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1、1.1.2 瞬时变化率瞬时变化率 导数的概念导数的概念高二数学高二数学 选修选修 2-2 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用平均变化率平均变化率 一般的，函数一般的，函数 在区间上在区间上 的的平均变化率平均变化率为为 一一.复习复习 其几何意义是其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。曲线的割线）的斜率。 虽然运动员在虽然运动员在 这段时间里的平均速度为这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然在运动，但实际情况是运动员仍然在运动，先上升，后下降先上升，后下降,并并非静止非静止.平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态平均速度只能粗略的描述运
2、动员的运动状态,它并它并不能反映某一刻的运动状态。不能反映某一刻的运动状态。课本课本P3 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为度为h（单位：（单位：m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t(单位：单位：s )存存在函数关系在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10hto求求2时的瞬时速度？时的瞬时速度？2我们先考察我们先考察2附近的情况。附近的情况。任取一个时刻任取一个时刻2，是时间改变量，可以是正值，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为也可以是负值，但不为0.当当0时，在时，在2之前；之前；当当0时，在时，在2之后。之后。0时时20时时2二二
3、.新授课学习新授课学习t0时时, 在在2, 2 +t 这段时这段时间内间内当t = 0.01时,当t = 0.01时,当t = 0.001时,当t =0.001时,当t = 0.0001时,当t =0.0001时,t = 0.00001,t = 0.00001,t = 0.000001,t =0.000001, 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势?2时的瞬时速度 在局部以平均速度代替
4、瞬时速度，然后通过在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。思考：思考：如何求瞬时速度？如何求瞬时速度？lim是什么意思？是什么意思？在其下面的条件下求右面的极限值。在其下面的条件下求右面的极限值。运动员在某一时刻运动员在某一时刻0的瞬时速度如何表示的瞬时速度如何表示?、函数的平均变化率怎么表示？、函数的平均变化率怎么表示？思考：思考：定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数
5、, 记作记作或或 , 即即导数的作用：导数的作用：在问题在问题2中，高度中，高度h关于时间关于时间t的导数是运动员的导数是运动员的瞬时速度；的瞬时速度；在问题在问题1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于体积关于体积v的导数是气球的的导数是气球的瞬时膨胀率瞬时膨胀率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率由导数的定义可知由导数的定义可知, 求函数求函数 y = f (x)的导数的一般方法的导数的一般方法:1.求函数的改变量求函数的改变量2. 求平均变化率求平均变化率3. 取极限，得导数取极限，得导数一差、二比、三极限一差、二比、三极限
6、例例1.1.求求y=xy=x2 2在点在点x=1x=1处的导数处的导数解：解：例例2 2、f f (x x) = x= x2 2 7x+15 7x+15 ( 0x8 x8 ) . . 计算计算x=2x=2和和x=6x=6时的导数时的导数. .根据导数的定义根据导数的定义,所以所以,同理可得同理可得计算第计算第3（h）和第）和第5（h）时，原油温度的瞬时）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。变化率，并说明它们的意义。这说明这说明:在第在第3小时附近，原油温度大约以小时附近，原油温度大约以1的速率下降，的速率下降，在第在第5小时附近，小时附近，原油温度大约以原油温度大约以3的速率上升。的速率上升。课本第课本第6页练习：页练习：小结：小结： 1 1求物体运动的瞬时速度：求物体运动的瞬时速度：（1 1）求位移增量）求位移增量s=s(ts=s(t0 0+t)-s(t+t)-s(t0 0) ) (2) (2)求平均速度求平均速度（3 3）求极限）求极限2由导数的定义可得求导数的一般步骤：由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2) 求平均变化率求平均变化率（3）求极限）求极限课后作业课后作业三维设计三维设计第第3页页 例例2（1）（）（2）提示：第（提示：第（2）小题求导时要进行）小题求导时要进行分子分子有理化！有理化！
