3、构件的强度、刚度和稳定性[优教课堂]

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1、第第2篇篇 构件的强度、刚度和稳定性构件的强度、刚度和稳定性第第5章章 基本知识与构件变形的基本形式基本知识与构件变形的基本形式第第6章章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩第第7章章 剪切与挤压剪切与挤压第第8章章 扭转扭转第第9章章 梁的内力梁的内力第第10章章 截面几何性质截面几何性质第第11章章 梁的应力及强度计算梁的应力及强度计算第第12章章 梁的变形梁的变形第第13章章 组合变形的强度条件组合变形的强度条件第第14章章 压杆稳定压杆稳定1课堂教育第第5章章 基本知识与构件变形的基本形式基本知识与构件变形的基本形式5.1 基本任务基本任务5.2 关于变形固体的概念关于变形固体的概念5.3

2、基本假设基本假设5.4 构件变形的基本形式构件变形的基本形式小结小结2课堂教育5.1 基本任务基本任务5.1.1 强度要求：强度，强度要求：强度，是指材料或构件抵抗破坏的能力。2007年6月，九江大桥约200米桥面坍塌2008年2月，咸宁学院篮球馆被大雪压塌3课堂教育5.1.2 刚度要求：刚度，刚度要求：刚度，是指构件抵抗变形的能力。 美国Tacoma大桥在风荷载作用下的变形起重臂变形过大影响起重机正常工作4课堂教育5.1.3 稳定性要求：稳定性，稳定性要求：稳定性，是指细长受压构件保持直线平衡形式的能力。压杆失去直线平衡形式称为失稳失稳。 18811897年间，世界上有24座较大金属桁架结构

3、桥梁发生整体破坏；1907年，加拿大跨长548米的奎拜克大桥倒塌，研究发现是受压杆件失稳引起的。5课堂教育5.2 关于变形固体的概念关于变形固体的概念变形固体变形固体：在外力作用下形状和尺寸发生变化的固体。弹性变形弹性变形：指变形固体上的外力去掉后可消失的变形。塑性变形塑性变形：指变形固体上的外力去掉后不可消失的变形。完全弹性体完全弹性体：指在外力作用下只有弹性变形的固体。部分弹性体部分弹性体：指在外力作用下产生的变形由弹性变形和塑性 变形两部分组成的固体。小变形小变形：构件在荷载作用下产生的变形与构件本身尺寸相比 是很微小的。反之，称为大变形。 本章研究内容限于小变形范围。6课堂教育5.3

4、基本假设基本假设连续、均匀假设连续、均匀假设 ：假设物体在其整个体积内毫无空隙地充满了物质， 且物体的性质各处都一样。各向同性假设：各向同性假设：假设材料沿不同方向具有相同的力学性能。若材料沿不 同方向具有不同力学性能，则称为各向异性材料。弹性假设弹性假设：假设作用于物体上的外力不超过某一限度时，可将物体看成 完全弹性体。总之，本篇把构件视为连续、均匀、各向同性的可变形固体，且只研究弹性阶段的小变形问题。7课堂教育5.4 构件变形的基本形式构件变形的基本形式杆件杆件 ：指长度远大于横向尺寸的构件，简称杆。 等截面的直杆简称为等直杆。杆件变形的杆件变形的4 4种基本形式：种基本形式：1.1.轴向

5、拉伸或压缩轴向拉伸或压缩FF 在一对方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下，杆件将发生长度的改变（伸长或缩短）8课堂教育2.2.剪切剪切 在一对相距很近，大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的横截面将沿外力方向发生相对错动。FF9课堂教育3.3.扭转扭转MeMe 在一对大小相等、方向相反、位于垂直杆轴线的两平面内的力偶作用下，杆的相邻两横截面绕轴线发生相对转动。10课堂教育4.4.弯曲弯曲MM 在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的力偶作用下，杆将在纵向平面内发生弯曲。11课堂教育小结小结 基本任务 本篇研究对象是构件，研究的主要内容是构件的强度、刚度 和稳定性以及材料的力学性能

6、。 关于变性固体 1）具有可变形性质的固体称为可变形固体。 2）变形固体上的外力去掉后可消失的变形叫弹性变形，弹性变形，变形固体上的 外力去掉后不可消失的变形叫塑性变形（残余变形）塑性变形（残余变形）。 3）在外力作用下只有弹性变形的固体叫完全弹性体完全弹性体。而在外力作用下 产生的变形由弹性变形和塑性变形两部分组成的固体叫部分弹性体部分弹性体。 构件变形的基本形式 轴向拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。 基本假设 将构件视为连续、均匀、各向同性的可变形固体，且只研究 弹性阶段的小变形问题。 应注意的问题 区分第一篇和第二篇的基本概念。12课堂教育第第6章章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩6.1 轴

7、向拉轴向拉(压压)杆杆横截面的内力、轴力图横截面的内力、轴力图6.2 应力和应力集中的概念应力和应力集中的概念6.3 轴向拉轴向拉(压压)杆杆的强度计算的强度计算6.4 轴向拉轴向拉(压压)杆杆的变形计算的变形计算小结小结6.5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能6.6 轴向拉压超静定问题轴向拉压超静定问题13课堂教育6.1 轴向拉（压）杆横截面的内力、轴力图轴向拉（压）杆横截面的内力、轴力图ABCFFFDEGKH轴向力轴向力：外力的作用线与杆的轴线重合。轴向拉力轴向拉力（拉力）：使杆件伸长的轴向力。轴向压力轴向压力（压力）：使杆件缩短的轴向力。FFFF拉杆压杆14课堂教

8、育轴力轴力 ：拉压杆横截面上的内力。求解内力的方法求解内力的方法截面法截面法1）用假想的垂直于轴线的截面沿所求内力处切开，将构件分为两部分。 2）取两部分中的任意部分为脱离体，用相应的内力代替另一部分对脱离 体的作用。 3）对脱离体建立静力平衡方程，求未知内力的大小。 FABCFRFNFNCCFA甲BFRCC乙15课堂教育例例6-1 一杆件所受外力经简化后，其计算简图如图所示，试求各段截面上的轴力。3kN3kNIIIIII2kN3kN4kN2kNFN13kN2kNFN2FN34kN3kN2kNFN31kN3kNFN+ - -2kN解解：在第I段杆内，取左段为脱离体在第III段杆内，若取右段为脱

9、离体在第II段杆内，取左段为脱离体在第III段杆内，取左段为脱离体16课堂教育6.2 应力和应力集中的概念应力和应力集中的概念6.2.1 截面上一点的应力截面上一点的应力应力应力：截面上的内力的分布集度。CC一点处应力的两个分量：正应力 ：垂直于截面的分量；切应力 ：与截面相切的分量。应力单位：Pa,1Pa=1N/常用单位：MPa,1MPa=106PaGPa，1MPa=109Pa由此，C点的应力为17课堂教育6.2.2 拉（压）杆横截面上的正应力拉（压）杆横截面上的正应力CFABFRFFNACC轴力：FN正应力：证明: (1) 平面假设 （2） 纵向纤维伸长量相等 （3） 正应力在横截面均匀分

10、布lFF18课堂教育6.2.3 拉（压）杆斜截面上的应力拉（压）杆斜截面上的应力FF斜截面上的应力：1122F1FN由横截面上的正应力：得1F1斜截面上应力的两个分量为正应力切应力当 ，当 ，19课堂教育6.2.4 应力集中的概念应力集中的概念应力集中应力集中: 是指在构件截面突然变化处，局部应力远大于平均应力。这种应力在局部剧增的现象称为应力集中。圆孔附近的变形不同截面处的应力11F11dFFdb11F理论应力集中系数理论应力集中系数20课堂教育解：解：（1）求截面1-1和2-2的轴力。取截面1-1上部为脱离体取截面2-2上部为脱离体（2）求应力例例6-2 图为一正方形截面的阶形砖柱，柱顶受

11、轴向压力F作用。上段柱重为W1，下段柱重为W2。已知F=15kN，W1=2.5kN, W2=10kN,l=3m。求上、下段柱的底截面1-1和2-2上的应力。ll1212400200FABCW1W2FFW11-1FN1W1W22-2FN221课堂教育6.3 轴向拉（压）杆的强度计算轴向拉（压）杆的强度计算极限应力：极限应力：指材料丧失工作能力时的应力，记为 安全因数：安全因数：设计构件时给构件的安全储备， 许用应力：许用应力：构件在工作时允许承受的最大工作应力。确定安全因数的因素：（1）实际荷载与设计荷载的出入； （2）材料性质的不均匀性；（3）计算结果的近似性；（4）施工、制造和使用时的条件。

12、22课堂教育拉（压）杆的强度条件拉（压）杆的强度条件轴向拉压杆满足强度条件，必须保证杆件的最大工作应力不超过材料的许用应力，即求解工程实际中有关强度计算的3类问题（1）强度校核（2）选择截面（3）确定需用荷载23课堂教育例例6-3一钢筋混凝土组合屋架的计算简图如图所示。其中F=13kN,屋架的上弦杆AC和BC由钢筋混凝土制成，下弦杆AB为圆截面钢拉杆，直径为2.2cm。钢的许用拉应力=170MPa,试校核该拉杆的强度。F/2F/2F/2F/2FAFFFAFFBBC144014411441400144114421442144124课堂教育以C为矩心建立平衡方程：得（3）求拉杆横截面上的正应力故拉

13、杆安全解：解：（1）由屋架及荷载对称求支座反力（2）用截面法求拉杆轴力F/2F/2FAFAFC1440144120014421441FNFCxFCy25课堂教育例例6-4一空心铸铁短圆筒柱，顶部受压力F=500kN,筒的外径D=25cm，如图所示。已知铸铁的许用应力=30MPa，试求筒壁厚度。圆筒自重可略去不计。FD=25cmd26课堂教育则筒的内径值为由此得筒壁厚度的最小尺寸为最后选用=2.5cm,即筒的内径为20cm。因此圆环面积为FD=25cmd解：解：先求出所需横截面面积A=30MPaF=500kN,27课堂教育例例6-5如图所示某三脚架。钢拉杆AB长2m，其截面积为 A1=6cm2，

14、许用应力为 。BC为木杆，其截面积为A2=100cm2，许用应力为 。试确定该结构的许用荷载F F。FABC1228课堂教育解解：（1）截取节点B为脱离体,求出两杆轴力与力F之间的关系： 联立可得FABC12（2）求杆件允许的最大轴力。先让杆1充分发挥作用，求出最大轴力为所以许用荷载为FN1FBFN229课堂教育由此值求杆2的应力，并带入强度条件，有故杆2应力已超过许用应力，所以必须降低许用荷载。为此，若让杆2充分发挥作用，有求得杆2的许用荷载为故此三脚架的许用荷载值由杆2确定，其大小为F=40.4kN。30课堂教育6.4 轴向拉（压）杆的变形计算轴向拉（压）杆的变形计算6.4.1 线变形和线

15、应变线变形和线应变FF拉杆压杆llll杆件的变形ll线应变线应变：指杆件单位长度的变形。线应变是无量纲量，拉应变为正，压应变为负。31课堂教育6.4.2 胡克定律胡克定律比例常数E为弹性模量，弹性模量，是反映材料在弹性阶段抵抗变形的能力的一个量。其值由试验确定。弹性模量的纲量与应力相同：胡克定律胡克定律：由试验证明，大多数建筑材料，在变形不超过弹性范围时，其正应力与相应的纵向线应变成正比。即Pa,MPa,GPa32课堂教育6.4.3 拉（压）杆的轴向变形拉（压）杆的轴向变形根据胡克定律有因为得即拉压杆的轴向变形与轴力和杆长成正比，与弹性模量和截面面积成反比。EA反映了杆件抵抗变形的能力，称为拉

16、压杆的抗拉压刚度。33课堂教育6.4.4 拉（压）杆的横向变形拉（压）杆的横向变形FFFF拉杆压杆d1l1l1d1ddll杆件的横向变形横向线应变横向线应变：在弹性范围内，杆件的横向线应变与轴向线应变的比值，称为泊松比泊松比。弹性模量和泊松比都是表征材料弹性的常量，其值由试验确定。34课堂教育例例6-6 图为一两层的排架，横木搁在立柱上，作用于横木上的荷载全传给立柱。设在由横木传给柱子的荷载作用下，柱子在轴向受力状态下工作，其中一根柱子的计算简图如图所示。柱的截面是20cm20cm的正方形。求柱子上段及下段的内力、应力、应变及变形，并求柱的总形变。设木材顺纹受压的弹性模量E=10GPa。100

17、kN100kN35课堂教育解：解：（1）上段（图c） 或 （2）下段（图d）100kN100kN100kN100kN100kNFN1FN2b)c)d)36课堂教育或（3）全柱的总变形 负号表示柱子的变形为缩短。100kN100kNb)37课堂教育例例6-7 某等截面柱高l，横截面面积A，材料重度。求整个杆件由自重引起的线变形l。lO38课堂教育解：解：以柱顶O为坐标原点建立x轴，向下为正。 取x截面上部为脱离体如图所示， 得轴力方程为 应力方程为 应变方程为在x截面临近取一微段dx， 如图所示，其变形为lOxdxOFNFNFN全柱的线变形为 另外，柱的总重为 ，假设把柱的总重作为一个集中 荷载

18、加于柱顶，如图所示，则全柱的变形为39课堂教育6.5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能6.5.1 试件简介试件简介标准拉伸试验试件 ：对于直径为d的圆截面试件，规范中规定L=10d 或 L=5d，对于面积为A的扁矩形截面试件，规范中规定 或标准压缩试件 ：圆截面或方截面短柱体的长度与直径或边长的比值取1-3。LLb40课堂教育试验设备：万能试验机电阻应变仪试验名称：材料在常温、静载下的拉伸与压缩试验。41课堂教育6.5.2 材料在拉伸时的力学性能材料在拉伸时的力学性能1. 低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢拉伸时的力学性能应力-应变图FABCDBlOFbFpFsABCDBOb

19、 p s荷载-变形图（1 1）拉伸曲线）拉伸曲线42课堂教育 （2）变形发展的）变形发展的4个阶段个阶段ABCDBO p s第一阶段第一阶段弹性阶段弹性阶段（OA）应力与应变呈线性关系，材料服从虎克定律，OA线的斜率为材料的弹性模量E。应力应变呈线性关系的最大应力称为比例极限比例极限 p另外，材料还存在弹性极限，其值略高于比例极限，由于二者十分接近，所以工程上很少提及。 b43课堂教育第二阶段第二阶段屈服阶段（屈服阶段（BB）ABCDBO p sb此阶段应力几乎不变，而变形却急剧增大，这种现象称为屈屈服服或流动流动。材料发生屈服时的应力用 s表示，称为屈服极限屈服极限。此阶段杆件表面45方向出

20、现滑移线。 FF44课堂教育第三阶段第三阶段强化阶段强化阶段（BC）ABCDBO p sb经历了屈服之后，材料的内部结构重新得到了调整，抵抗变形的能力又有所回复，此时，要使试件继续变形，需要增大应力，这种现象称为强化强化。强化阶段材料产生弹性和塑性变形，强化阶段的最高点，所对应的应力称为强度极限强度极限，用b b 表示。45课堂教育第四阶段第四阶段颈缩阶段颈缩阶段（CD）ABCDBO p sb此阶段试件中某一薄弱截面显著收缩成颈，称为颈缩现颈缩现象象。材料变形增大，应力反而下降，最后导致材料在D点拉断。46课堂教育（3 3）材料的塑性指标）材料的塑性指标1）断后伸长率断后伸长率d d：试件断裂

21、后的长度L1减去原长L除以原长的百分比。2）断面收缩率断面收缩率：试件原面积A减去断裂后断口处的面积A1除以原面积的百分比。47课堂教育ABCDBO （4 4）卸载定律）卸载定律冷拉时效冷拉时效 构件卸载后在室外放置一段时间后再加载，将获得更高的强度指标，材料的弹性极限得到进一步提高，这种现象称作冷拉时效冷拉时效。冷作硬化冷作硬化 在低碳钢拉伸过程中，首次加载到超过弹性阶段的某一时刻卸载，则卸载曲线mn 基本上与OA平行，卸载后弹性变形消失，卸去的应力与卸去的应变成正比，即这叫卸载规律卸载规律。卸载后继续加载，此时应力应变曲线为mnCD, 材料的弹性极限有所提高，这种现象称作冷作硬化冷作硬化。

22、nm48课堂教育2.其它几种材料拉伸时的力学性能其它几种材料拉伸时的力学性能对于没有明显屈服阶段的塑性材料，取塑性变形为0.2%时所对应的应力值作为条件屈服极限，以 表示。49课堂教育铸铁的拉伸图典型的脆性材料铸铁，没有变形的四个阶段，在较小的变形下发生脆断破坏。由于没有明显的弹性阶段，故其弹性模量用一条割线的斜率代替，称作割线弹割线弹性模量。性模量。脆性材料的强度指标为：抗拉强度50课堂教育6.5.3 材料在压缩时的力学性能材料在压缩时的力学性能1.1.塑性材料压缩时的力学性能塑性材料压缩时的力学性能低碳钢材料在屈服阶段前，拉伸和压缩曲线基本重合，拉压弹性模量和屈服点相同。进入强化阶段后，试

23、件压缩时的应力随着应变的增长急剧增大。试件变为鼓形，不可能压碎。51课堂教育2.2.脆性材料压缩时的力学性能脆性材料压缩时的力学性能脆性材料受压时的变形和强度远高于受拉情况。铸铁受压时大致沿与轴线成45方向的斜面上发生剪切破坏。52课堂教育其它常用材料的力学性能其它常用材料的力学性能混凝土材料混凝土材料 由水泥、沙子、石子、添加剂、水混合而成，属于脆性材料。上下表面不加润滑剂受压时的破坏形式。上下表面涂抹润滑剂受压时的破坏形式。53课堂教育3.3.木材的力学性能木材的力学性能木材属各向异性材料，其顺纹方向的强度要比横纹方向的强度高的多，且其抗拉强度高于抗压强度。顺纹拉伸顺纹压缩横纹压缩54课堂

24、教育4. 塑性材料和脆性材料比较塑性材料和脆性材料比较1）塑性材料在弹性范围内，应力应变成正比，而脆性材料不具有严格 线性关系。2）塑性材料断裂时伸长率大，塑性好，而脆性材料伸长率小，塑性差。3）塑性材料屈服前，抗拉和抗压性能基本相同，而脆性材料抗压强度 远高于抗拉强度。4）塑性材料承受动荷载的能力强，而脆性材料承受动荷载的能力差。5）塑性材料的力学性能指标有弹性极限、屈服极限、强度极限、伸长 率、截面收缩率等，而脆性材料只有强度极限。6）塑性材料屈服时发生较大塑性变形，虽没产生断裂破坏，但变形过大将影响构件的正常工作；脆性材料的破坏形式为突发性脆断。55课堂教育6.6 轴向拉压超静定问题轴向

25、拉压超静定问题基本概念基本概念静定结构静定结构 结构的反力和内力可利用静力平衡方程求得，该类问题称为静定问题，其结构称为静定结构。超静定结构超静定结构 单凭静力平衡方程不能求解结构的全部反力和全部内力，这类问题称为超静定问题，其结构称为超静定结构。多余约束多余约束 维持结构平衡的多余约束或构件，称为多余约束。其对应的支反力或内力，称为多余未知力多余未知力。超静定次数超静定次数 指多余未知力的个数。56课堂教育超静定问题的解法超静定问题的解法ABCablFFCFAFB（1）静力方面（2）几何方面（3）物理方面（3）代入（2）得代入（1）得三方面三方面57课堂教育超静定问题的一般解法超静定问题的一

26、般解法1）判断超静定次数n。2）根据静力平衡原理列出独立的平衡方程。3）根据变形与约束情况应互相协调的要求列出变形几何方程。4）根据胡克定律列出相应的物理方程。5）将物理方程代入几何变形方程并化简得到补充方程。6）联立解平衡方程和补充方程，即可得出全部未知力。58课堂教育例例6-8图示结构由刚性杆AB及两弹性杆EC及FD组成，在B端受力F作用。两弹性杆的刚度分别为E1A1和E2A2 。试求杆EC和FD的轴力。FEAaDCBF59课堂教育aDCBFAFABCDFN1FN2FAyFAxCD解：解：受力分析 该结构为一次超静定（1）静力方面。取脱离体如图有（2）几何方面（3）物理方面解得60课堂教育

27、小结小结 轴向拉（压）杆的轴向内力称为轴力，截面法求解内力。 正应力应力集中的概念 轴向拉（压）杆的强度计算（1）截面上一点的应力 （2）正应力（3）斜截面上的应力（4）应力集中的概念强度计算一般有三类问题（）强度校核（）设计截面（）确定许用荷载61课堂教育（1）变形分4个阶段：弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段（2）3个强度指标：（3）弹性模量 （4）两个塑性指标 轴向拉（压）杆的变形计算轴向拉（压）杆的轴向线应变轴向拉（压）杆的横向线应变泊松比胡克定律轴向拉（压）杆的变形利用胡克定律求得 材料在拉伸压缩时的力学性能（5）卸载定律冷作硬化拉冷时效62课堂教育 解超静定问题的一般步骤：（）根据约

28、束性质，正确分析约束反力，确定超静定次数。（）根据静力平衡原理列出全部独立的平衡方程。（）根据变形几何关系，列出变形协调方程。（）将物理关系式代入变形协调方程，得出补充方程。（）将平衡方程与补充方程联立，求出全部未知力。 轴向拉（压）超静定问题63课堂教育第第7章章 剪切与挤压剪切与挤压7.1 剪切与挤压的概念及工程实例剪切与挤压的概念及工程实例7.2 剪切的实用计算剪切的实用计算7.3 挤压的实用计算挤压的实用计算小结小结64课堂教育7.1 剪切与挤压的概念及工程实例剪切与挤压的概念及工程实例当杆件受到大小相等、方向相反、作用线与轴线垂直且相距很近的横向力作用下，杆件的横截面将沿外力方向发生

29、相对错动，产生剪切变形。FF剪切面切应变切应变，横截面与纵向线形成的直角的改变量。65课堂教育工程实例工程实例连接构件中的剪切变形FF66课堂教育7.2 剪切的实用计算剪切的实用计算连接件的三种破坏形式连接件的三种破坏形式1）连接件被剪坏2）连接处局部挤压引起连接松动3）被连接件被拉断F F FF67课堂教育1.1.剪切面的剪力和切应力实用计算剪切面的剪力和切应力实用计算FFFFSFs 剪切面上的剪力A 剪切面面积68课堂教育FFFF一个剪切面上的平均剪力69课堂教育一个剪切面上的平均剪力FF/2F/2FF70课堂教育2.2.剪切强度条件剪切强度条件钢材的许用切应力许用拉应力F切应力切应力强度

30、条件71课堂教育7.3 挤压的实用计算挤压的实用计算挤压面积72课堂教育名义挤压应力名义挤压应力 挤压强度条件挤压强度条件 挤压面积挤压面积 材料的许用挤压应力材料的许用挤压应力钢材的许用挤压应力钢材的许用挤压应力材料的许用压应力材料的许用压应力73课堂教育例例7-1 两块钢板用3个直径相同的铆钉连接，如图所示。已知钢板宽度b=100mm，厚度=10mm，铆钉直径d=20mm，铆钉许用切应力=100MPa,铆钉许用挤压应力bs=300MPa，钢板许用拉应力=160MPa。试求许用荷载F。74课堂教育解：解：由此可得许用剪力, 即（1）按剪切强度条件求F每个铆钉所受剪力为据切应力强度条件75课堂

31、教育（2）按挤压强度条件求F F每个铆钉承受的挤压力为据挤压强度条件由此可得许用挤压力, 即76课堂教育（3）按连接板拉伸强度条件求F F。如图，1-1为危险截面。有由此可得式中，故应选取最小的荷载值作为此连接结构的许用荷载，取F=94.2kN即77课堂教育例例7-2如图所示为一普通螺栓连接接头，受拉力F作用。已知：F=100kN。钢板厚=8mm，宽b=100mm，螺栓直径d=16mm。螺栓许用应力=145MPa, bs=340MPa,钢板许用拉应力=170MPa。试校核该接头的强度。78课堂教育解解：（1）螺栓的剪切强度校核。沿螺杆的剪切面切开，受力分析假定每个螺栓所受的力相同，则剪力为 由

32、于所以满足强度要求。得79课堂教育（2）螺杆同板之间的挤压强度校核。由式中每个螺杆所收到的挤压力所以因此，安全。80课堂教育根据轴向拉伸强度的校核公式得也满足强度要求。第第2 2排有两个孔，截面被削弱得较多，需校核。排有两个孔，截面被削弱得较多，需校核。(3）板的拉伸强度校核。板的圆孔对板的截面面积的削弱，故对板需进行拉断校核。沿第1排孔的中心线偏右将板截开，取右部为脱离体，假定拉应力均匀分部，有平衡条件81课堂教育第第3 3排孔的截面积受到的内力比第排孔的截面积受到的内力比第2 2排孔小，而截面积大，所以更安全。排孔小，而截面积大，所以更安全。所以，安全。于是有平衡条件如图截面2-2，取脱离

33、体如图示所以而82课堂教育小结小结剪切变形是杆件的基本变形之一。 剪切时的内力的方向总是作用与横截面内。 与剪切对应的切应力 作用在横截面内。以两个作用力间的横截面为分界面，构件两部分沿该面（剪切面）发生相对错动。了解铆接和螺栓联接构件的实用计算。 （1）铆钉的剪切强度条件： （2）铆钉或连接板钉孔壁的挤压强度条件： （3）连接板的拉伸强度条件：在求解此类问题的过程中，关键在于确定剪切面和挤压面。 83课堂教育第第8章章 扭转扭转8.1 概述概述8.2 扭矩的计算及扭矩图扭矩的计算及扭矩图8.3 薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力8.4 切应力互等定理和剪切胡克定律切

34、应力互等定理和剪切胡克定律8.5 实心圆轴扭转时的应力和强度条件实心圆轴扭转时的应力和强度条件小结小结8.6 等直圆杆的扭转变形、刚度条件和等直圆杆的扭转变形、刚度条件和 扭转超静定问题扭转超静定问题84课堂教育8.1 概述概述扭转受力：扭转受力：作用面垂直于杆件轴线、等值、反向的两个力偶 作用，杆件发生扭转变形。变形特点变形特点：横截面绕轴线发生转动。 门过梁相对扭转角相对扭转角 ：两个截面的相对转角。工程实例工程实例85课堂教育8.2 扭矩的计算及扭矩图扭矩的计算及扭矩图8.2.1 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 外力偶矩：外力偶矩：使杆件产生扭转变形的力偶矩。记为Me一般情况下，已知传动轴

35、的功率P（kW),传动轴的转数n (r/min)。由此得外力偶矩 Me= 9549P /n (Nm) 则由功率计算每分钟做功：W=P100060外力偶矩每分钟所做的功W=Me=Me2n86课堂教育8.2.2 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 1. 扭矩：扭矩：由截面法计算横截面上的扭矩T=Me由平衡方程 Mx=0得正负号：正负号：右手螺旋法则，使四指沿扭矩的转向握住圆杆，若拇指的指向离开截面向外为正，反之为负。2. 扭矩图：扭矩图：横坐标平行于轴线，纵坐标代表扭矩的大小。 正扭矩位于轴线上方，负扭矩位于轴线下方。87课堂教育例例8-1 试作出图示圆轴的扭矩图。解解：（1）截面法在1-1处切开，取左段分

36、离体，根据平衡方程得在2-2处切开，取左段分离体。得在3-3处切开，取右段为分离体。（2）根据各段扭矩值绘图由得由88课堂教育例例8-2 如图所示传动轴，A轮为主动轮，输入功率 从动轮B、C的输出功率为 ，从动轮D的输出功率 ，传动轮的转速为n=300r/min。试画出此轴的扭矩图。89课堂教育解解：（1）计算外力偶矩（2）计算各段扭矩BC段CA段：AD段：（3）画扭矩图可以看出90课堂教育8.3 薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力 线弹性、小变形范围内，薄壁圆筒受扭变形：1)平面假设：各圆周线形状、大小不变，变形前为平面的横截面，变形后仍为平面；2)圆周只绕轴线转动

37、一个角度，圆筒没有横向和纵向线应变。3)各纵向线倾斜相同角度，横截面上有切应力，薄壁构件切应力沿壁厚均匀分布。横截面上的切应力：91课堂教育8.4 切应力互等定理和剪切胡克定律切应力互等定理和剪切胡克定律8.4.1 切应力互等定理切应力互等定理 从薄壁圆筒中取一单元体，由单元体平衡方程得：即切应力互等定律切应力互等定律 在两个互相垂直的截面上的切应力必然成对存在，而且大小相等，其方向或共同指向两平面的交线，或共同背离两截面的交线。 92课堂教育8.4.2 剪切胡克定律剪切胡克定律纯剪切应力状态纯剪切应力状态： 单元体侧面上只有切应力而无正应力的应力状态。剪切胡克定律：剪切胡克定律：在线弹性范围

38、内，切应力与切应变成正比。G材料的切变模量在弹性范围内，切变模量，弹性模量和泊松比之间的关系为：93课堂教育8.5 实心圆轴扭转时的应力和强度条件实心圆轴扭转时的应力和强度条件8.5.1 应力计算应力计算 1.试验现象的观察与分析 平截面假定：各圆周线绕轴线转 动，且大小，形状不变。 纵向线倾斜相同角度。 由几何关系和物理关系可知横 截面切应力的分布规律。2.圆轴扭转时横截面内的切应力94课堂教育圆轴扭转时横截面上的切应力公式切应力在横截面上的分布如图所示。即切应力沿半径方向按直线规律变化，在与圆心等距离的各点处，切应力均相等。实心圆轴称为极惯性矩。极惯性矩。 空心圆轴95课堂教育8.5.2

39、强度条件强度条件 塑性材料受扭：试件在最大切应力处产生屈服破坏。即沿横截面产生剪断破坏。脆性材料受扭：沿最大拉应力作用的斜截面发生拉断破坏。96课堂教育塑性材料极限应力：屈服应力脆性材料的极限应力：抗剪强度许用切应力许用切应力n 安全系数安全系数在常温下，材料的许用切应力和拉伸许用应力的关系为塑性材料：脆性材料：圆轴扭转的强度条件圆轴扭转的强度条件 抗扭截面系数实心圆轴空心圆轴97课堂教育8.6 等直圆杆的扭转变形、刚度条件和扭转超静定问题等直圆杆的扭转变形、刚度条件和扭转超静定问题8.6.1 等直圆杆的扭转变形计算等直圆杆的扭转变形计算 计算扭转角的公式 扭转刚度 截面扭转角（单位：rad)

40、98课堂教育例例8-3 如图所示空心圆轴，外径D=40mm，内径d=20mm，杆长l=1m，外力偶，材料的切变模量G=80GPa。试求：（1）=15mm的K点处的切应力。（2）横截面上的最大和最小切应力。（3）A截面相对B截面的扭转角。99课堂教育（3）计算为（1）计算极惯性矩（2）用截面法求出梁上的扭矩，分别计算各点切应力为解：解：100课堂教育8.6.2 圆轴扭转时的刚度条件圆轴扭转时的刚度条件 圆轴扭转时的刚度条件: 最大单位长度扭转角不超过许用范围 扭转刚度 截面扭转角（单位：rad) 单位长度的许用扭转角（单位：rad/m)101课堂教育例例8-4一钢轴的转速n=250r/min。传

41、递功率P=60kW，许用切应力=40MPa，单位长度的许用扭转角=0.014rad/m,材料的切变模量G=80GPa，试设计轴径。解解：（1）计算轴的扭矩（2）根据圆轴扭转时的强度条件，求轴径。由得（3）根据圆轴扭转时的刚度条件，求轴径。得所以，应按刚度条件设计轴径，取d=68mm。102课堂教育8.6.3 扭转超静定问题扭转超静定问题 扭转超静定的解法：几何方面：杆的扭转变形满足变形协调条件和边界条件。物理方面：线弹性范围，力与变形成正比。静力学方面：列平衡方程。例例8-5 图受扭圆截面轴，已知，抗扭刚度为，试求支座A、B的反力偶矩。103课堂教育约束力偶 与图方向相反。解解：受力分析如图，

42、本题为一次超静定。几何条件补充方程即A截面和B截面的相对扭转角为零。由叠加法得解得由平衡方程解得104课堂教育例例8-6有一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，如图所示。两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一个角。在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B上的外力偶。试问两杆内的扭矩分别为多少？已知杆A和杆B的极惯矩分别为和；两杆材料相同，切变模量为G。105课堂教育上面三式联立，解得解：解：套管A和圆杆安装后在连接处有一相互作用力偶矩T，在此力偶矩作用下，A管转过一个角度，B杆转过的角度为，由A、B杆连接处的几何协调条件得由物理

43、关系知A、B杆的扭矩相同，大小相等。106课堂教育小结小结 扭转变形是杆件的基本变形之一。本章研究薄壁圆筒和圆轴扭转时的应力和变形计算及强度和刚度计算，介绍了切应力互等定理和剪切胡克定律。扭转时内力是扭矩T；应力是切应力 ；变形用扭转角 度量。切应力计算公式、强度条件、扭转角计算公式、强度条件。 任一横截面上任一点的切应力： 强度条件： 某一截面相对另一截面的扭转角： 刚度条件：107课堂教育常用的实心圆截面和空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数的计算公式分别是： 实心圆截面： 空心圆轴： 求解扭转超静定问题必须综合变形协调条件和边界条件、物理方程、 静力平衡方程三个方面，求解约束反力，进而求解

44、内力和进行强度、刚度计算。 108课堂教育第第9章章 梁的内力梁的内力9.1 工程实际中的弯曲问题工程实际中的弯曲问题9.2 梁的计算简图梁的计算简图9.3 梁的内力及内力图梁的内力及内力图9.4 弯矩、剪力与荷载集度间的关系弯矩、剪力与荷载集度间的关系小结小结9.5 叠加法作剪力图和弯矩图叠加法作剪力图和弯矩图109课堂教育9.1 工程实际中弯曲问题工程实际中弯曲问题受力特点受力特点：在轴线平面内受到外力偶或垂直于轴线方向的外力；变形特点变形特点：杆件的轴线弯曲成曲线。这种形式的变形称为弯曲。工程实例：工程实例：屋面大梁、桥式起重机梁、基础梁等。110课堂教育梁：梁：以弯曲为主要变形的杆件。

45、平面弯曲：平面弯曲：若所有的外力都作用在同一对称平面内，梁在变形时，其轴线也将在此对称平面内弯曲成一条光滑的平面曲线。这种弯曲称为平面弯曲。对称弯曲对称弯曲：有纵向对称面的平面弯曲称为对称弯曲。纵对称面纵对称面111课堂教育工程中梁的受力和支承情况比较复杂，需要进行合理的简化,以得到定量分析的力学模型，称为计算简图。计算简图。简化的原则：简化的原则：（1）要反映梁的主要受力特点（2）要便于进行力学分析（3）简化内容： 梁本身的简化 支座的简化 荷载的简化 9.2 梁的计算简图梁的计算简图q112课堂教育工程中简单静定梁的三种形式工程中简单静定梁的三种形式1.1.简支梁2.2.外伸梁3.3.悬臂

46、梁超静定梁超静定梁113课堂教育9.3 梁的内力及内力图梁的内力及内力图9.3.1 梁弯曲时的内力梁弯曲时的内力剪力、弯距及其正负号规定剪力、弯距及其正负号规定剪力剪力M弯距弯距114课堂教育对剪力和弯距的正负号作如下规定：对剪力和弯距的正负号作如下规定：使所取梁段（左段或右段）发生顺时针转动的剪力为正，反之为负；使所取梁段（左段或右段）产生上凹下凸变形的弯距为正，反之为负。115课堂教育某截面上的剪力等于所取左段梁或右段梁上各外力的代数和；取左梁研究时，向上外力取正，向下外力取负。取右段梁研究时，向下外力取正，向上力取负；某截面上的弯距等于所取梁段（左或右段）各外力、外力偶对该截面形心力矩的

47、代数和；引起该梁段上凹下凸变形的力矩、力偶距取正，反之取负。截面内力计算方法小结截面内力计算方法小结116课堂教育例例9-1一外伸梁如图所示，试求1-1、2-2、3-3截面上的内力。117课堂教育解：解：（1）求出支座反力（2）求1-1截面上的剪力和弯矩。取该截面左段梁来计算，得截面1-1上的剪力为负值，即剪力使左段梁发生逆时针转动，弯矩为负值，即该截面的变形凸向上。118课堂教育截面3-3的剪力为正值，即剪力使右段梁发生顺时针转动；弯矩为正值，即该截面处变形凸向下。（3）求2-2，3-3截面上的剪力和弯矩。取右段梁计算，得119课堂教育以沿梁轴的横坐标表示梁横截面位置，以纵坐标表示相应截面上

48、的剪力和弯距数值。按照一定的比例画出函数图线。9.3.2 剪力方程和弯距方程，剪力图和弯距图剪力方程和弯距方程，剪力图和弯距图梁各个横截面上剪力方程和弯距方程为绘制剪力图和弯距图的方法：120课堂教育例例9-2 悬臂梁受集中力作用，如图所示，试列出该梁的剪力方程、弯矩方程并作出剪力图和弯矩图。Fxlx121课堂教育由上式知，梁上各截面上的剪力均相同，其值为-F，所以剪力图是一条平行于x轴的直线且位于x轴下方。M（x）是线性函数，因而弯矩图是一斜直线，只需确定其上两点即可。Fxlx解解：（1）列剪力方程和弯矩方程。设x轴沿梁的轴线，以A点为坐标原点，取距原点为x的截面左侧的梁段研究，得（2）绘制

49、剪力图和弯矩图。122课堂教育例例9-3 简支梁受集中力F作用，如图所示。试列出该梁的剪力方程、弯矩方程并作出剪力图和弯矩图。ABC123课堂教育解：解：（1）求支反力。由平衡方程和得方向如图所示。（2）列剪力方程和弯矩方程以梁的左端A为坐标原点，x轴沿梁的轴线。AC段：取距原点为x1 的任意截面，得ABC124课堂教育CB段：在CB段内取距原点为x2的任意截面，得（ 3）绘制剪力图和弯矩图由剪力图、弯矩图知，当ab，当a=b=l/2时，则最大弯矩发生在梁中点截面处，其值为在集中力作用处，其左右两侧横截面上的弯矩相同，而剪力突变，突变值等于该集中力之值。ABC125课堂教育例例9-4 图示简支

50、梁，在全梁上受均布荷载q的作用，试列出剪力方程、弯矩方程并作剪力图和弯矩图。126课堂教育解：解：（2）列剪力方程和弯矩方程。取距左端为x的任意横截面，剪力图为一斜直线，只需确定其上两点。弯矩图为一抛物线，需确定3点。由图可见，两端面处的剪力值最大 （1）求支反力。由对称关系，可得最大弯矩发生在剪力为零的跨中截处， l/2127课堂教育例例9-5 简支梁受集中力偶作用，如图所示，试列出剪力方程，弯矩方程并作剪力图和弯矩图。128课堂教育解解：（2）列出剪力方程和弯矩方程。 以梁的左端A为坐标原点 AC段： 得 （1）求支反力。由力偶平衡条件CB段：（3）绘制剪力图和弯矩图。FAFB129课堂教

51、育9.4 弯距、剪力与荷载集度间的关系弯距、剪力与荷载集度间的关系设梁上有任意分布的荷载，规定向上为正。x轴坐标原点取在梁的左端，在距截面x处取一微段梁dx如图示130课堂教育利用剪力、弯矩、分布荷载的微分关系作剪力图和弯距图利用剪力、弯矩、分布荷载的微分关系作剪力图和弯距图1. 梁上无均匀荷载时，剪力图为水平线，弯距图为一斜直线，斜线方向由剪力的正负号决定。2. 梁上有均匀荷载作用时，剪力图为一斜直线，弯距图为二次曲线。3. 若梁上某一截面的剪力为零，该截面的弯距是一个极值，不一定是最大值或最小值。4. 梁上有集中力作用处，剪力图有突变，弯距图有尖角。5. 集中力偶作用处，剪力图无变化，弯距

52、有突变。131课堂教育例例9-6 试绘图示梁的剪力图和弯矩图。132课堂教育解：解：（1）求支反力 得由得AC段为抛物线，且抛物线下凸, 为该抛物线的顶点。BC段为一水平线。且在B处有集中力偶，弯矩发生突变，突变值为该集中力偶矩的值。（2）画剪力图AC段q为常量且小于零，所以AC段剪力图为向下斜的直线,CB段q=0且无集中力作用，所以为一水平线。（3）画弯矩图由133课堂教育例例9-7 外伸梁如图所示。q=20kN/m,F=20kN,M=160kNm, 绘制此梁的剪力图和弯矩图。q134课堂教育解：解： （1）求支反力说明支座反力求解正确。由 校核，135课堂教育16（2）画剪力图（3）画弯矩

53、图136课堂教育9.5 叠加法作剪力图和弯距图叠加法作剪力图和弯距图 所谓叠加原理叠加原理，指的是由几个外力共同作用时，某一截面处引起某一参数（如内力、应力或变形等），等于每个外力单独作用时所引起该参数值的代数和。 例例9-8 用叠加法作图示悬臂梁的内力图。137课堂教育解：解：先将梁上的每个荷载分开，分别作只有集中力和只有均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。将两剪力图和两弯矩图分别叠加。 直线与直线叠加后仍为直线，直线与曲线或曲线与曲线叠加后为曲线。直线与直线叠加后仍为直线，直线与曲线或曲线与曲线叠加后为曲线。138课堂教育 例例9-9 试按叠加原理作图示简支梁的弯矩图，并令 计算梁的极值弯矩和

54、最大弯矩。139课堂教育解：解：将简支梁上的荷载分开，分别作只有集中力偶和只有均布荷载作用时的弯矩图。140课堂教育当时，先确定支座A的反力，由得极值弯矩所在截面剪力为零， 故此截面的极值弯矩如图，全梁的最大弯矩在x=0截面上， 。141课堂教育小结小结本章应首先掌握平面弯曲的基本概念及梁结构的简化原则。熟记剪力、弯距的定义及正负号规定。学会用截面法计算梁指定截面上的内力值和截面上内力值的计算法则。剪力方程、弯距方程的建立，着重掌握剪力图、弯距图的绘制。建立剪力方程、弯矩方程时通常以梁的左端为坐标原点，x轴沿梁的轴线方向。应掌握均布荷载、剪力、弯距之间的微分关系绘制内力图时注意集中力和集中力偶

55、处剪力图和弯矩图上的突变。用叠加法绘制比较简单的弯矩图较方便，而对于梁上有多种荷载或受力比较复杂的情况下，叠加法不一定方便。142课堂教育第第10章章 截面几何性质截面几何性质10.1 静矩和形心静矩和形心10.2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积10.3 平行移轴公式和转轴公式平行移轴公式和转轴公式10.4 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩小结小结143课堂教育10.1 静矩和形心静矩和形心10.1.1 静矩静矩CzCyCdAzyOzyA如图示为一任意形状的平面图形，其面积为A，在平面图形内选取坐标系zoy。在坐标（z,y）处取微面积dA，则微面积dA与坐标y(或坐标z)的乘积称为微面积dA

56、对轴z（或y轴）的静距，记作积分遍及整个面积A，故静距也称为作面面积的一次矩或面的一次矩或面积矩。矩。单位：单位： m3144课堂教育10.1.2 形心形心 设平面图形的形心C的坐标为zC、yC，平面图形形心的坐标的公式为在的极限情况下，图形形心坐标的精确公式可写成积分形式，即当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。平面图形对其对称轴的静矩必等于零。代入静矩的表达式，得145课堂教育10.1.3 组合图形的静矩组合图形的静矩 根据平面图形静矩的定义，组合图形对z轴（或y轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即组合图形形心的

57、计算公式为146课堂教育例例10-1 矩形截面尺寸如图所示,试求该矩形对z1轴的静矩 和对形心轴静矩 。解解：（1）计算矩形截面对z1轴的静矩。 （2）计算矩形截面对形心轴的静矩。 由于z轴为矩形截面的对称轴， 通过截面形心，所以矩形截面 对z轴的静矩为Czyz1b/2b/2h/2h/2147课堂教育例例10-2 试计算图示的平面图形对z1和y1轴的静矩，并求该图形的形心位置。解：解：将平面图形看作由两个矩形1和2组成，其面积分别为矩形2：两个矩形的形心坐标分别为矩形1：148课堂教育该平面图形的形心坐标为该平面图形对 轴和 轴的静矩分别为149课堂教育10.2 惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积

58、10.2.1 惯性矩惯性矩定义：定义：惯性矩为截面对轴的二次矩。平面图形对z轴（或y轴）的惯性矩 Iz，Iy定义为dAzyOzyA单位：m4150课堂教育 平面图形对任一点的极惯性矩，等于图形对该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和，其值恒为正值。 极惯性矩也称为截面对点的二次矩dAzyOzyA极惯性矩 定义为151课堂教育10.2.2 惯性积惯性积微面积dA与它的两个坐标轴y、z的乘积yzdA，称为微面积dA对y、z轴的惯性积。惯性积。整个图形上所有微面积对z、y两轴惯性积的总和称为该图形对z、y两轴的惯性积。惯性积。两个坐标轴中只要有一根轴为平面图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯性

59、矩一定等于零。dAzyOzyA单位：m4，惯性积可正、负或零。152课堂教育10.2.3 惯性半径惯性半径 在工程中因为某些计算的特殊的需要，常将图形的惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方的乘积。 平面图形对z轴、y轴和极点的惯性半径，也叫回转半径。、或改写为单位：m153课堂教育例例10-3 矩形截面的尺寸如图所示。试计算矩形截面对其形心轴z、y的惯性矩，惯性半径及惯性积。解：解： （1）计算矩形截面对z轴和y轴的惯性矩矩形截面对z轴的惯性矩为矩形截面对y轴的惯性矩为Cybhzdzdy154课堂教育（2）计算矩形截面对z轴、y轴的惯性半径。（3）计算矩形截面对z轴、y轴的惯性积。 因为z轴和

60、 y轴为对称轴，所以Cybhdzdyz155课堂教育例例10-4 直径为D的圆形截面如图所示。试计算圆形对形心轴z轴、y轴的惯性矩和惯性半径。解：解： （1）计算圆形截面对形心轴z轴、y轴 的惯性矩。圆形截面对O点的极惯性矩为由对称性知zyC156课堂教育（2）计算圆形截面对其形心轴z轴、y轴的惯性半径。取平行于z轴的微小长条为微面积dA而由于对称性，圆形截面对任一根形心轴的惯性矩都等于由对称性知，惯性半径对任意形心轴均相等157课堂教育10.3 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式10.3.1 平行移轴公式平行移轴公式在平面图形上取微面积dA,微面积dA在z、

61、y和z1、y1坐标系中的坐标分别为（z,y）(z1,y1),由图可见，微面积dA在两个坐标系中的坐标有如下关系zbOz1y az1CzydAy1y1158课堂教育图形对任一轴的惯性矩,等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。由于a2（或b2）恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。同理得其中得bOz1y az1CzydAy1y1159课堂教育解：解： z轴、y轴是矩形截面的形心轴， 它们分别与 轴和 轴平行， 由平行移轴公式，得惯性矩分别为例例10-5 计算如图示矩形截面对 轴和 轴的惯性矩。Czyb/2b/2h/2h/2z1y1160课

62、堂教育例例10-6 三角形截面图形如图所示。已知 ， 轴与 轴平行。试求该图形对 轴的惯性矩。故三角形截面对 轴的惯性矩为注意，在应用平行移轴公式时，z轴、y轴必须是形心轴， 、 轴必须分别与z轴、y轴平行。解：解： 已知该图形形心到z轴的距离为h/3， 由平行移轴公式得联立上式得Czbhz1z0h/3161课堂教育10.3.2 组合图形惯性矩的计算组合图形惯性矩的计算 组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和，即计算组合图形的惯性矩时，首先应确定组合图形的形心位置，然后通过积分或查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩，再利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其

63、形心轴的惯性矩。162课堂教育例例10-7 试计算图示T形截面对其形心轴z轴、y轴的惯性矩。zyC163课堂教育解：解： （1）计算截面的形心位置。由于T形截面有一根对称轴，形心必在此轴上，即选坐标系 ，以确定截面形心的位置 。将T形分成如图所示的两个矩形1、2，其面积和形心位置分别为T形截面的形心坐标为zyCzOyC12164课堂教育（2）计算组合图形对形心轴的惯性矩 、 。分别求出矩形1、2对形心轴z轴、y轴的惯性矩。由平行移轴公式，得整个图形对z轴、y轴的惯性矩分别为165课堂教育本题也可用“负面积法”计算。T形截面可看成是由 的矩形减去两个面积均为 的小矩形而得到的。两种计算方法所得结

64、果相同。当把组合图形视为几个简单图形之和时，其惯性矩等于简单图形对同一轴惯性矩之和；当把组合图形视为几个简单图形之差时，其惯性矩等于简单图形对同一轴惯性矩之差。166课堂教育例例10-8 试计算如图所示的由方钢和I I20a工字钢组成的组合图形对形心轴z轴、y轴的惯性矩。yzbh10120C167课堂教育（1）计算组合图形的形心位置。 取z轴作为参考轴，y轴为组合图形的对称轴，组合图形的形心必在y轴上，故 查表后可计算得解：解：（2）计算组合图形对形心轴z轴、y轴的惯性矩。 先计算工字钢和方钢截面对本身形心轴z轴、y轴的惯性矩。查表：yzbh10120zCyC168课堂教育整个组合图形对形心轴

65、的惯性矩应等于工字钢和方钢截面对形心轴的惯性矩之和由平行移轴公式可得工字钢和方钢截面分别对形心轴z轴、y轴的惯性矩为169课堂教育10.3.3 转轴公式转轴公式 如图所示为任意形状的平面图形，平面图形内任一微面积dA在两个坐标系中的坐标（z、y）(z1,y1)之间的关系为zyy1z1zyz1y1dAo图形对z1轴的惯性矩170课堂教育两式左右两边分别相加，可得平面图形对于通过同一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于该图形对该坐标原点的极惯性矩。带入并整理，可得惯性矩和惯性积的转轴公式利用倍角公式171课堂教育10.4 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩由转轴公式可知，惯性积随角

66、作周期变化，故总可以找到一对坐标轴z0、y0，使平面图形对这对坐标轴的惯性积为零。通常我们把这一对坐标轴称为平面图形的主惯性轴主惯性轴，简称主轴主轴。平面图形对主轴的惯性矩称为主惯性矩主惯性矩。主惯性轴的方位主惯性轴的方位172课堂教育主惯性矩的大小主惯性矩的大小通过平面图形形心C的主惯性轴称为形心主惯性轴形心主惯性轴，简称形心主轴形心主轴。平面图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩形心主惯性矩。对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按如下方法确定： 如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，而另一根形心主轴 通过图形的形心且与该轴垂直。 如果图形有两根对称轴，则两根轴都是形心主轴。 如

67、果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴都是形心主轴， 且对任一形心主轴的惯性矩都相等。173课堂教育小结小结本章主要研究与杆件的平面图形形状和尺寸有关的一些几何量（如静距、惯性距、惯性积、主轴及主惯性距等）的定义和计算方法。这些几何量统称为平面图形的几何性质。主要计算公式（1）静距 （2）惯性距 （3）惯性积 174课堂教育（4）惯性半径 （5）平行移轴公式 （6）主惯性轴方位 （7）主惯性距 175课堂教育组合图形 组合图形对某轴的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，组 合图形对某轴的惯性矩等于各简单图形对同一轴惯性矩的代数和。 平面图形的形心主轴 形心主轴是一对通过形心且惯性积为零

68、的轴。形心主轴的特征： （1）整个图形对形心主轴的静矩恒为零； （2）整个图形对形心主轴的惯性积恒为零； （3）在通过形心的所有轴中，图形对一对正交形心主轴的惯性矩， 分别为最大值和最小值； （4）图形若有一根对称轴，此轴必是形心主轴。图形对形心主轴的惯性矩为形心主惯性矩 。176课堂教育第第11章章 梁的应力及强度计算梁的应力及强度计算11.1 梁纯弯曲时横截面上的正应力梁纯弯曲时横截面上的正应力11.2 纯弯曲理论在横力弯曲中的推广纯弯曲理论在横力弯曲中的推广 及梁的正应力强度条件及梁的正应力强度条件11.3 弯曲时的切应力和强度计算弯曲时的切应力和强度计算11.4 梁的合理截面形状及变截

69、面梁梁的合理截面形状及变截面梁小结小结177课堂教育11.1 梁纯弯曲时横截面上的正应力梁纯弯曲时横截面上的正应力横力弯曲：横力弯曲：梁的横截面上即有剪力Fs又有弯距M，这种弯曲称为横力弯曲。 纯弯曲：弯曲：梁的横截面上，剪力Fs为零，弯曲M是一个常数，这种弯曲称为纯弯曲178课堂教育梁在纯弯曲时横截面上的正应力梁在纯弯曲时横截面上的正应力几何方面几何方面（1）纵向线aa和bb变成了相互平行的圆弧线，梁凹边的纵向线缩短，凸边的纵向线伸长.（2）对梁的纯弯曲下的变形作如下假设：梁弯曲后原来的横截面仍为平面，在旋转一定角度后与轴线保持垂直，该假设称为弯曲问题的平面假设平面假设。179课堂教育中性层

70、：中性层：梁在变形后凹边纤维缩短，凸边纤维伸长，根据 梁的连续性，由缩短到伸长必然有一层纵向纤维的长度不变，这一层为中性层。中性轴：中性轴：指中性层与横截面的交线。180课堂教育由几何图形可知，距中性轴距离为y处的纵向纤维b1b2的线应变为中性轴的曲率为代入得由此可得，横截面各点处线应变与该点到中性轴的距离成正比。181课堂教育物理方面物理方面假设梁在纯弯曲时纵向纤维之间无挤压作用，即各条纵向纤维仅发生简单的拉伸或压缩，梁内各点均处于单向应力状态。材料在线弹性范围内有正应力与线应变成正比横截面上的法向内力元素 构成了空间平行力系，由空间平行力系的平衡方程，得静力方面静力方面静矩为零可知中性轴z

71、过形心。惯性积为零可知y、z轴为形心主轴。182课堂教育代入得这是描述弯曲变形的最基本公式。其中为抗弯抗弯刚度度，抗弯刚度越大，梁变形的曲率越小，表明梁越不易变形。为计算梁在纯弯曲时横截面上任意一点的正应力公式。 弯曲构件横截面上正弯曲构件横截面上正应力计算公式应力计算公式183课堂教育矩形截面圆形截面正应力的正负号判定方法正应力的正负号判定方法：以中性层为界，变形后凸边的纤维受拉，正应力为正值（拉应力）；凹边的纤维受压，正应力为负值（压应力）。对一指定截面而言，弯距、惯性矩为常量，y值越大，则正应力越大，所以最大正应力发生在横截面的上、下边缘处，其值为令为抗弯截面系数，则如果是型钢，可查型钢

72、规格表确定Wz值。184课堂教育例例11-1 一简支梁受力如图所示。已知：F=5kN。求m-m截面上的点1、2的正应力。185课堂教育解：解： 作梁的弯矩图在CD段mm截面上的弯矩为矩形截面对z轴的惯性矩为点1， ，该点的正应力为点2， ，该点的正应力为根据弯曲变形判断应力正负号：mm截面上的弯矩为正值，梁在该处变形为凸向下。如果横截面横放如图示，则最大正应力为多少？有何启示？186课堂教育 11.2 纯弯曲理论在横力弯曲中的推广及梁的正应力强纯弯曲理论在横力弯曲中的推广及梁的正应力强度条件度条件 11.2.1 纯弯曲理论的推广纯弯曲理论的推广 横力弯曲情况下，梁各横截面的弯距是截面位置x的函

73、数，任意截面上任意一点的应力值为全梁最大正应力则为或187课堂教育例例11-2 图示的简支梁由I56a工字钢组成，F=150kN，试求此梁危险截面上的最大正应力，及同一截面上翼缘与腹板交界处a点的正应力 。188课堂教育解：解：利用型钢规格表I56a查作弯矩图，该截面的最大正应力危险截面处a点的正应力a点处的正应力也可利用正应力线性变化规律计算，189课堂教育11.2.2 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 梁内弯矩最大的截面距中性轴最远的点正应力最大，由于该点为单向应力状态，可仿照杆件轴向拉（压）杆的强度条件形式建立梁的正应力强度条件，即 或由于脆性材料的许用拉应力远远小于许用压应力，故脆

74、性材料要选择非对称截面，使横截面上最大拉应力降低。例如T型截面。190课堂教育例例11-3 如图所示，T形截面铸铁梁，若许用拉应力 ，许用压应力 ，试按正应力校核该梁的强度。191课堂教育解：解：由图示截面的几何尺寸可确定中性轴位置设中性轴距上边缘距离为h，则截面对中性轴的惯性矩由弯矩图可知最大弯矩发生在B截面，该截面的最大拉应力和最大压应力分别为192课堂教育B截面最大拉应力和最大压应力都小于许用应力，但还不能说该梁是安全的。因为C截面弯矩值虽小，但下边缘受拉，下边缘各点距中性轴的距离比上边缘各点距中性轴的距离大，产生拉应力有可能大于B截面的拉应力，所以需校核。 该截面的的压应力不需再校核。

75、综上计算，该梁是安全的。193课堂教育例例11-4 如图所示的工字型截面外伸梁，梁上作用均布荷载q=20kN/m，许用应力=140MPa,试选择工字钢型号。解：解：作弯矩图根据强度条件计算截面的抗弯截面系数由此值在型钢表上查得型号为 12.6。根据选择型号计算 值， 不超过 的5%即可。194课堂教育例例11-5 图示为一受均布荷载的梁，其跨度l=2m，梁截面的直径d=10cm，许用应力 ，试确定梁能承受的最大荷载集度q值为多少？195课堂教育解：解：作弯矩图梁横截面上的最大弯矩由梁的正应力集度条件即圆截面的抗弯截面系数故该梁能承受的最大均布荷载集度为196课堂教育 11.3 弯曲时的切应力和

76、强度计算弯曲时的切应力和强度计算 11.3.1 弯曲时的切应力弯曲时的切应力 1. 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力在求切应力时，对切应力的分布作如下的假设： 横截面上各点的切应力方向均与两侧边平行。 切应力沿矩形截面宽度均匀分布，即在横截面 上距中性轴等距的各点处的切应力大小相等。取一微段梁dx，受力如图所示。沿纵向面ac 将梁截开，如图示，列平衡方程197课堂教育矩形截面梁横截面上一矩形截面梁横截面上一点处切应力计算公式点处切应力计算公式198课堂教育切应力在横截面上的分布从而可得横截面上切应力沿高度的分布规律当 时，切应力为零,当y=0时，有切应力极大值，代入得即矩形截面梁的最大切应

77、力为平均切应力的1.5倍。199课堂教育2. I 字型截面梁及圆形截面梁的切应力字型截面梁及圆形截面梁的切应力 （1）工字型截面梁，由于腹板是狭长矩形， 可以完全采用矩形截面切应力的计算公式切应力沿高度方向按二次曲线规律变化。在中性轴上切应力为最大，这也是整个截面的最大切应力 为中性轴一边半个截面面积对中性轴的静矩。d为腹板的宽度，Iz为整个截面对中性轴的惯性矩。型钢查表确定 Iz 及值。200课堂教育（2）圆形截面梁的切应力 假设切应力在截面上的分布为： 距y轴等距离各点切应力在宽度方向上沿y轴分量相等，且切应力汇 交于一点，仿照矩形截面梁切应力计算公式可知，圆形截面梁的最 大切应力发生在中

78、性轴上。截面的最大切应力比平均切应力大33%。201课堂教育3. 3. 薄壁薄壁环形截面梁的切形截面梁的切应力力假设环形截面上切应力的分布为：圆环内外周边上的切应力与圆周相切且，并且切应力沿圆环厚度方向均匀分布。仿照矩形截面的研究方法，经分析可知，圆环形截面的最大切应力同样发生在中性轴处。即截面的最大切应力为平均切应力的2倍。202课堂教育例例11-6 T形截面梁如图所示。已知 ， ，试求中性轴及翼缘与腹板交界处的切应力。解：解：T形截面梁，横截面可分解为两个矩形由矩形截面切应力的计算公式得中性轴上的切应力为翼缘与腹板交界处的切应力203课堂教育例例11-7 一矩形截面简支梁，中点处承受集中力

79、F，如图所示。试求最大切应力 和最大弯曲正应力 的比值。204课堂教育解：解：在荷载与各支座之间的剪力为常值F/2在梁高度中点处，切应力最大。梁跨度中点C处的弯矩有最大值，故正应力最大，且截面C的顶部和底部的弯曲正应力值相等。联立上式解得y由于细长梁弯曲正应力远大于切应力，故正应力强度是主要参数。205课堂教育11.3.2 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件在最大剪力所在的截面上，中性轴上的各点切应力值最大，即梁的切应力强度条件一般情况下，梁的设计是由正应力强度条件决定的，而利用切应力强度条件进行校核。实际上梁的截面根据正应力强度条件选择后，通常不再需要进行切应力强度校核，只有以下情况需要校

80、核梁的切应力：1）梁的跨度较小或支座附近作用有较大的集中荷载时可能出现弯矩较 小而剪力较大的情况。2）木材顺纹方向的切应力强度。3）组合截面，当腹板的宽度与梁高之比小于型钢截面的相应比值时， 需要校核切应力强度。206课堂教育例例11-8 某工字钢简支梁，受荷载如图所示。已知l=2m，a=0.2m，q=10kN/m，F=200kN，材料的许用应力 ， ,若选择工字钢型号为I25b，问此梁是否安全？207课堂教育解：解：最大弯矩在跨中 最大剪力在支座处（1）校核正应力强度查型钢表知：（2）校核切应力强度故梁满足应力强度条件，此梁是安全的。208课堂教育 11.4 梁的合理截面形状及变截面梁梁的合

81、理截面形状及变截面梁 11.4.1 合理截面合理截面 在材料用量一定的情况下，应使其抗弯截面系数与其面积A之比 尽可能大，从而降低横截面上的最大正应力。 为充分发挥材料的潜力，要根据横截面形式将截面设计成使最大拉压 应力同时达到材料的许用应力。 通常塑性材料采用对称截面，而脆性材料采用非对称截面。 综合考虑梁横截面上的应力情况、材料的力学性能、梁的使用条件 及加工工艺等多方面因素。209课堂教育11.4.2 变截面梁变截面梁 为了充分发挥材料的潜能，节省材料并减轻梁的自重，可将梁的横截面设计成变化的，即变截面梁截面梁。最理想的变截面梁是使梁各个截面的最大正应力均达到材料的许用应力，即等等强强度

82、梁度梁的形式。在x=0处由切应力强度确定梁的最小高度 。210课堂教育鱼腹梁变截面梁在工程中的应用实例M211课堂教育小结小结纯弯曲、横力弯曲、中性层、中性轴、梁的正应力、切应力及其分布规律等的主要概念。根据平面假设，纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式为对于跨高比较大的梁（），可将纯弯曲时正应力的计算公式推广到横力弯曲情况下使用。正应力的计算公式为梁弯曲时的正应力强度条件矩形截面梁上各点的切应力分布及计算公式最大切应力计算公式 212课堂教育工字形截面、圆形截面和圆环形截面的最大切应力计算公式：梁弯曲时的切应力强度条件由正应力强度条件设计梁的合理截面形式，同时要满足切应力的强度要求。根据正应力

83、强度条件、切应力强度条件校核强度，设计合理的截面尺寸及求许用荷载等。213课堂教育第第12章章 梁的变形梁的变形 12.1 梁截面的挠度和转角梁截面的挠度和转角 12.2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程12.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形12.4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形12.5 梁的刚度校核和提高梁刚度的措施梁的刚度校核和提高梁刚度的措施 小结小结12.6 简单超静定梁简单超静定梁 214课堂教育12.1 梁截面的挠度和转角梁截面的挠度和转角 挠度挠度 v ：梁上任一截面的形心沿垂直于梁轴线方向的线位移。转角转角 ：梁的横截面绕中性轴相对其原来位置所旋转的

84、角度。挠曲线方程挠曲线方程 :挠度v沿轴x的变化规律的函数表达。即挠曲线上任一点处切线的斜率都可以足够精确地代表该点处截面的转角。 为转角方程。规定挠度向下为正，向上为负；顺时针转角为正，逆时针转角为负。，故在小变形情况下215课堂教育12.2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 在梁的纯弯曲变形中，其曲率为由于梁的变形很小，其挠曲线为一平坦曲线，远小于1，可忽略不计，改写为，在数学上，平面曲线的曲率公式为总结可得：上式即为梁的梁的挠曲曲线近似微分方程。近似微分方程。当梁的刚度为常量时，梁的挠曲线近似微分方程可表达为216课堂教育正负号的选取正负号的选取弯矩M的正负号与 的正负号相反

85、，故梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程表达为217课堂教育12.3 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 对梁的挠曲线近似微分方程两端连续两次积分，得转角方程挠曲线方程积分常数由边界条件或梁的连续光滑条件确定。连续条件边界条件218课堂教育例例12-1 图示悬臂梁，在自由端受一集中荷载F作用，梁的抗弯刚度为 ，求梁的挠曲线方程和转角方程、自由端的挠度 和转角 。219课堂教育解：解： 把坐标原点放在A点，距A为x处截面的弯矩为由挠曲线近似微分方程两边积分得两边再积分得悬臂梁的边界条件为：在固定端处挠度、转角都等于零，即代入，得220课堂教育从梁的的挠曲线大致形状可知，B截面处的挠度和

86、转角为全梁的最大值 和 。所以，梁的转角方程为梁的挠曲线方程为将x=l代入，可求出自由端的转角及挠度分别为221课堂教育例例12-2 图示跨长为l的简支梁AB，承受满跨的均布荷载q，梁的抗弯刚度为 ，求梁的最大挠度及最大转角。l222课堂教育解：解：建立坐标系。由对称性可知支座反力为距A处为x截面上的弯矩为由挠曲线近似微分方程积分得再积分得由边界条件：223课堂教育将常数 、 代入，得转角方程和挠曲线方程分别为由于梁及梁上的荷载是对称的，则挠曲线也应对称，由图中挠曲线的大致形状可知，最大挠度发生在跨中，最大转角在两支座处，即224课堂教育例例12-3 图示简支梁抗弯刚度为 ，在梁的中点作用有集

87、中荷载F。试求此梁的转角方程及挠曲线方程，并求梁的最大挠度和最大转角。l/2l/2F解：解：梁的支座反力为 225课堂教育AC段CB段由两段的挠曲线近似微分方程并进行积分得AC段CB段弯矩方程为226课堂教育由于 ，则 代入得确定积分常数 、 、 、 。由边界条件：得得由梁在C截面的连续光滑条件知227课堂教育将 、 代入得AC、CB段转角方程及挠曲线方程式AC段CB段将x=0，x=l分别代入得左右两支座处截面的转角分别为将x=l/2代入，得中间截面处的挠度为228课堂教育例例12-4 图示简支梁AB，受集中荷载F及均布荷载q作用。已知抗弯刚度为EI，F=ql/4。用叠加法求梁的最大挠度。12

88、.4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形 在求解变形时，也可采用叠加法，即当梁上有几个荷载共同作用时，梁横截面的转角和挠度，等于每个荷载单独作用时引起该截面的转角和挠度的代数和。229课堂教育解：解：查表知，简支梁在均布荷载q作用下跨中的最大挠度为 在集中力F作用下，梁跨中的挠度为应用叠加法计算梁在q和F共同作用下梁中点的挠度为230课堂教育例例12-5 用叠加法求图示悬臂梁C截面的挠度fC，已知抗弯刚度为EI。解：解：图自由端C截面的最大挠度不能直接从表中查到。将图a梁上的荷载分为图b和图c两种情况。231课堂教育全梁受均布荷载q作用下，查表知，自由端的挠度为梁在图c受载的情况，同样查表知

89、，B截面的转角和挠度分别为由于B截面的转角引起C截面的挠度为该受载情况下，C截面的挠度为应用叠加法计算C截面的挠度为232课堂教育12.5 梁的刚度校核和提高梁刚度的措施梁的刚度校核和提高梁刚度的措施 梁的刚度条件可表达为：12.5.1 梁的刚度校核梁的刚度校核 例例12-6起重量为50kN的单根桥式起重机梁，由型号为I45a工字钢制成。已知电葫芦重5kN，桥式起重机梁跨度l=10m，材料的许用应力=170MPa,f/l=1/500,材料的弹性模量E=210GPa，试校核桥式起重机梁的强度和刚度。不同使用条件下的梁，刚度要求一般也不相同，土建工程中以挠度和跨长的比值，即梁的相对挠度作为标准。2

90、33课堂教育解：解：梁的自重简化为均布荷载q，电葫芦及起重量可简化为集中荷载F。当集中荷载作用在跨中时，梁的弯矩最大。集中荷载查表知，工字钢的自重为抗弯截面系数梁的最大弯矩惯性矩q=804N/m，最大正应力故桥式起重机梁满足强度要求。由叠加法计算梁跨中的挠度所以，桥式起重机梁也满足刚度要求。此梁安全。234课堂教育例例12-7 图示悬臂梁，已知q=10kN/m，l=3m。若f/l=1/250,=120MPa，E=200GPa，h=2b。试选择截面尺寸。解：解：（1）由强度条件选择截面尺寸 梁上的最大弯矩在悬臂梁的固定端，其值为由强度条件得而 所以235课堂教育（2）校核刚度。取b=0.0825

91、m，h=0.165m，则自由端截面的挠度由刚度条件可知，上述截面尺寸随满足了强度条件，但不满足刚度条件，需重新按刚度条件选取截面。由得即所以取梁高h=18cm，梁宽b=9cm的截面既可满足强度要求，又可满足刚度要求。236课堂教育12.5.2 提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施 2. 减小梁的跨度或改变梁的支撑方式降低梁的挠度。1.增大梁的抗弯刚度EI。 用弹性模量E较大的材料代替弹性模量较小的材料； 在使用同样多材料的情况下，应使截面面积尽量分布在距中性轴较远的地方，以提高截面的惯性矩I。237课堂教育12.6 简单超静定梁简单超静定梁 物理方面图示简支梁为一次超静定梁。取超静定梁的基本静定体

92、系。几何方面补充方程解得由静力平衡方程可得238课堂教育例例12-8 如图所示悬臂梁抗弯刚度为EI，受均布荷载q作用，试做梁的剪力图及弯矩图。239课堂教育使梁变为基本静定结构形式。由原超静定梁的支座条件知，支座A处的转角为零，故几何方程为解：解：此悬臂梁为一次超静定结构如图所示，去掉一个约束，加约束反弯矩由叠加原理得利用力与位移间的物理关系，得补充方程解得由静力平衡方程可得 240课堂教育从题中可以看出，超静定梁的基本静定结构不唯一。图示两次超静定的例子变形协调条件解得作出内力图。241课堂教育小结小结本章应掌握描述梁变形的挠度和转角两个基本概念。熟记梁的挠曲线近似微分方程。转角和挠曲线方程

93、分别为：用叠加法求梁的变形是本章重点。梁在满足强度条件的基础上，还要满足刚度条件简单超静定梁的计算从几何、物理和静力平衡三个方面考虑求解支座反力。242课堂教育第第13章章 组合变形的强度计算组合变形的强度计算 13.1 组合变形的概念和强度计算的思路组合变形的概念和强度计算的思路 13.2 斜弯曲斜弯曲 13.3 偏心受压偏心受压 13.4 截面核心的概念截面核心的概念小结小结243课堂教育13.1 组合变形的概念和强度计算的思路组合变形的概念和强度计算的思路 13.1.1 组合变形的概念组合变形的概念在实际工程结构中，有些构件的受力情况是很复杂的，受力后的变形常常不只是某一种单一的基本变形

94、，而是同时发生两种或两种以上的基本变形，这类变形情况称为组合变形组合变形。工程实例244课堂教育13.1.2 组合变形的强度计算思路组合变形的强度计算思路应用叠加法来解决组合变形的问题。叠加法的要点是将杆上复杂荷载分解为几种引起基本变形的简单荷载，然后分别计算每种基本变形下的应力，最后叠加起来求出组合变形下的应力。解决组合变形时强度分析问题方法归纳如下：1.外力分析2.内力分析3. 应力分析4. 强度分析245课堂教育13.2 斜弯曲斜弯曲 13.2.1 外力分析外力分析 当横向外力作用在梁的纵向对称平面内，梁变形后轴线所在平面与外力作用平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲平面弯曲。 在一些情况下

95、，梁所承受的横向荷载通过形心，但并不在纵向对称平面内，在梁变形后其轴线所在平面与外力作用平面不重合，这种弯曲称为斜弯曲斜弯曲。如图将荷载沿两个形心主轴 y, z方向分解，得到两个分力在倾斜力作用下，相当于受到两个方向的平面弯曲，梁的挠曲线不在外力作用的平面内，通常把这种弯曲称为斜弯曲斜弯曲。Fyz246课堂教育13.2.2 内力分析内力分析 在分力 和 分别作用下，梁上距自由端为x的任一截面mm的弯矩为 令M=Fx，它表示力F对截面mm引起的总弯矩。因此，斜弯曲即为两个平面内的平面弯曲变形的组合。247课堂教育13.2.3 应力分析应力分析 根据叠加原理，梁的横截面上的任意点K（y, z）处总

96、的弯曲正应力为这两个正应力的代数和，即拉应力取正,压应力取负。截面mm上任意一点K（y, z）处由 和 所引起的弯曲正应力分别是248课堂教育13.2.4 强度计算强度计算 叠加由和引起的正应力，得最大正应力为若材料的抗拉和抗压强度相等，斜弯曲梁的强度条件可表示为图示悬臂梁的危险截面在固定端处，危险点为角点E、F两点。249课堂教育例例13-1 如图所示，一屋架上的木檩条采用的矩形截面为 ，跨度l=4m，简支在屋架上，承受屋面均布荷载q=1kN/m（包括檩条自重），q与y轴夹角 。设木材许用应力=10MPa，试验算檩条的强度。250课堂教育解：解： (1)内力计算。把檩条看作简支梁，在均布荷载

97、作用下，跨中截面为危险截面，最大弯矩为（2）截面几何性质的计算。由已知截面尺寸可算得（3）强度校核。根据强度条件，可得檩条的最大正应力故檩条的强度条件满足要求。251课堂教育例例13-2 如图所示，一悬臂钢梁横截面为矩形，跨度l=3m,承受的荷载如图，q=5kN/m，F=2kN，与y轴的夹角 。已知材料的许用应力=170MPa，矩形截面h/b=3/2。试确定梁的截面尺寸。252课堂教育该悬臂梁除在纵向主惯性平面内有均布荷载q作用外，在自由端还有集中荷载F=2kN( )作用，因此首先将F分解为梁的两个主惯性平面内的两个分力该梁在固定端截面上将有最大弯矩，其值分别为：在q和 作用下的弯矩（1）外力

98、分析（2）内力分析解：解：在 的作用下有弯矩253课堂教育（3）确定截面尺寸，由强度条件得又得254课堂教育13.3 偏心受压偏心受压 轴向压缩时外力作用线与杆件轴线重合，如果压力的作用线只平行于杆件的轴线，但不通过截面的形心，则将引起偏心受压。13.3.1 单向偏心受压的应力计算单向偏心受压的应力计算1. 外力分析外力分析外力F作用点在截面的一根形心主轴上，其作用点到截面形心的距离e称为偏心距偏心距。由于外力作用在一根形心主轴上而产生的偏心压缩，称为单向偏心压缩单向偏心压缩。如图示偏心力向形心简化结果:F和M, 由截面法可确定横截面的内力轴力FN和弯矩MZ。255课堂教育2. 应力计算应力计

99、算单向偏心压缩时杆件中任意截面上任一点的正应力计算公式：由叠加法得最大应力和最小正应力分别发生在横截面的左，右两条边缘线上，其计算式分别为对于矩形截面杆件，若将截面和抗弯截面系数代入上式，得：bh256课堂教育13.3.2 双向偏心压缩的应力计算双向偏心压缩的应力计算 1.1.外力分析外力分析偏心压力F对两个形心主轴均有偏心时，可将偏心力简化为作用在截面形心的轴向力F和力偶距 和 ，这种情况称为双向偏心压双向偏心压缩缩。2 2 内内力力分分析析 由截面法可求得双向偏心压缩杆件中任意横截面上的内力为257课堂教育3.应力计算应力计算 用叠加原理可以得到杆件内任意截面上的任一点处的正应力为对于截面

100、内任意点E（y, z）处的正应力计算式为258课堂教育对于截面内任意点E（y, z）处的正应力计算式为若引进惯性半径4. 强度计算强度计算 偏心受压杆件，危险点仍为单向应力状态，求得最大正应力：强度条件：若存在最大拉应力，则其强度条件为259课堂教育例例13-3 如图所示单向偏心受压矩形截面柱，F=120kN，e=50mm，b=200mm。试问h为多大时，截面将不产生拉应力？并计算取所选的截面尺寸时，截面的最大压应力。260课堂教育 作用下横截面上各点均产生压应力， 作用下横截面上z轴左侧受拉，最大拉应力发生在截面的左边缘处。欲使截面不产生拉应力，应使 和 共同作用下横截面左边缘处的正应力小于

101、或等于零，即解：解：（1）内力计算将F力移到截面的形心处并附加一力偶矩M=Fe，得任一横截面的内力（2）应力计算解得 h0.3m取截面尺寸为h=0.3m，b=0.2m，最大压应力发生在横截面的右边缘处，其值为261课堂教育例例13-4 如图所示一松木矩形短柱，截面尺寸 受一偏心压力F=50kN作用，对两轴的偏心距分别 ， ，松木的许用应力 ， 。试校核该柱的强度。262课堂教育解：解：（1）内力计算将F力移到截面的形心处并附加产生两个力偶矩 和 ，得任一横截面的内力为（2）应力计算作用下横截面上各点均产生压应力，其应力分布如图b； 作用下横截面上y轴下侧受拉，上侧受压，最大拉应力发生在截面的下

102、边缘处，最大压应力发生在截面的上边缘处，其应力分布如图c； 作用下横截面上z轴左侧受拉，右侧受压，最大拉应力发生在截面的左边缘处，最大压应力发生在截面的右边缘处，其应力分布如图d。263课堂教育最大拉应力为由于材料的许用拉、压应力不同，故应分别验算最大压应力最大拉应。（3）强度计算 均满足强度条件。欲求截面上的最大正应力，要考虑 、和 的共同作用，即利用叠加有最大压应力。264课堂教育13.4 截面核心的概念截面核心的概念 得到中性轴的方程式为双向偏心压缩杆件中任意横截面上任意点E（y, z）处的正应力计算式为分别令 和 ，得到中性轴在y轴和z轴上的截距分别为当偏心力的作用点位于形心附近的一个

103、限界上时，可以使用中性轴恰与截面的周边相切，这时横截面上只出现压应力。截面形心附近的这样一个限界所围的区域就称为截面核心截面核心。265课堂教育例例13-5 如图所示确定边长为 的矩形截面的截面核心的边界。图中的y、z轴均为对称轴。解解：（1）先作矩形BC的切线 ，将它看作是中性轴， 它在y、z轴上的截距分别为 该矩形截面的惯性半径将其代入，即得核心边界上点1的坐标为12zyABCD(2)再作CD边的切线 ，它在y、z轴上的截距分别为由此可得核心边界上点2的坐标为266课堂教育因为y、z轴为横截面的对称轴，所以核心边界对y轴和z轴应分别对称。于是，得到矩形截面的截面核心为一菱形。菱形的对角线长

104、度分别为h/3和b/3。当中性轴 按逆时针方向绕C点旋转到 时，有无数多中性轴通过C点，但均未进入横截面内。将C点的坐标代入中性轴的方程式得可见，中性轴绕C点旋转的过程中，偏心力作用点移动的轨迹为直线。因此，连接点1与点2的直线，即为截面核心边界的一部分。41231234zy267课堂教育例例13-6 求直径为d 的圆截面的截面核心。 由于截面对于圆心是极对称的，因而核心边界对于圆心也应该是极对称的，所以圆截面的核心边界是一个半径为d/8的圆。解：解：如图过B点作圆周的切线，将它看作是中性轴，它在y、z轴上的截距分别为该圆截面的将这些值代入，即得核心边界上点1的坐标为yz1224343B268

105、课堂教育小结小结本章主要研究在小变形前提下线弹性杆件在组合变形下的应力和强度计算。解决组合变形问题的关键在于将组合变形分解为有关的基本变形。 （1）斜弯曲分解为两个相互垂直的平面弯曲，其任意横截面上任一点的应力计算为 其强度条件为 （2）偏心受压 a. 单向偏心受压分解为轴向压缩与一个平面弯曲，其任意横截面上任 一点的应力计算为269课堂教育 b. 双向偏心受压分解为轴向压缩与两个平面弯曲，其任意横截面上任一点的应力计算为 其最大压应力强度条件为 若存在最大拉应力，则其强度条件为截面核心的边界是利用中性轴与截面周边相切的特定位置，由下式确定270课堂教育第第14章章 压杆稳定压杆稳定 14.1

106、 压杆稳定的概念压杆稳定的概念14.2 压杆临界力的欧拉公式压杆临界力的欧拉公式14.3 欧拉公式的适用范围临界应力总图欧拉公式的适用范围临界应力总图14.4 压杆的稳定计算压杆的稳定计算14.5 提高压杆稳定性措施提高压杆稳定性措施小结小结271课堂教育14.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念14.1.1 稳定性问题的提出稳定性问题的提出 （1）当压力F较小，且小于某个特征值时，锯条处于竖直直线平衡状态。即使施加一个侧向于干扰力，使其产生弯曲，但解除干扰力以后，锯条又依然恢复到原有的直线平衡状态。我们称原有直线平衡状态为稳定平衡定平衡状状态。（2）当压力F较大时，达到或超过某个特定值时，锯条可

107、能立即发生侧向弯曲，也可能短暂地维持直线状态，但若施加某个侧向干扰力，则立即发生侧向弯曲。我们把原来的短暂的直线平衡状态称为不不稳定平衡状定平衡状态。272课堂教育（3）从稳定平衡状态过度到不稳定的平衡状态，中间必有一个特定的状态，称为临界状界状态。临界状态时的压力成为临界力界力，记为。压杆的稳定性就是在轴向压力作用下保持其原有直线平衡状态的能力或性能。研究压杆稳定性，关键就在于确定临界力。273课堂教育14.1.2 稳定性定性计算的工程意算的工程意义压杆的这种并非由于强度条件不足而突然发生弯曲导致折断的现象就是压杆的丧失稳定性现象，简称失失稳。274课堂教育14.2 压杆临界力的欧拉公式压杆

108、临界力的欧拉公式14.2.1 两端铰接压杆的临界力两端铰接压杆的临界力 近似挠曲线微分方程为其中任意截面x处的弯距为令 ,得二阶常系数线性齐次微分方程方程的通解为积分常数由边界条件确定时，可得B=0；则利用的条件，得：275课堂教育要求由常数A、B及的边界条件，可得：其最小解为n=1时的解，由此解得上式成立，则这就是两端铰接压杆临界力的计算公式，称为欧拉公式。欧拉公式。挠曲线方程为半波正弦曲线。于是276课堂教育14.2.2 其他支撑条件下的压杆临界力其他支撑条件下的压杆临界力 1 . 两端固定压杆的临界力2.一端固定、一端自由压杆的临界力277课堂教育3. 一端固定、一端铰接压杆 的临界力可

109、以归纳为统一的表达式中心受压直杆临中心受压直杆临界力的欧拉公式界力的欧拉公式278课堂教育例例14-1 一根两端铰接的20a号工字钢压杆，长l=3m，弹性模量E=200GPa，=170MPa。试确定其临界力，并与强度条件求得的许用压力比较。解：解：惯性矩I应以最小惯性矩 代入，查表得最小惯性矩及截面面积为 两端铰接时的长度系数为 由欧拉公式得 由强度条件可得许用压力为 临界力小于许用压力，表明压杆未达到强度允许的承压力之前已经 发生失稳破环。279课堂教育14.3 欧拉公式的适用范围、临界应力总图欧拉公式的适用范围、临界应力总图14.3.1 弹性范围内中心压杆的临界应力弹性范围内中心压杆的临界

110、应力 1. 1. 临界界应力和柔度力和柔度将临界力除以压杆的横截面面积，所得的应力称为临界界应力力，用 表示。引入惯性半径，则令，则称为压杆的柔度柔度或细长比比。280课堂教育2 2 欧拉公式的适合范围欧拉公式的适合范围当 时，才能满足 ，欧拉公式才适合，这种杆常称为大大柔度压杆柔度压杆（或称细长压杆细长压杆）。当压杆的柔度 时，就不能应用欧拉公式计算。由于挠曲线近似微分方程适用于线弹性范围，故于是令是判断欧拉公式能否应用的柔度，称为判断柔度判断柔度。281课堂教育14.3.2 非弹性范围内中心压杆的临界应力非弹性范围内中心压杆的临界应力 1 直线公式 在直线公式中，把临界应力表示成柔度的线性

111、关系式，即由试验归纳的直线公式的应用范围为工程中称此类压杆为中柔度中柔度压杆杆。2抛物线公式对于中柔度杆，除直线公式外，还有按试验数据归纳整理的抛物线型的经验公式，即282课堂教育14.3.3 临界应力总图临界应力总图当 时，称为大柔度杆大柔度杆，可用欧拉公式计算；当 时，压杆称为中柔度杆中柔度杆，可用直线、抛物线等经验公式计算；当 时，压杆称为小柔度杆小柔度杆，已不是稳定破坏，由强度条件控制。图中 曲线为理想中心压杆的临界临界应力总图应力总图，也常称为柱子曲线柱子曲线。 仅以 为变量，不论压杆采用何种材质、何种截面形状、何种加工方法，仅有一条 图线，所以常称此为单单一柱子曲线一柱子曲线。28

112、3课堂教育例例14-2 设3根圆截面压杆的直径均为d=20cm，材料均为Q235钢，弹性模量E=200GPa，屈服点 。两端均为铰支支承，长度分别 、 、 ，试求各杆临界荷载值。解解：（1）计算各杆截面几何性质（2）计算临界荷载它属于大柔度杆，故可用 欧拉公式计算临界荷载杆：284课堂教育故杆:它属于中柔度杆，故可用直线公式计算，查表得故 杆： 它属于小柔度杆，该杆实际强度屈服破坏，取值285课堂教育例例14-3 设如图所示压杆材料为Q235钢，弹性模量E=200GPa，屈服点 。长度为l=2m，横截面为矩形 试求该杆受压临界荷载值。286课堂教育解解： （1）计算两个平面内的柔度值在正视平面

113、内在俯视平面内因为所以该压杆在正视平面内失稳。287课堂教育（2）计算相应临界荷载 因 ,可以应用欧拉公式。 代入欧拉公式计算临界荷载，得288课堂教育14.4 压杆的稳定计算压杆的稳定计算 14.4.1 实际压杆的稳定系数实际压杆的稳定系数 设计压杆时所用的许用应力应该随压杆的柔度的增大而减小。在压杆设计中的常用的方法是，将压杆的稳定许用应力写作材料的强度许用应力乘以一个随压杆柔度而改变的稳定系数，即材料强度的许用应力。压杆稳定系数，随压杆柔度的变化而变化。通过查表确定。289课堂教育14.4.2 压杆的稳定计算压杆的稳定计算压杆的稳定条件可表示为由于则稳定计算主要解决以下3个问题（1）稳定

114、校核（2）截面选择（3）确定许用荷载290课堂教育例例14-4 如图所示压杆，在压杆中间沿截面z轴方向有横向支撑。压杆截面为焊接工字形截面，翼缘为轧制边，材料为Q235钢，许用应力=215MPa，轴向压力F=500kN。试校核该杆稳定性。291课堂教育（1）计算该杆截面几何性质 （2）计算柔度，查稳定系数解：解：292课堂教育压杆截面的加工条件为焊接和翼缘轧制边，查表知，对z轴属b类，对y轴属c类。查表，经内插后得取较小者（3）进行稳定计算压杆满足稳定性要求。293课堂教育例例14-5 如图所示工字形截面型钢压杆，在压杆中间沿截面z轴方向有横向支撑。压杆材料为Q235钢，许用应力=215MPa

115、，轴向压力F=900kN。试选择型钢号。294课堂教育解解：（1）试选工字钢型号 先按稳定条件选择工字钢型号。在选择截面时，由于 无法计算，相应的稳定系数 无法确定，故只能先假设一个 值进行计算。先设，则 由型钢表选择36c号工字钢，其几何性质为 295课堂教育（2）稳定性校核 因 ，故查表可知，对z轴属a类，对y轴属b类。经内插后得取较小者校核压杆稳定性稳定性满足要求。296课堂教育例例14-6 如图所示某重型起重机的支柱为4个截面相同的等边角钢组成的4肢格构式压杆，其截面如图。支柱高度l=8m，两端按实际情况简化为球形铰。压杆材料为Q235钢，许用应力=215MPa，承受的轴向最大压力 。

116、设计中截面宽度保证a=40cm，试选择角钢型号。297课堂教育由型钢表初步选择（4个等边角钢），其几何性质为解解：（1）试选角钢型号先设单肢角钢的截面面积：（2）稳定性校核支柱的横截面面积298课堂教育故由GB500172003中截面分类表知：格构式组合柱对z轴、y轴均属b类。查表，经内插后得校核压杆稳定性稳定性满足，但显得过于富余。299课堂教育（3）重选角钢，再进行稳定性校核再设，则单肢角钢的截面面积由型钢表初步选择（4个等边角钢） ，其几何性质为查表，经内插后得，校核压杆稳定性稳定性满足，故用截面比选择前者截面更经济、更合适。300课堂教育14.5 提高压杆稳定性措施提高压杆稳定性措施1

117、4.5.1 合理地选用材料合理地选用材料提高稳定性即提高压杆的临界力或临界应力。由临界力和临界应力的公式可知，影响临界力和临界应力的因素归纳为两方面： 压杆材料的特征值： 等。 压杆的柔度： 对大柔度压杆，临界力和临界应力与材料的弹性模量E值有关，选 用弹性模量较高的材料可以提高细长压杆的临界力。 对中柔度压杆，当采用直线公式计算临界力时，a和b 是与材料性质有关的常数。因此，选用高强度钢材有助于提高压杆的稳定性。 对短粗的小柔度压杆，不存在失稳破坏，属于强度问题。301课堂教育14.5.2 适当降低柔度适当降低柔度1 1 选择合理的截面形状选择合理的截面形状由公式 可知，柔度越小，临界力越高

118、，压杆的稳定性越好。降低柔度可从以下方面考虑：使材料分布在尽量远离中性轴的位置，提高截面的惯性矩。如同样用量的材料，空心截面的稳定性要好于实心截面。如图示。302课堂教育2 2 减小压杆的长度减小压杆的长度3 增强杆端支撑情况增强杆端支撑情况当压杆两端在两个互相垂直的主轴方向上的约束相同时，应尽可能使得截面在两个方向上的惯性矩相等，如图示：由于临界力与压杆的长度的平方成反比，柔度与压杆的长度成正比，因此，若提高稳定性应尽可能减小压杆的长度。由临界力的计算公式可知，临界力与长度系数的平方成反比。而杆端约束类型决定长度系数值。约束越强，长度系数越小，稳定性越好。303课堂教育本章主要研究杆件在轴向压力作用下的稳定问题及稳定条件的计算解决压杆稳定问题的关键在于确定压杆的临界力及临界应力。对于不同柔度压杆，其计算公式分别为 （1）大柔度压杆（），用欧拉公式计算压杆的临界力及临界应力， 其公式为 （2）中柔度压杆（）其公式为 （3）小柔度压杆（）其临界应力为利用稳定条件可以解决以下3类问题：小结小结或（1）稳定校核（2）截面选择（3）确定许用荷载304课堂教育