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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1 傅里叶级数 一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用, 是又一类重要的级数. 返回返回返回返回一、三角级数正交函数系三、收敛定理二、以 为周期的函数的傅里叶级数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、三角级数正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中在科学实验与工程技术的某些现象中, , 常会碰到一常会碰到一 种周期
2、运动种周期运动. . 最简单的周期运动最简单的周期运动, , 可用正弦函数可用正弦函数 来描述来描述. . 由由(1)(1)所表达的周期运动也称为简谐振动所表达的周期运动也称为简谐振动, , 其中其中A为振幅振幅. 为初相角初相角, 为角角频率率, 于是于是简谐 振振动y 的的周期周期是是 较为复复杂的周期运的周期运动, 则 常常是几个简谐振动常常是几个简谐振动 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由于由于简谐振振动 的周期的周期为所以函数所以函数(2)(2)周期为周期为T T. . 对无穷多个简谐振动进行叠对无穷多个简谐振动进行叠 加就得到函数项级数加就得到函数项级数 的叠加：的
3、叠加： 若级数若级数(3)收敛收敛, , 则它所描述的是更为一般的周期运则它所描述的是更为一般的周期运 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页动现象象. 对于于级数数(3), 只只须讨论 (如果如果可可 用用代代换x )的情形的情形. 由于由于 所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页它是由三角函数列它是由三角函数列( (也称为三角函数系也称为三角函数系) )所产生的一般形式的三角级数所产生的一般形式的三角级数. . 容易验证容易验证, ,若三角级数若三角级数( (4) )收敛收敛, ,则它的和一定是一则它的和一定是一 个以个以 为周期的函数为周期的函数. . 关于三
4、角级数关于三角级数( (4) )的收敛性有如下定理的收敛性有如下定理: :则级数则级数( )可写成可写成 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 15.1 若级数若级数收敛收敛, ,则级数则级数(4)(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛在整个数轴上绝对收敛且一致收敛. . 证证 对任何实数对任何实数x, ,由于由于根据优级数判别法根据优级数判别法, , 就能得到本定理的结论就能得到本定理的结论. .为进一步研究三角级数为进一步研究三角级数(4)的收敛性的收敛性, 先讨论三角函先讨论三角函 数系数系 (5) 的特性的特性. 首先容易看出三角级数系首先容易看出三角级数系(5)中所
5、中所 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其次其次, , 在三角函数系在三角函数系(5)中中, , 任何两个不相同的函数任何两个不相同的函数 有函数具有共同的周期有函数具有共同的周期 的乘积在的乘积在 上的积分等于零上的积分等于零, ,即即而而(5)中任何一个函数的平方在中任何一个函数的平方在 上的上的积分都分都返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页不等于零不等于零, , 即即 若两个函数若两个函数与与在在上可上可积, 且且 则称称 与与在在上是上是正交正交的的, 或在或在上具有上具有正正 交性交性. 由此三角函数系由此三角函数系(4)在在上具有上具有正交性正交性. 或者
6、说或者说(5)是正交函数系是正交函数系. . 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页现应用三角函数系现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数的正交性来讨论三角级数(4) 的和函数的和函数 f 与与级数数(4)的系数的系数之之间的关系的关系.定理定理15.2 若在整个数轴上若在整个数轴上 且等式右边级数一致收敛且等式右边级数一致收敛, , 则有如下关系式则有如下关系式: : 二、以 为周期的函数的傅里叶级数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证 由定理条件由定理条件, 函数函数 f 在在上上连续且可且可积. 对 (9)式逐项积分得式逐项积分得 由关系式由关系式(6)知
7、知, , 上式右边括号内的积分都等于零上式右边括号内的积分都等于零. . 所以所以 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页即即又以又以乘乘(9)式两式两边 (k为正整数正整数), 得得从第十三章从第十三章1 1 习题习题4 4知道知道, , 由级数由级数(9)一致收敛一致收敛, ,可可 得级数得级数(11)也一致收敛也一致收敛. . 于是对级数于是对级数(11)逐项求积逐项求积, , 有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由三角函数的正交性由三角函数的正交性, 右右边除了以除了以为系数的那一系数的那一 项积分项积分 外外, ,其他各项积分都等于其他各项积分都等于0,
8、,于是得出于是得出: : 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页即即同理同理, ,(9)式两边乘以式两边乘以sin kx, ,并逐项积分并逐项积分, , 可得可得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由此可知由此可知, 若若f 是以是以 为周期且在周期且在 上可上可积的的 函数函数, 则可按公式可按公式(10)计算出算出 和和, 它它们称称为函数函数 f (关于三角函数系关于三角函数系(5) ) 的的傅里叶系数傅里叶系数, ,以以 f 的傅里的傅里 叶系数为系数的三角级数叶系数为系数的三角级数(9)称为称为 f (关于三角函数关于三角函数 系系) 的的傅里叶级数傅里叶级数
9、, , 记作记作 这里记号这里记号“”表示上式右边是左边函数的傅里叶级表示上式右边是左边函数的傅里叶级 数数, , 由定理由定理15.2知道知道: : 若若(9)式右边的三角级数在整式右边的三角级数在整 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页个数轴上一致收敛于和函数个数轴上一致收敛于和函数 f , , 则此三角级数就是则此三角级数就是 f 的傅里叶级数的傅里叶级数, ,即此时即此时(12)式中的记号式中的记号“”可换为可换为 函数函数 f 出发出发, , 按公式按公式(10)求出其傅里叶系数并得到求出其傅里叶系数并得到 傅里叶级数傅里叶级数(12) , , 这时还需讨论此级数是否收敛
10、这时还需讨论此级数是否收敛. .如果收敛如果收敛, , 是否收敛于是否收敛于 f 本身本身. . 这就是下一段所要这就是下一段所要 叙述的内容叙述的内容. . 等号等号. 然而然而, 若从以若从以 为周期且在周期且在上可上可积的的 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页函数函数 f 在在 上按段光滑上按段光滑, 则在每一点在每一点f 的傅里叶级数的傅里叶级数(12)收敛于收敛于f 在点在点x 的左、右极限的的左、右极限的 算术平均值算术平均值, , 即即 其中其中为f 的傅里叶系数的傅里叶系数. 定理的证明将在定理的证明将在3中进行中进行. . 定理定理15.315.3( (傅里叶级
11、数收敛定理傅里叶级数收敛定理) ) 若以若以 为周期的为周期的 三、收敛定理返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数, ,但它对但它对 函数的要求却比幂级数要低得多函数的要求却比幂级数要低得多, , 所以应用更广所以应用更广. . 而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉. . 概念解释概念解释1. 若若f 的的导函数在函数在 上上连续, 则称称f在在a, b上上光光滑滑. . 2. 如果定如果定义在在 上函数上函数f 至多有有限个第一至多有有限个第一类间 断点断点, ,其导函
12、数在其导函数在 a, b 上除了至多有限个点外都存上除了至多有限个点外都存 在且在且连续, 并且在并且在这有限个点上有限个点上导函数函数 的左、右的左、右 极限存在极限存在, 则称称 f 在在 上上按段光滑按段光滑. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在a, b上按段光滑的函数上按段光滑的函数 f , ,有如下重要性质有如下重要性质: : (i) f 在在 上可上可积.(ii) 在在 上每一点都存在上每一点都存在 , 如果在不如果在不连续 点点补充定充定义 , 或或 , 则 还有还有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(iii) 在在补充定充定义在在上那些至多有限
13、个不存在上那些至多有限个不存在 导数的点上的数的点上的值后后 ( 仍仍记为 ), 在在a, b上可上可积. 从几何图形上讲从几何图形上讲, , 在在 区间区间a, b上按段光滑上按段光滑 光滑函数光滑函数, ,是由有限个是由有限个 多有有限个第一类间多有有限个第一类间 断点断点 (图图15-1). . 光滑弧段所组成光滑弧段所组成, ,它至它至 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页收收敛定理指出定理指出, f 的傅里叶的傅里叶级数在点数在点 x 处收收敛于于 在在该点的左、右极限的算点的左、右极限的算术平均平均值而当而当 f 在点在点 x 连续时连续时, ,则有则有即此即此时f的傅
14、里叶的傅里叶级数收数收敛于于 . 这样便有便有 上按段光滑上按段光滑, 则 f 的傅里叶的傅里叶级数在数在 上收上收敛 于于 f . . 推推论 若若 f 是以是以 为周期的周期的连续函数函数, 且在且在 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以系数公式系数公式(10)中的中的积分区分区间 可以改可以改为长 其中其中 c 为任何实数为任何实数. .注注2 在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时在具体讨论函数的傅里叶级数展开式时, , 经常经常 只只给出函数在出函数在 (或或 )上的解析式上的解析式, 但但读 注注1 根据收敛定理的假设根据收敛定理的假设, ,f 是以是以 为周期的函
15、数为周期的函数, , 度度为 的任何区的任何区间, 而不影响而不影响 , 的的值: 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页者者应理解理解为它是定它是定义在整个数在整个数轴上以上以 为周期的函周期的函 数数, 即在即在 以外的部分按函数在以外的部分按函数在 上的上的对 应关系做应关系做周期延拓周期延拓. . 也就是说函数本身不一定是定也就是说函数本身不一定是定 义在整个数轴上的周期函数义在整个数轴上的周期函数, , 但我们认为它是周期但我们认为它是周期 函数函数. 如如 f 为 上的解析表达式上的解析表达式, 那么周期延拓那么周期延拓 后的函数为后的函数为 返回返回返回返回后页后页后页
16、后页前页前页前页前页如图如图15-2所示所示. . 因此当笼统地说函数的傅里叶级数因此当笼统地说函数的傅里叶级数 时就是指函数就是指函数 的傅里叶的傅里叶级数数. 例例 1 设 求求 f 傅里叶级数展傅里叶级数展 开式开式. .返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 函数函数 f 及其周期延拓后的图像如图及其周期延拓后的图像如图15-3 所示所示, , 显然显然 f 是按段光滑的是按段光滑的. . 故由傅里叶级数收敛定理故由傅里叶级数收敛定理, , 它可以展开成傅里叶级它可以展开成傅里叶级 数数. . 由于由于 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页当当n1时时, ,
17、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以在开区所以在开区间 上上在在时, 上式右上式右边收收敛于于 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是, 在在 上上 f 的傅里叶的傅里叶级数的数的图象如象如图15-4 所示所示( 注意它与图注意它与图15-3 的差别的差别 ).).例例2 将下列函数展开成傅里叶级数将下列函数展开成傅里叶级数: : 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 f 及其周期延拓的及其周期延拓的 图形如图图形如图15-5 所示所示. . 显然显然 f 是按段光滑的是按段光滑的, , 因此可以展开成傅里因此可以展开成傅里 叶级数叶级数. .
18、 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在( )中令中令 , 在在 上上计算傅里叶系数如下算傅里叶系数如下: 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以当所以当 时, 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页当当时, 由于由于所以所以因此因此当当或或 时, 由于由于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由由( (14) )或或( (15) )都可推得都可推得注注 上式提供了一个上式提供了一个计算算 的方法的方法. 还可以找出其他可以找出其他 展开式来展开式来计
19、算算 , 关关键是收是收敛速度要快速度要快. 例例3 在电子技术中经常用到矩形波在电子技术中经常用到矩形波( (如图如图15-6所示所示), ), 反映的是一种复杂的周期运动反映的是一种复杂的周期运动, , 用傅里叶级数展开用傅里叶级数展开 后后, , 就可以将复杂的矩形波看成一系列不同频率的就可以将复杂的矩形波看成一系列不同频率的 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页简谐振动的叠加简谐振动的叠加, , 在电工学中称为谐波分析在电工学中称为谐波分析. . 设是周期是周期为的矩形波函数的矩形波函数( 图15-6 ), 在在上的表达式上的表达式为求该矩形波函数的傅里叶展开式求该矩形波函数的傅里叶展开式. .解解 由于由于是奇函数是奇函数, 积分区分区间是是对称区称区间 , 所以所以 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是当于是当时, 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页当当时, 级数收敛到级数收敛到 0( ( 实际上级数每一项都为实际上级数每一项都为 0 ). ). 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题 设函数函数 f 在在上可上可积, 并且并且, 这样 的函数能否求出其傅里叶级数的函数能否求出其傅里叶级数? ?
