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1、N一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程 原始社会，由于计数的需要产生了自然数原始社会，由于计数的需要产生了自然数的概念，随着文字的产生和发展，出现了记数的概念，随着文字的产生和发展，出现了记数的符号：的符号：1 1、2 2、3 3、4 4、 ，进而建立了自，进而建立了自然数的概念。自然数的全体构成自然数集然数的概念。自然数的全体构成自然数集. . 此时只有自然数，其它的数如正数、负数、此时只有自然数，其它的数如正数、负数、分数分数甚至连零都还没有出现，人们的一切甚至连零都还没有出现，人们的一切活动也都用自然数表示，在计算时也只能进行活动也都用自然数表示，在计算时也只能进行加
2、法和乘法运算。加法和乘法运算。一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程 但随着生产活动的不断发展，有些活动就但随着生产活动的不断发展，有些活动就无法用数来表示了：无法用数来表示了： 如某人本来有五斗粮食，有一天他因故损坏如某人本来有五斗粮食，有一天他因故损坏了别人房屋须赔偿十斗粮食，他现在还有几斗了别人房屋须赔偿十斗粮食，他现在还有几斗粮食？粮食？ 这一问题在当时是无法用数学解决的，这一问题在当时是无法用数学解决的， 因为因为 5 510 10 N N 数集（自然数集）面临着数集（自然数集）面临着 第一次扩展第一次扩展一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程 自
3、然数集如何扩展呢？自然数集如何扩展呢？引进引进“新数新数”：0和正负整数，组成新数和正负整数，组成新数集集整数集整数集 Z = 0， 1， 2， 确定数集扩展的原则：确定数集扩展的原则：第一，要能解决实际问题或数学内部的矛盾。第一，要能解决实际问题或数学内部的矛盾。第二，要保留原有数集的性质，特别是它的运算性质，第二，要保留原有数集的性质，特别是它的运算性质， 同时又增加一些新的运算性质。同时又增加一些新的运算性质。引入新概念引入新概念:零和正负整数零和正负整数,数集数集N扩展了扩展了!于是：于是： 5 510105 5 Z Z N一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程Z 在
4、整数集的范围内，某些生产活动可以用减在整数集的范围内，某些生产活动可以用减法运算表示了，但类似法运算表示了，但类似 “三担粮食均分给七人，三担粮食均分给七人，每人可得多少担粮食？每人可得多少担粮食？”的问题仍然无法解决。的问题仍然无法解决。因为因为 3 37 7 Z Z同学思考同学思考:此时怎么办？此时怎么办？一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程数集（整数集）第二次扩展数集（整数集）第二次扩展表示新数的符号：如表示新数的符号：如 有理数有理数Q=0， 1， 2， ， - 根据数集扩展的原则，引入新数根据数集扩展的原则，引入新数“分数分数”及及引入新概念引入新概念:分数分数数
5、集数集Z又扩展了又扩展了!N一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程ZQ一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程 整数集的扩展和有理数整数集的扩展和有理数集的建立，大约是在公元前集的建立，大约是在公元前五世纪左右，由当时古希腊五世纪左右，由当时古希腊伟大的数学家伟大的数学家毕达哥拉毕达哥拉斯和其创立的非常有名的毕斯和其创立的非常有名的毕达哥拉斯学派最终完成。达哥拉斯学派最终完成。一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程 当时毕达哥拉斯学派认为：当时毕达哥拉斯学派认为：“万物皆数万物皆数”（指整数），（指整数）， 数是现实的基础，是严整性和数是现实
6、的基础，是严整性和次序的根据，是在宇宙体系里次序的根据，是在宇宙体系里控制着的永恒的关系。宇宙间控制着的永恒的关系。宇宙间一切事物都可归结为整数或整一切事物都可归结为整数或整数之比；世界上只存在整数和数之比；世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什分数，除此以外，没有别的什么数了。么数了。 一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程 毕达哥拉斯学派学毕达哥拉斯学派学派的一项重大贡献：派的一项重大贡献：证明了勾股定理证明了勾股定理一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程 不久，毕达哥拉斯学派成员希伯斯发现：边不久，毕达哥拉斯学派成员希伯斯发现：边长为长为1 1正
7、方形的对角线长正方形的对角线长m m既不是整数也不是分既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数数，是当时人们还没有认识的新数 希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们的恐慌引起了的恐慌引起了第一次数学危机第一次数学危机。 为了维护学派的威信，他们严密封锁希伯斯为了维护学派的威信，他们严密封锁希伯斯的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑。的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑。在得知希伯斯泄露其发现并逃跑时，毕达哥拉在得知希伯斯泄露其发现并逃跑时，毕达哥拉斯的忠实门徒四
8、处缉拿希伯斯，最终在地中海斯的忠实门徒四处缉拿希伯斯，最终在地中海的一条海船上发现了希伯斯，他们残忍地将希的一条海船上发现了希伯斯，他们残忍地将希伯斯扔进地中海。伯斯扔进地中海。一一、数的产生和扩展过程概念的、数的产生和扩展过程概念的 希伯斯发现：若：希伯斯发现：若： x2 = 2 则：则： x Q 为解方程为解方程 x2 = 2 引入引入 “2的平方根概念的平方根概念”，并用符号，并用符号 “ ” 表示表示 于是，于是，x2=2 x = 同时把它（即同时把它（即 ）称为无理数）称为无理数从而引发：从而引发： 数集（有理数集）第三次扩展数集（有理数集）第三次扩展一一、数的概念的产生和扩展过程、
9、数的概念的产生和扩展过程数集（有理数集）第三次扩展数集（有理数集）第三次扩展 引进引进“新数新数”：无理数：无理数 及其符号表示方及其符号表示方法法 如如 ： 实数实数R=0， 1， 2， - -引入新概念引入新概念:无理数无理数,数集数集Q进一步扩展了进一步扩展了!N一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程ZQR通过上述数的概念的扩展过程，可以看到：通过上述数的概念的扩展过程，可以看到：1、数的概念扩展的动力：、数的概念扩展的动力： 解决实际问题数学内部矛盾的需要解决实际问题数学内部矛盾的需要 2、数的概念发展了，数集也就扩展了、数的概念发展了，数集也就扩展了3、因而可以说：
10、数集是随着新数的概念、因而可以说：数集是随着新数的概念的引入而扩展的，数集的扩展解决了一些的引入而扩展的，数集的扩展解决了一些运算在原数集内不能适用的矛盾运算在原数集内不能适用的矛盾一一、数的概念的产生和扩展过程、数的概念的产生和扩展过程复习回顾复习回顾数数系系的的扩扩充充自然数自然数整整 数数有理数有理数实实 数数用图形表示为：用图形表示为：NZ ZQ QR R新课引入新课引入对于一元二次方程对于一元二次方程 没有实数根。没有实数根。我们知道：我们知道：即：在实数范围内，即：在实数范围内，引入新数：引入新数：满足满足满足满足 实数范围内不能解决这个问题，那么我们能实数范围内不能解决这个问题，
11、那么我们能实数范围内不能解决这个问题，那么我们能实数范围内不能解决这个问题，那么我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？题能得到圆满解决呢？题能得到圆满解决呢？题能得到圆满解决呢？虚数单位虚数单位 ：我们把引入的这个数我们把引入的这个数我们把引入的这个数我们把引入的这个数 叫做叫做叫做叫做虚数单位虚数单位虚数单位虚数单位，并且规定：，并且规定：，并且规定：，并且规定： 12-=i （1）； （2）实数可以与实数可以与实数可以与实数可以与 进行
12、四则运算，在进行四则运进行四则运算，在进行四则运进行四则运算，在进行四则运进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律算时，原有的加法与乘法的运算律算时，原有的加法与乘法的运算律算时，原有的加法与乘法的运算律( (包括交换律、结合包括交换律、结合包括交换律、结合包括交换律、结合律和分配律律和分配律律和分配律律和分配律) )仍然成立。仍然成立。仍然成立。仍然成立。复数的定义：复数的定义：我们把形如我们把形如a+bi (a,bR，i是是虚数单位虚数单位虚数单位虚数单位) )的数的数叫做复数。叫做复数。全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做复数集复数集复数集复数集，一般用字母一
13、般用字母C C C C表示。表示。复数的代数形式：复数的代数形式：我们通常用字母我们通常用字母 z z 表示复数，即表示复数，即其中其中 称为称为虚数单位。虚数单位。实部：实部：实部：实部：Re zRe z虚部虚部虚部虚部: :ImIm z z复数的分类：复数的分类： 对于复数，当且仅当对于复数，当且仅当b=0时，复数时，复数a+bi是是实数实数a； 当当b0时，复数时，复数z=a+bi叫做叫做虚数虚数；当；当a=0且且b0时，时，z=bi叫做叫做纯虚数纯虚数；当且仅当；当且仅当a=b=0时，时，z就是就是实数实数0。复数集与其它集合的关系：复数集与其它集合的关系：N Z Q R C 图形表示
14、：图形表示：NZ ZQ QR RC 例例1 说出下列三个复数的实部、虚部，并且说出下列三个复数的实部、虚部，并且指出它们是实数还是虚数，如果是虚数还应指出是指出它们是实数还是虚数，如果是虚数还应指出是否为纯虚数：否为纯虚数：根据复数的概念，复数根据复数的概念，复数a+bi 中，中， b=0时叫时叫实数实数； b0时叫时叫虚数虚数； a=0且且b0时叫时叫纯虚数纯虚数。分析：分析：注意：注意： ，虚数单位的平方是实数！，虚数单位的平方是实数！ 例题分析例题分析例例2 实数实数m取什么数值时，复数取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是：是：(1)实数？实数？ (2)虚数？虚数？ (3)纯虚数？
15、纯虚数？ 因为因为mR，所以，所以m+1，m1都是实数，由复都是实数，由复数数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的值。的值。分析：分析：解：解： (1)当当m1=0，即，即m=1时，复数时，复数z是实数；是实数； (2)当当m10，即，即m1时，复数时，复数z是虚数；是虚数； (3)当当m+1=0，且，且m10时，即时，即m=1时，时，复数复数z 是纯虚数。是纯虚数。 例例3 计算、化简：计算、化简：分析：分析： 紧扣虚数单位的概念：紧扣虚数单位的概念： ，它仍然满足，它仍然满足四则运算。四则运算。解：解：通过计算发现，虚数单位的乘方具有周期性：
16、通过计算发现，虚数单位的乘方具有周期性： 1.计算：计算： 2. 指出下列复数中的实部和虚部，并观察是否有指出下列复数中的实部和虚部，并观察是否有纯虚数。纯虚数。 3. 实数实数 取何值时，复数取何值时，复数 是：是：（1）实数）实数 （2）虚数）虚数 （3）纯虚数）纯虚数 （4）零）零动手做一做动手做一做小结：小结： 虚数单位虚数单位 : （1） ; （2）实数与它进行四则运算时，原有加、乘运算）实数与它进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。律仍然成立。 （3）周期性：）周期性：小结：小结： 形如形如 的数叫复数，的数叫复数，a 叫复数的叫复数的实部实部Re z， b叫复数的叫复数的虚部虚部Im z。全体复数所成的集合叫。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母做复数集，用字母C表示。表示。 复数复数 与实数、虚数、纯虚数及与实数、虚数、纯虚数及0的关系的关系 ：b=0时是时是实数实数； b0时是时是虚数虚数； a=0a=0，b0b0时，是时，是纯虚数纯虚数。 复数定义复数定义：五、回顾与小结五、回顾与小结正整数正整数零零负整数负整数 有理数有理数实数实数b=0 无理数无理数整数整数 分数分数复数复数z=a+bi（a、b R）虚数虚数b 0纯虚数纯虚数 （a=0）非纯虚数（非纯虚数（a 0）
