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1、定理定理1 1 若曲线若曲线是光滑的，即在连续，且不是光滑的，即在连续，且不同时为零，函数在同时为零，函数在C C连续，则函数连续，则函数在在C(A, B)C(A, B)存在第一型曲线积分，且存在第一型曲线积分，且一一.第一型曲线积第一型曲线积分分推广推广1 1 若三维欧氏空间若三维欧氏空间 中光滑曲线中光滑曲线的参数方程是的参数方程是则第一型曲线积分为则第一型曲线积分为连续，且连续，且则则f(x,y)df(x,y)d x x与与f(x,y)df(x,y)d y y在在C(A,B)C(A,B)的第二型的第二型定理定理2 2 如果函数如果函数f(x,yf(x,y) )在有向光滑曲线在有向光滑曲线
2、曲线积分都存在，且曲线积分都存在，且二、第二型曲线积分二、第二型曲线积分对坐标的曲线积分与曲线的方向有关对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.因此下限应是起点的坐标因此下限应是起点的坐标, 上限是终点的上限是终点的坐标坐标.特殊情形特殊情形(1)则则(2)则则(3)推广推广三三. .格林公式格林公式定理定理3 若函数若函数 及其偏导数及其偏导数在有界闭区域在有界闭区域D上连续，则有上连续，则有其中是围成闭区域其中是围成闭区域D的边界封闭曲线，的边界封闭曲线，取正向取正向格林公式格林公式格林公式有两个等式组成：格林公式有两个等式组成：四、曲线积分与路径无关的条件四、曲线积分与路径无关的条件定理定理4
3、 4若函数若函数 , , 以及以及在单连通区域在单连通区域G G连续，下列四个断语是等价的：连续，下列四个断语是等价的：与路线与路线C C无关无关，1.1.曲线积分曲线积分即只与始点即只与始点A A与终点与终点B B有关；有关；2.2.在在G G中存在一个函数中存在一个函数 , ,使使4.4.对对G G内的任意光滑闭曲线内的任意光滑闭曲线。3.3.1.计算积分计算积分其中其中C为曲线为曲线2.计算积分计算积分其中其中C为内摆线为内摆线的弧的弧3.计算积分计算积分其中其中C为由曲线为由曲线所界的凸围线所界的凸围线4.计算积分计算积分其中其中C为圆周为圆周5.其中其中C为依反时针为依反时针方向通过
4、的椭圆方向通过的椭圆6.其中其中C为依反时针为依反时针方向通过的圆周方向通过的圆周7.其中其中AB为界于点为界于点和点之间的直线段和点之间的直线段8.计算积分计算积分沿着不与沿着不与oy轴相交的路径轴相交的路径沿着不与沿着不与y=x相交的路径相交的路径9.计算下列曲线积分计算下列曲线积分其中其中C为为其中其中C为为域域的正方向的围线的正方向的围线10.求原函数求原函数11.计算计算 其中其中L 为圆周为圆周 在第一象限部分从点在第一象限部分从点A(0,1)到到B(1,0)的弧段的弧段.12.积分积分和和（其中（其中AmB为连接点为连接点A(1,1) 和点和点B(2,6)的的直线段，直线段，AnB是其轴为垂直的抛物线，并通过是其轴为垂直的抛物线，并通过A,B及坐标原点）相差多少？及坐标原点）相差多少？
