABF和BEC都是等边三角形：.AB = FB, ZABC=60 ZFBC=ZFBE, CB=EB：. /XABC/XFBE (SAS) ：.ACFEbNFEB= ACB = 90：. ZFEC=30VEF1CF, CE=BC= a：. - = = cos30 = a CE

90、 2 b = S =由题意得：Sl = b2, = -a222 4 4 2 4 c C 百 2 6/ 2 /3 2 C c _ c a -b = a . = i 4 4 16 4【 点睛】本题考查勾股定理，相似，手拉手模型，代数运算，本题难点是图二中的相似和图三中的手拉手全等35. （ 2022江西）如图，四边形A8C。为菱形，点 E在 4 c 的延长线上，ZACD = ZABE.求证：AABCSAAE B； （ 2） 当A8 = 6,AC = 4 时，求他的长.【 答案】见解析AE=9【 分析】（ 1）根据四边形A8C0是菱形，得出CAB, AB = C B ,根据平行线的性质和等边对等角，

91、结合 NACD = N A B E ,得出 NAC = NA8E = NC4B = NAC3, 即可证明结论；（ 2 ）根据A A B C s A A f , 得 出 丁 =失，代入数据进行计算，即可得出A E 的值.AE AB证明：:四 边 形 4 8C D 为菱形，：.C D / AB. AB = CB,ZACD=ZCAB, Z.CAB = ZACB,: ZACD = ZABE,：. ZACD = ZABE = /C AB = ZACB,: . W B C W E B .( 2 ) V A A B C A A E B ,AB AC Mn 6 4 瓜 . - - - =- - -,B P-

92、- -= , 解得： AE=9 .AE AB AE 6【 点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出N A C D = N A B E = N C 4 B = N AC3,是解题关键.3 6. （ 2 0 2 2 江苏扬州）如图1 , 在A 4 B C 中，/ 8 4 。= 90 。 , /。= 60 。 ，点。在 8 c 边上由点C向点3运 动 （ 不与点B、C重合） ，过点。作 。 石_ L A D , 交射线4 5 于点石.分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由； 点 E在线段A8 的延长线上且BE = B

93、D； 点 E在线段A 8 上且EB = ED.（ 2 ） 若 A B = 6 . 当 学 =等 时 ，求 AE的长；直接写出运动过程中线段AE长度的最小值.2 【 答案】= A E = 2 B E （ 2 ） 1 4【 分析】（ 1 ）算出 4 3 D 各个内角，发现其是等腰三角形即可推出 算 出AAQE各内角发现其是3 0 。 的直角三角形即可推出（ 2 ） 分 别过点A , E作 BC的垂线， 得到一线三垂直的相似， 即/EGDS/DHA， 设D E = ， 4） = 2 a ,利用3 0 。 直角三角形的三边关系，分别表示出E 。，AD, EG, D H，列等式求解。即可 当 /师 =

94、3 0 , A E 最小，计算思路与（ 2 ）的相同(1) 如图:在 AABC 中，ZBAC = 90, ZC = 60J ZABC = 30BE = BD：. ZBDE = -ZA B C = 502ZBZM = 90o-ZBE = 90o-15o = 75在ABO中：/BAD = 180-ZABD - NBDA = 180-30 - 75 = 75 ZBAD = ZBDA = 15AB = BD = BE: . AE = 2BE如图：V BE = DE：. ZEBD = ZEDB = 30, ZAED=60在 RfAADE 中，N E W = 30。: . AE = 2ED AE = 2B

95、E(2)分别过点A, E 作 8 c 的垂线，相交于点G, H易知：AEGDSADHA （ 一线三垂直）设E = G a , AD = 2a则 AE = A/应 + 心= & , BE = 6- 币a,在用 ABC 中，NABC = 30, AB=6AR 广则 AC = = 2 g , BC = 2AC = 4y/3在必 ZXBEG 中，ZEBG = 30, BE = 6 - a贝 |JEG = % = 3 也 a2 2在用AA C 中，ZC = 60, AC = 2y/3加 等=3DH = ADr+AH2 = y）4a2+9/EG D /D H AED EGA 3 一 色73 22 +9解得

96、：% =三 币 ,弓= 一3/7 （ 舍）故 = = g 当 NAD = 30, AE最小，最小为4【 点睛】本题考查几何综合，涉及特殊直角三角形，相似，等腰三角形，本题突破点是作辅助线构造一线三垂直的相似.37. （ 2022浙江宁波）如图1 ,在A/WC中，D, E, F分别为AB,AC,BC上的点，DE BC,BF = CF,AF交D E于点、G ,求证:DG=EG.DF（ 2）如图2 ,在（ 1）的条件下，连接C 2 C G .若CG，OE,C = 6,AE = 3 ,求 考 的值.BC如图3 ,在QABCD中，NAOC = 45。 , A C与8。交于点。 工 为4 0上一点，EG

97、交A于点G, E F1EG交BC于点F .若NEGF = 40。 ,FG平分NEFC,FG = 1 0 ,求 防 的长.【 答案】（ 1）证明见详解3 5 + 5石【 分析】（ 1）利用 小 B C ,证明AOGZ4BF,ZAEGN、ACF ,利用相似比即可证明此问；n r（ 2）由（ 1）得DG=EG, C G 1 D E ,得出ADCE是等腰三角形，利用三角形相似即可求出工厂的值；BC（ 3）遵 循 第（ 1）、（ 2）小问的思路，延长GE1交45 丁 点 连 接E / 0 ,作M N _ L 3 C ,垂足为M 构造出等腰三角形、含30。 、45。 角的特殊直角三角形，求出8 N、尸N的

98、值，即可得 出 所 的长.解：V D E /B C ,：. /XADG ZXABF, AAEG /ACF ,. DG AG EG AG而 一前 彳 一 而 . DG EG* BF -C F ,/ BF = C F,: . DG=EG.（ 2）解：由（ 1）得 DG = EG,%： CGLDE.:CE = CD = 6.,: AE = 3,: . AC = AE+CE = 9. : DE/BC. DE AE * * BC- AC_3 1解：如图，延长GE交4 8于点M ,连接作MN_LBC,垂足为N.在 oABCD 中，BO = DO. ZABC = ZADC = 45 . : EG/BD, 由

99、（ 1）得 ME = GE, : EFLEG.A fM = FG = 10,: ./EFM = 4EFG. / ZEGF = 40,. NEMF = 40。 , ZEFG = 50.FG 平分 NEFC,: .NEFG =匕CFG = 50 , ZBFM = 180- ZEFM - ZEFG-ZCFG = 30 .在 RMFMN 中 ,MN = FM sin 30 = 5,FN = FM cos 30 = ./ N M B N = 4 5 ,M N 1 BN,： .B N = M N = 5,BF = BN + F N = 5 + 5 6 .【 点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角

100、形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识,遵循构第（ 1 ） 、（ 2 ）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键.3 8. （ 2 0 2 2湖北武汉） 问题提出： 如图（ 1 ） , AABC中， 4 ? = A C , 。是AC的中点， 延长8 c 至点E, 使 E =A P延长交A B 于点尸，探究的值.A B（ 2 ） 再探究一般情 形 .如 图 （ 1） , 证 明 （ 1）中的结论仍然成立.I问题拓展：如 图 （ 3 ） , 在 A 4 5 c 中，AB = A C ,。是 AC的中点，G是边8 c 上一点，= - （ n 2 ） , 延BC nA F长 B

101、 C 至点E, 使 。 E = 3G, 延长EO交AB于点尸.直接写出的 值 （ 用含的式子表示） .A B【 答案】涧题提出（ 1）工（ 2）见解析4（ 2） 问题拓展1与 土4【 分析】 问题探究（ 1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得N A Q b = N A D 8 = 3 0。 ，Z A F D = 9 0 ,根据含3 0度角的直角三角形的性质，可得= = = 即可求解；（ 2）取 8c的中点“，连接证明可得B H = E C ,根据证明A E D H s M FB ,根据相似三角形的性质可 得 总 = 笑= 进而可 得 空 =! ：D H E H 2 AB 4F R F B

102、2+ 问题拓展 方法同（ 2 ） 证明会 ）及7 ,得出， G = E C ,证明A E D H s A E FB， 得到 不 7 =x，D H E H 2进而可 得 与 = 三支.AB 4 问题探究 :( 1 )如图,ABC中，A B A C ,。是AC的中点，Z&4C=60,.ABC是等边三角形，AD = -AB2:.ZABD = NDBE = 30, ZA = 60,/. DB DE，/.ZE=ZDBE=30, NDCE = 180。 一 NACB = 120。 ，ZADF = /CDE = 180-ZE-ZDCE = 30 ,vZA = 6()0,/.ZAFD = 90,AF = -A

103、 D ,2. 丝=-AjD J.AB AB 4(2 )证明：取BC的中点H ,连接。H.。是AC的中点，/. DH/AB. DH=-AB.2,/ AB = AC,：. DH = DC,：. ZDHC = ZDCH.,: BD = DE,：. ZDBH = /DEC.：. ZBDH = ZEDC.：. /DBH/DEC.: .BH = EC. EB _3* *EH - 21 ： DH/ AB： M D H s g F B .3-2=-E-俗一FD3-4F B=茄 竺 ,瓦(2) 问题拓展 如图，取 3 C 的中点H , 连接/。是A C的中点，A DH /AB, DH=-AB.2,: AB =

104、AC,：. DH = DC,：. ADHC = ZDCH .,: DE = DG,: .ZDGH = ZDEC. 4GDH = 4EDC.: ADGH% DEC .： .GH= EC.:.HE = CGCG 1 ,八BC ny )BC = nCGBG = (w-l)CG,CE = GH=BC-BG = nCG-n-)CG = -C G nCG + | 1-|CG； EB BC + CE I 2 J j _ 2 + .EH - EH CG 2 - 2/ DH/AB, XEDHsM FB. FB EB 2+n. FB 2 + -=-.AB 4. AF 4-2-n 2-n -=-=-.AB 4 4.

105、 AF 2-n -= - .AB 4【 点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关犍.39. (2022湖 南 岳 阳 ) 如 图 ，AABC和 ADSE 的顶点 8重合，ZABC = ADBE = 9O, ABAC = ABDE = 3G,BC = 3, BE = 2.A A,K匕Ef f l l图2特例发现：如 图1,当点。，E分别在A8,E图3AnBC上时，可以得出结论： =_,直线A O与直线CE的 位 置 关 系 是 :(2) 探究证明：如图2 , 将图1 中的A ) 8 K 绕点B顺时针旋转，使

106、点。恰好落在线段AC上，连接E C , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展运用：如图3 , 将 图 1 中的绕点B 顺时针旋转夕 (19。 。 交 出 于点K, 过点K作 K T _ L AC于点K .求出R / , JK ,可得结论.解：在 MAA B C 中，Z B = 90 , BC = 3, Z A = 3 0 ,二 AB = C = 3 6 ,在必 中，N B D E = 30 , BE = 2,： .B D = E = 2 6： .E C = 1, A D = /3,A H： .= V3, 止 匕 时 A n _ L E C ,EC故答案为：G

107、，垂宜；结论成立.理由：V Z A B C = Z D B E = 9 0 ,： .Z A B D = N C B E , ：AB = /3BC . BD = /3BE,. A C DB, 拓一 说 ABDsCBE,= 73 , ZADB = NBEC ,EC BC / ZADB + ZCDB = 180,: . NCDB+NBEC = 180。 , ZDBE + ZZ)CE = 180,Y ZDBE = 9O0, ZDCE = 90, A D 1E C：如图3 中，过点3 作点 人 设 5。交A K 于点K , 过点K 作 K T , AC 7 点K .图3V ZAJB = 90, ZBAC

108、 = 30, ZAR7=60。 ， ZKBJ=6O -a.V AB = 3百 ，：.B J = -A B = f A J= 4 iB J= 2 ,2 2 2当。F = 8E 时，四 边 形 是 矩 形 ，/. ZADB = 90f AQ = JAB?-BD? = J(3 ) 2_(2后=后,设 KT m，则 AT = 3fn， AK = 2m ,/ NKTB = ZADB = 900,KT AD ta n a = =BT BD.m _y/15.访 = 访 ”_ 2班 BT - - m ,5+ = 3y/3 , 45-6715 m =11 _90-12V15 AK - 2 m.- -,114 7

109、 40 9 90 12厉 24V15-81 KJ = AJ - AK =-=-2 11 22。 。 唱中【 点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题.4 0. (2022山西 ) 综合与实践问题情境：在 R f Z kA B C 中，N B 4 C = 90。 ，A B = 6 , A C = 8 . 直角三角板E /中 /E C F = 90,将三角板的直角顶点 。放在R f A A B C 斜边B C的中点处，并将三角板绕点。旋转，三角板的两边。 区 。 尸分别与边48 , AC交于

110、点M , N ,猜想证明:( 1 ) 如图 ，在三角板旋转过程中，当点M为边A B的中点时，试判断四边形A MDN的形状，并说明理由；问题解决：( 2 ) 如图 ，在三角板旋转过程中，当= 时，求线段CN的长；( 3 ) 如图，在三角板旋转过程中，当4例= 4V 时，直接写出线段A N的长.25 25【 答案】( 1 ) 四边形A MO N为矩形；理由见解析；( 2 ) C / V = y ； ( 3) A N = . .【 分析】( 1 ) 由三角形中位线定理得到用O A C , 证明N A = / A M Q = / M W = 9 0 。 ，即可证明结论；( 2 ) 证明 N OC 是等

111、腰三角形，过点、 N 作 N G 工B C 于点G ,证明CGNSC A B,利用相似三角形的性质即可求解；( 3) 延长 ND,使 DH=DN,证明A B O , 也 C W ,推出 BH=CN, N D B H = / C ,证明NMBH=9 0。 ,设 AM=AN=x,在 长8 M ”中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解.【 详 解 】解 ：（1）四 边 形AMDN为 矩 形.理 由 如 下 ： 点M为A 8的 中 点 ， 点 。 为8 c的 中 点,J.MD/AC,：. NAMO+NA= 180。 ，ZA=90fZAMD=90t,: ZEDF=90, ZA= ZAMD= ZMDN=9

112、0,四 边 形AMDN为 矩 形 ；( 2 )在 心AABC 中 ，ZA=90t 止6, AC=8,AZB+ZC=90, BC = ylAB2+AC2 =10- ,点 。 是8 c的 中 点 ，CD= BC=5.2 ? ZEDF=90,.,.ZMB+Z1=9O. ； NB=NMDB,AZ1=ZC.:ND=NC.过 点N作NG上BC于点、G ,则NCGN=90.:CGNS ACAB.2：.CG=-CD=2v z c = z c ,D G c52 ,NCGN=/CAB=90,( 3)延长 A 至 4 ,使 DH=DN,连接 M4 , NM, BH, : MD1.HN, ；.MN=MH, 是BC中点

113、，:BD=DC,又： /BDH=NCDN,:BH=CN, /D B H =/C , / Z B A C= 9 0 ,VZ C+ Z ABC= 9 0 , NDBH+NABC=90,： ./MBH=90,iS AM=AN=x,则 B M = 6 N, BH=CN=8X, M N=M H=6X,在放 BMH 中，BW+BH?二M U,( 6 - * 2 + ( 8 - * 2 = ( V LX) 2 ,2 5解得x= ， ，2 5 线段AN的长为【 点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题.4 1 . （

114、 2 0 2 2江苏苏州）（ 1 ）如图 L 在 a ABC 中，Z A C B = 2NB, C 平分 ZAC8 ,交 A B 于点。，DE/AC,Q4 D RF交3c于点E . 若QE = 1 , BD = ：,求BC的长； 试探究鬟 -若 是否为定值. 如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.（ 2 ）如图2 , NCB G和48b是AABC的2个外角，Z B C F = 2 N C B G , CD平分N B C F,交AB的延长线于点。，D E / / A C ,交CB的延长线于点 记 AC。的面积为凡，A CDEO的面积为邑，8 OE的面积为S3.若EW u忑S ； ,求CO

115、S/CBZ）的值.Q AT） RF 7【 答案】（ 1 ） B C = ； 黑 - 若 是 定值，定值为1 ： （ 2 ） c osZ C B D = 4 A D D E o【 分析】（ 1 ） 证 明ACEOS AC D B ,根据相似三角形的性质求解即可； 由 E AC,可 得 当 = 怒 ，由同理可得C E = OE，计算当-普= 1 ；A D D E A D D E（ 2） 根据平行线的性质、 相似三角形的性质可得亍5 . =A左C =B,C ， 又5U, =B左E ， 则5七, - 53 =B左C ， 可, 得B2C =9弓,d2 D 匕 DL d2 C n d2 CJC CE 1

116、6设 B C = 9 x,则 CE = 6x.证明 ACDBSM E D ,可得 C D = U x ,过点 D 作 D H 1 B C T H.分别求得 BD, B H ,进而根据余弦的定义即可求解.【 详解】（ 1 ） . C O平分Z A C 8 , ； . Z A C D = N D C B = g Z A C B .3V Z A C B = 2 Z B, /. Z A C D = Z D C B = ZB. :.CD = BD = - .2DE/AC, ： . Z A C D = N E D C . ： . Z E D C = N D C B = Z B .CE C D 9:.CE=

117、DE=. ： . ACEDSKD B ,: . = .:. BC = - .C D CB 4 Q E A C ,当 = 空.由可得C E = DE,A D CE. AB BCADDE.-A-B- -B-E =-B-C- -B-E- = CE =1t.AD DE DE DE DE. AB B E曰占法 / 舍”， BC AB AC si _A C _ BC(2) ,: D E/ AC, :.ABD EsABAC /. = = :. .BE BD DE S2 DE BE. s工? C里E . S2上 又- ss- 2 s2,一； C E. 乂 . 一 1 6 % .。 后一16.设 8C = 9

118、x , 则 CE = 1 6 x .;C D 平分 N B C F ,: /ECD = /FCD = L /BC F .2 ； NBCF = 2NCBG,: /ECD = NFCD = /CBD .:. BD = CD.V D E /A C , ：.ZED C = ZFCD. ：. ZEDC = ZCBD = ZECD. ：.C E = DE,V ZDCB = ZECD. ：. ACDBACED. CD =CB* C E -C DA CD2 =CB CE = 144x2. A CD = 12x.如图，过点D 作 。3 c 于 H.V BD = CD = V2x,1 9 BH = -B C =

119、- x .2 2A cos ZCBD = 9-X o_ 2 _ 3 .BD 2x 8【 点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.42. （ 2022湖北黄冈）问题背景:一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论. 如图 ，已知人。是AABCAR的角平分线，可 证 啜 =ACAR造相似三角形来证明力ACBDCD. 小慧的证明思路是：如图2 , 过点C作片4 8 , 交4 。的延长线于点E , 构BDCDBDB: /E图2、 、Dr图1图3尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证 明 萼 =条C -* C ,- D应用拓展

120、：如图3 ,在RtZiABC中，/8A C = 90。 ，D是边8 c上一点. 连接A D ,将AACD沿4 ）所在直线折叠，点C恰好落在边A B上的E点处.若AC=1, AB = 2 ,求DE的长；若8c=m , N A E D = a ,求DE的 长 （ 用含m, a的式子表示） .【 答案】（ 1）详见解析DE=亚 ： D E = m -3 tan a + 1AR CF【 分析】（ 1）利用4 8 C E ,可证得召CQ, B |J = 由4。平分N B 4 C ,可知A L E C ,即可证得结果；（ 2）利 用（ 1）中的结论进行求解表示即可.解：AB/CE, ：. Z1BAD=ZD

121、EC,平分N8AC, A ZBAD=ZCAD,：. ZCAD=ZDEC, ：.AC=EC,： ZBDA=ZCDE, ：. .ABD ECD ,. AB CE 口 ” AB AC . AB BD* BD CD B D C Df AC CD（ 2） 由折叠可知，AD平分N8AC, CD=DE,由（ 1）得，*=招/I C C U：AC=1, AB=2, ：. BC = JAC2 + AB2 = V l2+22 = /5 ：. l = C D ,解得：CD正,1 CD：.DE=CD= 33由折叠可知/A E D =N C =a,. AB BD m -CD由可 知 : 二=八 八AC CD CD. A

122、B, tan cc -,ACm -CD, , tan a = -CDin：. CD =- - - - - - - ,即：DE = CD = -tan a + 1 tan a + 1【 点睛】本题主要考查的是相似三角形的综合运用，灵活转化比例关系是解题的关键.43. （ 2022甘肃武威）己知正方形ABC, E为对角线A C上一点.图3（ 1）【 建立模型】如图1，连接8E, D E .求证：BE=DE； 【 模型应用】如图2 ,尸是OE延长线上一点，FB工BE, E尸交AB于点G. 判 断EBG的形状并说明理由； 若G为A8的中点，且AB = 4 ,求 的长.【 模型迁移】 如图3 ,尸是DE

123、延长线上一点， 尸EF交AB于点G , BE = B F .求证:GE = （ 应【 答案】（ 1）见解析（ 2） 等腰三角形，见解析；见解析【 分析】根据正方形的性质，证明4BE=ADE（ SAS）即可.（ 2） 根 据（ 1）的证明，证明NFBG=NFG8即可. 过 点 / 作FH_L/W，垂 足 为 利 用 三 角 函 数 求 得F” ，AH的长度即可.（ 3）证明 GE = EF-FG = eB E -B F = & E-DE =（e - l）DE 即可.证明： . 四边形ABCD为正方形，AC为对角线，A AB = AD, ZBAE = ZDAE = 45.：AE=AE，/. /AB

124、E= ADE（ SAS） , BE = DE. AEBG为等腰三角形. 理由如下：四边形 A8CD为正方形，A ZG4D = 90, A ZAGD+ZADG = 90.： FBVBE, ：. NFBG+NEBG = 90,由（ 1）得 ZADG = NEBG , ：. ZAGD = ZFBG,又ZAGD = ZFGB, /. NFBG = ZFGB , ：. &FBG 为等腰三角形. 如 图1 ,过点尸作尸“ LAB，垂足为 . 四边形ABCD为正方形，点G为AB的中点，AB = 4,/. AG = BG = 2 , AD = 4.由知：.GH = BH = ,：. AH = AG+GH =

125、3.在 RNFHG 与 R t A D A G 中,? ZFGH = ZDGA, ：. t a n 2FGH = t a n NDGA ,.FH_1 * GHAD _ 4AG2,：. FH = 2.在 R t Z X A H F 中，AF=dAH? + FH =回 4=仃 .图1( 3 ) 如图 2 , ； FBLBE, :. NFBE = 9()。 .在 R t / X E B 尸中，BE = BF，: EF = 6BE.由 ( 1)得BE = DE ,由 ( 2 ) 得尸G = 8 尸，GE= EF-FG = y/2BE-BF = y/2DE-DE = y/2-D E.图3【 点睛】本题考

126、查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理和三角函数是解题的关键.4 4 . （ 2 02 2 江苏扬州）【 问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【 初步尝试】如图1，已知扇形。钻 ，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【 问题联想】如图2,已知线段MN,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；【 问题再解】如图3,已知扇形。3,请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点。为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分.（ 友情提醒：以上作图均不写作法，但需

127、保留作图痕迹）【 答案】见解析【 分析】【 初步尝试】如图1 ,作/A 0 8的角平分线所在直线即为所求；【 问题联想】如图2 ,先作MN的线段垂直平分线交MN于点0 ,再以。为圆心M0为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰宜角三角形的顶点；【 问题再解】如图3先作。8的线段垂直平分线交。8于点N ,再以N为圆心N O为半径作圆，与垂直平分线的交点为M，然后以。为圆心，0 M为半径作圆与扇形。4 3所交的圆弧即为所求.【 详解】【 初步尝试】如图所示，作N A 0 8的角平分线所在直线0 P即为所求；【 问题联想】如图，先作M N的线段垂直平分线交M N于点。 ，再以。为圆心M。为半径作圆，与

128、垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【 问题再解】如图，先作。8的线段垂直平分线交。8于点M再以N为圆心N。为半径作圆，与垂直平分线的交点为M，然后以。为圆心，0 M为半径作圆与扇形。记所交的圆弧CD即为所求.【 点睛】本题考查/ 尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法.45. （ 2022四川成都）如图，在矩形ABC。中，A D = nA B （ n l ） ,点E是AO边上一动点（ 点E不与A , D重合） ，连 接 跖 ，以BE为边在直线BE的右侧作矩形E B F G ,使得矩形EBFGs矩形A

129、BC。，EG交直线C D于点”.(1 )【 尝试初探】在点E的运动过程中，ABE与 始 终 保 持 相 似 关 系 ，请说明理由. 【 深入探究】若 = 2 ,随着E点位置的变化，”点的位置随之发生变化，当H是 线 段 中 点 时 ，求ta n 4 B E的值.( 3 )【 拓展延伸】连接3H , FH ,当8 F 4是以尸为腰的等腰三角形时，求tanZABE的值( 用含的代数式表示).【 答案】 见解析(2)上 史 或 马 亚 g或 标 二 ？2 2 2 V【 分析】( 1 )根据题意可得/A = /D = N B G = 90,可得NDEH=NABE,即可求证；( 2 )根据题意可得 AB

130、=2DH, AD=2AB, AD=4DH,设 DH=x, A E = a,则 AB=2x, A D =4x,可得 DE=4x-a,再根据BESADEH,可得x = C 1 2型或匕 二 生 ，即可求解；2 2( 3 )根据题意可得EG=cBE,然后分两种情况：当FH=BH时 ,当FH=8F=nBE时，即可求解.(1)解：根据题意得：/A=ND=N8EG=90,: . /AEB+NDEH=90, ZAEB+ZABE=90,：. NDEH=NABE, ：. AABEsADEH；(2)解：根据题意得：AB=2DH, AD=2AB,：.AD=WH,设 DH=x, A E = a,则 A8=2x, 4D

131、=4x, ：.DE=4x-a,AB AE* * ZXABEs 。 ，- - - =- - - - ,DE DH. . 二_ = g,解得： ( 2 + a 或( 2一 孙 ,4 x -a x 2 2 . A8 = ( 2 +夜 )a或( 2- 血 )a, / 4 nr- AE 2 A/2 2 + A/2 tan Z.ABE = = -J 乂 - - - - - -；AB 2 2解： 矩形E3尸G s矩形ABC。，AD = nABn), .EGnBE,如图，当FH=BH时，；NBEH=/FGH=90, BE=FG, :.RtABEH忠RtAFGH,：.EH=GH= - EG , /. EH =

132、BE ,2 2/ABE/DEH,竺 ABEHBE即。E = A 3,2 2n：. AE = AD-DE = -A B12tanZAB=7 i4如图，当FH=8F=nBE时,HG = y/F-FG2 = dn2 -FG = yJn2-BE -EH = EG-HG =: /ABESADEH,-. DE = EH =一f伞l 一；1 , R即I I 八D1rE-AB BE“ _ _ 1)AB ,_ Af /-AEAD-DE = yJrf-lAB tanZABE = = -1 ；AB综上所述，tanNABE的值为g或 庐【 点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识,熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键.