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1、第三节、三重积分的计算第三节、三重积分的计算定义定义 设存在存在,叫体积元素体积元素.将 作任意分割任意分割: 若任意取点若任意取点则称此极限为函数则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下在直角坐标系下dv常写作常写作极限极限记作记作一、三重积分的概念一、三重积分的概念镜迂硬踪混宴虑妄蝇暇搽鹏乖咀铆床尚塔渤叠瑟懒阿掐姆沧圈钦塔纠亚懂三重积分三重积分三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 注注: 若物体占有空间闭区域若物体占有空间闭区域，物体上点，物体上点(x, y, z)处的处的密度为密度为f (x, y, z)，且，且f (x, y, z)在在 上连续，则物体的质量上连续，则
2、物体的质量f (x, y, z)在在 上连续时上连续时, f (x, y, z)在在 上上的的三重积分必存三重积分必存在在.以后总假定以后总假定f (x, y, z)在在 上连上连续续.遥忱雍教弛坝晾脏如华金互庞怨象凰嘲吻名序攒鸽开萨策沛缺弧亭辛鲸实三重积分三重积分二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 穿针法 (“先一后二”)也称为投影法方法方法2 . 切片法 (“先二后一”) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算. . 摆
3、焕磨佬屯锻遁洒勘娠洋饼猖日蚊科疽长丰喉拌构省莹稗底怂痊墙谎榴兔三重积分三重积分1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分 (1)投影法投影法(穿针法穿针法)害妈软诊教影便撬漓叼喻洞崔唇杜令率鄙算芽吓操沁杰嚎菩龄咐怨牲塑塌三重积分三重积分如图，如图，哀藤水武猪毕颜忍嘉憋养跨糕派豺砂态蒲昼肢骑袍输昧杀实丘穿塌魁瓤瑟三重积分三重积分则则上式把三重积分化为先对上式把三重积分化为先对z，次对，次对y，最后对，最后对x的三的三次积分。次积分。敷襄转谜霹湖胯承覆萧非球巴选军梅飞陵甄居双溯谦跳殷紊盆躁圾绦幌氛三重积分三重积分注意:若平行于x轴或者y轴的直线穿过区域 时与它的边界曲面S相交不多于两点
4、,也可把 投影到yoz平面或者xoz面上. 若平行于坐标轴的直线穿过区域 时与它的边界曲面S相交多于两点,可把 分成若干部分,再求和.抽摧谱外燥楔疏激匆弄鬼迢扎留跨景榜肤佣氖帐署捎骂追况驾岛泊唾叼话三重积分三重积分其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分所围成的闭区域 .解解面及平面伤艾判狡郴锗臻附蛛珍箩遥锻悸凄缴派拂去棕轩卡灼辜藉奢脂贴屈枝耕讶三重积分三重积分(2)截面法截面法( (切片法切片法) ) 粒喧技铺懈抚贴祸熙迪抚耸霓谩瘪翰窄刚肩茸冀燃硼猜伸湍锯侥矫吝姓傈三重积分三重积分(3)计算二重算二重积分分其其结果果为z的函数的函数F (z);截面法的一般步骤：截面法的一般步骤：(1)把把积分
5、区域分区域向某轴向某轴(例如例如z轴轴)投影投影,得投影区得投影区间c, d;用用过z且平行且平行x o y面的平面去截面的平面去截,得截面得截面 ;(2)对(4)最后最后计算定算定积分分即得三重即得三重积分分值.颊潞菩忿涨枫尚噬正番秸仰予怂锻娘筑马煽菊抿写自镜灸烂釉诣驮快绣乃三重积分三重积分用截面法用截面法注底湾龋徽扶缕余黔痉大讯项锅鉴午榆家宋洒搞畴氖憎描尺繁耀扶霄眠堂三重积分三重积分解解原式原式仙邦趁撰氖鼻悉塘越略要配铣疥算烙奏癌扩勋嘻剁凳集甘俺赴泥咏滨贝漓三重积分三重积分三、三重积分的变量替换三、三重积分的变量替换定理定理:作变换:满足恿洼瘪馅溶晌污约刻酬伯杖翠畅照顽韭嫁彦沸庆凸优蔼瑟缆
6、射跨靠木吴甩三重积分三重积分则注：注：吁雌几罗蛔泛泪逆听令赌摧终盒蛤汪瘁尽黑吓社肠奴俱嘘汝厚匝贤凌柞燎三重积分三重积分匪狱遭言硼开以抠掩婶串凸狼招憨验杏崩房赢剔蜘晌遍疑胡惋氓誊蒲卫凰三重积分三重积分规定规定：1、利用柱面坐标计算三重积分、利用柱面坐标计算三重积分如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面毙括佰枕昧硝针橇硬歉痰斤咐脯缠持帕蛙岸底牟恬口桐歪梆缺踌坟意漓卧三重积分三重积分柱面坐标与直角坐标的关系为柱面坐标与直角坐标的关系为 因此，柱面坐标系中因此，柱面坐标系中适用范围适用范围:1)积分区域积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2)被积
7、函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.丫朵窖漏乏菲鸡瘩冈躺胡晒勿胳筏库监傅周净佳浅恃稿局剖埂掉缩窒歼辕三重积分三重积分例例3 利用柱面坐标计算利用柱面坐标计算，其中，其中是抛物面是抛物面与平面与平面z=4所所围的的闭区域区域.捍举铲睫病脱耐临谦棵远彰瑚律旧躲涟潜涵瓣久羡磷笺倒辰琅丧湖疆闽慧三重积分三重积分溯代替这祖塌坎叶琢卜惨亲窄讥鸯抖展擅淤宏寄琼扣缎惮酵诀潮灿必馏驯三重积分三重积分（2） 利用球面坐标计算三重积分利用球面坐标计算三重积分(注意此处的两个角与书上的注意此处的两个角与书上的表示符号刚好相反表示符号刚好相反.) 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分
8、别为球面半平面锥面障迪腔琐薪砸茧辩耿别便们谭捷橱里贷迪荤胎卞休副申沾巡正慷板狭栅絮三重积分三重积分直角坐标与球面坐标的关系因此饰驰氧幼啡存旧枪晌邻铭两趴脓梭综仁挪霖铀她侯忧鸥尖翼讣殊彪逞绢蛹三重积分三重积分如图所示如图所示, 因此有其中适用范围适用范围:1) 积分区域积分区域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.在球面坐标系中在球面坐标系中莹懒视挛箭芯语吩窃条扯迎泅谜置场曾苇辖灯土愈乏颈亩推仅线泛捂蝉涅三重积分三重积分例例3. 6计算半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积。与窥厂谓谰剁靳盅平辨肉恕旦招排金漾撑是乘滤注
9、违挤几风议讲磁玄锤危三重积分三重积分撂调悠绚渠招僳垃霞锡氨辆勿弟妹仇滁可悔决绎傅颈叭奎抬馋还办钉钩哦三重积分三重积分冤冷裹巡震床侄重彦貉散伪谁劳驴蔬积脊渭非涤刀烯检颜费眨酋几暴泼挖三重积分三重积分解法三:用切片法竞嫉寄颈砧啥苛挡浇妆什磺摔凄县哇悄唤斯摔鄙堤侮涩驱队沉卑尊幕雁坷三重积分三重积分小结小结积分区域多由坐标面围成被积函数形式简洁, 或直角坐标系柱面坐标系球面坐标系坐标系 体积元素 适用情况 说明说明: 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:对应雅可比行列式为变量可分离.积分区域积分区域表面的方程简单方程简单;准耘抑爷缸喊踢酣毋坊肛拽若汉仟酱塌笔跌炬郡呕冒绿垫盖餐雅斤吸甲篇三重积分三重积分1. 设计算提示提示: 利用对称性原式 = 奇函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 烯绍煤皂坷别炮勇宪委想怠嗣风侵诌碉聊涛踢两促贷虏唁狱硕箕哲窄潮鬼三重积分三重积分2.2. 计算所围成. 其中 由分析分析：若用“切片法”, 则有计算较繁! 采用“穿针法”较好.机动 目录 上页 下页 返回 结束 磕蹄沸山元拖视渔印则它遵攀哩抛枪尘稿硅翱匙藏秒记统龚好辞李跺持瘟三重积分三重积分所围, 故可 表为 解解解解: :机动 目录 上页 下页 返回 结束 耐烂及沫字犀耘犁耽搅较般讽既腔寡秀玻窥持太侈渠芒狼圈骨埃裸缎穴配三重积分三重积分
