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1、 在一个变化过程中在一个变化过程中, ,如果有两如果有两个变量个变量x x与与y, y, 并且对于并且对于x x的每一个确定的每一个确定的值的值,y,y都有唯一确定的值与其对应都有唯一确定的值与其对应, ,那那么就说么就说y y是是x x的函数的函数, x, x是是自变量自变量. .函函数数一次函数一次函数反比例函数反比例函数y=kx+b (k0)y=kx+b (k0)( (正比例函数正比例函数) ) y=kx y=kx (k0)y= (k0)y= (k0)k kx x函数函数: : 正方体正方体六个面是全等的正方形六个面是全等的正方形, ,设正方形棱长为设正方形棱长为 x, x,表表面积为面
2、积为 y , y ,则则 y y 关于关于x x 的关系式为的关系式为. .问题问题1:1:y=6xy=6x2 2 多边形的对角线数多边形的对角线数 d d 与边数与边数 n n 有什么关有什么关系？系？ n n边形有个顶点边形有个顶点, ,从从一个顶点出发一个顶点出发, ,连接与这点不连接与这点不相邻的各顶点相邻的各顶点, ,可作条可作条对角线对角线. .因此因此,n,n边形的对角线边形的对角线总数总数 d = d =. .n n(n(n3)3)问题问题2:2:n(nn(n3)3)1 12 2即：d= 某工厂一种产品现在的年产量是某工厂一种产品现在的年产量是2020件件, ,计划今计划今后两
3、年增加产量后两年增加产量. .如果每年都比上一年的产量增加如果每年都比上一年的产量增加x x倍倍, ,那么两年后这种产品的产量那么两年后这种产品的产量y y将随计划所定的将随计划所定的x x的值而的值而确定确定, y, y与与x x之间的关系怎样表示之间的关系怎样表示? ? 问题问题3 :3 : 这种产品的原产量是这种产品的原产量是2020件件, ,一年后的产量一年后的产量是是 件件, ,再经过一年后的产量再经过一年后的产量是是 件件, ,即两年后的产量为即两年后的产量为: : . .y=20(1+x)y=20(1+x)2 220(1+x)20(1+x)2 220(1+x)20(1+x)y=2
4、0xy=20x2 2+40x+20+40x+20即即: :y y=6=6x x2 2d d= = n n2 2- - n n1 12 23 32 2y y=20=20x x2 2+40+40x x+20+20自变量函数函数解析式y yy yd dx xx xn n 认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数这些函数有什么共同点？这些函数自变量的最高次项都是二次的！二次函数的定义：二次函数的定义： 注意：注意：1 1、其中，、其中，x x是自变量，是自变量，a ax x2 2是二次项，是二次项，a a是是二次项系数二次项系数 b bx x是一次项，是一次项，b b是一次项
5、系数是一次项系数 c c是常数项。是常数项。 一般地，形如一般地，形如 y=y=a ax x2 2+ +b bx+x+c c（a,b,ca,b,c是常数是常数 a a 0 0）的函数，叫做二次函数。的函数，叫做二次函数。 2 2、函数的右边最高次数为、函数的右边最高次数为2 2, ,可以没有一次项和常数项可以没有一次项和常数项, ,但不能没有二次项但不能没有二次项. .y y=6=6x x2 2d d= = n n2 2- - n ny y=20=20x x2 2+40+40x x+20+20二次函数的一般形式二次函数的一般形式: :二次函数的特殊形式：二次函数的特殊形式：当当b b0 0时，
6、时， y yaxax2 2c c当当c c0 0时，时， y yaxax2 2bxbx当当b b0 0，c c0 0时，时， y yaxax2 2y=axy=ax2 2+bx+c (a+bx+c (a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)(2)它是一次函数？它是一次函数？(3)它是正比例函数？它是正比例函数？(1)它是二次函数它是二次函数?二次函数二次函数函函数数一次函数一次函数反比例函数反比例函数y=kx+b (k0)y=kx+b (k0)( (正比例函数正比例函数) ) y=kx y=kx (k0)(k0)y= (k0)y= (k0)k kx x函数的类型函数的类型: :y=ax+b
7、x+c(a 0)例例1 1、判断：下列函数是否为二次函数，、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数如果是，指出其中常数a.b.ca.b.c的值的值. .(1) y(1) y1- (2)y1- (2)yx(xx(x5) 5) (3)y(3)y x x2 2 x x1 1 (4) y(4) y3x(23x(2x)x) 3x 3x2 2 (5)y(5)y (6) y (6) y(7)y(7)y x x4 42x2x2 21 (8)y1 (8)yaxax2 2bxbxc c下列函数中下列函数中, ,哪些是二次函数？哪些是二次函数？ (1)(1) y=3(x-1)y=3(x-1)+1+1 (
8、3) s=3-2t (3) s=3-2t (5)y=(x+3) (5)y=(x+3)-x-x (6)v=10r (6)v=10r（是）（是）（否）（否）（是）（是）（否）（否）（否）（否）（是）（是）(7) y=x(7) y=x+x+x+25+25(8)y=2(8)y=2+2x+2x（否）（否）（否）（否）(2)(2)巩固新知巩固新知做题总结：做题总结：先化简后判断先化简后判断26.1二次函数y=ax2 的图象和性质xyxy=x2y= - x2.0-2-1.5-1-0.511.50.52 函数图象画法函数图象画法列表列表描点描点连线连线00.2512.2540.2512.254 描点法描点法描
9、点法描点法用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺次连结自左向右顺次连结用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要自左向右顺
10、次连结自左向右顺次连结0-0.25-1-2.25-4-0.25-1-2.25-4注意：列表时自变量注意：列表时自变量取值要均匀和对称。取值要均匀和对称。下面是两个同学画的下面是两个同学画的 y=0.5x2 和和 y=-0.5x2的图象的图象,你认为他们的作你认为他们的作图正确吗图正确吗?为什么为什么?画出下列函数的图象。画出下列函数的图象。xy=2x2.0-2-1.5-1-0.511.50.52xy=x2.0-4-3-2-123 1400.524.580.524.58列表参考00.524.580.524.58xy=2x2.0-3-1.5 -11.51-22301.5-61.5-6二次函数二次函
11、数y=ax2的图象形如物体抛射时的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做所经过的路线，我们把它叫做抛物线抛物线。这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。 对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。1
12、、观察右图，、观察右图，并完成填空。并完成填空。抛物线抛物线y=x2y=-x2顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性极值极值（0，0）（0，0）y轴轴y轴轴在在x轴的上方（除顶点外）轴的上方（除顶点外）在在x轴的下方（除顶点外）轴的下方（除顶点外）向上向上向下向下当当x=0时，最小值为时，最小值为0。当当x=0时，最大值为时，最大值为0。二次函数二次函数y=ax2的性质的性质、顶点坐标与对称轴、顶点坐标与对称轴、位置与开口方向、位置与开口方向、增减性与极值、增减性与极值2 2、练习、练习2 23 3、想一想、想一想 在同一坐标系内，抛物线在同一坐标系内，抛物线y=x2
13、与抛物线与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内如果在同一坐标系内 画函数画函数y=ax2与与y= -ax2的图象，怎样画才简便？的图象，怎样画才简便？ 4 4、练习、练习4 4动画演示动画演示 在同一坐标系内，抛物线在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内如果在同一坐标系内 画函数画函数y=ax2与与y= -ax2的图象，怎样画才简便？的图象，怎样画才简便？ 答：抛物线抛物线答：抛物线抛物线y=x2与抛物线与抛物线 y= -x2 既关于既关于x轴对轴对称，又关于原点对称。只要画出
14、称，又关于原点对称。只要画出y=ax2与与y= -ax2中的中的一条抛物线，另一条可利用关于一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称或关于原点轴对称或关于原点 对称来画。对称来画。当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而减小。减小。 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的右侧，右侧，y随着随着x的增大而的增大而增大。增大。 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而增大。增大。 当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且 向上无限伸展；向上无限伸展；
15、 当当a0时，在对称轴的左侧，时，在对称轴的左侧，y随着随着x的增大而减小；的增大而减小；在对称轴右侧，在对称轴右侧，y随着随着x的增大而增大。当的增大而增大。当x=0时函数时函数y的值最小。的值最小。当当a0时，在对称轴的左侧，时，在对称轴的左侧，y随着随着x的增大而增大；的增大而增大；在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随着随着x增大而减小，当增大而减小，当x=0时，函数时，函数y的值最大。的值最大。二次函数y=ax2的性质例例2. y=(m+3)x 2. y=(m+3)x (1) m(1) m取什么值时取什么值时, ,此函数是正比例函数此函数是正比例函数? ? (2) m(2) m取什么值
16、时取什么值时, ,此函数是反比例函数此函数是反比例函数? ? (3) m(3) m取什么值时取什么值时, ,此函数是二次函数此函数是二次函数? ?m m2 27 7看谁算得快看谁算得快!1.函数函数 是二次函数，求是二次函数，求m的值。的值。2.函数函数 是二次函数，是二次函数， 求求m的值的值练习练习: :1.1.一个圆柱的高等于底面半径一个圆柱的高等于底面半径, ,写出它的表面积写出它的表面积 s s 与半径与半径 r r 之间的关系式之间的关系式. . 2. n2. n支球队参加比赛支球队参加比赛, ,每两队之间进行一场比赛每两队之间进行一场比赛, ,写出比赛的场次数写出比赛的场次数 m
17、 m与球队数与球队数 n n 之间的关系式之间的关系式. .例例3 3、用总长为、用总长为60m60m的篱笆围成矩形场地，场地的篱笆围成矩形场地，场地 面积面积S(mS(m) )与矩形一边长与矩形一边长a(m)a(m)之间的关系是什之间的关系是什 么？是函数关系吗？是哪一种函数？么？是函数关系吗？是哪一种函数？a3.3.函数函数 y=(m y=(mn)xn)x2 2+ mx+n + mx+n 是二次函数的条件是是二次函数的条件是( ( ) ) (A)(A)m,nm,n是常数是常数, ,且且m0 m0 (B)(B) m,n m,n是常数是常数, ,且且n0 n0 (C)(C) m,n m,n是常
18、数是常数, ,且且mn mn (D)(D) m,n m,n为任何实数为任何实数4. 4. 圆的半径是圆的半径是1cm,1cm,假设半径增加假设半径增加xcmxcm时时, ,圆的面积增加圆的面积增加ycmycm. (1). (1)写出写出y y与与x x之间的函数关系表达式；之间的函数关系表达式； (2)(2)当圆的半径增加当圆的半径增加1cm1cm时时, ,圆的面积增加多少圆的面积增加多少? ?P14 1、2、P14 7、8小结小结 拓展拓展 1.1.定义：一般地定义：一般地, ,形如形如y=axy=ax +bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的函数叫做的函数
19、叫做x x的的二次函数二次函数. .其中其中, ,是是x x自变量自变量,a,b,c,a,b,c分别分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. .y=axy=ax +bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种形式的几种形式: :(1)y=ax(1)y=ax (2)y=ax(2)y=ax +c+c(3)y=ax(3)y=ax +bx+bx 2.2.定义的实质是：定义的实质是：axax +bx+c+bx+c是整式是整式, ,自变量自变量x x的最高次数的最高次数是二次是二次, ,自变量自变量x x的取值范围是全体
20、实数的取值范围是全体实数. . 在一个变化过程中在一个变化过程中, ,如果有两个变量如果有两个变量x x与与y,y,并且对于并且对于x x的每一个确定的值的每一个确定的值,y,y都有唯一确定的都有唯一确定的值与其对应值与其对应, ,那么就说那么就说y y是是x x的函数的函数, x, x是自变量是自变量. .二次函数二次函数函函数数一次函数一次函数反比例函数反比例函数y=kx+b (k0)y=kx+b (k0)( (正比例函数正比例函数) ) y=kx y=kx (k0)(k0)y= (k0)y= (k0)k kx x函数函数: :函数及函数的类型函数及函数的类型: :y=ax+bx+c(a
21、0)例例4.4.某果园有某果园有100100棵橙子树，每一棵树平均结棵橙子树，每一棵树平均结600600个橙子个橙子. .现准备多种一些橙子树以提高产量现准备多种一些橙子树以提高产量, ,但是如果多种树但是如果多种树, ,那那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. .根根据经验估计据经验估计, ,每多种一棵树每多种一棵树, ,平均每棵树就会少结平均每棵树就会少结5 5个橙个橙子子. .(1)(1)问题中有那些变量问题中有那些变量? ?(2)(2)假设果园增种假设果园增种x x棵橙子树棵橙子树, ,那么果园共有多少棵橙子那么果园共有多少棵橙子
22、树树? ?这时平均每棵树结多少个橙子这时平均每棵树结多少个橙子? ?(3)(3)如果果园橙子的总产量为如果果园橙子的总产量为y y个个, ,那么请你写出那么请你写出y y与与x x之之 间的关系式间的关系式. .果园共有果园共有(100+x)(100+x)棵树棵树, ,平均每棵树结平均每棵树结(600(6005x)5x)个橙子个橙子y=(100+x)(600y=(100+x)(6005x)=5x)=5x5x+100x+60000+100x+60000 1、将进货单价为、将进货单价为40元的商品按元的商品按50元卖出时元卖出时,就就能卖出能卖出500个个,已知这种商品每涨已知这种商品每涨1元元,
23、其销售量其销售量就会减少就会减少10个个,设售价定为设售价定为X元元(x50)时的利时的利润为润为Y元。试求出元。试求出Y与与X的函数关系式，并按的函数关系式，并按所求的函数关系式计算出售定价为所求的函数关系式计算出售定价为80元时所元时所得利润得利润、二次函数 ， 当x=0时，y=-2；当y=-2时，x=0，求y=2时，x的值。 课后巩固课后巩固如果函数如果函数y= +kx+1是二次函数是二次函数,则则k的值一定是的值一定是_如果函数如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数是二次函数,则则k的值一定是的值一定是_ 00或或3如果函数如果函数y=(k-3) +kx+1 (x0)是一次是一次 函数函数,则则k的值一定是的值一定是_3或或1或或2拓展与提高拓展与提高
