§1.9 函数的连续与间断函数的连续与间断一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点三、小结三、小结 间变化很小时间变化很小时,生物生长的也很少生物生长的也很少.在函数关系上的反映就是函数的连续性在函数关系上的反映就是函数的连续性.在自然界中在自然界中,许多事物的变化是连续的许多事物的变化是连续的,如气温变化很小时如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小单摆摆长变化也很小.时时 在高等数学中在高等数学中,主要的研究对象就是连主要的研究对象就是连续函数续函数.这种现象这种现象从直观上不妨这样说从直观上不妨这样说, 连续函数的连续函数的特征就是它的图形是连续的特征就是它的图形是连续的,也就是说也就是说,可以可以一笔画成一笔画成.一、函数的连续性 1.1.改变量（增量）：改变量（增量）：当自变量由初值当自变量由初值 变化到终值变化到终值 时，终值与初值之时，终值与初值之差差 称为自变量的改变量，记为称为自变量的改变量，记为相应的函数的改变量（增量）相应的函数的改变量（增量）:函数的函数的终值终值 与初值与初值 之差之差 称为函数的改变量，记为称为函数的改变量，记为如图如图: 2.连续的定义连续的定义 连续性的三种定义形式不同连续性的三种定义形式不同,但本质相同但本质相同. 例例1 1证证由定义由定义2知知 3.单侧连续单侧连续定理定理 例例2 2解解右连续但不左连续右连续但不左连续 , 4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例例3 3证证 二、函数的间断点 (1).跳跃间断点跳跃间断点例例4 4解解1.第一类间断点第一类间断点 （（2））.可去间断点可去间断点例例5 5 解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点. 如例如例5中中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .特点特点 2.第二类间断点第二类间断点例例6 6解解 例例7 7解解注意注意 无穷间断点和震荡间断点都是第二类间断点无穷间断点和震荡间断点都是第二类间断点.函数值在函数值在-1与与+1之间变动无限次之间变动无限次 例例8 8解解 三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图) 可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx 思考题思考题 思考题解答思考题解答且且 但反之不成立但反之不成立.例例但但 练练 习习 题题 练习题答案练习题答案作业作业:P33 31 (1)、（3） 33 解解函数在函数在x= -1 , x = 0 , x = 1处没有定义处没有定义所以所以x= -1 , x = 0 , x = 1是函数的间断点是函数的间断点所以所以x = - -1是函数的无穷间断点是函数的无穷间断点所以所以x= 0是函数的跳跃间断点是函数的跳跃间断点(ⅠⅠ)(ⅡⅡ) 所以所以x= 1是函数的可去间断点是函数的可去间断点(ⅢⅢ) 。