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1、第三部分第三部分 专专 题题 探探 究究数学 九年级 全一册 配人教版专题三专题三 圆与相似的综合专题圆与相似的综合专题考点突破考点突破考点一：线段长度问题考点一：线段长度问题【例1】 如图3-3-1，在RtABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC,AB相交于点D,E，连接AD，已知CAD=B. （1）求证：AD是O的切线； （2）若AC=4，BD=6，求AE的长.（1 1）证明：如答图）证明：如答图3-3-1,3-3-1,连接连接OD. OB=ODOD. OB=OD，3=B. 1=B3=B. 1=B，1=3. 1=3. 在在RtACDRtACD中，中，1+2=901
2、+2=90， 4=1804=180(2+3)=90(2+3)=90. . ODAD.ADODAD.AD是是OO的切线的切线. .（2 2）解：）解：CAD=BCAD=B，C=CC=C， ACDBCA. ACDBCA. ACAC2 2=CD=CDBC=CDBC=CD(CD+BD)(CD+BD)， 即即4 42 2=CD=CD(CD+6). (CD+6). 解得解得CD=2CD=2或或CD=CD=8 8 （舍去）（舍去）. CD=2. . CD=2. AD= . AD= . 解得解得AB=4 . AB=4 . 设设OO的半径为的半径为r,r,则则OD=OE=OB=r. OD=OE=OB=r. 在在
3、RtADORtADO中，中，ADAD2 2+OD+OD2 2=OA=OA2 2, , 即即(2 )(2 )2 2+r+r2 2=(4 -r)=(4 -r)2 2. . 解得解得r= r= AE=AB-BE=4 -2AE=AB-BE=4 -2 = . = . 变式诊断变式诊断1. 如图3-3-2，已知O的半径OAOB，C是OB上的一点，AC交O于点D，E为OB延长线上一点，且EC=ED（1）求证：ED是O的切线；（2）若BCDDCE，OC=1，求O的半径（1 1）证明：如答图）证明：如答图3-3-3,3-3-3,连接连接OD.OD.OD=OAOD=OA，EC=EDEC=ED，ODA=AODA=A
4、，EDC=ECD.EDC=ECD.又又ECD=OCAECD=OCA，EDC=OCA.EDC=OCA.又又OAOBOAOB，EOA=90EOA=90. .A+OCA=EDC+ODA=EDO=90A+OCA=EDC+ODA=EDO=90. .ODED.ODED.又又ODOD为为OO的半径，的半径，EDED是是OO的切线的切线（2 2）解：设）解：设OD=x.OD=x.EOA=90EOA=90，ADB= EOA=45ADB= EOA=45. .又又BCDDCEBCDDCE， E=ADB=45 E=ADB=45. .在在RtEDORtEDO中，中，ODOD2 2+ED+ED2 2=OE=OE2 2.
5、.又又E=45E=45，ED=EC=OD=xED=EC=OD=x，OC=1,OC=1,xx2 2+x+x2 2=(x+1)=(x+1)2 2. .解得解得x=1+ x=1+ 或或x=1x=1 （负值舍去）（负值舍去）. .OO的半径为的半径为1+ 1+ 考点突破考点突破【例2】如图3-3-3，AB是C的直径，点D在AB的延长线上，E是C上的点，且DE2=DBDA，延长AE至点F，使得AE=EF，设BF=5，cosBED= （1）求证：DEBDAE； （2）求DA，DE的长.（1 1）证明：）证明：DE2=DBDE2=DBDADA， DEDB=DADE. DEDB=DADE. 又又D=DD=D，
6、DEBDAEDEBDAE （2 2）解：）解：DEBDAEDEBDAE， BED=A. BED=A. ABAB是是CC的直径，的直径， AEB=90 AEB=90. . 又又AE=EFAE=EF，AB=BF=5. cosBED=cosA= AB=BF=5. cosBED=cosA= ，BE=3BE=3，AE=4. AE=4. 解得解得DB= DB= ，ED= ED= 则则DA=AB+DB= DE= DA=AB+DB= DE= 变式诊断变式诊断2. 如图3-3-4，CD是O的切线，点C在直径AB的延长线上. （1）求证：CAD=BDC；（2）若BD=23AD，AC=3，求CD的长. （1 1）证
7、明：如答图）证明：如答图3-3-4,3-3-4,连接连接OD. OD. OB=ODOB=OD，OBD=ODB. OBD=ODB. CDCD是是OO的切线，的切线，ODOD是是OO的半径，的半径，ODB+BDC=90ODB+BDC=90. . ABAB是是OO的直径，的直径，ADB=90ADB=90. . OBD+CAD=90 OBD+CAD=90. .CAD=BDC. CAD=BDC. （2 2）解：）解：C=CC=C，CAD=CDBCAD=CDB，CDBCAD.CDBCAD. BD= ADBD= AD， 又又AC=3AC=3，CD=2. CD=2. 考点突破考点突破考点二考点二: : 定值问
8、题定值问题【例3】如图3-3-5，在RtABC中，ABBC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE （1）求证：DE是O的切线； （2）设O的半径为r，求证:r2= ADOE. 证明证明: :（1 1）如答图）如答图3-3-2,3-3-2,连接连接OD,BD. OD,BD. ABAB为为OO的直径，的直径，BDA=90BDA=90. . BDC=180BDC=1809090=90=90. . EE为为BCBC的中点，的中点， DE= BC=BE. DE= BC=BE. EBD=EDB. OD=OBEBD=EDB. OD=OB，OBD=ODB. EBD+DBO=90OBD=ODB
9、. EBD+DBO=90， EDB+ODB=90EDB+ODB=90. ODE=90. ODE=90. .DEDE是是OO的切线的切线（2 2）如答图）如答图3-3-23-3-2，连接，连接OEOE 由（由（1 1）知，）知，ODE=ADB=90ODE=ADB=90，BDACBDAC EE是是BCBC的中点，的中点，O O是是ABAB的中点，的中点， OEOE是是ABCABC的中位线的中位线. . OEAC. OEACOEAC. OEAC，1=21=2 又又1=A1=A，A=2A=2 在在ADBADB与与ODEODE中，中，ADB=ODEADB=ODE，A=2A=2， rr2 2= AD= A
10、DOE. OE. 变式诊断变式诊断3. 如图3-3-6，在ABC中，ACB=90，点E在BC上，以CE为直径的O交AB于点F，AOEF.（1）求证：AB是O的切线；（2）如图3-3-6，连接CF交AO于点G，交AE于点P，若BE=2，BF=4，求 的值. （1 1）证明：如答图）证明：如答图3-3-53-3-5，连接，连接OF. OF. OAEFOAEF，1=31=3，2=4. 2=4. OE=OFOE=OF，3=4.1=2. 3=4.1=2. 在在AOCAOC和和AOFAOF中，中，AOCAOF.AOCAOF.AFO=ACO=90AFO=ACO=90. . OFAB.ABOFAB.AB是是O
11、O的切线的切线. .（2 2）解：如答图）解：如答图3-3-63-3-6，连接，连接OF. OF. 在在RtOFBRtOFB中，中，设设OE=OF=r.OFOE=OF=r.OF2 2+BF+BF2 2=OB=OB2 2，rr2 2+4+42 2= =（r+2r+2）2 2. . 解得解得r=3. OB=5.r=3. OB=5.设设AC=AF=tAC=AF=t，则，则AB=4+t.AB=4+t.在在RtACBRtACB中，中，t t2 2+8+82 2= =（t+4t+4）2 2，解得，解得t=6t=6，即，即AC=6.AC=6.AO= AO= ACGAOCACGAOC， AG= AO= AG.
12、AG= AO= AG.OAEFOAEF，BEFBOA.BEFBOA. EFGAEFGA，PAGPEF. =2. PAGPEF. =2. 基础训练基础训练4. 如图3-3-7，AB,BF分别是O的直径和弦，弦CD与AB,BF分别相交于点E,G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF=HG（1）求证：ABCD；（2）若sinHGF= ，BF=3，求O的半径长（1 1）证明：如答图）证明：如答图3-3-73-3-7，连接，连接OF.OF.HFHF是是OO的切线，的切线，OFH=90OFH=90, ,即即1+2=901+2=90HF=HGHF=HG，1=HGF1=HGFHGF=3HGF=3，
13、3=13=1OF=OBOF=OB，B=2B=2B+3=90B+3=90BEG=90BEG=90ABCDABCD（2 2）解：如答图）解：如答图3-3-73-3-7，连接，连接AF.AF.ABAB是是OO的直径，的直径，AFB=90AFB=90, ,即即2+4=902+4=901+2=901+2=90,1=4.,1=4.HGF=1=4=AHGF=1=4=A在在RtAFBRtAFB中，中，AB=AB= AB=2. AB=2.OO的半径长为的半径长为2 25. 如图3-3-8，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AECD于点E，DA平分BDE（1）求证：AE是O的切线；（2）如果AB=4，AE=
14、2，求O的半径（1 1）证明：如答图）证明：如答图3-3-8,3-3-8,连接连接OA.OA.OA=ODOA=OD，1=21=2DADA平分平分BDEBDE，2=32=31=31=3OADEOADEOAE=4.OAE=4.AECDAECD，4=904=90OAE=90OAE=90，即，即OAAEOAAE又又点点A A在在OO上，上，AEAE是是OO的切线的切线（2 2）解：）解：BDBD是是OO的直径，的直径，BAD=90BAD=905=905=90，BAD=5BAD=5又又2=3,2=3,BADAEDBADAED BA=4BA=4，AE=2AE=2，BD=2ADBD=2AD在在RtBADRt
15、BAD中，根据勾股定理，得中，根据勾股定理，得BDBD2 2=BA=BA2 2+AD+AD2 2, ,即即BDBD2 2=BA=BA2 2+ +解得解得BD= OBD= O半径为半径为 拓展提升拓展提升6. 如图3-3-9，在ABC中，点O在边AC上，O与ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于点E，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于点M（1）求证：点M是CF的中点；（2）若E是 的中点，BC=a，求 的弧长；求 的值（1 1）证明：）证明：OO与与ABCABC的边的边BCBC，ABAB分别相切分别相切于于C C，D D两点，两点，ACB=ODB=90ACB=ODB=90. .
16、CFABCFAB，OMF=ODB=90OMF=ODB=90. .OMCFOMCF，且，且OMOM过圆心过圆心O.O.点点M M是是CFCF的中点的中点. .（2 2）解：）解：如答图如答图3-3-9,3-3-9,连接连接CDCD，DFDF，OF.OF.OO与与ABCABC的边的边BCBC，ABAB分别相切于分别相切于C C，D D两点，两点，BD=BC.BD=BC. E E是是 的中点，的中点， DCE=FCE. DCE=FCE.ABCF,A=ECF=ACD,AD=CD.ABCF,A=ECF=ACD,AD=CD.A+B=90A+B=90，ACD+BCD=90ACD+BCD=90，B=BCD.B
17、D=CD.B=BCD.BD=CD.又又BD=BCBD=BC，BD=BC=CD.BCDBD=BC=CD.BCD是等边三角形是等边三角形. .B=60B=60.A=30.A=30=ECF=ACD.=ECF=ACD.DCF=60DCF=60.DOF=120.DOF=120.BC=a.BC=a，A=30A=30, ,AB=2a,AC= a.AD=a.AB=2a,AC= a.AD=a.A=AA=A，ADO=ACB=90ADO=ACB=90，ADOACB.ADOACB.DO=DO= 的弧长的弧长= =A=30A=30，ODABODAB，AO=2DO=AO=2DO=AE=AO-OE=AE=AO-OE= =1 =1
