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1、第第5 5章章 Hermite Hermite矩阵与正定矩阵矩阵与正定矩阵5.1 Hermite5.1 Hermite矩阵与矩阵与HermiteHermite二次型二次型5.4 Hermite5.4 Hermite矩阵的特征值矩阵的特征值* *5.3 5.3 矩阵不等式矩阵不等式5.2 Hermite5.2 Hermite正定（非负定）矩阵正定（非负定）矩阵5.1 Hermite5.1 Hermite矩阵与矩阵与HermiteHermite二次型二次型5.1.1 Hermite5.1.1 Hermite矩阵矩阵5.1.2 5.1.2 矩阵的惯性矩阵的惯性5.1.3 Hermite5.1.3 H
2、ermite二次型二次型5.1.1 HermiteHermite矩阵矩阵Hermite矩阵具有如下简单性质矩阵具有如下简单性质：(1) 如果如果 A是是Hermite矩阵，则对正整数矩阵，则对正整数 k，Ak 也是也是 Hermite矩阵矩阵；(2) 如果如果 A是可逆是可逆Hermite矩阵，则矩阵，则A-1 是是Hermite矩阵矩阵；(3) 如果如果 A,B是是Hermite矩阵，则对实数矩阵，则对实数k,p, kA+pB 是是 Hermite矩阵矩阵；(4) 若若A,B是是Hermite矩阵，则矩阵，则 AB是是Hermite矩阵的矩阵的(5) 充分必要条件是充分必要条件是AB = B
3、A；(5) A是是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意方阵矩阵的充分必要条件是对任意方阵 S， SH AS是是Hermite矩阵矩阵。定理定理5.1.1定理定理5.1.2 设设 A为为n 阶阶Hermite矩阵，则矩阵，则 (1) A的所有特征值全是实数的所有特征值全是实数； (2) A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的。定理定理5.1.3 设设 ，则，则 A是是Hermite矩阵的充分矩阵的充分必要条件是存在酉矩阵必要条件是存在酉矩阵U使得使得定理定理5.1.4 设 ，则则 A是实对称矩阵的充分是实对称矩阵的充分必要条件是存在正交矩阵必要条件
4、是存在正交矩阵Q使得使得5.1.2 矩阵的惯性矩阵的惯性定理定理5.1.5 设设 A是是n 阶阶Hermite矩阵，则矩阵，则 A相合于矩阵相合于矩阵其中其中 r = rank(A)，s是是 A的正特征值（重特征值按的正特征值（重特征值按重数计算）的个数重数计算）的个数。(5.1.3)中矩阵称为中矩阵称为n 阶阶Hermite矩阵矩阵 A的的相合标准形。定理定理5.1.6(Sylvester惯性定律）惯性定律） 设设 A,B是是n 阶阶Hermite矩阵，则矩阵，则 A与与B相合的充分必要条件是相合的充分必要条件是5.1.3 Hermite5.1.3 Hermite二次型二次型则则 A为为He
5、rmite矩阵。称矩阵矩阵。称矩阵A为为Hermite二次型的二次型的矩阵矩阵，并且称并且称 A的秩为的秩为Hermite二次型的秩二次型的秩。记 利用利用Hermite二次型的矩阵二次型的矩阵，Hermite二次型可二次型可表示为表示为 设设P是是n阶可逆矩阵，作线性变换阶可逆矩阵，作线性变换x = Py，则，则 Hermite二次型中最简单的一种是只包含平方二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型项的二次型称形如（称形如（5.1.12）的二次型为）的二次型为Hermite二次型的二次型的标准形标准形。定理定理5.1.7 对对Hermite二次型二次型 f (x) = xHAx，存在酉，存
6、在酉线性变换线性变换x = Uy（其中（其中U是酉矩阵）使得是酉矩阵）使得Hermite二次型二次型f (x)变成标准形变成标准形定理定理5.1.8 对对Hermite二次型二次型 f (x) = xHAx，存在可逆，存在可逆线性变换线性变换x = Py 使得使得Hermite二次型二次型f (x)化为化为其中其中 r = rank(A)，s = (A).Hermite二次型可分为五种情况二次型可分为五种情况定义定义5.1.1 设设f (x) = xHAx为为Hermite二次型二次型。定理定理5.1.9 对对Hermite二次型二次型f (x) = xHAx, 有有5.2 Hermite5.
7、2 Hermite正定（非负定）矩阵正定（非负定）矩阵定义定义5.2.1正定（非负定）矩阵具有如下基本性质正定（非负定）矩阵具有如下基本性质：定理定理5.2.1 设设 A是是n 阶阶Hermite矩阵，则下列命题等价矩阵，则下列命题等价：(1) A是正定矩阵是正定矩阵；(2) 对任意对任意n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵P,PHAP 都是都是Hermite正定正定 矩阵矩阵；(3) A的的n 个特征值均为正数个特征值均为正数；(4) 存在存在n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵P使得使得PHAP = I；(5) 存在存在n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q使得使得A = QHQ；(6) 存在存在n 阶可逆阶可逆Hermit
8、e矩阵矩阵S 使得使得A = S2.推论推论5.2.1定理定理5.2.2 设设 A是是n 阶阶Hermite矩阵，则下列命题等价矩阵，则下列命题等价：(1) A是非负定矩阵是非负定矩阵；(2) 对任意对任意n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵P, PHAP是是Hermite非负定非负定 矩阵矩阵；(3) A的的n 个特征值均为非负数个特征值均为非负数；推论推论5.2.2 定理定理5.2.3 n 阶阶Hermite矩阵矩阵 A正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是A的顺序主子式均为正数，即的顺序主子式均为正数，即定理定理5.2.4 n 阶阶Hermite矩阵矩阵 A正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是
9、A的所有主子式全大于零的所有主子式全大于零。定理定理5.2.5 n 阶阶Hermite矩阵矩阵 A非负定的充分必要条件非负定的充分必要条件是是A的所有主子式均非负的所有主子式均非负。定理定理5.2.6 n 阶阶Hermite矩阵矩阵 A正定的充分必要条件是正定的充分必要条件是存在存在n 阶非奇异下三角矩阵阶非奇异下三角矩阵 L 使得使得定义定义5.2.2则称则称为为广义特征值问题广义特征值问题 的特征值，非零的特征值，非零向量向量 x 称为对应于特征值的特征向量称为对应于特征值的特征向量。定理定理5.2.7 设设A,B 均为均为n 阶阶Hermite矩阵矩阵 ，且，且B0，则存在非奇异矩阵则存
10、在非奇异矩阵 P 使得使得5.3 5.3 矩阵不等式矩阵不等式定义定义5.3.1 设设 A,B 都是都是n 阶阶Hermite矩阵，若矩阵，若AB0，则称则称A大于或等于大于或等于B（或称（或称 B小于或等于小于或等于 A），记作），记作AB（或（或BA）；若）；若AB0，则称，则称A大于大于B（或称（或称B小于小于A），记作），记作AB或（或（B0，则则 定理定理5.3.3 设设A是是n 阶阶Hermite矩阵矩阵, 则则其中其中 和和 分别表示分别表示A的最大和最小特征值。的最大和最小特征值。推论推论5.3.1 设设A是是Hermite非负定矩阵，则非负定矩阵，则 A tr(A) I 。定理定理5.3.4 设设A, B均为均为n 阶阶Hermite矩阵，则矩阵，则定理定理5.3.5 设设A,B均为均为n 阶阶Hermite矩阵矩阵,且且AB = BA,则则定理定理5.3.65.4 Hermite5.4 Hermite矩阵的特征值矩阵的特征值* *定义定义5.4.1为为Hermite矩阵矩阵A的的Rayleigh商商。定理定理5.4.1定理定理5.4.2定理定理5.4.3定理定理5.4.4定理定理5.4.5则则则则定理定理5.4.6
