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1、4.6正弦定理和余弦定理第四章三角函数、解三角形基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习定理正弦定理余弦定理内容 2Ra2；b2；c2_1.正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则知识梳理b2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C变形(1)a2Rsin A，b ，c ；(2)sin A ，sin B ，sin C ；(3)abc ；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(4)cos A ；cos B ；cos C2Rsin B2Rs
2、in Csin Asin Bsin C2.在在ABC中，已知中，已知a，b和和A时，解的情况时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式三角形常用面积公式(1)S aha(ha表示边a上的高)；(2)S absin C；(3)S r(abc)(r为三角形内切圆半径).1.三角形内角和定理在ABC中，ABC；【知识拓展】2.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；3.三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos
3、B.题组一思考辨析题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(3)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形.()(4)在ABC中， ()(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.()基础自测123456题组二教材改编题组二教材改编2.在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_ .答案解析解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB ，所以这个三角形为等腰三角形
4、或直角三角形.解析角三角形等腰三角形或直1234563.在ABC中，A60，AC4，BC2 ，则ABC的面积为 .解析答案123456题组三易错自纠题组三易错自纠4.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcos A，则ABC为A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形答案解析解析解析由已知得sin Csin Bcos A，sin(AB)sin Bcos A，sin Acos Bcos Asin B0，cos B0，B为钝角，故ABC为钝角三角形.1234565.(2018桂林质检)在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是 A.有一解 B
5、.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定解析答案123456角B不存在，即满足条件的三角形不存在.6.(2018包头模拟)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，则角C .解析答案解析解析由3sin A5sin B，得3a5b.又因为bc2a，123456题型分类深度剖析1.(2016山东)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，则A等于 解析解析在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，bc，a22b2(1cos A)，又a22b2(1sin A)，cos Asin A，tan A1，
6、解析答案题型一利用正、余弦定理解三角形自主演练自主演练2.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C等于 解析解析8b5c，由正弦定理，得8sin B5sin C.又C2B，8sin B5sin 2B，8sin B10sin Bcos B.解析答案解析答案1(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通
7、常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.思维升华思维升华典典例例 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；证证明明由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB).又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.证明题型二和三角形面积有关的问题师生共研师生共研(2)若ABC的面积S ，求角A的大小.解答(1)对于面积公式一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
8、(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.思维升华思维升华答案解析(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C ，则ABC的面积是 .解析答案解析解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.由得ab60，即ab6.命题点命题点1判断三角形的形状判断三角形的形状典例典例 (1)在ABC中， 则ABC一定是 A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.无法确定又0A，B0，sin A1，即A ，ABC为直角三角形.解析答案1.本例(2)中，若将条件变为2sin Acos Bsin C，判断ABC的形状.引申探究引申探究解解2
9、sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0.又A，B为ABC的内角.AB，ABC为等腰三角形.解答2.本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状.又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB，故ABC为等边三角形.解答命题点命题点2求解几何计算问题求解几何计算问题典例典例 (1)如图，在ABC中，B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，则AB .解析答案(2)(2018吉林三校联考)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB
10、的取值范围是 .解析答案(1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论.(2)求解几何计算问题要注意：根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.思维升华思维升华跟踪训练跟踪训练 (1)(2018安徽六校联考)在ABC中， (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析答案解析答案审题路线图二审结论会转换审题路线图审题路线图规范解答课时作业1.(2017长沙模拟)在ABC中，角A，B
11、，C所对的边分别为a，b，c.若a ，b3，A60，则边c等于 A.1 B.2 C.4 D.6基础保分练12345678910111213141516解析解析a2c2b22cbcos A，13c292c3cos 60，即c23c40，解得c4或c1(舍去).解析答案2.在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A ，a2，b ，则B等于 解析答案123456789101112131415163.(2017哈尔滨模拟)在ABC中，AB AC1，B30，ABC的面积为 ，则C等于 A.30 B.45 C.60 D.75解析答案12345678910111213141516sin A1，由
12、A(0，180)，A90，C60.故选C.解析答案123456789101112131415165.在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，sin A，sin B，sin C成等比数列，且c2a，则cos B的值为 解析解析因为sin A，sin B，sin C成等比数列，所以sin2Bsin Asin C，由正弦定理得b2ac，解析答案12345678910111213141516解析答案123456789101112131415167.(2016全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A ，cos C ，a1，则b .解析答案123456789101112
13、131415168.(2018成都模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan B ac，则角B的值为 .解析答案123456789101112131415169.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B ，C ，则ABC的面积为 .解析答案1234567891011121314151610.(2018长春质检)E，F是等腰直角三角形ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF .解析答案1234567891011121314151611.(2018珠海模拟)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtan A.(1)证明：sin B
14、cos A；证明12345678910111213141516a2Rsin A，b2Rsin B，代入abtan A得(2)若sin Csin Acos B ，且B为钝角，求A，B，C.解答1234567891011121314151612.(2017全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为(1)求sin Bsin C；解答12345678910111213141516(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长.解答12345678910111213141516由余弦定理，得b2c2bc9，技能提升练解析答案1234567891011121314151
15、614.(2018大理模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B bcos A.若a4，则ABC周长的最大值为 .答案解析123456789101112131415161215.在ABC中，若AB4，AC7，BC边的中线AD ，则BC .拓展冲刺练答案解析12345678910111213141516916.(2018贵阳质检)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2(bc)2(2 )bc，sin Asin Bcos2 ，BC边上的中线AM的长为 .(1)求角A和角B的大小；解答12345678910111213141516(2)求ABC的面积.解答12345678910111213141516解解由(1)知，ab，在ACM中，解得b2，本课结束
