《用向量解立体几何综合题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用向量解立体几何综合题（72页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三讲 用空间向量的方法解立体几何问题一、主干知一、主干知识空空间直直线、平面、平面间的平行、垂直的向量表示：的平行、垂直的向量表示：设直直线l,m,m的方向向量分的方向向量分别为a=(a=(a1 1,b,b1 1,c,c1 1),),b=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2) )平面平面,的法向量分的法向量分别为 =(a=(a3 3,b,b3 3,c,c3 3), =(a), =(a4 4,b,b4 4,c,c4 4) )(1)(1)线线平行：平行：lmmaba=k=kb_(2)(2)线线垂直：垂直：lmmabab=_=_(3)(3)线面平行：面平行：la a =_ =_a a1 1
2、=ka=ka2 2,b,b1 1=kb=kb2 2,c,c1 1=kc=kc2 20 0a a1 1a a2 2+b+b1 1b b2 2+c+c1 1c c2 2=0=00 0a a1 1a a3 3+b+b1 1b b3 3+c+c1 1c c3 3=0=0(4)(4)线面垂直：面垂直：la a=k =k _(5)(5)面面平行：面面平行： =k =k _(6)(6)面面垂直：面面垂直： =_ =_a a1 1=ka=ka3 3,b,b1 1=kb=kb3 3,c,c1 1=kc=kc3 3a a3 3=ka=ka4 4,b,b3 3=kb=kb4 4,c,c3 3=kc=kc4 40 0
3、a a3 3a a4 4+b+b3 3b b4 4+c+c3 3c c4 4=0=0二、必记公式二、必记公式1 1异面直线所成的角：异面直线所成的角：设设a, ,b分别为异面直线分别为异面直线a,ba,b的方向向量，则两异面直线所成的的方向向量，则两异面直线所成的角满足角满足coscos =_ =_2 2线面角：线面角：设设l是斜线是斜线l的方向向量，的方向向量，n是平面是平面的法向量，则斜线的法向量，则斜线l与平面与平面所成的角满足所成的角满足sin =_sin =_3 3二面角：二面角：(1)(1)如如图,AB,CD,AB,CD是二面角是二面角-l-的两个半平面内与棱的两个半平面内与棱l垂
4、直垂直的直的直线, ,则二面角的大小二面角的大小=_=_(2)(2)如如图, ,n1 1, ,n2 2分分别是二面角是二面角-l-的两个半平面的两个半平面,的的法向量法向量, ,则二面角的大小二面角的大小满足足coscos=_=_- -coscos 或或coscos 1 1(2013(2013金金华模模拟) )已知正三棱柱已知正三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1的的侧棱棱长与底与底面面边长相等相等, ,则ABAB1 1与与侧面面ACCACC1 1A A1 1所成角的正弦所成角的正弦值等于等于 ( () )【解析解析】选选A A建立如图所示空间直角坐标系，设正三棱柱的建
5、立如图所示空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为棱长为2 2，A(0A(0，-1,0)-1,0)，B B1 1( 0,2)( 0,2)，则则 ( 1,2)( 1,2)，O(0,0,0)O(0,0,0)，B( 0,0)B( 0,0)，则则 ( 0,0)( 0,0)为侧面为侧面ACCACC1 1A A1 1的法向量，的法向量，sin sin 2 2(2013(2013揭阳模拟揭阳模拟) )过正方形过正方形ABCDABCD的顶点的顶点A A，引引PAPA平面平面ABCDABCD若若PAPABABA，则平面，则平面ABPABP和平和平面面CDPCDP所成的二面角的大小是所成的二面角的大小是( )( )A
6、A3030 B B4545C C6060 D D9090【解析解析】选选B B建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面面APBAPB与平面与平面PCDPCD的法向量的法向量n1 1(0,1,0)(0,1,0)，n2 2(0,1,1)(0,1,1)，故平，故平面面ABPABP与平面与平面CDPCDP所成二面角所成二面角( (锐角锐角) )的余弦值为的余弦值为故所求的二面角的大小是故所求的二面角的大小是45453 3(2013(2013佛山模拟佛山模拟) )已知已知ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1为正方体，为正方体，向量向
7、量 与向量与向量 的夹角是的夹角是6060；正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的体积为的体积为 其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_【解析解析】设正方体的棱长为设正方体的棱长为1 1，中中故故正确；正确；中中 由于由于ABAB1 1AA1 1C C，故，故正确；正确；中中A A1 1B B与与ADAD1 1两异面直线所成的角为两异面直线所成的角为6060，但，但 与与 的夹的夹角为角为120120，故，故不正确；不正确；中中 0 0，故，故也不正也不正确确答案：答案：4 4(2013(2013福州模拟福州模拟) )直三棱柱直三棱柱ABC-AAB
8、C-A1 1B B1 1C C1 1中，中，ACBACB9090，BACBAC3030，BCBC1 1，AAAA1 1 M M是是CCCC1 1的中点，则异面直线的中点，则异面直线ABAB1 1与与A A1 1M M所成的角为所成的角为_【解析解析】建立空间直角坐标系如图所示，建立空间直角坐标系如图所示，易得易得M(0M(0，0 0， ) )，A A1 1(0(0， 0)0)，A(0A(0， ) )，B B1 1(1,0,0)(1,0,0)，所以所以所以所以 1 10 03- 3- 0 0，所以所以 即即ABAB1 1AA1 1M M答案：答案：9090热点考向热点考向 1 1 利用空间向量求
9、线线角、线面角利用空间向量求线线角、线面角【典例典例1 1】(2013(2013郑州模拟郑州模拟) ) 如图，已知点如图，已知点P P在正方体在正方体ABCD-ABCD-ABCDABCD的对角线的对角线BDBD上，上，PDA=60PDA=60(1)(1)求求DPDP与与CCCC所成角的大小所成角的大小(2)(2)求求DPDP与平面与平面AADDAADD所成角的大小所成角的大小【解题探究解题探究】(1)(1)解答本题直接求解答本题直接求 的坐标不易求，应如何转化？的坐标不易求，应如何转化？提示：提示：延长延长DPDP交交BDBD于于H H，转化为求，转化为求DHDH与与CCCC所成的角所成的角(
10、2)(2)直线直线CCCC的方向向量与平面的方向向量与平面AADDAADD的法向量能直接确的法向量能直接确定坐标吗定坐标吗? ?提示：提示：能直接确定能直接确定, ,以以D D为原点，为原点，DADA所在直线为所在直线为x x轴建立空间轴建立空间直角坐标系后，设正方体棱长为直角坐标系后，设正方体棱长为1 1，直线，直线CCCC的方向向量为的方向向量为 =(0,0,1),=(0,0,1),平面平面AADDAADD的一个法向量是的一个法向量是 =(0=(0，1 1，0)0)【解析解析】如图，以如图，以D D为原点，为原点，DADA所在直线为所在直线为x x轴，建立空间直角轴，建立空间直角坐标系坐标
11、系D-xyz,D-xyz,设正方体棱长为设正方体棱长为1 1，则，则 =(1,0,0), =(0=(1,0,0), =(0，0 0，1)1)连接连接BD,BDBD,BD，在平面，在平面BBDDBBDD中，延长中，延长DPDP交交BDBD于于H H 设设 =(m,m,1)(m0),=(m,m,1)(m0),由已知由已知 =60=60, , 由由可得可得2m=2m=解得解得m= m= 所以所以DH=DH=(1)(1)因为因为所以所以 =45=45即即DPDP与与CCCC所成的角为所成的角为4545(2)(2)平面平面AADDAADD的一个法向量是的一个法向量是 =(0,1,0)=(0,1,0)因为
12、因为所以所以 =60=60可得可得DPDP与平面与平面AADDAADD所成的角为所成的角为3030【方法总结方法总结】1 1利用空间向量求空间角的一般步骤利用空间向量求空间角的一般步骤(1)(1)建立恰当的空间直角坐标系建立恰当的空间直角坐标系(2)(2)求出相关点的坐标求出相关点的坐标, ,写出相关向量的坐标写出相关向量的坐标(3)(3)结合公式进行论证、计算结合公式进行论证、计算(4)(4)转化为几何结论转化为几何结论2 2利用空间向量求线线角、线面角的思路利用空间向量求线线角、线面角的思路(1)(1)异面直线所成的角异面直线所成的角,可以通过两直线的方向向量的夹角可以通过两直线的方向向量
13、的夹角求得，即求得，即coscos = =coscos (2)(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与平面的主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角法向量的夹角求得，即求得，即sin =sin =coscos 【变式式训练】(2013(2013新新课标全国卷全国卷)如如图, ,三棱柱三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1中中,CA=CB,AB=AA,CA=CB,AB=AA1 1,BAA,BAA1 1=60=60(1)(1)证明明ABAABA1 1C C(2)(2)若平面若平面ABCABC平面平面AAAA1 1B B1 1B,AB=CB,B,AB
14、=CB,求直求直线A A1 1C C与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C所成所成角的正弦角的正弦值【解析解析】(1)(1)取取ABAB的中点的中点O,O,连接连接OC,OAOC,OA1 1,A,A1 1B B因为因为CA=CB,CA=CB,所以所以OCABOCAB由于由于AB=AAAB=AA1 1,BAA,BAA1 1=60=60, ,故故AAAA1 1B B为等边三角形为等边三角形, ,所以所以OAOA1 1ABAB因为因为OCOAOCOA1 1=O,=O,所以所以ABAB平面平面OAOA1 1C C又又A A1 1C C 平面平面OAOA1 1C,C,故故ABAABA1 1C C(
15、2)(2)由由(1)(1)知，知，OCABOCAB，OAOA1 1ABAB，又平面又平面ABCABC平面平面AAAA1 1B B1 1B B，交线为，交线为ABAB，所以，所以OCOC平面平面AAAA1 1B B1 1B B，故故OAOA，OAOA1 1，OCOC两两相互垂直两两相互垂直以以O O为坐标原点，为坐标原点， 的方向为的方向为x x轴的正方向，建立如图所示的轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系O-xyzO-xyz，设，设| |=1| |=1由题设知由题设知A(1,0,0)A(1,0,0)，A A1 1(0, 0),(0, 0),C(0,0, ),B(-1,0,0)
16、C(0,0, ),B(-1,0,0)则则 = =(1,0, )(1,0, )， =(-1, 0)=(-1, 0)，设平面设平面BBBB1 1C C1 1C C的法向量为的法向量为n=(=(x,y,zx,y,z) )，则有则有 即即可取可取n=( 1,-1)=( 1,-1)故故所以直线所以直线A A1 1C C与平面与平面BBBB1 1C C1 1C C所成角的正弦值为所成角的正弦值为热点考向热点考向 2 2 利用空间向量求二面角利用空间向量求二面角【典例典例2 2】(2013(2013广东高考广东高考) )如图，在等腰直角三角形如图，在等腰直角三角形ABCABC中，中，A =90A =90，B
17、C=6BC=6，D,ED,E分别是分别是ACAC，ABAB上的点，上的点，CD=BE= CD=BE= ，O O为为BCBC的中点的中点. .将将ADEADE沿沿DEDE折起，得到如图所示的四棱锥折起，得到如图所示的四棱锥A-BCDEA-BCDE，其中，其中AO= .AO= .(1)(1)证明证明:AO:AO平面平面BCDE.BCDE.(2)(2)求二面角求二面角A-CD-BA-CD-B的平面角的余弦值的平面角的余弦值. .【解题探究解题探究】(1)(1)连接连接ODOD，OEOE，能证明，能证明AOAO与与ODOD，OEOE都垂直吗？都垂直吗？提示提示: :能能. .由已知可求得由已知可求得A
18、D=AE= AD=AE= 在原平面图形中利用在原平面图形中利用余弦定理求得余弦定理求得 再在再在AODAOD，AOEAOE中利用勾中利用勾股定理的逆定理证得股定理的逆定理证得. .(2)(2)如何建立空间直角坐标系？平面如何建立空间直角坐标系？平面BCDBCD的法向量能直接确定吗？的法向量能直接确定吗？提示提示: :取取F F为为DEDE的中点，连的中点，连OFOF，以，以 分别为分别为x x，y y，z z轴的正轴的正方向建立空间直角坐标系方向建立空间直角坐标系. .可直接确定平面可直接确定平面BCDBCD的法向量为的法向量为【解析解析】(1)(1)因为在因为在RtABCRtABC中，中，A
19、 =90A =90，BC=6BC=6，CD=BE= CD=BE= ，O O为为BCBC的中点，故的中点，故AD=AE= (AD=AE= (即即AD=AE= ).AD=AE= ).连接连接DO,EODO,EO，在在EBO,DCOEBO,DCO中，根据余弦定理可得中，根据余弦定理可得DO=EODO=EO 又又AO= AO= ，则，则ADAD2 2= =AOAO2 2+OD+OD2 2,AE,AE2 2=AO=AO2 2+OE+OE2 2，所以，所以，AOOD,AOOEAOOD,AOOE，又因为又因为ODOE=O,ODOE=O,从而从而AOAO平面平面BCDE.BCDE.(2)(2)设设F F为为D
20、EDE的中点，则的中点，则OF,OB,OAOF,OB,OA两两垂直，以两两垂直，以 分分别为别为x,y,zx,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，根据题意可写出轴的正方向建立空间直角坐标系，根据题意可写出平面平面ACDACD中的三个点的坐标中的三个点的坐标A(0,0, ),C(0,A(0,0, ),C(0,3,0),D(1,3,0),D(1,2,0)2,0)，由此，由此 设设n=(=(x,y,zx,y,z) )是平是平面面ACDACD的一个法向量，则的一个法向量，则取取y=y=1 1，由此得，由此得n=(1,=(1,1, ). 1, ). 是平面是平面BCDBCD的的一个法向量一个法向量. .
21、 即二面角即二面角A-CD-BA-CD-B的的平面角的余弦值为平面角的余弦值为【互动探究互动探究】若本题条件不变，试通过寻找二面角平面角的若本题条件不变，试通过寻找二面角平面角的方法，来求解第方法，来求解第(2)(2)题题. .【解析解析】过过O O作作DCDC的垂线，垂足为的垂线，垂足为H H，连接，连接AHAH，则，则AHOAHO为二面角为二面角A-CD-BA-CD-B的平面角的平面角. .在在DCODCO中，中，= CD= CDOHOH，由此得，由此得 则则 所以所以cosAHOcosAHO 即二面角即二面角A-CD-BA-CD-B的平面角的余弦值为的平面角的余弦值为【方法总结方法总结】
22、1 1向量法求二面角的思路向量法求二面角的思路二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角方向向量的夹角( (或其补角或其补角) )或通过二面角的两个面的法向量的或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角2 2求平面的法向量的方法求平面的法向量的方法(1)(1)待定系数法：设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的待定系数法：设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程求解方程求解(2)(2)先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定先确定平面的垂
23、线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量了平面的法向量【变式备选变式备选】如图，如图， 在矩形在矩形ABCDABCD中，点中，点E E，F F分别在线段分别在线段ABAB，ADAD上，上，AE=EB=AF= FD=4AE=EB=AF= FD=4沿直线沿直线EFEF将将AEFAEF翻折成翻折成AEFAEF，使平面使平面AEFAEF平面平面BEFBEF (1)(1)求二面角求二面角A-FD-CA-FD-C的余弦值的余弦值(2)(2)点点M M，N N分别在线段分别在线段FDFD，BCBC上，若沿上，若沿直线直线MNMN将四边形将四边形MNCDMNCD向上翻折，使向上翻折，使C C与与AA
24、重合，求线段重合，求线段FMFM的长的长【解析解析】(1)(1)取线段取线段EFEF的中点的中点H H，连接，连接AHAH，因为，因为AE=AFAE=AF及及H H是是EFEF的中点，所以的中点，所以AHEF,AHEF,又因为平面又因为平面AEFAEF平面平面BEFBEF如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系O-xyzO-xyz，则，则A(2A(2，2 2， ) )，C(10C(10，8 8，0)0)，F(4F(4，0 0，0)0)，D(10D(10，0 0，0)0)故故 =(-2=(-2，2 2， ) )， =(6=(6，0 0，0)0)设设n=(=(x,y,zx,y,z) )为平面为
25、平面AFDAFD的一个法向量，的一个法向量，所以所以取取z= z= 则则n=(0,-2, )=(0,-2, )又平面又平面BEFBEF的一个法向量的一个法向量m=(0,0,1)=(0,0,1)，故故所以二面角的余弦值为所以二面角的余弦值为 (2)(2)设设FM=FM=x,BNx,BN=a=a，则则M(4+x,0,0)M(4+x,0,0)，N(a,8,0)N(a,8,0)，因为翻折后，因为翻折后，C C与与AA重合，重合，所以所以CM=AMCM=AM，CN=ANCN=AN，故故得得 所以所以FM=FM=热点考向热点考向 3 3 利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题【典例典例3 3
26、】(2013(2013肇庆模拟肇庆模拟) )如图所示，在正方体如图所示，在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E是棱是棱DDDD1 1的中点的中点(1)(1)求直线求直线BEBE和平面和平面ABBABB1 1A A1 1所成的角的正弦值所成的角的正弦值(2)(2)在棱在棱C C1 1D D1 1上是否存在一点上是否存在一点F F，使，使B B1 1FF平平面面A A1 1BEBE？证明你的结论？证明你的结论 【解题探究解题探究】(1)(1)平面平面ABBABB1 1A A1 1的法向量能直接确定吗的法向量能直接确定吗? ?提示：提示：可直接确定可
27、直接确定, ,向量向量 是平面是平面ABBABB1 1A A1 1的一个法向量的一个法向量(2)(2)假设在棱假设在棱C C1 1D D1 1上存在一点上存在一点F,F,使使B B1 1FF平面平面A A1 1BE,BE,则可得到什则可得到什么等量关系么等量关系? ?提示：提示：直线直线B B1 1F F的方向向量与平面的方向向量与平面A A1 1BEBE的法向量的数量积为零的法向量的数量积为零【解析解析】设正方体的棱长为设正方体的棱长为1 1如图所示，如图所示，以以 为单位正交基底建立空间直角坐标系为单位正交基底建立空间直角坐标系A-xyzA-xyz(1)(1)依题意，得依题意，得B(1,0
28、,0),B(1,0,0),E A(0,0,0),E A(0,0,0),D(0,1,0)D(0,1,0)，所以所以 =(0,1,0)=(0,1,0)在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，因为因为ADAD平面平面ABBABB1 1A A1 1, ,所以所以 是平面是平面ABBABB1 1A A1 1的一个法向量，的一个法向量，设直线设直线BEBE和平面和平面ABBABB1 1A A1 1所成的角为所成的角为，则则sin =sin =即直线即直线BEBE和平面和平面ABBABB1 1A A1 1所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为(2)(2)依题意
29、，得依题意，得A A1 1(0,0,1), =(-1,0,1), (0,0,1), =(-1,0,1), 设设n=(=(x,y,zx,y,z) )是平面是平面A A1 1BEBE的一个法向量，的一个法向量，则由则由得得所以所以x=x=z,yz,y= = 取取z=2,z=2,得得n=(2,1,2)=(2,1,2)设设F F是棱是棱C C1 1D D1 1上的点，则上的点，则F(t,1,1)(0t1)F(t,1,1)(0t1)又又B B1 1(1,0,1)(1,0,1)，所以所以 =(t-1,1,0)=(t-1,1,0)而而B B1 1F F 平面平面A1BEA1BE，于是于是B B1 1FF平面
30、平面A A1 1BEBE n=0=0(t-1,1,0)(t-1,1,0)(2,1,2)=0(2,1,2)=0，得，得2(t2(t1)+1=01)+1=0，解得，解得t= t= 所以所以F F为为C C1 1D D1 1的中点，这说明在棱的中点，这说明在棱C C1 1D D1 1上存在点上存在点F(CF(C1 1D D1 1的中点的中点) )，使，使B B1 1FF平面平面A A1 1BEBE【方法总结方法总结】利用空间向量巧解探索性问题利用空间向量巧解探索性问题(1)(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、
31、推理，只需通过坐标运算进行判断进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断(2)(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把把“是否存在是否存在”问题转化为问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题运用这一方法解题【变式式训练】(2013(2013北京高考北京高考) )如如图, ,在三棱柱在三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1中中,AA,AA1 1C
32、 C1 1C C是是边长为4 4的正方形平面的正方形平面ABCABC平面平面AAAA1 1C C1 1C,C,AB=3,BC=5AB=3,BC=5(1)(1)求求证：AAAA1 1平面平面ABCABC(2)(2)求二面角求二面角A A1 1- -BCBC1 1- -B B1 1的余弦的余弦值(3)(3)证明：在明：在线段段BCBC1 1上存在点上存在点D,D,使得使得ADAADA1 1B,B,并求并求 的的值【解析解析】(1)(1)因为因为A A1 1ACCACC1 1是正方形是正方形, ,所以所以AAAA1 1ACAC又因为平面又因为平面ABCABC平面平面A A1 1ACCACC1 1,
33、,交线为交线为AC,AC,所以所以AAAA1 1平面平面ABCABC(2)(2)因为因为AC=4,BC=5,AB=3,AC=4,BC=5,AB=3,所以所以ACAC2 2+AB+AB2 2=BC=BC2 2, ,所以所以ACABACAB分别以分别以AC,AB,AAAC,AB,AA1 1所在直线为所在直线为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴建立如图所示的空间轴建立如图所示的空间直角坐标系直角坐标系则则A A1 1(0,0,4),B(0,3,0),C(0,0,4),B(0,3,0),C1 1(4,0,4),B(4,0,4),B1 1(0,3,4)(0,3,4)， =(4,0,0)=(4,0,0)，
34、=(0,3,=(0,3,4)4)， =(4,=(4,3,0), =(0,0,4)3,0), =(0,0,4)，设平面设平面A A1 1BCBC1 1的法向量为的法向量为n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )，平面，平面B B1 1BCBC1 1的法向量为的法向量为n2 2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )，所以所以 所以所以 所以可取所以可取n1 1=(0,4,3)=(0,4,3)由由 可得可得可取可取n2 2=(3,4,0)=(3,4,0)所以所以coscosn1 1, ,n2 2= =由图可知二面角由图可知二面角A A1 1-BC-BC1 1-B-B
35、1 1为锐角，所以其余弦值为为锐角，所以其余弦值为 (3)(3)设点设点D D的竖坐标为的竖坐标为t(0t4)t(0t4)，在平面，在平面BCCBCC1 1B B1 1中作中作DEBCDEBC于于E,E,根据比例关系可知根据比例关系可知D(t, (4D(t, (4t),t)(0t4)t),t)(0t4)，所以，所以 =(t,=(t, (4 (4t),t), =(0,3,t),t), =(0,3,4)4)，又因为又因为 所以所以 (4(4t)t)4t=0,4t=0,所以所以t= t= 所以所以 利用向量证明空间的平行、垂直关系利用向量证明空间的平行、垂直关系【典例典例】如图，在四棱锥如图，在四棱
36、锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PDPD底面底面ABCDABCD，PD=DCPD=DC，E E是是PCPC的中点，作的中点，作EFPBEFPB于点于点F F，求证：，求证：(1)PA(1)PA平面平面EDBEDB(2)PB(2)PB平面平面EFDEFD【解题探究解题探究】(1)(1)用空间向量怎样证明线面平行？用空间向量怎样证明线面平行？提示：提示：可证明直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量可证明直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量共线或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直共线或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)(2)用
37、空间向量怎样证明线面垂直？用空间向量怎样证明线面垂直？提示：提示：只需证明直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向只需证明直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直或证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可向量垂直或证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可【证明证明】如图所示建立空间直角坐标系，如图所示建立空间直角坐标系，D D为坐标原点，设为坐标原点，设DC=aDC=a(1)(1)连接连接ACAC交交BDBD于于G G，连接，连接EGEG依题意得依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),A(a,0,0),P(0,0,a),因为底面因为底面ABCDABCD是正方形，是正方形，所以所以G
38、 G是此正方形的中心，是此正方形的中心，故点故点G G的坐标为的坐标为所以所以 则则PAEGPAEG而而EGEG 平面平面EDBEDB且且PA PA 平面平面EDBEDB，所以所以PAPA平面平面EDBEDB(2)(2)依题意得依题意得B(a,a,0), =(B(a,a,0), =(a,aa,a,-a),-a),又又故故所以所以PBDEPBDE由已知由已知EFPBEFPB，且，且EFDE=EEFDE=E，所以，所以PBPB平面平面EFDEFD【方法总结方法总结】1 1用向量法证明空间的线线、线面、面面平行关系的思路用向量法证明空间的线线、线面、面面平行关系的思路(1)(1)设设a,ba,b是两
39、条不重合的直线，它们的方向向量分别为是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为a, ,b, ,那那么么ababab(2)(2)平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量平行平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量平行(3)(3)直线与平面平行可以转化为证明直线的方向向量与平面的直线与平面平行可以转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可以通过证明直线的方向向量与平面内两个不法向量垂直，也可以通过证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面来证明直线与平面平行共线的向量共面来证明直线与平面平行2 2空间的线线、线面、面面垂直关系，均可以转化为空间两空间的线线、线面、面面垂直关系，均可以转化为
40、空间两个向量垂直的问题求证其思路为个向量垂直的问题求证其思路为(1)(1)设设a, ,b分别为直线分别为直线a,ba,b的一个方向向量，那么的一个方向向量，那么abababab=0;=0;(2)(2)设设a, ,b分别为平面分别为平面,的一个法向量，那么的一个法向量，那么abab=0;=0;(3)(3)设直线设直线l的方向向量为的方向向量为a, ,平面平面的法向量为的法向量为b，那么，那么lab，此外，也可证明，此外，也可证明l的方向向量与平面的方向向量与平面内两条相内两条相交直线所对应的方向向量垂直交直线所对应的方向向量垂直【变式备选变式备选】如图，已知如图，已知ABCDABCD是边长为是边
41、长为2 2的正方形，的正方形，DEDE平面平面ABCDABCD，BFBF平面平面ABCDABCD，且，且FB=2DE=2FB=2DE=2求证：平面求证：平面AECAEC平面平面AFCAFC【证明证明】建立如图所示的空间直角坐标系，建立如图所示的空间直角坐标系，所以所以D(0D(0，0 0，0)0)，E(0E(0，0 0，1)1)，A(2A(2，0 0，0)0)，C(0C(0，2 2，0)0)，F(2F(2，2 2，2)2)，所以所以 =(-2=(-2，0 0，1)1)， =(0=(0，2 2，-1)-1)， =(0=(0，2 2，2)2)， =(-2=(-2，0 0，-2)-2)设设m为平面为
42、平面AECAEC的一个法向量，的一个法向量，m=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )， m=(1,1,2)=(1,1,2)设设n为平面为平面AFCAFC的一个法向量，的一个法向量，n=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),), n=(1,1,-1)=(1,1,-1)coscosm，n= =所以所以mn所以平面所以平面AECAEC平面平面AFCAFC转化与化归思想转化与化归思想利用空间向量解决空间位置关系及求角问题利用空间向量解决空间位置关系及求角问题【思想诠释思想诠释】1 1主要类型：主要类型：(1)(1)空间中平行或垂直关系的证明空间中平行或垂直关系的证明(2)(2)
43、求空间角求空间角, ,如求二面角的大小如求二面角的大小(3)(3)判断点的存在性问题判断点的存在性问题2 2解题思路：利用空间向量解决立体几何问题的方法，把所解题思路：利用空间向量解决立体几何问题的方法，把所求问题转化为空间向量的平行、垂直或夹角问题求问题转化为空间向量的平行、垂直或夹角问题3 3注意事项：注意事项：(1)(1)利用空间向量求异面直线所成的角时利用空间向量求异面直线所成的角时, ,应注应注意角的取值范围意角的取值范围(2)(2)利用空间向量求二面角时利用空间向量求二面角时, ,应注意观察二面角是锐角还是钝应注意观察二面角是锐角还是钝角角【典例典例】(14(14分分)(2013)
44、(2013珠海模拟珠海模拟) )如图，正方形如图，正方形ADEFADEF与梯形与梯形ABCDABCD所在平所在平面互相垂直，面互相垂直，ADCDADCD，ABCDABCD，AB=AD= CD=2AB=AD= CD=2，点，点M M在线段在线段ECEC上且不与上且不与E E，C C重合重合(1)(1)当点当点M M是是ECEC中点时，中点时，求证：求证：BMBM平面平面ADEFADEF(2)(2)当平面当平面BDMBDM与平面与平面ABFABF所成锐二面所成锐二面角的余弦值为角的余弦值为 时，求三棱锥时，求三棱锥M-BDEM-BDE的体积的体积【审题审题】分析信息，形成思路分析信息，形成思路(1
45、)(1)切入点：利用切入点：利用 与平面与平面ADEFADEF的法向量垂直求解的法向量垂直求解关注点：注意法向量的选择关注点：注意法向量的选择(2)(2)切入点：从设出点切入点：从设出点M M的坐标入手的坐标入手, ,分别求出两个平面的法向分别求出两个平面的法向量量关注点：注意点关注点：注意点M M的坐标的设法的坐标的设法【解题解题】规范步骤，水到渠成规范步骤，水到渠成(1)(1)以以DADA，DCDC，DEDE所在直线分别为所在直线分别为x,y,zx,y,z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系, ,则则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),M(0,2,1
46、)A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),M(0,2,1)，2 2分分所以所以 =(-2=(-2，0 0，1)1)，平面，平面ADEFADEF的一个法向量的一个法向量 =(0=(0，4 4，0)0)因为因为 =0=0，所以，所以所以所以BMBM平面平面ADEFADEF4 4分分(2)(2)依题意设依题意设 ，设平面，设平面BDMBDM的法向量的法向量n1 1=(=(x,y,zx,y,z),),则则 n1 1=2x+2y=0, =2x+2y=0, n1 1= =tyty+ =0+ =0令令y=-1y=-1，则，则n1 1= =平面平面ABFABF的法向量的法向量n
47、2 2=(1,0,0)=(1,0,0)7 7分分因为因为|cos|cosn1 1, ,n2 2|=|= , ,解得解得t=2t=29 9分分所以所以M(0M(0，2 2，1)1)为为ECEC的中点，的中点，S SDEMDEM= S= SCDECDE=2=2，B B到平面到平面DEMDEM的距离的距离h=2h=2所以所以 1414分分【点题点题】规避误区，失分警示规避误区，失分警示失分点一失分点一题中题中处容易因不会设出点处容易因不会设出点M M的坐标而无法的坐标而无法求解求解失分点二失分点二不会把条件转化为不会把条件转化为处的等式导致思维受阻处的等式导致思维受阻失分点三失分点三不会使用等体积法
48、导致无法解答不会使用等体积法导致无法解答【变题变题】变式训练，能力迁移变式训练，能力迁移(2013(2013广州模拟广州模拟) )如图甲，设正方形如图甲，设正方形ABCDABCD的边长为的边长为3 3，点，点E E，F F分别在分别在ABAB，CDCD上，并且满足上，并且满足AE=2EBAE=2EB，CF=2FD.CF=2FD.如图乙，将直如图乙，将直角梯形角梯形AEFDAEFD沿沿EFEF折到折到A A1 1EFDEFD1 1的位置，使点的位置，使点A A1 1在平面在平面EBCFEBCF上的上的射影射影G G恰好在恰好在BCBC上上. .(1)(1)证明证明:A:A1 1EE平面平面CDC
49、D1 1F.F.(2)(2)求平面求平面BEFCBEFC与平面与平面A A1 1EFDEFD1 1所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值. .【解析解析】(1)(1)在图甲中，易知在图甲中，易知AEDFAEDF，从而在图乙中有，从而在图乙中有A A1 1EDED1 1F F，因为因为A A1 1E E 平面平面CDCD1 1F F，D D1 1F F 平面平面CDCD1 1F F，所以所以A A1 1EE平面平面CDCD1 1F.F.(2)(2)在图乙中作在图乙中作GHEFGHEF，垂足为，垂足为H H，连接，连接A A1 1H H，由于，由于A A1 1GG平面平面EBCFEBCF，则，则A
50、A1 1GEFGEF，所以，所以EFEF平面平面A A1 1GHGH，则，则EFAEFA1 1H H，图甲中有图甲中有EFAHEFAH，又，又GHEFGHEF，则，则A,G,HA,G,H三点共线三点共线. .设设CFCF的中点为的中点为M M，则，则MF=1MF=1，可证，可证ABGEMFABGEMF，所以所以BG=MF=1BG=MF=1，则，则AG=AG=又由又由ABGAHEABGAHE，得得于是，于是，在在RtARtA1 1GHGH中，中，作作GTBEGTBE交交EFEF于点于点T T，则，则TGGCTGGC，以点以点G G为原点，分别以为原点，分别以GC,GT,GAGC,GT,GA1 1
51、所在直线为所在直线为x,y,zx,y,z轴，轴，建立如图丙所示的空间直角坐标系，建立如图丙所示的空间直角坐标系，则则G(0G(0，0 0，0)0)，E(-1E(-1，1 1，0)0)，F(2F(2，2 2，0)0)，A A1 1(0(0，0 0， ) )，则则显然，显然， 是平面是平面BEFCBEFC的一个法向量，的一个法向量，设设n n(x(x，y y，z)z)是平面是平面A A1 1EFDEFD1 1的一个法向量，的一个法向量，则则不妨取不妨取x=-1x=-1，则，则n(-1(-1，3 3， ).).设平面设平面BEFCBEFC与平面与平面A A1 1EFDEFD1 1所成二面角为所成二面角为，可以看出，可以看出，为锐角，为锐角，所以所以所以平面所以平面BEFCBEFC与平面与平面A A1 1EFDEFD1 1所成二面角的余弦值为所成二面角的余弦值为
