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1、第第1页页 1.1.4 4 单纯形法单纯形法计算步骤计算步骤1.将非标准型线性规划化为标准型2.确定初始基可行解：一般设松弛变量为初时基可行解3.判断：若所有的非基变量的检验数j0，则此解为LP的最优解，若存在某一非基变量的检验数 j0，则问题还没有达到最优解，需进行改进4.迭代：选换入变量maxcj- zj/ cj-zj0假设xk为换入变量；选换出变量minbi/aik，aik0，假设选取xl为换出变量；然后迭代，使得alk1，其余aik为0第第2页页单纯形表求解线性规划问题单纯形表求解线性规划问题maxZ=6x1+5x2 x1+3x290 2x1+x275 2x1+2x2 80 x1, x
2、20maxZ=6x1+5x2 x1+3x2+x390 2x1+ x2 +x4 75 2x1+2x2 +x580 xi0,i=1,.,5例例cj65000CBXBbx1x2x3x4x50x390131000x475210100x58022001第第3页页cj65000CBXBbx1x2x3x4x50x390131000x475210100x58022001cj-zj65000x1为换入变量即新的基变量。第第4页页cj65000CBXBbx1x2x3x4x50x3901310090/10x4752101075/20x5802200180/2cj-zj65000所以把x4换出基变量，作为非基变量，。
3、第第5页页cj65000CBXBbx1x2x3x4x50x3901310090/10x4752101075/20x5802200180/2cj-zj650006x175/211/201/20第第6页页cj65000CBXBbx1x2x3x4x50x3901310090/10x4752101075/20x5802200180/2cj-zj650000x3105/205/21-1/206x175/211/201/20第第7页页cj65000CBXBbx1x2x3x4x50x3901310090/10x4752101075/20x5802200180/2cj-zj650000x3105/205/21
4、-1/206x175/211/201/200x55010-11第第8页页cj65000CBXBbx1x2x3x4x50x3901310090/10x4752101075/20x5802200180/2cj-zj650000x3105/205/21-1/206x175/211/201/200x55010-11cj-zj020-30第第9页页cj65000CBXBbx1x2x3x4x50x3901310090/10x4752101075/20x5802200180/2cj-zj650000x3105/205/21-1/20216x175/211/201/20750x55010-115cj-zj02
5、0-30所以把x5换出为非基变量，x2为换入变量即新的基变量。第第10页页cj65000CBXBbx1x2x3x4x50x3901310090/10x4752101075/20x5802200180/2cj-zj650000x3105/205/21-1/20216x175/211/201/20750x55010-115cj-zj020-305x25010-11第第11页页cj65000CBXBbx1x2x3x4x50x3901310090/10x4752101075/20x5802200180/2cj-zj650000x3105/205/21-1/20216x175/211/201/20750
6、x55010-115cj-zj020-300x3400012-5/25x25010-11第第12页页cj65000CBXBbx1x2x3x4x50x3901310090/10x4752101075/20x5802200180/2cj-zj650000x3105/205/21-1/20216x175/211/201/20750x55010-115cj-zj020-300x3400012-5/26x1351001-1/25x25010-11第第13页页cj65000CBXBbx1x2x3x4x50x3901310090/10x4752101075/20x5802200180/2cj-zj65000
7、0x3105/205/21-1/20216x175/211/201/20750x55010-115cj-zj020-300x3400012-5/26x1351001-1/25x25010-11cj-zj000-1-2此时所有的检验数都小于等于0，所以该解为最优解。最优解为X（35，5，40，0，0）T，Z*235第第14页页Step 0 获得一个初始的单纯形表，确定基变量和非基变量Step 1 检查基变量在目标函数中的系数是否等于0，在约束条 中的系数是否是一个单位矩阵。Step 2 如果表中非基变量在目标函数中的系数全为负数，则已得到最优解。停止。否则选择系数为正数且值最大的变量进基，转st
8、ep 3。Step 3 如果进基变量在约束条件中的系数全为负数或0，则可行域开放，目标函数无界。停止。否则选取左边常数和正的系数的最小比值，对应的基变量离基，转step 4。Step 4 确定进基变量的列和离基变量的行交叉的元素为“主元”，对单纯形表进行行变换，使主元变为1，主元所在列的其他元素变为0。将离基的基变量的位置用进基的非基变量代替。转step 2。单纯形表的算法描述第第15页页1.maxZ=3x1+9x2 x1+3x221 -x1+x24 x1, x20maxZ=3x1+9x2 x1+3x2+x321 -x1+ x2 +x4 4 xi0举例cj3900CBXBbx1x2x3x40x
9、32113100x44-1101cj-zj3900第第16页页cj3900CBXBbx1x2x3x40x321131070x44-11014cj-zj3900所以把x4换出为非基变量，x2为换入变量即新的基变量。第第17页页cj3900CBXBbx1x2x3x40x321131070x44-11014cj-zj39009x24-11014第第18页页cj3900CBXBbx1x2x3x40x321131070x44-11014cj-zj39000x39401-39x24-1101第第19页页cj3900CBXBbx1x2x3x40x321131070x44-11014cj-zj39000x39
10、401-39x24-1101cj-zj1200-9第第20页页cj3900CBXBbx1x2x3x40x321131070x44-11014cj-zj39000x39401-39/49x24-1101-cj-zj1200-9所以把x3换出为非基变量，x1为换入变量即新的基变量。第第21页页cj3900CBXBbx1x2x3x40x321131070x44-11014cj-zj39000x39401-39/49x24-1101-cj-zj1200-93x19/4101/4-3/4第第22页页cj3900CBXBbx1x2x3x40x321131070x44-11014cj-zj39000x394
11、01-39/49x24-1101-cj-zj1200-93x19/4101/4-3/49x225/4011/41/4第第23页页cj3900CBXBbx1x2x3x40x321131070x44-11014cj-zj39000x39401-39/49x24-1101-cj-zj1200-93x19/4101/4-3/49x225/4011/41/4cj-zj00-30此时所有的检验数都小于等于0，所以该解为最优解。最优解为X（9/4，25/4，0，0）T，Z*63由于非基变量x4的检验数0，所以我们可以把它作为换入基变量来考虑。第第24页页cj3900CBXBbx1x2x3x40x321131
12、070x44-11014cj-zj39000x39401-39/49x24-1101-cj-zj1200-93x19/4101/4-3/4-9x225/4011/41/425cj-zj00-30第第25页页cj3900CBXBbx1x2x3x40x321131070x44-11014cj-zj39000x39401-39/49x24-1101-cj-zj1200-93x19/4101/4-3/4-9x225/4011/41/425cj-zj00-300x4250411第第26页页cj3900CBXBbx1x2x3x40x321131070x44-11014cj-zj39000x39401-39
13、/49x24-1101-cj-zj1200-93x19/4101/4-3/4-9x225/4011/41/425cj-zj00-303x12113100x4250411第第27页页cj3900CBXBbx1x2x3x40x321131070x44-11014cj-zj39000x39401-39/49x24-1101-cj-zj1200-93x19/4101/4-3/4-9x225/4011/41/425cj-zj00-303x12113100x4250411cj-zj00-30此时所有的检验数都小于等于0，所以该解为最优解。Z*=63第第28页页1.maxZ= x1+ x2 -2 x1+ x
14、24 x1- x22 x1, x20maxZ=x1+ x2 -2x1+x2+x34 x1- x2 +x4 2 xi0举例cj1100CBXBbx1x2x3x40x34-21100x421-101cj-zj1100第第29页页cj1100CBXBbx1x2x3x40x34-211040x421-101-cj-zj1100所以把x3换出为非基变量，x2为换入变量即新的基变量。第第30页页cj1100CBXBbx1x2x3x40x34-211040x421-101-cj-zj11001x24-2110第第31页页cj1100CBXBbx1x2x3x40x34-211040x421-101-cj-zj11001x24-21100x46-1011第第32页页cj1100CBXBbx1x2x3x40x34-211040x421-101-cj-zj11001x24-21100x46-1011cj-zj30-10第第33页页cj1100CBXBbx1x2x3x40x34-211040x421-101-cj-zj11001x24-21100x46-1011cj-zj30-10可以看出，x1的检验数为3，大于0，但是x1的系数列向量中的所有元素（-2,-1）T，都小于0，所以该题为无界解.
