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1、北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 选修选修2-2 推理与证明推理与证明第一章第一章3反证法反证法第一章第一章课堂典例探究课堂典例探究2课课 时时 作作 业业4课前自主预习课前自主预习1课前自主预习课前自主预习了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤本节难点：应用反证法解决问题.间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法_就是一种常用的间接证明方法.间接证明 反证法1
2、.(1)概念：假定命题结论的_在这个前提下，若推出的结果与_矛盾，或与命题中的_相矛盾，或与假定相矛盾，从而断定_不可能成立，由此断定命题的结论成立这样的证明方法叫作反证法(有时也叫归谬法)反证法 反面成立定义、公理、定理已知条件命题结论的反面2反证法的证题步骤包括以下三个步骤：(1)作出否定结论的假设(反设)假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；(2)逐步推理，导出矛盾(归谬)从假设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)否定假设，肯定结论(存真)由矛盾结果，断定假设不真，从而肯定原结论成立.1.用反证法证明问题的本质反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的
3、结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的一种方法反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)存真也就是说，反证法是由证明pq转向证明：qrt，t与假设或与某个真命题矛盾，q为假，推出q为真的方法从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定是“若p则q”由此进行推理，如果发生矛盾，那么“若p则q”为假，因此可知“若p则q”为真可以看出，反证法与证逆否命题是不同的由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响，在否定结论后的推理过程中，往往一味寻求与
4、原题设的矛盾，而不注意寻求其他形式的矛盾，这样就大大限制和影响了解题思路归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木推理必须严谨导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾2适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；(3)结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题；(5)一些基本命题、定理3用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“”的反面为“”；“”的反面为“”；“及180，这与三
5、角形内角和为180矛盾，故假设错误所以一个三角形不能有两个直角假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_答案解析考查反证法的证题步骤3用反证法证明命题“若x2(ab)xab0，则xa且xb”时，应假设为_答案xa或xb解析对“且”的否定应为“或”，所以“xa且xb”的否定应为“xa或xb”求证：当x2bxc20有两个不相等的非零实数根时，bc0.分析bc0的否定形式为bc0，包括b0，c0；b0，c0；b0，c0三种情况，要注意分类讨论反证法证明“否定性”命题 证明假设bc0.(1)若b0，c0，方程变为x20，则x1x20是方程x2bxc20的两根，这与方程有两个不
6、相等的实数根矛盾(2)若b0，c0，方程变为x2c20，但c0，此时方程无解，与x2bxc20有两个不相等的非零实根相矛盾(3)若b0，c0，方程变为x2bx0，方程根为x10，x2b，这与方程有两个非零实数根相矛盾综上所述，可知bc0.点评结论中出现“不”、“不是”、“不存在”、“不等于”等词语的命题，其反面比较具体，通过反设，转化为肯定性命题，作为条件应用，进行推理此时用反证法更方便已知a0，求证：关于x的方程axb有且只有一个根证明假设方程axb(a0)至少存在两个实根，不妨设其中的实根分别为x1，x2，且x1x2，则ax1b，ax2b，ax1ax2，ax1ax20，a(x1x2)0.又
7、x1x2，x1x20，a0，这与已知a0矛盾，故假设不成立，原命题成立“至少”“至多”型命题 点评该命题中有“至少”，直接方法很难证明，故可采用反证法此题解法揭示：当命题中出现“至少”、“至多”、“不都”、“都不”、“没有”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”如图，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径求证：AB，CD不能互相平分 反证法在几何中的应用 分析本题要证明的是AB、CD能不能互相平分，能与不能二者必居其一由于不易证明“AB、CD不能互相平分”，不妨假设“AB、CD能互相平分”，以
8、此为出发点，得出与条件“AB，CD不全为直径”矛盾的结论证明假设AB、CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，所以ACBADB，CADCBD.因为四边形ACBD为圆内接四边形，所以ACBADB180，CADCBD180.因此ACB90，CAD90，所以对角线AB，CD均为直径，这与已知中“AB，CD不全为直径”相矛盾因此AB，CD不能互相平分点评用反证法证明该几何问题时，反设之后，以反设为出发点，并且结合圆的内接四边形的性质得出与已知相矛盾的结论，从而证明了原命题成立如图所示，设SA，SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直证明假设AC平面SOB，连
9、接AB.因为直线SO在平面SOB内，所以SOAC又因为SO底面圆O，所以SOAB.又因为ACABA，所以SO面SAB.所以平面SAB底面圆O.这显然不成立，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直.反证法在数列中的应用 点评当结论为否定形式时，通过反设，转化为肯定形式，可作为条件进行推理，此时应用反证法很方便.已知abc0，abc0，abbcca0，求证：a，b，c都大于0.反证法的综合应用 分析证明假设a0不成立，则a0.分两种情况证明：(1)当a0，bc0，bca0，a(bc)0.abbccaa(bc)bc0矛盾，由以上分析可知，假设不成立因此，a0.同理可得，b0，c0.综上a，b，c都
10、大于0.点评分类讨论的关键是要全面，考虑周到，不能遗漏比如，本题“a0”的反面是“a0”，即有两种情况“a0”或“a0”，分类讨论时，不能遗漏其中任何一种情况已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数分析本题直接证明不易找思路，我们用间接证明的方法：反证法 证明假设a不是偶数，则a为奇数设a2m1(m为整数)，则a24m24m1.4(m2m)是偶数，4m24m1为奇数，即a2为奇数，与已知矛盾a一定是偶数.点评否定结论时，没有全面否定点评利用反证法进行证题时，首先要对所要证明的结论作出否定性的假设，并以此为条件进行正确的推理，导出矛盾，从而证明原命题成立即利用反证法证题时必须严格按照“否定推理否定”的步骤进行错解在证明的过程中并没有用到假设的结论，因而证明方法不是反证法
