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1、2.4 正态分布正态分布高二数学高二数学 选修选修2-3引入引入 离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述。线）描述。高尔顿板高尔顿板复习100个产品尺寸的个产品尺寸的频率分布直方图频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品 尺寸（mm)频率组距复习200个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品 尺寸（mm)频率组距复习样本容量增大时频率分布直
2、方图频率组距产品 尺寸(mm)总体密度曲线复习产品 尺寸(mm)总体密度曲线导入导入产品尺寸的总体密度曲线产品尺寸的总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：就是或近似地是以下函数的图象：1 、正态曲线的定义：、正态曲线的定义：函数函数式中的实数式中的实数、(0)是参数，分别表示是参数，分别表示总体的平均数与标准差，称总体的平均数与标准差，称f( x)的图象称为的图象称为正态曲线正态曲线cdab平均数XY 若用若用X表示落下的小球第表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时次与高尔顿板底部接触时的坐标的坐标,则则X是一个随机变量是一个随机变量.X落在区间落在区间(a,b的概率的概率为为:2.正态
3、分布的定义正态分布的定义:如果对于任何实数如果对于任何实数 ab,随机变量随机变量X满足满足: 则称则称随机变量随机变量X 服从正态分布服从正态分布. 正态分布完全由参数、确定.正态分布记作N（ ，2）.如果随机变量如果随机变量X服从正态分布，服从正态分布，则记作则记作 X N（ ，2） m m 的意义的意义产品 尺寸(mm)x1x2总体平均数总体平均数反映随机变量反映随机变量取值的取值的 平均水平平均水平x3x4平均数x x= 产品 尺寸(mm)总体平均数总体平均数反映随机变量反映随机变量取值的取值的 平均水平平均水平总体标准差总体标准差反映随机变量反映随机变量总体总体集中与分散的程度集中与
4、分散的程度平均数平均数 s s的意义的意义2、正态曲线的性质、正态曲线的性质012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有具有两头低、中间高、左右对称两头低、中间高、左右对称的基本特征的基本特征012-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2（1 1）曲线在）曲线在x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交轴不相交. .（2）曲线是单峰的）曲线是单峰的,它关于直线它关于直线x=对称对称. 2 2、正态曲线的性质、正态曲线的性质（4）曲线与）曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1（3）
5、曲线在）曲线在x=处达到峰值处达到峰值(最高点最高点)标准差相等、均值不等的正态曲线图示标准差相等、均值不等的正态曲线图示312=0.5=-1=0=1若若 固定固定, 随随 值值的变化而的变化而沿沿x轴平轴平移移, 故故 称为位置称为位置参数；参数；均均值相等、标准差不等的正态曲线图示值相等、标准差不等的正态曲线图示=0.5=1=2=0若若 固定固定, 越越大大, 曲线曲线越矮胖；越矮胖； 越小越小, 曲线曲线越越瘦高瘦高, 故称故称 为形状参数。为形状参数。=0.5012-1-2xy-33X=1=2(6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定 .越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮
6、胖”，表示总体的分布越分散；，表示总体的分布越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布越集中，表示总体的分布越集中.（5）当）当 x时时,曲线下降曲线下降.并且当曲线并且当曲线向左、右两边无限延伸时向左、右两边无限延伸时,以以x轴为渐近线轴为渐近线,向它无限靠近向它无限靠近. 2 2、正态曲线的性质、正态曲线的性质正态正态分布密度函数分布密度函数的表达式的表达式当= 0，=1时标准标准正态正态分布密度函数分布密度函数的表达式的表达式012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线（，（，+）（1）当 = 时,函数值为最大.(3) 的图象关于 对称.（2） 的值域为 （4）当 时
7、为增函数.当 时 为减函数.正态分布密度函数正态分布密度函数 = 例例1、标准正态分布密度函数为、标准正态分布密度函数为（1）证明）证明f(x)是偶函数；是偶函数；（2）求）求f(x)的最大值；的最大值；（3）利用指数函数的性质说明）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。的增减性。练习：练习：20 25 301510xy5351、如图，是一个正态曲线，、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和求出总体随机变量的期望和方差。方差。正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒
8、等于轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)S(-,-X)正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-x1, -x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)4、特殊区间的概率、特殊区间的概率:m m-am m+ax=若若XN ,则对于任何实数则对于任何实数a0,概率概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和和a 而言，该面而言，该面积随着积随着 的减少而变的减少而变 。这说明。这说明 越小越小, X落在区间落在区间 的概率越大，即的概率越大
9、，即X集中在集中在 周围概率越大。周围概率越大。特别地有特别地有大大 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率只有0.3 。 由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 ），），通常称这些情况发生为通常称这些情况发生为小概率事件小概率事件。例例1、在某次数学考试中，考生的成绩、在某次数学考试中，考生的成绩 服从正态分服从正态分布，即布，即 N(90,100).（1）试求考试成绩）试求考试成绩 位于区间位于区间(70,110)上的概率是上的概率是多少？多少？（2）若这次考试共有）
10、若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩名考生，试估计考试成绩在在(80,100)间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？例例2、 已知一次考试共有已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩名同学参加，考生的成绩X ，据此估计，大约应有，据此估计，大约应有57人的分数在人的分数在下列哪个区间内？（下列哪个区间内？（ ）A.(90,110 B. (95,125 C. (100,120 D.(105,115A20000.68261365人0.95441、已知、已知XN (0,1)，则，则X在区间在区间 内取值的概率内取值的概率等于（等于（ ）A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.02282、设离散型随机变量、设离散型随机变量XN(0,1),则则 = , = .3、已知已知XN(0,1),若若P（0X1）=0.4，求，求P（X-1）= D0.50.9544
