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1、第二节第二节 Gauss公式与散度公式与散度一、一、Gauss公式公式二、二、散散度度三、三、外微分形式简介外微分形式简介 Gauss公式公式揭示了第二型曲揭示了第二型曲面面积分与积分与三重积分三重积分之间之间一种重要的一种重要的关系，这在理论上和应用上都十关系，这在理论上和应用上都十分重要。分重要。一、一、Gauss公式公式 讨论第二型曲线积分时，讨论第二型曲线积分时， Green公式公式揭示了揭示了第二型曲线积分与二重积分之间的关系。而对第二型曲线积分与二重积分之间的关系。而对第二型曲面积分是否有类似的性质？这就是我第二型曲面积分是否有类似的性质？这就是我们要得到重要的性质们要得到重要的性
2、质Gauss公式公式.则则 定理定理1 1 设设 是空间的有界闭区域，其边界是空间的有界闭区域，其边界 由有限光滑或分片光滑的曲面所组成，取外侧，由有限光滑或分片光滑的曲面所组成，取外侧，一、一、Gauss公式公式O yz x解：解：利用利用Guass公式求解公式求解 例例1 1 设设是由以是由以O O(0, 0, 0)， A A(1, 0, 0)，B B(0, 1, 0)和和C C(0, 0, 1)为顶点的四面体为顶点的四面体OABCOABC的表面，取外侧，的表面，取外侧，求向量场求向量场 通过通过的通量的通量 。C(0,0,1)B(0,1,0)A(1,0,0)一、一、Gauss公式的计算公
3、式的计算 首先首先假定假定 与平行于坐标轴的直线交点不多于与平行于坐标轴的直线交点不多于两个，我们称这种区域为简单区域，两个，我们称这种区域为简单区域， 到到 xoy 平面的投平面的投影记为影记为 ， 由下部边界由下部边界 ，上，上部边界部边界 和侧面边界和侧面边界 组成。组成。证明证明: :一、一、Gauss公式公式Oyxz这时这时 取下侧，取下侧， 取上侧，取上侧， 取外侧，取外侧，我们有我们有一、一、Gauss公式公式又在又在 上上故故同理同理一、一、Gauss公式公式所以所以 当当 不是简单区域时，可用如同不是简单区域时，可用如同GreenGreen公式那样的思想公式那样的思想方法，用
4、若干辅助平面把方法，用若干辅助平面把 分割成有限个简单区域，在分割成有限个简单区域，在利用积分可加性，并注意辅助平面在利用积分可加性，并注意辅助平面在 内的每个部分都内的每个部分都分属两个小区域，且它的两个侧面方向相反，沿着它的曲分属两个小区域，且它的两个侧面方向相反，沿着它的曲面积分互相抵消，从而证明定理面积分互相抵消，从而证明定理1 1仍然成立。仍然成立。由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知一、一、Gauss公式公式GaussGauss公式公式的实质的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间
5、的关系. 注记注记以下情况用以下情况用Gauss公式公式计算较为方便：计算较为方便： 较为简单且较为简单且 易于计算易于计算. .使用使用Guass公式公式时应时应注意注意: :一、一、Gauss公式公式1. P, Q, R是对什么变量求偏导数是对什么变量求偏导数.2. 是否满足高斯公式的条件是否满足高斯公式的条件.3. 是取闭曲面的外侧是取闭曲面的外侧. 4. 若若不是闭曲面不是闭曲面，可采用补上若干块曲面后，可采用补上若干块曲面后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面构使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面构成外侧或内侧成外侧或内侧.解解: : 因被积函数均为一次式，其偏因被积函数均为一次式，
6、其偏导数为常数，曲面导数为常数，曲面是封闭的，故是封闭的，故可用可用GaussGauss公式计算公式计算. .一、一、Gauss公式的计算公式的计算 例例2 2 计算积分计算积分ozxy其中其中是正方体是正方体的整个表面，取外侧。的整个表面，取外侧。一、一、Gauss公式的计算公式的计算 例例3 3 计算曲面积分计算曲面积分其中其中为曲面为曲面 的外侧的外侧 解解: : 由由 Gauss公式公式这种求法是否正确，为什么？这种求法是否正确，为什么？一、一、Gauss公式的计算公式的计算 例例3 3 计算曲面积分计算曲面积分其中其中为曲面为曲面 的外侧的外侧 解解: : 由由 Gauss公式公式
7、例例4 4 求向量场求向量场 穿过由曲面穿过由曲面 和和 所围成立体表面外侧所围成立体表面外侧的通量的通量。 解解设设 表示曲面表示曲面 和和 所所围立体，其表面外侧为围立体，其表面外侧为 ，则，则所求通量为所求通量为 Oyxz一、一、Gauss公式的计算公式的计算由由GaussGauss公式公式利用球坐标系，利用球坐标系，一、一、GaussGauss公式的计算公式的计算例例5 5 计算曲面积分计算曲面积分 其中其中是旋转抛物面是旋转抛物面 介于介于 及及之间的部分，取下侧。之间的部分，取下侧。ozxy解：解：一、一、GaussGauss公式的计算公式的计算解法解法1 空间曲面在空间曲面在 面
8、上的面上的投影域为投影域为曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式为利用高斯公式故所求积分为故所求积分为一、一、Gauss公式的计算公式的计算 例例7 7 计算曲面积分计算曲面积分取下侧。取下侧。其中其中为上半球面为上半球面Oyxz(0,0,a)(0,a,0)(a,0,0) 解解: : 因因不不是封闭的，不能直接使用是封闭的，不能直接使用GaussGauss公式，但可补上圆公式，但可补上圆取上侧取上侧. . 它与它与组成一个组成一个封闭的曲面，取封闭的曲面，取内侧，记它们所围的区域为内侧，记它们所围的区域为由由GaussGauss公式公式一、一、Gauss公式的计算公式的计算又又一
9、、一、Gauss公式的计算公式的计算故故 应用应用GaussGauss公式计算曲面积分，通常要求曲面公式计算曲面积分，通常要求曲面是封闭的、取外侧。本例说明当曲面不是封闭时补是封闭的、取外侧。本例说明当曲面不是封闭时补上适当曲面上适当曲面( (沿此曲面积分应易于计算沿此曲面积分应易于计算) )，使其封闭，使其封闭后使用后使用GaussGauss公式的方法，并应注意曲面的侧。公式的方法，并应注意曲面的侧。注记注记：一、一、Gauss公式的计算公式的计算 例例8 8 计算曲面积分计算曲面积分其中其中为曲面为曲面 的外侧，的外侧，对吗？，为什么？对吗？，为什么？如果如果为曲面为曲面 的外侧的外侧如何
10、如何求解，为什么？求解，为什么？ 1 1 散度的概念及其计算公式散度的概念及其计算公式二、二、散度散度 设设 是一个不可压缩的稳定的流速场，是一个不可压缩的稳定的流速场，对于场中任一点对于场中任一点M，在点，在点M的某领域作一张包围的某领域作一张包围M的光滑封的光滑封闭曲面闭曲面 ，取外侧，记，取外侧，记 所围的区域为所围的区域为 ，这时，这时， 表示单位时间从表示单位时间从 经经 流向外侧的流量，而流向外侧的流量，而 表示单位时间从单位体积流出表示单位时间从单位体积流出 的平均流量，称为的平均流量，称为 在在 的平均源强，的平均源强， 越小，越小，(2.2)(2.2)就能越好地近似描述场就能
11、越好地近似描述场 在点在点M处的源的强度，令处的源的强度，令 收缩到收缩到M, ,记成记成 , ,所得极所得极限限就可用来刻划就可用来刻划 在点在点M处的源的强度。处的源的强度。( 2.2 )( 2.2 )( 2.3 )( 2.3 )二、二、散度散度 定义定义1: 1: 设设 是一个向量场是一个向量场, ,若极限若极限(2.3)存在且与存在且与无关，则称之为场无关，则称之为场 在点在点M处的处的散度散度, ,记为记为 ，即即( 2.4 )( 2.4 )若若 ，则说场，则说场 在点在点M处有正源，处有正源，若若 ，则说场，则说场 在点在点M处有负源（漏洞），处有负源（漏洞），若若 ，就说场，就说
12、场 是一个无源场是一个无源场. .二、二、散度散度( 2.5 )( 2.5 )下面我们建立下面我们建立散度散度在直角坐标系下的表达式在直角坐标系下的表达式 定定理理2 2: : 设设 则则 在点在点M处的处的散度散度 证明：证明：由由GaussGauss公式和第一型积分的中值定理公式和第一型积分的中值定理二、二、散度散度利用利用(2.4),Gauss(2.4),Gauss公式公式(2.1)(2.1)可写成可写成 其中其中 是是 中的某一点中的某一点, ,当当 时时 故故( 2.6 )( 2.6 ) 2 2 散度的性质散度的性质二、二、散度散度 (1) (1) (线性线性) )设设 和和 是向量
13、场，是向量场， 和和 是常数，则是常数，则 (2) (2) 设设u=u(x,y,z) 为函数，为函数， 为向量场，则为向量场，则 它有明显的它有明显的物理意义物理意义，设，设 为不可压缩的稳定的流速为不可压缩的稳定的流速场，场，(2.6)(2.6)右端的三重积分表示单位时间右端的三重积分表示单位时间 内所产生的内所产生的流体的总量，而左边的曲面积分表示单位时间流体通过流体的总量，而左边的曲面积分表示单位时间流体通过 的边界曲面流向外侧的流量，二者应当相等。所以的边界曲面流向外侧的流量，二者应当相等。所以(2.1)(2.1)和和(2.6)(2.6)又称为又称为散度定理散度定理. . (3)(3)
14、 证明：证明：二、二、散度散度解解: :(2) (2) 由由(2.7)(2.7)和和(2.8)(2.8)知知(1) (1) 由由(2.5)(2.5)知知 例例9 9 设设 表示在原点表示在原点的点电荷的点电荷q所产生的静电场的电位移矢量，求：所产生的静电场的电位移矢量，求：由梯度的性质知由梯度的性质知故故 例例8 8指出：当指出：当 时，由点电荷时，由点电荷q产生的电位移量产生的电位移量 是无源场是无源场. . 利用利用Hamilton的算子的算子 ，散度及其性质可表述为，散度及其性质可表述为二、二、散度散度二、二、散度散度证明证明: :由散度定理及散度的性质由散度定理及散度的性质故故 因因
15、f 在在 调和，调和， ，故，故 例例1212 设设 为闭区域为闭区域 的边界曲面，的边界曲面， 是是 的外法向量，的外法向量，f在在 调和，证明调和，证明二、二、散度散度 例例1313 设设 简单光滑曲简单光滑曲面面 的是区域的是区域 的边界，的边界， 是是 在点在点(x, y, z) 处的外法向处的外法向量量, ,计算计算GuassGuass积分：积分：解解: :(1) (1) 若若 在在 的外部，的外部， ，二、二、散度散度 (2) (2) 若若 在在 的内部，以的内部，以 为中心，为中心， 为半径作球面为半径作球面使使 及其内部都落在及其内部都落在 内部，内部， 取外侧，取外侧， 取内侧，取内侧，记以记以 为边界的区域为为边界的区域为 . .由例由例9(2)9(2)知，知， ，故，故 二、二、散度散度所以所以 又当又当 时，时， 与与 同向，同向，这时这时故故在在 内内 ，由，由(1)(1)知知. .
