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1、变步长的龙格库塔法公式当要求的数值精度为当要求的数值精度为时：时： （1 1）如如果果，反反复复将将步步长长折折半半进进行行计计算算，直直至至为止为止, ,并取其最后一次步长的计算结果作为并取其最后一次步长的计算结果作为 （2 2）如如果果为止，并以上一次步长的计算结果作为为止，并以上一次步长的计算结果作为 。 这这种种通通过过步步长长加加倍倍或或折折半半来来处处理理步步长长的的方方法法称称为为变变步步长长法法。表表面面上上看看，为为了了选选择择步步长长，每每一一步步都都要要反反复复判判断断，增增加加了了计计算算工工作作量量，但但在在方方程程的的解解y(x)y(x)变变化化剧剧烈烈的的情情况况
2、下下，总总的的计计算算工工作作量量得得到到减减少少，结果还是合算的。结果还是合算的。其中其中 i ( i = 1, , m )， i ( i = 2, , m ) 和和 ij ( i = 2, , m; j = 1, , i 1 ) 均为待定系数，确均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。定这些系数的步骤与前面相似。 2 Runge-Kutta Method).,(.),(),(),(.1122112321313312122122111 + + + + + + += =+ + + += =+ + += = =+ + + + += =mm mmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxf
3、KhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyy 高阶高阶RungeKutta Method Gill公式：公式：4阶经典龙格阶经典龙格-库塔公式的一种改进库塔公式的一种改进2 Runge-Kutta Method 最常用为四级最常用为四级4阶阶经典龙格经典龙格-库塔法库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：2 Runge-Kutta Method注：注： 龙格龙格-库塔法库塔法的主要运算在于计算的主要运算在于计算 Ki 的值，即计算的值，即计算 f 的的值。值。Butcher 于于1965年给出了计算量与可达到的最高精年给出了计算量与可达到的最高
4、精度阶数的关系：度阶数的关系：753可达到的最高精度可达到的最高精度642每步须算每步须算Ki 的个数的个数 由于龙格由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用采用低阶算法低阶算法而将步长而将步长h 取小取小。2 Runge-Kutta Method 变步长的变步长的RungeKutta MethodQ: 由局部截断误差可以看出，步长由局部截断误差可以看出，步长 h 越小，局部截断越小，局部截断误差越小；但步长减小，在一定求解范围（区间）内误差越小；但步长减小，在一定求解范围（区间）内要完成的步数就增加了，步数增加会引起计算量增大，要完成的步数就增加了，步数增加会引起计算量增大，导致舍入误差积累。因此要选取适当的步长。导致舍入误差积累。因此要选取适当的步长。选择步长时要考虑两个问题：选择步长时要考虑两个问题： 1.如何衡量和检验计算结果的精度？如何衡量和检验计算结果的精度？ 2.如何根据所获得的精度处理步长？如何根据所获得的精度处理步长？HW: p.201 #6-8
