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1、第一章第一章 引言引言有限元方法（The Finite Element Method, FEM）是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法 。 自然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程（代数、微分、或积分）。这些方程通常称为控制方程（Governing equation）。xzyuwvdzdydx(x,y,z)变量：位移应变应力边界条件：力边界条件位移边界条件平衡方程几何方程物理方程求解偏微分方程工程中的问题（力学、物理）各种方程及相应的定解条件（边界条件及初始条件）线性的、边界规则的问题数值分析法精确解近似解非线性的、边界不规则的问题解析
2、法如何求解描述物理规律的方程呢？FEM离散化逼近的思想方法是有限元方法的基础有限元方法的基础 古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法。 Zeno：空间是有限的和无限可分的。故，事物要存在必有大小。Aristotle：连续体由可分的元素组成。 近代，这一方法首先在航空结构分析中取得了明显的效果：一种称为框架分析法（framework method）被用来分析平面弹性体（将平面弹性体描述为杆和梁的组合体）（1941，Hrenikoff）；在采用三角形单元及最小势能原理研究St.Venant扭转问题时，分分片连续函数片连续函数被用来在子域中近似描述未知函数（1943, Courant
3、）。此后，本方法在固体力学、温度场和温升应力、流体力学、流固耦合（水弹性）问题，以及航空、航天、建筑、水工、机械、核工程和生物医学等方面获得了广泛的应用。内容十分丰富的新兴分支计算力学的出现，长期以来在力学中存在的求解手段落后于基本理论的现象得到了根本的扭转。由于拥有了强有力的分析手段，相比之下对物质世界本身（例如本构关系）的了解反而出现了一些新的薄弱环节。 子结构方法分析大型结构的早期应用法梁单元二十世纪六十年代中期，Argyris, 和Kelsey(1960)以及Turner, Clough, Martin和Topp (1956)等人在计算力学的发展中作出了杰出的贡献。然而，“有限单元”是
4、由Clough首次提出的(1960)。在众多数学家的共同努力下，有限元方法的基本原理被揭示以后，这种方法摆脱了各种各样的工程背景而成为一种具有普遍意义的数学方法。 由于本方法是力学研究与应用的产物,故在对工程问题的分析与描述过程中力学气味无孔不入.建模时充分利用重复性连续体有无限多个自由度（属于无限维空间），有限元方法则是将它转化成一个有限自由度（属于有限维空间），建立有限元方程，求其近似解。可以将有限元法理解为在子域内应用的瑞利里兹法（RayleighRitz Method）。在传统的瑞利里兹法中，必须假定近似的位移函数和其各阶导数在整个求解区域内有良好连续性。 后续有介绍vL/4PLABx
5、C基函数基函数 以简支梁为例，求解在集中力P作用下C点的变形，介绍Ritz法。（显然，1、1、2、2 连续，1、2平方可积，）试探函数待定常数(广义坐标)问题描述为:能量泛函取驻值（最小势能原理）最小势能原理 在所有满足在所有满足给定位移边界条件给定位移边界条件和和协调条协调条件件的位移中，满足平衡条件的位移使总势的位移中，满足平衡条件的位移使总势能取驻值，若驻值是最小值，则平衡是稳能取驻值，若驻值是最小值，则平衡是稳定的定的。由能量泛函的驻值条件得代数方程组 解代数方程组可得试探函数中的待定常数点位移的近似值为点位移的精确值为（材料力学方法）近似解瑞利里兹法要求： 必须假定近似的位移函数和其
6、各阶导数在整个求解区域内有良好连续性。实际的工程结构往往比较复杂,往往难于满足这些苛刻的要求.在数学的描述上，这些实际情况表现为间断点，在这些部位函数的导数（及应变）是不连续的。因此，瑞利里兹法的工程应用受到了限制。对于二维及三维的工程结构对于二维及三维的工程结构，如果其几何边界不规则，要寻找满足边界条件的连续的近如果其几何边界不规则，要寻找满足边界条件的连续的近似位移函数是极其困难的似位移函数是极其困难的。2.管道系统:阀门、接头和三通表现为集中质量。1.变压器的箱体：可以看成是由板和梁的组合结构；在有限元方法中，由于利用了分片插值技术，连续体（区域）的形状可以不受任何限制。而这一难题正是以
7、前其他分析方法所难以克服的 可以将有限元法理解为在子域内应用的瑞利里兹法（RayleighRitz Method）在子域内不难找到满足条件的试探函数(Trial function)建立有限元方程常用的方法：直接方法（直接方法（直接从结构力学引伸而得） 简单、易于理解，一些基本概念和作法的物理意义清晰，对理解有限元方法的相关概念和具体作法十分有益 。变分方法（变分方法（最常用的一种形式） 变分方法主要用于线性问题，该方法要求被分析的问题存在一个该方法要求被分析的问题存在一个“能量能量泛函泛函”，由，由泛函取驻值泛函取驻值建立有限元方程建立有限元方程。对于线性弹性问题就表现为最小势能原理、最小余能
8、原理或其他形式的广义变分原理。对于某些非线性问题（弹塑性问题）的虚功方程虚功方程也可归于这一类。加权残值法（加权残值法（ “能量泛函”不存在时） 对于线性自共轭形式方程，加权残值法可能和变分法得到相同的结果，这将使我们得到一个对称的刚度矩阵。对于那些“能量泛函”不存在的问题（主要是一些非线性问题和依赖于时间的问题）加权残值法是一种很有效的方法。如:伽辽金Galerkin 法（.即，选形函数为权函数的加权残值法）属于这一类。有限有限单单元方法元方法处处理理问题问题的基本步的基本步骤骤单元分析形成总体方程解方程（文本或图形）输出结果离散化建立离散化建立离散化计计算模型算模型（一维问题）（二维问题）
9、（三维问题）（二阶问题）（四阶问题）（杆系问题）（组合体问题）（梁弯曲问题）（板弯曲问题）用恰当的用恰当的单单元元剖分求解域剖分求解域单单元分析元分析（科学规律）形成形成总总体方程体方程（组装总刚度阵）（组装载荷阵）解方程解方程（数值积分）（代数方程求解）输输出出结结果果（图形、文本）基基础础理理论论（变分原理）（分片插值）选选定基本定基本变变量量约约束条件束条件处处理理（灵活、易错）有限元方法的有限元方法的组组成模成模块块现代有限元方法是工程分析中一种处理偏微分方程边值问题的最现代有限元方法是工程分析中一种处理偏微分方程边值问题的最有效的数值方法之一，对于工程中的许多场变量的定解问题，通有效
10、的数值方法之一，对于工程中的许多场变量的定解问题，通过此方法可以得到满足工程要求的近似解。过此方法可以得到满足工程要求的近似解。变分原理在有限元方法中有重要的作用，在许多场合依据变分变分原理在有限元方法中有重要的作用，在许多场合依据变分原理可以给出总体方程合理性的满意解释。创建新型单元的工原理可以给出总体方程合理性的满意解释。创建新型单元的工作仍在不断进行，人们始终没有放弃构造新型的功能更强、性作仍在不断进行，人们始终没有放弃构造新型的功能更强、性质更优的单元的努力质更优的单元的努力。此方法在应用于连续介质问题分析时，首先要用单元将求解域此方法在应用于连续介质问题分析时，首先要用单元将求解域离散化，然而离散化，然而, 而核心工作是单元分析（要用插值函数近似表而核心工作是单元分析（要用插值函数近似表达场变量），即建立结点位移与结点力之间的关系（形成单元达场变量），即建立结点位移与结点力之间的关系（形成单元刚度矩阵）。此后的工作可以认为是程式化的工作，即组装总刚度矩阵）。此后的工作可以认为是程式化的工作，即组装总体方程和求解此方程，在解方程时要用到数值积分。体方程和求解此方程，在解方程时要用到数值积分。结束语结束语
