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1、2.6 2.6 换面法换面法教学目的：教学目的：1.掌握换面法的基本原理，熟练掌握点的一次、二次换面法的基本作图方法。2.熟练掌握换面法的四个基本作图方法，并能用于解决空间几何元素常见的度量问题和定位问题。教学重点：教学重点：换面法的原理和应用换面法解决实际问题。教学难点：教学难点：应用换面法解决空间几何元素常见的度量问题和定位问题。2.6 2.6 换面法换面法 画法几何讨论的作图问题主要归结为两类。一是定位问题，即在投影图上确定空间几何元素（点、线、面）和几何体的投影。二是度量问题，即根据几何元素和几何体的投影确定它们的实长、实形、角度、距离等。 由前面内容可知，当空间的直线、平面对投影面处
2、于特殊位置 平行或垂直时，上述两类问题的作图较为简便。本节将研究如何改变空间几何元素相对于投影面的位置，以达到有利于解题的目的。 投影变换的方法很多，其中比较简单和常用的方法有两种:变换投影面法（简称换面法）和旋转法。 换面法是使空间几何元素保持不动，用新的投影面替换原有的某个投影面，使空间几何元素对新投影面处于有利于解题的位置。 旋转法是使空间几何元素绕垂直于某一投影面的轴线旋转，使空间几何元素对投影面处于有利于解题的位置。 本教材只讲述换面法和用换面法解决几何元素的定位和度量问题。 2.6 2.6 换面法换面法 2.6.1 2.6.1 换面规则换面规则 更换投影面时，新投影面的位置并不是任
3、意的。首先，空间几何元素在新投影面上的投影要有利于解题;此外，新投影面还要垂直于原来的某一个投影面，构成新的两投影面体系（如图2-49所示）以便运用正投影原理由原来的投影作出新投影。 由于新投影面的位置选择受到上述限制，解答某些问题时，更换一个投影面有时不能使空间几何元素与新投影面达到预期的相对位置，从而得不到有利于解题的新投影。这时需连续进行两次或多次换面，但每次只能更换一个投影面。如图2-50所示，先换V 面,再换H 面，也可以先换H 面再换V 面。 图图2-49 2-49 一次换面一次换面图图2-50 2-50 两次换面两次换面2.6 2.6 换面法换面法 2.6.2 2.6.2 求作点
4、的新投影求作点的新投影 任何形体都可以看作是点的集合。所以，研究运用换面法解决某些作图问题之前，首先要讨论点的新投影的作法。 1.1.一次换面一次换面 如图2-51所示为更换正立投影面V时点的投影变换规律。 图图2-51 2-51 点的一次变换（换点的一次变换（换V V面）面） 设给出V、H投影面体系（以后简称V/H体系）中的点A及其投影a、a。新投影面V1 垂直于原投影面H，替换原V面变成新投影面体系V1/H，称为更换正立投影面。其中，H面称为保留投影面、V 面称为被替换投影面、V1 面称为新投影面。H与V1 面的交线X1 称为新投影轴，简称新轴。原投影轴X称为旧轴。2.6 2.6 换面法换
5、面法 将点A向V1 面作垂直投射，得到新投影a1 。在新、旧投影面体系中，由于H面保持不动，所以点A到H面的距离（Z坐标）不变，因而有a1 aX1 =aaX。 若使V1 面绕新轴X1 旋转重合于H面，则得如图2-51（b）所示的投影图。在投影图上有:aa1 X1 ;a1 aX1 =aaX 。其中a称为保留投影;a称为被替换投影;a1 称为新投影。 由上述分析可得出给定新轴X1 的位置后求A点的新投影a1 的作图步骤:（1）过保留投影a作直线aaX1 X1 ，得垂足aX1 。 （2）自aX1 在垂线上截取aaX1 =aaX 得点a1 ，a1 即是点A在V1 面上的新投影。 图2-52表示更换H面
6、。取新投影面H1 ，使H1 V，原投影面体系V/H变换成V/H1 。V 面为保留投影面;H面为被替换投影面;H1 面为新投影面。 图图2 2- -5 52 2 点点的的一一次次换换面面（换换H H面面）2.6 2.6 换面法换面法 设点A在H1 面上的投影为a1 ，此时，点A到V面的距离（y坐标）不变， 所以有a1a X1=aaX 。当新投影面H1 绕X1 轴旋转重合于V面后，在投影图上有aa1X1 ;a1aX1 =aaX 。综合上述更换投影面的两种情况，得如下投影规律:（1）点的新投影与保留投影的连线垂直于新轴。 （2）新投影到新轴的距离等于被替换投影到旧轴的距离。 当新投影面的位置（新轴的
7、位置）确定后，由点的原来投影作其新投影的步骤为:（1）过点的保留投影作直线垂直于新轴，得一垂足。 （2）自垂足在所作垂线上截取线段等于被替换投影到旧轴的距离，截得的点即为所求新投影。 直线或平面的变换，可归结为直线上的两点或平面上三点的变换，其方法、步骤与上述相同。 2.2.二次换面二次换面 图2-53表示更换两次投影面时求作点的新投影的方法，其作图原理与更换一次投影面相同。2.6 2.6 换面法换面法 在V.H体系中，先用V1 替换V，V1 H，组成V1/H投影面体系（H为保留投影面），求出a1。 再把V1/H当作原投影面体系，用新投影面H1 替换H，H1V1 ，组成新的V1/H1 投影面体
8、系，求出新投影a1 。此时V1 面为保留投影面，被替换投影面则指H面。V1 、H1 面的交线为新轴X2 ，而X1 在第二次换面时被称为旧轴。 二次换面时，点的投影变换规律仍适用，即a1a1X2;a1 aX2 =aaX1 ，如图2-53（b）。在换面顺序上可以有两种方案，即V/HV1/HV1/H1 或V/HV/H1 V1/H1 ，由需要而定。 图图2-53 2-53 点的二次变换点的二次变换2.6 2.6 换面法换面法 2.6.3 2.6.3 基本作图问题基本作图问题 用换面法解答各类定位与度量问题时，均可归结为下列四个基本作图问题。 1.1.把一般位置直线变换成新投影面平行线把一般位置直线变换
9、成新投影面平行线 由前述规则可知，要把一般位置直线变换成新投影面平行线，所选新投影面应与直线平行，同时又垂直于保留的原投影面，从而新轴应平行于直线的保留投影。 如图2-54（a）所示，AB为V/H体系中的一般位置直线。若更换V面，把AB变换成V1 面的平行线，则新投影面V1 应平行于AB且垂直于H。此时新轴X1 应平行于AB的水平投影ab。新轴确定后，可按点的新投影的作法作出直线AB的新投影a1b1，AB变换成V1/H体系内的平行线。 图图2 2- -5 54 4 把把一一般般位位置置直直线线变变换换成成V V1 1 面面平平行行线线2.6 2.6 换面法换面法 作图作图 如图2-54（b）所
10、示，作新轴X1ab，作出点A及点B在V1 面上的新投影a1b1。 a1b1反映线段AB的实长，它与X1 轴的夹角为直线AB对H面的倾角。 若更换H面，可将AB变换成H1 面的平行线,如图2-55所示。此时X1ab，a1b1反映AB 的实长，a1b1与X1轴的夹角即为AB对V 面的倾角。图图2 2- -5 55 5 一一般般位位置置直直线线变变H H1 1 面面平平行行线线 2.6 2.6 换面法换面法 2.2.把一般位置直线变换成新投影面垂直线把一般位置直线变换成新投影面垂直线 要把一般位置直线变换成新投影面垂直线，只更换一个投影面显然不行。因为找不到一个新投影面，既与一般位置直线垂直，又与一
11、个原投影面垂直。但如果所给直线是投影面平行线，要将其变换成新投影面垂直线，更换一次投影面即可完成。如图2-56（a）所示，AB为V/H体系内的正平线，若将其变换成新投影面垂直线,需设新投影面H1AB。又因为ABV，所以H1必定垂直于V面。AB变换为V/H1体系内的垂直线。 作图作图 作新轴X1ab，并作出AB在H1面上的新投影a1b1 。a1、b1 重影为一点，图2-56（b）为其投影图。 图图 2 2- -5 56 6 平平 行行 线线 变变 新新 投投 影影 面面 垂垂 直直 线线2.6 2.6 换面法换面法 综上可知，要把一般位置直线变换为新投影面垂直线，必须两次更换投影面。如图2-57
12、（a）所示，把V/H体系内的一般位置直线AB先换成V1/H体系内的平行线，再换成V1/H1体系内的垂直线，作图过程如图2-57（b）所示。图图2-57 一般位置直线变新投影面垂直线一般位置直线变新投影面垂直线2.6 2.6 换面法换面法 3.3.把一般位置平面变换成新投影面垂直面把一般位置平面变换成新投影面垂直面 如图2-58（a）所示，平面ABC在V/H体系内为一般位置平面。若把它变换成新投影面垂直面，可设新投影面V1 替换原投影面V，并使V1 垂直ABC内的一直线L。为保证V1 同时垂直于H面，应取LH，即L为ABC内的水平线。根据投影性质可知，新轴X1 l。图图 2 2 - - 5 5
13、8 8 一一 般般 位位 置置 平平 面面 变变V V1 1 面面 的的 垂垂 直直2.6 2.6 换面法换面法 作图作图 在ABC内取水平线L（l、l）。作X1l，按点的新投影的作法，作出ABC各顶点在V1面上的新投影a1、b1、c1。由于LV1ABCV1，所以a1b1c1成一直线。a1b1c1与X1轴的夹角为ABC对H面的倾角。同理，也可以更换H面把ABC变换为V/H1体系内的垂直面，如图2-59所示。此时，a1b1c1 与X1轴的夹角为ABC 对V 面的倾角。图图2-59 2-59 一般位置平面变一般位置平面变H H1 1 面的垂直面面的垂直面 2.6 2.6 换面法换面法 4.4.把一
14、般位置平面变换成新投影面平行面把一般位置平面变换成新投影面平行面 要把一般位置平面变换成新投影面平行面，必须两次更换投影面。第一次把一般位置平面变成新投影面垂直面，原理与作图方法如前所述。第二次把垂直面再更换成新投影面平行面。 如图2-60（a）所示，平面ABCV1 ，再设新投 影面 H1ABC 且H1V1。根据平行面的投影性质，新轴X2a1b1c1。在H1面上作出ABC顶点的新投影a1、b1、c1，a1b1c1为ABC的实形。 如图2-60（b）所示为一般位置平面两次变换为新投影面平行面的作图过程。 应当注意，两次或多次换面时，不能连续更换同一个投影面，而应两个投影面交替更换。将上述四个基本
15、作图问题综合运用，可以解决多种定位与度量问题。如由垂直面变换为投影面的平行平面。由一般位置平面变换为投影面的平行面等。 2.6 2.6 换面法换面法 图图 2 2 - - 6 6 0 0 平平 面面 的的 两两 次次 变变 换换2.6 2.6 换面法换面法 2.6.4 2.6.4 解题举例解题举例【例2-14】 试过点A作直线与已知直线BC垂直相交，如图2-61所示。 分析分析 当直线BC平行于某投影面时，由直角投影定理可知，与BC垂直的直线在该投影面上的投影反映其垂直关系。将直线BC由一般位置变换为某投影面平行线，需更换一次投影面。图图2-61 过过A作作直直线线与与BC垂垂直直相相交交2.
16、6 2.6 换面法换面法 作图作图 （1）用V1替换V（也可以用H1替换H），将BC换成V1面的平行线。（2）点A随同直线BC一起变换，得新投影a1。（3）过a1向b1c1作垂线，垂足为e1。e1即为两线垂直相交后的交点E在V1 面上的投影。 （4）将e1逆变换返回到V/H体系，求出e及e1。连接ae、ae即为所求。 讨论讨论 此题也可以将点A及直线BC看成同一平面。将平面ABC变换成新投影面平行面，在反映实形的新投影上作出点A 到直线BC的距离AE，然后返回到原投影面体系即可。同样方法也可以求出两平行直线间的距离、两相交直线间的夹角、作角平分线等。因此，凡属同一平面内几何元素的定位、度量问题
17、，均可将此平面变换成新投影面平行面加以解决。2.6 2.6 换面法换面法【例2-15】 求点K到平面P（ABCD）的距离。 分析分析 如图2-62（a）所示，若过点K向平面P引垂线，则点K到垂足L的距离就是K到平面P的距离。如果平面P是某投影面垂直面，则垂线KL就是该投影面的平行线，距离可直接反映在投影图上。 图图2 2- -6 62 2 求求点点到到平平面面的的距距离离2.6 2.6 换面法换面法 由于P平面属于一般位置平面，故本题需更换一次投影面，将其变换成新投影面垂直面。 作图作图 （1）更换V面，把平面P变换成V1面的垂直面。作新轴X1ad（AD、BC为P内水平线）。 （2）作出P在V
18、1 面上的新投影p1及点K的新投影k1。 （3）过k1向p1作垂线，垂足为l1。k1l1即为点K到平面P的距离，见图2-62（b）。 讨论讨论 如果需要作出KL的投影，可按照点的变换规则把l1返回到V/H体系。因KL是V 面的平行线，所以过k作klX1 即可求出l。再由l、l1定l。 2.6 2.6 换面法换面法【例2-16】 求交叉两直线AB、CD之间的距离及公垂线的投影。 分析分析 交叉两直线间的距离即是它们之间公垂线的实长。 如图2-63（a）所示，若使两交叉直线之一CD变换成新投影面H1的垂直线时，AB、CD的公垂线MN 必为该投影面的平行线，MN在H1面上的投影m1n1反映公垂线的实
19、长;另一条直线AB虽为一般位置直线，但因MNAB，由直角投影定理得a1b1m1n1，由此可定出公垂线的位置。 由于AB、CD 均为一般位置直线，故本题需两次更换投影面。图图 2 2- -6 63 3 求求 交交 叉叉 二二 直直 线线 间间 的的 距距 离离 及及 公公 垂垂 线线 2.6 2.6 换面法换面法 作图作图 如图2-63（b）所示。（1）将一般位置直线CD变换成新投影面垂直线。直线AB随同CD一起变换。（2）过重影点c1（n1、d1）向a1b1作垂线，垂足为m1。m1n1即为AB、CD间公垂线的实长。（3）将m1逆变换返回，可定出m1、m、m。 （4）作m1n1X2定出n1，再逆变换求出n、n。mn、mn即为公垂线MN的投影。将上述分析及作图进行类推，则可用来解答点到直线的距离、平行二直线间的距离、平行的直线与平面间的距离等度量问题;也可以在给定距离时反过来解答某些定位问题，如补投影等。 2.6 2.6 换面法换面法
